（遊びの数論33）

[遊びの数論]　21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20

きちんとまとまった記事ではなく、雑多なメモ。誤字脱字・間違いがあるかもしれません。

目次。約1の項目があります。2024などの数字は、メモの日付です。
2024-10-22　x¹⁷ = 1 の代数的解法／まとめ　補足・反省・展望
2024-10-25　正17角形の正道を求めて　ガウス周期とガウス和
目次の終わり。このページの最初の項目が続きます。

2024-10-22　x¹⁷ = 1 の代数的解法／まとめ　補足・反省・展望

#遊びの数論　#1 の原始根　#4次方程式　#正17角形　#x¹⁷ = 1　#(33)

①　x¹⁷ = 1 の 1 を移項して (x − 1)(x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1) = 0 と書ける。右側の丸かっこ内 = 0 を解きたい。

②　次の恒等式を利用。
　　4(x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1) = (2x⁸ + x⁷ + 5x⁶ + 7x⁵ + 4x⁴ + 7x³ + 5x² + x + 2)² − 17(x⁷ + x⁶ + x⁵ + 2x⁴ + x³ + x² + x)²

③　すると x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1 = 0 の左辺は、二つの8次式の積に分解。

④　y = x + 1/x と置くと、二つの4次式になる。

⑤　4次式は、二つの2次式の積に分解。2次方程式の解は、機械的に求まる。

⑥　第一の4次式に対応する解、第二の4次式に対応する解。計 8 個の解 y は全て実数で、③ の解 x の実部の 2 倍（実際には、便宜上 z = 2y と置いた: z は x の実部の 4 倍）。 ③ の 16 個の解の実部（2 個ずつ等しい）が全て判明。

⑦　±√[(1 − C)/2] が解 x の虚部。ここで C は、③ の解のうち x から見て「偏角が 2 倍の数」の実部。

群論的考察も三角関数も不使用。真に良い解法ではないが、それなりに面白い。

この問題の本来の解法は、群論的。群論的考察を隠して、三角関数を使うことも珍しくない（多少のバリエーションはあるだろうが、天下り的に特定の解の和を考えることになる）。

群論的アプローチは、次の事実に基づく。 mod 17 の原始根（群論の言葉で言えば生成元）の一つを g とすると、 g⁰, g¹, ···, g¹⁵ によって mod 17 の 0 以外の各要素が過不足なく表現される。この本来のアプローチについては、多くの文献・資料で見ることができる。ただし肝心の「なぜそれでうまくいくのか」の説明が抜けていたり、分かりにくかったりすることもあるようだ。

三角関数バージョンについて、複素数を使わない平易な方法を「週末は17角形で！」として以前記した。普通に複素数を使えば、工夫の余地がある。インドの Resonance 誌に掲載された方法^†では、三角関数の使い方が（天下り的だが）うまく簡単化されていて、しかも、作図可能性の証明がそのまま正17角形の実用的な作図法を与えてくれる。作図の正しさの証明に関する限り、標準的な Richmond の方法より分かりやすいかも。

† D Surya Ramana: “Carl Friedrich Gauss”, Resonance, Vol. 2, Issue 6 (June, 1997), pp. 60–67
https://www.ias.ac.in/listing/articles/reso/002/06
https://web.archive.org/web/20220623063713/https://www.ias.ac.in/listing/articles/reso/002/06

とはいえ、結局のところ、天下り的な議論は良くない。本来の方法をバイパスする「別解」を 2 通り試してみて、ひしひし感じる。これは邪道だな…と。「週末は17角形で！」「x¹⁷ = 1 の代数的解法」、どちらも楽しい遊びだったし収穫もあったけど、技術的には正しくても、核心が不透明。実用上も、代数的解法では、途中で3次方程式の解を試行的に見つけなければならない。実行可能だが、面倒くさい。

最大の欠点は、恒等式
　　4(x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1) = (2x⁸ + x⁷ + 5x⁶ + 7x⁵ + 4x⁴ + 7x³ + 5x² + x + 2)² − 17(x⁷ + x⁶ + x⁵ + 2x⁴ + x³ + x² + x)²
の導出法が「便宜的」であること（この種の恒等式の存在を一般的に論じるためには、本来の理論に取り組まなければならないだろう）。得られた恒等式が正しいこと自体は、小学生の宿題のような単純計算で検証できる:

                                       2   1   5   7   4   7   5   1   2
                                       2   1   5   7   4   7   5   1   2
掛け算
                                       4   2  10  14   8  14  10   2   4
                                   2   1   5   7   4   7   5   1   2
                              10   5  25  35  20  35  25   5  10
                          14   7  35  49  28  49  35   7  14
                       8   4  20  28  16  28  20   4   8
                  14   7  35  49  28  49  35   7  14
              10   5  25  35  20  35  25   5  10
           2   1   5   7   4   7   5   1   2
       4   2  10  14   8  14  10   2   4
足し算
       4   4  21  38  55 106 123 140 174 140 123 106  55  38  21   4   4 [*]

回文8次式の平方は、回文16次式になるはずだから、実際には、和の中央の 174 がある列とその右側だけを求めれば足りる。掛け算の後半では、前半で得た行を再利用できる。以下も同様に、本当は約半分の計算で十分。こっちの掛け算は、ほとんど同じ行のコピペ。

                            1   1   1   2   1   1   1
                            1   1   1   2   1   1   1
掛け算
                            1   1   1   2   1   1   1
                        1   1   1   2   1   1   1
                    1   1   1   2   1   1   1
                2   2   2   4   2   2   2
            1   1   1   2   1   1   1
        1   1   1   2   1   1   1
    1   1   1   2   1   1   1
足し算
    1   2   3   6   7   8  10   8   7   6   3   2   1
17倍
   17  34  51 102 119 136 170 136 119 102  51  34  17 [**]

       4   4  21  38  55 106 123 140 174 140 123 106  55  38  21   4   4 [*]
              17  34  51 102 119 136 170 136 119 102  51  34  17         [**]
引き算
       4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4

これで恒等式が成り立つことが確認された。∎

2024-10-25　正17角形の正道を求めて　ガウス周期とガウス和

#遊びの数論　#1 の原始根　#正17角形　#x¹⁷ = 1　#(33)

正17角形（ないし 1 の17乗根）の研究は、原始根を使うと「魔法のように」うまくいく。そのこと自体は比較的よく知られているが、往々にして「なぜそれでうまくいくのか」が不明瞭。「魔法」の正体を探る。

§1.　
1 の17乗根とは、17乗すると 1 になる数（つまり x¹⁷ = 1 の解）で、 x = 1 自身を除くと16個ある。それらは
　　x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1
の（非実数の）根。どれも絶対値（原点からの距離）が 1、偏角は 360° = 2π の n/17 に等しい（n = 1, 2, ···, 16）。幾何学的には「単位円の円周を17等分する点」で、作図に利用すれば正17角形を描ける。

これら 16 個の複素数（幾何学的には 16 個の点）は、どれも実部または虚部（またはその両方）が多少違うけど、対称的な性質を持ち、どの一つを基準としても大抵の議論は成り立つ。だが「頂点1」を基準にするのが最も素直で、具体的イメージを持ちやすいだろう。ここで「頂点1」というのは、偏角 2π/17 = 約 21° の複素数で、三角関数を使うなら、次のように表現される:
　　cos (2π/17) + i sin (2π/17) = 0.9324722294… + i⋅0.36124166618…

〔参考〕　この実部について、近似分数 1588/1703 = 0.9324721… は、小数6桁まで正しい。虚部について 384/1063 = 0.3612417… も、小数6桁まで正しい。
　　(1588/1703 + 384i/1063)¹⁷
を実際に計算してみると:
　　 = 0.999998705… + i⋅0.000002368…
実部・虚部とも本当は無理数なのに有理数で代用してるんで、正確に 1 + 0i にはなり得ないが、まあまあの精度で「17乗すると 1 になる」。

「頂点1」「頂点2」「頂点3」などを全部同様に定義して 16 個の複素数をその順序で x₁, x₂, ···, x₁₆ とすると（頂点1 が x₁）、「頂点2」「頂点3」…は頂点1から見て偏角が2倍・3倍…なので:
　　x₂ = (x₁)², x₃ = (x₁)³, ···

一般に、任意の n に対応する複素数 x_n を (x₁)ⁿ と表すことができる――基準とする一つの数 x₁ の累乗として。ここで n は、本来的には 1 ～ 16 の自然数だが、 n = 0 の場合の (x₁)⁰ = 1 という値も「頂点0」という合理的な意味を持つ（1 も 1 の17乗根）。さらに、指数 n が 17 以上になった場合、 17 で割った余りで置き換えることができる。例えば n = 19 とすると:
　　(x₁)¹⁹ = (x₁)¹⁷⁺² = ((x₁)¹⁷)(x₁)² = (x₁)²　なぜなら　(x₁)¹⁷ = 1
あるいは n = 81 とすると:
　　(x₁)⁸¹ = (x₁)⁶⁸⋅(x₁)¹³ = ((x₁)¹⁷)⁴⋅(x₁)¹³ = (1)⁴⋅(x₁)¹³ = (x₁)¹³
　　なぜなら 81 を 17 で割ると商 4、余り 13　つまり 81 = 17⋅4 + 13

よって、少し柔軟な見方をすると、入力値 n は任意の整数と考えられる（この柔軟さが Gauß の理論の出発点）。それでも、 n の値を mod 17 で（つまり 17 で割った余りで）整理すると、出力 (x₁)ⁿ は 17 種の値しか持ち得ない: n が 17 の倍数なら (x₁)ⁿ は実数値 1 を持ち（頂点0に当たる）、 n が 17 の倍数以外なら、それを 17 で割った余りに応じて、 (x₁)ⁿ は (x₁)^k, k = 1, 2, ···, 16 の 16 種の非実数値のいずれか（つまり頂点1～頂点16のどれか）に等しい。

§2.　16 種の非実数については、 (x₁)ⁿ, n = 1, 2, ···, 16 と表すのが単純で分かりやすいように思えるが、 n が ≡ 1, 2, ···, 16 (mod 17) の 16 種の値を過不足なく取るなら、どういう順序で n を並べても構わない。 g を mod 17 の原始根とすると、 16 種の値 n ≡ g^k (k = 0, 1, 2, ···, 15) は、まさにそのような性質を持つ。

〔補足〕　p を 3 以上の素数とする。 mod p の原始根 g とは、位数――すなわち gⁿ ≡ 1 (mod p) を満たす最小の正の整数 n ――が p−1 であるような g である。 g が原始根なら gⁿ (n = 0, 1, 2, ···, p−2) は、どれも不合同な（p で割った余りが異なる）値を持ち、それらの値は、全体として 1, 2, ···, p−1 と合同。

具体例として g = 3 を選択すると: 3⁰ = 1, 3¹ = 3, 3² = 9。以下、次々と 3 倍して 17 以上になったら 17 で割った余りに置き換えると: 3³ = 27 ≡ 10; 3⁴ ≡ 10⋅3 = 30 ≡ 13; 3⁵ ≡ 13⋅3 = 39 ≡ 5; 3⁶ = 5⋅3 = 15; 3⁷ = 15⋅3 = 45 ≡ 11; 3⁸ ≡ 11⋅3 = 33 ≡ 16 (≡ −1)
これで −1 が出たので、さらに次々と 3 倍すると、前記の数のマイナス・バージョンが生じる: −3, −9, −10, −13, −5, −15, −11, −16 (≡ 1)。これで 3⁰ = 1 に戻った（さらに続けたとすると、今のと同じ 16 個の数がループする）。マイナスの数は、 mod 17 では、17 を足した正の数と合同。表にまとめると:

mod 17 で考えた g = 3 の k 乗
k	0	1	2	3	4	5	6	7
3^k	1	3	9	10	13	5	15	11
k	8	9	10	11	12	13	14	15
3^k	16	14	8	7	4	12	2	6

(x₁)ⁿ の n に直接的に 1 ～ 16 を入れる代わりに、 3^k を入れても（k = 0, 1, 2, ···, 15）、全体として見れば (x₁) の指数として 1 ～ 16 を一回ずつ使ったのと同じことになる――順序は変わるが。指数の順序を単純に 1, 2, 3, 4, ··· とせず 1, 3, 9, 10, ··· などと奇妙に「シャッフル」することのメリットは、次第に明らかになるであろう。

円周17等分（正17角形の作図可能性など）に関連する伝統的な議論^†では、 k が偶数のときの上記 3^k の値（1, 9, 13 など）に対応する頂点（複素数）の和を A として、 k が奇数のときの 3^k の値（3, 10, 5 など）に対応する頂点（複素数）の和を B とする。つまり:
　　A = x₁ + x₉ + x₁₃ + x₁₅ + x₁₆ + x₈ + x₄ + x₂
　　B = x₃ + x₁₀ + x₅ + x₁₁ + x₁₄ + x₇ + x₁₂ + x₆

「頂点1」と「頂点16」、「頂点2」と「頂点15」などは、それぞれ横座標が同じで縦座標の符号だけが逆。 A の 8 項は、そのような 4 ペア（共役複素数）から成り、足し合わせると虚部が消滅して実数になる。 B の 8 項についても同様。この「虚部が消滅して、値が実数になってくれる」というだけでも A, B の設定は便利。単純に
　　A = x₁ + x₂ + ··· + x₈
などとしてしまっては、和が実数になってくれない。しかし「和が実数になってほしい」というだけなら、
　　A = (x₁ + x₁₆) + (x₂ + x₁₅) + (x₃ + x₁₄) + (x₄ + x₁₃)
のように、横軸を挟んで反対側の頂点とペアを作れば何でもいいはず; g^k を使うのには、もう少し深い意味がある。

†　慣用的に17乗根（一般に 1 の原始 p 乗根）の一つ（x₁ など）をギリシャ文字の ζ で表し、A, B をそれぞれ η₀, η₁ で表すことが多い。「1 の原始 p 乗根」と「mod p の原始根」は別の概念。

ちなみに、簡単化された「三角関数バージョン」のアプローチでは、最初から横座標 cos だけを使う。複素数 x_n の偏角を θ_n とすると:
　　a = cos θ₁ + cos θ₂ + cos θ₄ + cos θ₈
あるいは、同じことだが θ₁ = 360°/17 = 約 21° を G とすると:
　　a = cos G + cos 2G + cos 4G + cos 8G
この 4 項の和は、上記 A の和のうち、 x₁, x₂, x₄, x₈ の実部だけを考え、残りの 4 項 x₁₆, x₁₅, x₁₃, x₉ を無視したもの。考慮される 4 項と無視される 4 項は、実部がそれぞれ等しいので、 8 項の和 A と比べると、 4 項の和 a は、ちょうど半分の値を持つ（虚部はどちらも 0）。同様に 3G, 5G, 6G, 7G の cos の和として、 B の半分の b を構成できる。初期状態で項の数が半分なので計算量が削減され、複素数を使わずに議論を進めることも可能。

以下では簡略な「三角関数バージョン」を使わず、本来の 8 項の和を考える。

§3.　A, B の設定。2数の和と積（つまり A+B と AB）の値が分かれば、2次方程式 t² − (A+B)t + AB = 0 の解として A, B の根号表現を決定できる（A, B を簡略化した a, b についても同様）。よって A+B と AB の値が肝心で、特に作図可能性の証明では、それらが「有理数と平方根の組み合わせの範囲」で表現可能でなければならない。

仮定により x₁ は x¹⁶ + x¹⁵ + ··· + x + 1 = 0 の解、つまり (x₁₆ + x₁₅ + ··· + x₁) + 1 = 0 が成り立つので、
　　x₁, x₂, ···, x₁₆
の和は −1。それをどのように二つの組 A, B に分けても A + B = −1。しかし x₁, x₂ 等はどれも非実数なので、よほどうまく分けないと、「8項和」同士の積 AB は整数や有理数にならないだろう。

A の一つの項 x_m と B の一つの項 x_n の積は:
　　(x₁)^m⋅(x₁)ⁿ = (x₁)^m+n
指数 m+n を適宜 17 で割った余りで置き換えると、この積は (x₁)⁰ = 1 または x₁, ···, x₁₆ のどれか。しかし積 1 つまり m+n ≡ 0 は不可能。なぜなら、それが起きるためには m ≡ −n (mod 17) でなければならないが、われわれの設定では:
　　A 組が m ≡ ±1, ±2, ±4, ±8 に対応
　　B 組が m ≡ ±3, ±5, ±6, ±7 に対応
符号が反対の指数は必ず同じ組の中にあって、A 組のどれかと B 組のどれかが符号反対の指数を持つことはあり得ない。ゆえに、64個の積の内訳は:
　　x₁, ···, x₁₆ のそれぞれが 0 個以上（トータルで 64個）
つまり:
　　AB = c₁x₁ + c₂x₂ + ··· + c₁₆x₁₆　　各 c_k は x_k の個数（0 以上の整数）で総計 64

のみならず、組をさらに半々の項数に細分していって最終的に 2 項のペアになったとき、各ペアの指数は、何らかの n に関して ±n に対応する（言い換えれば、ペアは互いに逆数）。よって、符号が反対の指数の組は、必ずどれかのペアによって占有され、「あるペアと別のペアが符号反対の指数を持つこと」はない。その前段階の「二つのペアが集まった 4 項の小さな組」の指数は、何らかの ±m, ±n に対応している。よって、4 項の組と別の 4 項の組が符号反対の指数を持つこともなく、4 項ずつの二つの組を U, V とするなら、同じ
　　UV = c₁x₁ + c₂x₂ + ··· + c₁₆x₁₆　　c_k の合計は 16
の形を持つ（各 c_k の値は AB の場合と同じとは限らない）。

そうなる理由は、原始根 g の位数が p−1 であること（つまり g^p−1 ≡ 1）。原始根の性質上、その半分の指数ではまだ ≡ 1 にならず、従って g^(p−1)/2 ≡ −1 になること（これは Euler の基準とも関連）。よって指数 n = 3^k は順に次のパターンを持つ:
　　n₀ (≡ 1), n₁, n₂, n₃, n₄, n₅, n₆, n₇;
　　n₈ (≡ −1), −n₁, −n₂, −n₃, −n₄, −n₅, −n₆, −n₇;
このような 16項から、一つおきに 8 項ずつを取り出して A 組、B 組を作るなら、符号が反対の指数は全部、同じ組に入る。四つに一つの割合で 4 項ずつを取り出して四つの組を作る場合も、そうなる。八つに一つの割合で 2 項ずつを取り出して八つの組（ペア）を作るときも、そうなる。

重要なのはこの構造; 具体的な g = 3 という選択に、特別な意味はない。 g として 3 以外の原始根を使っても――「シャッフル」の仕方が変わり、組内の要素の順序・組の順序は変わるかもしれないが――、本質的に全く同じ議論が成り立つ。

§4.　今、簡潔化のため x₁ を単に z とすると、 A は ∑ z^R の形の和。ただし R は 3^k (k = 0, 2, 4, ···, 14) の値を持つ。この場合、指数 R = 3^k は 3 の偶数乗なので、 k = 2ℓ とすると ℓ は整数。よって 3^ℓ（あるいはその −1 倍）を平方すると 3^2ℓ = 3^k = R になる。要するに R は mod p の世界において平方根（r² ≡ R を満たす r）を持つ（このような数 R は、平方剰余と呼ばれる）。

対照的に B は ∑ z^N の形の和。ただし N は 3^k (k = 1, 3, 5, ···, 15) の値を持つ。この場合、上記と逆の理由から、 N は mod p では平方根を持たないことが示される（平方非剰余と呼ばれる）。要するに 16 個の非実数 zⁿ を A, B 二つの組に 8 項ずつ分けたことについて、表面的には n が原始根 3 の偶数乗か奇数乗かで振り分けたのだが、別の角度から言うと、 n が「平方剰余」か「平方非剰余」かで振り分けている。関連事項として、値 A − B は Gauß 和と呼ばれるものの一種で、「mod 17 の 0 以外の各要素 n に対する次の総和」に当たる:
　　∑ (n|17) zⁿ (n = 1, 2, ···, 16)
ここで (n|17) は Legendre 記号: n が mod 17 の平方剰余か非剰余かに応じて +1 または −1 の値を持つ。

さて、もし z を z^g で（つまり z³ で）置き換えたら、何が起きるか。言い換えると z = x₁ の代わりに、別の17乗根 z = (x₁)³ = x₃ を使うと？

もともと (x₁)ⁿ だった項は (x₃)ⁿ = ((x₁)³)ⁿ = (x₁)³ⁿ に変わるので、各項の指数は 3 倍される。つまり、もともと 3^k だった指数は 3^k+1 に。すると:
　　もともとの　A = (x₁)^3⁰ + (x₁)^3² + (x₁)^3⁴ + ··· + (x₁)^3¹⁴　は、
　　もともとの　B = (x₁)^3¹ + (x₁)^3³ + (x₁)^3⁵ + ··· + (x₁)^3¹⁵　と等しくなる。
　　もともとの B は　(x₁)^3² + (x₁)^3⁴ + (x₁)^3⁶ + ··· + (x₁)^3¹⁶　になるが、
　　それはもともとの A に等しい（なぜなら 3¹⁶ ≡ 1 ≡ 3⁰）。
要するに、 z の値を x₁ から x₃ に変えると、もともとの A と B は入れ替わる！

§5.　上記 Gauß 和 A − B の平方を考えてみたい――というのも (A + B)² − (A − B)² = 4AB であり A + B = −1 は既知なので、 (A − B)² を経由して積 AB について、手掛かりが得られるかも。 A − B は
　　(x₁)^3⁰ − (x₁)^3¹ + (x₁)^3² − (x₁)^3³ + ··· − (x₁)^3¹⁵
　　 = (x₁)¹ + (x₁)² − (x₁)³ + ··· + (x₁)¹⁶
のような値で、 16 個の17乗根が (x₁) のべきとして表現され、並んでいる（符号は指数が平方剰余なら正、非剰余なら負）。その平方は 256 項あるはずだが、どんなに項があっても、原理的に各項は ±(x₁)ⁿ (n = 0, 1, 2, ···, 16) のいずれかに等しい。この場合 ±1 の型の項（n = 0）は生じ得る; その型の項（+1 or −1）の合計を整数 s とする。それ以外の項については、 A, B そのものの定義と同様に (x₁)^{3^k} を使って表すことにして、各 k に対応する係数（+1 or −1）の合計を整数 d_k とする:
　　(A − B)² = s + d₀(x₁)^3⁰ + d₁(x₁)^3¹ + d₂(x₁)^3² + ··· + d₁₅(x₁)^3¹⁵
ここで x₁ を x₃ = (x₁)³ に置き換えると、左辺の A, B は入れ替わり、右辺において、整数 s, d₀, ···, d₁₅ は変わらないが、各指数 3^k は 3^k+1 に増える:
　　(B − A)² = s + d₀(x₁)^3¹ + d₁(x₁)^3² + d₂(x₁)^3³ + ··· + d₁₅(x₁)^3¹⁶

(A − B)² と (B − A)² は等しい。それぞれを展開した各項も、完全に一致。よって上記二つの等式において、 (x₁)¹ の係数、 (x₁)² の係数、 (x₁)³ の係数…は、それぞれ等しい――実際には (x₁)ⁿ の形式ではなく (x₁)^{3^k} の形式で表現されているのだが、対応する係数は一致: 下と上の (x₁)^3¹ の項の係数比較から d₀ = d₁ となり、 (x₁)^3² の項の係数比較から d₁ = d₂ となり、以下同様に進んで d₂ = d₃, d₃ = d₄, ··· となるので、結局、全ての d_k は同一の値 d を持つ。 3¹⁶ ≡ 1 ≡ 3⁰ (mod 17) なんで、上下の式の右辺では全17項が1対1対応。 (x₁)^{3^k} の一つ一つは (x₁)ⁿ のどれかと過不足なく一致するので、次の結論に至る:
　　(A − B)² = s + dx₁ + dx₂ + ··· + dx₁₆ = s + d(x₁ + x₂ + ··· + x₁₆) = s + d(−1) = 整数
　　∴　4AB = (A + B)² − (A − B)² = (−1)² − 整数 = 整数

よって AB = 整数/4 = 有理数（具体的には整数 or 整数の半分 or 整数の 4 分の 1）なので、作図可能性の証明に好都合な2次方程式が得られる。しかも、
　　AB = c₁x₁ + c₂x₂ + ··· + c₁₆x₁₆　　各 c_k は 0 以上で合計 64
ということが分かっている（§3）。これが有理数であるためには、 64 という項数を均等に 4 ずつ各 c_k に配分して、
　　AB = 4(x₁ + x₂ + ··· + x₁₆) = 4(−1) = −4
とするしかあるまい（厳密には証明が必要だが x₁ は既約の16次式の根なので、15次以下の多項式の根にはなり得ない）。ちなみに、そのことから:
　　(A − B)² = (A + B)² − 4AB = (−1)² − 4(−4) = 17
　　∴　A − B = ±√17
どちらの符号を選択するべきか直ちに明らかではないけど、この場合^†、幾何学的考察から A > B なんでプラスだろう。

「原始根 g に基づき 16 個の非実数を 8 項ずつ二つの組 A, B に分ける」という巧妙な設定（Gauß による）が、このような考察を可能にしてくれた。

†　「1 の17乗根として具体的にどの数値を選んだか？」によって、結論は変わり得る。実際 z = x₁ の代わりに z = x₃ とすると A, B の値が入れ替わり A − B と B − A の値も入れ替わるのだから、 A − B が一定という保証はない（= 0 でない限り）。

§6.　一般に p を 3 以上の素数とするとき、 1 の非実数の p 乗根は p−1 個ある。その一つを z とすると p−1 個の根たちは:
　　z, z², z³, ···, z^p−1

p についての仮定から p−1 は合成数; 何らかの二つの自然数 e, f を使って p−1 = ef と分解される（p−1 は偶数なので e = 2 という選択肢は常にあるが、それ以外の選択肢もあるかもしれない）。 e 個の組を考え、各組が f 項の和になるようにすること――それが Gauß のアイデアの基本仕様であり、実装においては mod p での原始根 g を利用して「g^k (k = 0, 1, 2, ···, p−2) と合同な指数 n を持つ zⁿ」を一定の順序で、周期的に e 個の組に振り分ける。 f 項の Gauß 周期と呼ばれる。項数 f が合成数なら、再びそれを f = EF のように分解して、 E 個の小さい組（各組は F 項）に細分できる。第二ステップ以降では、第一ステップで使ったインデックス k を等間隔で振り分ける。例えば p = 13 の場合、（e = 3 などからスタートすることも可能だが）仮に最初に e = 2 として、
　　A 組　k = 0, 2, 4, 6, 8, 10;
　　B 組　k = 1, 3, 5, 7, 9, 11;
と分けたとすると、各組は 6 項から成る。第二ステップでは、再び E = 2 として一つおきに
　　A₁ 組　k = 0, 4, 8　　A₂ 組　k = 2, 6, 10;
　　B₁ 組　k = 1, 5, 9　　B₂ 組　k = 3, 7, 11;
と細分することもできるし、あるいは E = 3 として、3 項につき 1 項を取り出して
　　A₁ 組　k = 0, 6　　A₂ 組　k = 2, 8　　A₃ 組　k = 4, 10;
　　B₁ 組　k = 1, 7　　B₂ 組　k = 3, 9　　B₃ 組　k = 5, 11;
と細分することもできるだろう。

e 項のものを E 項ずつに分割する操作は、もちろん有限ステップで停止する。特別な場合として、 p が Fermat 素数（2¹, 2², 2⁴, 2⁸, 2¹⁶, ··· のどれかに、 1 を足した数。それが素数になるケース）の場合、各ステップで「各組を二つの組に分割して、項数を半分（組の総数を 2 倍）にすること」ができる。例えば Fermat 素数 p = 17 = 2⁴ + 1 の場合、 p − 1 = 2⁴ = 16 を次々と半分にできる、 8, 4, 2 と。この操作は2次方程式を解くことと同等なので、 p が素数の場合、それが Fermat 素数なら、正 p 角形はコンパスと定規だけで作図可能。正5角形・正17角形が作図可能なのに正7角形が作図不可能なのも、 5, 17 は Fermat 素数だが 7 は違う、という理由による。

p = 17 のケースで、第2ステップ（以降）にも作図可能な数が得られること――それは §5 と同様の方法でも確認可能。例えば A を次のように分けた場合、A₁ + A₂ = A が作図可能な数であることは明白; 問題は積 A₁A₂ だが、この場合 x₁ をその 3² 乗である x₉ で置き換えれば、各指数 3^k は 3^k+2 に増えて A₁ と A₂ が入れ替わるだろう。
　　A₁ = (x₁)^3⁰ + (x₁)^3⁴ + (x₁)^3⁸ + (x₁)^3¹²
　　A₂ = (x₁)^3² + (x₁)^3⁶ + (x₁)^3¹⁰ + (x₁)^3¹⁴
この説明法が最善かどうかはともかく、積 A₁A₂ も作図可能な数であることの理論的裏付けが得られるだろう。よって和 A₁ と和 A₂ も、それぞれ作図可能な長さ。実際に計算を行えば、必ずそうなる――もはや「魔法のように」ではなく「当然のこととして」。

Gauß は、19歳のときのこの研究を誇りに思い、「自分の墓には正17角形を刻んでほしい」と願ったという（史実かどうかは不明）。これは実現されなかったらしい。時代背景として、正17角形のエレガントで実用的な作図法が発見されたのは、 Gauß が亡くなってから約40年後であった（とはいえ、その気になれば大きな碑を建てて、そこに近似的に正17角形を描くことは可能だっただろう）。

〔参考文献〕
[1] Ben Lynn: Number Theory, “23 Gaussian Periods”
https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numbertheory/book.pdf
[2] Mathews: Theory of numbers, Chap. VII
https://archive.org/details/theoryofnumbers00math/page/184/mode/1up
[3] Davenport: Multiplicative Number Theory, §§2–3