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二重・三重の根号（遊びの数論30）

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2024-06-23　円周16等分点・32等分点のタンジェント　tan (π/8), tan (π/16) など
2024-06-24　18° の倍数の角度に対する sin と cos　どの方法が実用的？
2024-06-26　24° に関連する問題　怠け心は成功の母
2024-06-28　cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192°　強引な解法
2024-06-30　cos 24° などの二重根号／三重根号表現の相互変換
2024-07-02　遊びの cos 5°　負数の平方根の二重根号除去など
2024-07-10　3分の1の角度と3次方程式　正しい計算は善にあらず
2024-07-13　3分の1の角度と3次方程式（その2）　カルダノの公式
2024-07-14　3分の1の角度と3次方程式（その3）　sin バージョン
2024-07-15　3分の1の角度と3次方程式（その4）　tan バージョン
2024-07-20　3分の1の角度の tan について

2024-06-23　円周16等分点・32等分点のタンジェント　tan (π/8), tan (π/16) など

tan (π/16) = √(4 + 2√2) − √2 − 1

34.　4倍角の公式の分母の零点から（§18）:
　　tan 22.5° = tan (π/8) = √2 − 1 = 0.4142135623 730950488…
　　tan 67.5° = tan (3π/8) = √2 + 1 = 2.4142135623 730950488…

半角の公式を使って、同じ値を求める。

その1　tan (θ/2) = sin θ/(1 + cos θ)

正弦と「半径+余弦」の比による、ベーシックな半角公式。 ∠COB = θ なら ∠COA = 180° − θ だが、二等辺三角形 COA の内角の和も 180° なので、△COA の底角の和は θ。よって ∠A = θ/2。

tan 22.5° = sin 45°/(1 + cos 45°) = (√2) / 2/(1 + (√2) / 2)
　　 = √2/(2 + √2)　　← 分子・分母を 2 倍した
　　 = √2(2 − √2)/[(2 + √2)(2 − √2)] = 2√2 − 2/(4 − 2) = √2 − 1

tan 67.5° = sin 135°/(1 + cos 135°) = [(√2) / 2]/[1 − (√2) / 2] = √2/(2 − √2) = √2(2 + √2)/(4 − 2) = √2 + 1

その2　tan (θ/2) = (1 − cos θ)/sin θ

正矢・正弦の比による、もう一つのベーシックな半角の公式。 ∠BCD + ∠B = 90° = ∠A + ∠B なので ∠BCD = ∠A = θ/2。

tan 22.5° = (1 − cos 45°)/sin 45° = [1 − (√2) / 2]/[(√2) / 2] = (2 − √2)/√2 = √2 − 1

tan 67.5° = (1 − cos 135°)/sin 135° = [1 − (−(√2) / 2)]/[(√2) / 2] = (2 + √2)/√2 = √2 + 1

〔注〕　最後の等号では、分子・分母の各項を √2 で約分。

その3　tan² (θ/2) = (1 − cos θ)/(1 + cos θ)

証明　加法定理（倍角の公式）から…
　　cos 2x = cos² x − sin² x = (1 − sin² x) − sin² x = 1 − 2 sin² x
　　∴　sin² x = (1 − cos 2x)/2　　『あ』
　　cos 2x = cos² x − sin² x = cos² x − (1 − cos² x) = 2 cos² x − 1
　　∴　cos² x = (1 + cos 2x)/2　　『い』
『あ』を『い』で割ると　tan² x = (1 − cos 2x) / (1 + cos 2x)
x = θ/2 と置くと　tan² (θ/2) = (1 − cos θ) / (1 + cos θ) ∎

tan² 22.5° = (1 − cos 45°)/(1 + cos 45°) = [1 − (√2) / 2]/[1 + (√2) / 2] = (2 − √2)/(2 + √2) = (2 − √2)²/[(2 + √2)(2 − √2)] = (2 − √2)²/2
　　∴　0 < tan 22.5° = (2 − √2)/√2 = √2 − 1

tan² 67.5° = (1 − cos 135°)/(1 + cos 135°) = [1 + (√2) / 2]/[1 − (√2) / 2] = (2 + √2)/(2 − √2) = (2 + √2)²/2
　　∴　0 < tan 67.5° = (2 + √2)/√2 = √2 + 1

別解（cos, sin の半角の公式）　『あ』から:
　　sin² 22.5° = (1 − cos 45°)/2 = (1/2)(1 − (√2) / 2) = (1/4)(2 − √2)
　　∴　0 < sin 22.5° = (1/2)√(2 − √2)
『い』から:
　　cos² 22.5° = (1 + cos 45°)/2 = (1/2)(1 + (√2) / 2) = (1/4)(2 + √2)
　　∴　0 < cos 22.5° = (1/2)√(2 + √2)
よって tan 22.5° = (1/2)√(2 − √2) ÷ (1/2)√(2 + √2) = √(2 − √2)/√(2 + √2) = (2 − √2)/√2 = √2 − 1

〔補足〕　後ろから2番目の等号では、分子・分母を √(2 − √2) 倍した。その結果、分子は (√(2 − √2))² = 2 − √2 になり、分母はこうなる:
　　√(2 + √2) √(2 − √2) = √[(2 + √2)(2 − √2)] = √(2² − 2) = √2
代わりに √(2 − √2) / √(2 + √2) = √[(2 − √2)/(2 + √2)] の根号下の分数の、分子・分母を 2 − √2 倍してもいい。その結果は:
　　√[(2 − √2)²/(4 − 2)] = √[(4 − 2⋅2√2 + 2)/2] = √(3 − 2√2)
この二重根号は除去可能: 3 − 2√2 = 2 − 2√2 + 1 = (√2 − 1)² なので。

同様に tan 67.5° = (1/2)√[2 + √2] ÷ (1/2)√[2 − √2] = √2 + 1

35.　8倍角の公式を使って、 22.5° = π/8 のさらに半分の角度⸺直角の 8 分の 1、つまり 11.25° = π/16 ⸺を単位とする角度の tan を考えてみたい。円周の32等分点に当たる。
　　tan 8θ = (8t − 56t³ + 56t⁵ − 8t⁷)/(1 − 28t² + 70t⁴ − 28t⁶ + t⁸)
ここで t = tan θ。分子の零点は、「直角の 8 分の 1 の角度」（11.25°）の偶数倍⸺つまり「直角の 4 分の 1 の角度」（22.5°）の整数倍⸺の θ に対応する; それらの tan θ については既知。一方、分母の零点は、「直角の 8 分の 1 の角度」の奇数倍の θ に対応する tan θ; それを求める。

z = t² と置いて、上記と逆順（次数の高い順）に書くと:
　　z⁴ − 28z³ + 70z² − 28z + 1 = 0　　【☆】
4次方程式の問題だ。仮に【☆】の左辺を変形して…
　　(z² − 14z + p)² − (qz + r)²　　【★】
…の形にできたとする（p, q, r の値は未知）。それを展開すると:
　　(z⁴ + 196z² + p² − 2⋅14z³ − 2⋅14pz + 2pz²) − (q²z² + 2qrz + r²)
　　 = z⁴ − 28z³ + (196 + 2p − q²)z² + (−28p − 2qr)z + (p² − r²)　　【★★】

【★★】が【☆】の左辺と等しいとすれば、2次・1次の係数、定数項の比較から:
　　196 + 2p − q² = 70　　‥‥①
　　−28p − 2qr = −28　　‥‥②
　　p² − r² = 1　　‥‥③

①から q² = 2p + 126、 ③から r² = p² − 1、その二つを辺々掛け算して:
　　q²r² = 2p³ + 126p² − 2p − 126　　‥‥④
②から 2qr = −28p + 28 つまり qr = −14p + 14、それを平方して:
　　q²r² = 196p² − 392p + 196　　‥‥⑤
④から⑤を辺々引き算して 0 = 2p³ − 70p² + 390p − 322、つまり:
　　p³ − 35p² + 195p − 161 = 0
これを満たす有理数 p があれば、定数項 −161 の約数 ±1, ±7, etc. のどれか。小さい順に試すと、解 p = 1 が見つかる。ゆえに q² = 2p + 126 = 128 = 8²⋅2、その正の平方根を考えると q = 8√2。一方、③に p = 1 を代入すると 1 − r² = 1 なので r = 0。結論として、次のように【☆】を【★】の形にできる:
　　z⁴ − 28z³ + 70z² − 28z + 1 = (z² − 14z + 1)² − (8√2 z)² = 0
　　すなわち　(z² − 14z + 1)² = (8√2 z)²

この最後の等式の両辺の平方根を考える; 次のどちらかが成り立たねばならない。
　　z² − 14z + 1 = (8√2)z　つまり　z² + (−14 − 8√2)z + 1 = 0　　『う』
　　または　z² − 14z + 1 = −(8√2)z　つまり　z² + (−14 + 8√2)z + 1 = 0　　『え』

これで4次方程式の問題を、2次方程式の問題にできた！

『う』の解は？　(−7 − 4√2)² = 49 + 2⋅28√2 + 32 = 81 + 56√2 なので、次の通り:
　　z = 7 + 4√2 ± √(80 + 56√2) = 7 + 4√2 ± 2√(20 + 14√2)
同様に『え』の解は:
　　z = 7 − 4√2 ± 2√(20 − 14√2)

t² = z だから、求めるタンジェント t = tan θ は、上記四つの解 z の平方根。それは…
　　t = √[7 + 4√2 ± 2√(20 + 14√2)]　　『お』
…のような数だが、この三重根号を簡約できるか？　基本の手順に従い、根号下の数の平方差を計算:
　　(7 + 4√2)² − 4(20 + 14√2) = (81 + 56√2) − (80 + 56√2) = 1
結果は平方数 1 = 1² なので、その平方根 1 と 7 + 4√2 の平均 U を求めると（足して 2 で割ると）、 U = 4 + 2√2; そして 7 + 4√2 と U のずれ V を求めると V = 3 + 2√2。従って、次のように三重根号を二重根号にできる！
　　√[7 + 4√2 ± 2√(20 + 14√2)] = √(4 + 2√2) ± √(3 + 2√2)

右辺の二重根号をさらに簡約できるか？　第一の根号については、根号下の平方差 4² − 2²⋅2 = 8 が平方数でないので、簡約できない。第二の根号については、平方差 3² − 2²⋅2 = 1 が平方数なので、簡約可能: 1（その平方数の平方根）と 3 の平均 u は = 2、そして 3 と u のずれは v = 1。従って、次のように二重根号を外せる！
　　√(3 + 2√2) = √2 + √1 = √2 + 1
以上をまとめると、『う』の解 z の、正の^†平方根として得られる t = tan θ は:
　　t = √[7 + 4√2 ± 2√(20 + 14√2)] = √(4 + 2√2) ± (√2 + 1)　　『うう』

同様の根号簡約を『え』の解 z に対して行うと:
　　t = √[7 − 4√2 ± 2√(20 − 14√2)] = √(4 − 2√2) ± (√2 − 1)　　『ええ』

数値的には √(4 + 2√2) = 2.6…, √2 + 1 = 2.4…, √(4 − 2√2) = 1.0…, √2 − 1 = 0.4… なので^‡、大ざっぱに『うう』は 5.0 と 0.2、『ええ』は 1.4 と 0.6。 0° < θ < 90° の範囲では、 θ が大きくなればなるほど正の数 tan θ も大きくなるので、『うう』は最大と最小の正の解に当たり、『ええ』はそれ以外の二つの正の解に当たる。要するに…
　　tan (π/16) = √(4 + 2√2) − √2 − 1
　　tan (3π/16) = √(4 − 2√2) − √2 + 1
　　tan (5π/16) = √(4 − 2√2) + √2 − 1
　　tan (7π/16) = √(4 + 2√2) + √2 + 1

†　『う・え』の解 z の負の平方根も、 t² = z の t として有効な解。それらは、上記四つの tan の符号を変えたもの:
　　tan (−(π/16)) = −tan (π/16) = −√(4 + 2√2) + √2 + 1　等々
8倍角の公式の分母は8次式なので、八つの根を持つ（絶対値が同じで符号が反対の、四つのペア）。

‡　27² = (3³)² = (3²)³ = 9³ = 729 なので、2.7² = 7.29。一方、 2.6² = 4(1.3)² = 4(1.69) = 6.76。よって 4 + 2√2 = 4 + 2.82… = 6.82… の（正の）平方根は 2.6 より大きいが 2.7 より小さい。 (1.0)² = 1.0, (1.1)² = 1.21 なので、 4 − √2 = 4 − 2.82… = 1.17… の平方根は 1.0 より大きく 1.1 より小さい。

〔追記〕　【☆】の z⁴ − 28z³ + 70z² − 28z + 1 = 0 で y = z + 1/z と置くと y² − 28y + 68 = 0。それを解くと:
　　z + 1/z = y = 14 ± 8√2
両辺を z 倍して整理すると z² − (14 ± 8√2)z + 1 = 0; これは『う・え』と同じ。（2024年7月11日）

36.　前節では tan (π/16) などの根号表現を求めた。検算を兼ね、半角の公式経由で同じものを求める。簡潔化のため √2 を ɡ と略す（従って ɡ² = 2）。
　　cos (π/8) = (1/2)√[2 + √2] = (1/2)√(2 + ɡ)　　← §34・別解参照
　　tan² (π/16) = [1 − cos (π/8)] / [1 + cos (π/8)]　　← §34・その3参照

従って:
　　tan² (π/16) = (1 − (1/2)√(2 + ɡ)) / (1 + (1/2)√(2 + ɡ)) = (2 − √(2 + ɡ)) / (2 + √(2 + ɡ))
　　 = (2 − √(2 + ɡ))² / [(2 + √(2 + ɡ))(2 − √(2 + ɡ))]
　　 = [4 − 2⋅2√(2 + ɡ) + (2 + ɡ)] / [4 − (2 + ɡ)] = [(6 + ɡ) − 4√(2 + ɡ)] / (2 − ɡ)
　　 = [(6 + ɡ) − 4√(2 + ɡ)](2 + ɡ) / (4 − ɡ²)
　　 = [(12 + 6ɡ + 2ɡ + ɡ²) − (8 + 4ɡ)√(2 + ɡ)] / 2
　　 = [(14 + 8ɡ) − (8 + 4ɡ)√(2 + ɡ)] / 2 = (7 + 4ɡ) − (4 + 2ɡ)√(2 + ɡ)

この数（A とする）の平方根を簡約できるか調べるため、次の平方差に注目する^†:
　　(7 + 4ɡ)² − [(4 + 2ɡ)√(2 + ɡ)]² = 1
1 は平方数なので、以下 §35 と同じ: √A = √(4 + 2ɡ) − √(3 + 2ɡ) 等々。

†　(49 + 2⋅28ɡ + 16ɡ²) − [(16 + 2⋅8ɡ + 4ɡ²)(2 + ɡ)] = (81 + 56ɡ) − [(24 + 16ɡ)(2 + ɡ)]
= (81 + 56ɡ) − (48 + 24ɡ + 32ɡ + 16ɡ²) = (81 + 56ɡ) − (80 + 56ɡ) = 1
[ ] 内の平方 = 80 + 56ɡ については、次のように考えた方がいくらか見通しが良いかもしれない:
　　(4 + 2ɡ)√(2 + ɡ) = 2(2 + ɡ)√(2 + ɡ) = 2(2 + ɡ)^3/2 = 2(20 + 14ɡ)^1/2
　　∴　[(4 + 2ɡ)√(2 + ɡ)]² = 2²(20 + 14ɡ) = 80 + 56ɡ
ただし途中計算で (2 + ɡ)³ = 8 + 3⋅4ɡ + 3⋅2ɡ² + ɡ³ = 8 + 12ɡ + 12 + 2ɡ = 20 + 14ɡ という関係を使った。
√A は、 §35 の『お』の複号でマイナスを選んだ場合に当たる。

一方、『い』を使うと cos² 67.5° = (1 + cos 135°)/2 = (1 − (√2) / 2)/2 = (2 − √2)/4
　　∴　0 < cos (3π/8) = (1/2)√[2 − √2] = (1/2)√(2 − ɡ)

従って:
　　tan² (3π/16) = (1 − (1/2)√(2 − ɡ)) / (1 + (1/2)√(2 − ɡ)) = (2 − √(2 − ɡ)) / (2 + √(2 − ɡ))
　　 = (2 − √(2 − ɡ))² / [(2 + √(2 − ɡ))(2 − √(2 − ɡ))]
　　 = [4 − 2⋅2√(2 − ɡ) + (2 − ɡ)] / [4 − (2 − ɡ)] = [(6 − ɡ) − 4√(2 − ɡ)] / (2 + ɡ)
　　 = [(6 − ɡ) − 4√(2 − ɡ)](2 − ɡ) / (4 − ɡ²)
　　 = [(12 − 6ɡ − 2ɡ + ɡ²) − (8 − 4ɡ)√(2 − ɡ)] / 2
　　 = [(14 − 8ɡ) − (8 − 4ɡ)√(2 − ɡ)] / 2 = (7 − 4ɡ) − (4 − 2ɡ)√(2 − ɡ)　　以下同様。

tan (3π/8) = √2 + 1 と tan (π/8) = √2 − 1 はシンプル。当然…
　　tan (±3π/8) = ±(√2 + 1)　そして　tan (±π/8) = ±(√2 − 1)
…となるわけだが、前者に √(4 + 2√2) を足すと tan (7π/16) と tan (π/16) になり、後者に √(4 − 2√2) を足すと tan (5π/16) と tan (3π/16) に。特に:
　　tan (7π/16) = cot (π/16) = √(4 + 2√2) + √2 + 1 = 5.027339…
　　tan (π/16) = √(4 + 2√2) − √2 − 1 = 0.198912…

この二つは、互いに逆数。実際 (√2 + 1)² = 3 + 2√2 なので:
　　[√(4 + 2√2) + (√2 + 1)][√(4 + 2√2) − (√2 + 1)] = (4 + 2√2) − (3 + 2√2) = 1

同様に:
　　tan (5π/16) tan (3π/16) = [√(4 − 2√2) + (√2 − 1)][√(4 − 2√2) − (√2 − 1)] = (4 − 2√2) − (3 − 2√2) = 1

これら四つの tan の求め方はいろいろあるだろうが、大抵、多重根号の処理が問題となるようだ。4次方程式（四つの tan それぞれの平方を根とする）を解いた場合、 tan の値が最初は三重根号で表され、その三重根号が二つの二重根号に簡約され、さらにその二重根号の片方を外すことができる⸺「複雑に絡まったものが、ほどけてく」みたいで、緊張がほぐれるような気持ちの良さがある。

2024-06-24　18° の倍数の角度に対する sin と cos　どの方法が実用的？

#遊びの数論　#1 の原始根　#角の等分

「18° の倍数の角度」に対する三角関数の値は、いろんな方法で求められるが、代表的な三つの方法には、どれも短所がある⸺

（１）　即物的手段は「5倍角の公式」だが、「5倍角」を整然と扱うには、それなりの準備が必要。加法定理から力任せに積み上げると、かなり面倒。

（２）　やり方さえ知ってれば、作図から cos 36° を求めるのが軽妙。だが、幾何学的方法には「知らないと思い付けない」という欠陥があり、21世紀の感覚と合わない面もある。急いでるとき「この三角形とあの三角形は相似だから、辺の比が…」などと悠長な議論をされると、「めんどくせぇな。方程式を立てて機械的にスパッとできねぇのか？」という邪心が芽生えてくる。ギリシャ2000年の伝統をまったり楽しみたい気分のときは、いいんだけどね…

（３）　cos 72° = sin 18° は 1 の原始5乗根の実部なので、 z⁵ = 1 を直接解く⸺これが現代の感覚だろう。ところが z⁵ − 1 の因子の4次式の根を求めるのは、4次方程式の問題。 z + 1/z を y と置けば2次方程式の問題になるが、どっちにしても「やり方を知らないとできないトリック」に依存する。素朴に sin 18° だけ欲しいとき、4次方程式やら複素数やらってのもオーバースペック気味だし…

折衷案として、「多倍角の公式を使うが、5倍角ではなく3倍角までで勘弁してもらう」という方法を紹介したい。

〔注〕　18°, 36°, 54°, 72° の四つの角度に対する sin θ と cos θ は、単純に考えると「全部で 4 × 2 = 8 種類の値」のようだが、実際には「4 種類の値」しかない。任意の θ に対し cos θ = sin (90° − θ), sin θ = cos (90° − θ) なので…。例えば cos 18° の値と sin 72° の値は同じ。

37.　三角関数の基本性質として sin 36° = cos 54° という等式が成り立つ⸺「それが具体的にどういう数値か？」は不明かもしれないが、とにかくその二つの数は等しい。そのことを利用して、 sin 18° = cos 72° の具体的な値を求める。

θ = 18° とすると、 sin 36° = cos 54° は…
　　sin 2θ = cos 3θ　　『か』
…を意味する。倍角の公式・3倍角の公式を使って『か』をばらすと:
　　2 sin θ cos θ = 4 cos³ θ − 3 cos θ　　『が』
cos θ = cos 18° は 0 でないので、『が』の両辺を cos θ で割ることができ、その結果は:
　　2 sin θ = 4 cos² θ − 3　つまり
　　2 sin θ = 4(1 − sin² θ) − 3

sin θ = sin 18° を x とすると、上の式は x についての2次方程式…
　　2x = 4(1 − x²) − 3　つまり
　　2x = 4 − 4x² − 3　すなわち　4x² + 2x − 1 = 0
…なので、機械的に解くことができる:
　　x = [−1 ± √(1² − 4(−1))]/4 = (−1 ± √5)/4

求めたい値 x = sin 18° は正、 √5 = 2.236… なので、複号の + が題意に適する:
　　sin 18° = cos 72° = (−1 + √5)/4　　『き』

数値的には (−1 + 2.236…)/4 = (1.236…)/4 = 0.309… に当たる。順調な出だしだぜ！

次に『き』を使って cos 18° = sin 72° を求める。こっちは根号が二重になるが、順を追って考えると…
　　cos² 18° = 1 − sin² 18° = 1 − ((−1 + √5)/4)²
(−1 + √5)² = 1 − 2√5 + 5 = 6 − 2√5 なので、上の ( )² の部分を展開すると:
　　cos² 18° = 1 − (6 − 2√5)/16 = (10 + 2√5)/16
両辺の正の平方根から:
　　cos 18° = sin 72° = [√(10 + 2√5)]/4　　『く』

これで 18° と 72° に対する cos, sin が求まった。複素平面上で考えるなら 1 の原始5乗根の根号表現を得る。

1 の原始5乗根（主値）　cos 72° + i sin 72° = (−1 + √5)/4 + i [√(10 + 2√5)]/4

38.　θ = 18° は、もちろん等式『か』 sin 2θ = cos 3θ を満たす（それが議論の出発点だった）。だが、もし θ を未知の角度とした場合、その逆の主張は成り立たない: sin 2θ = cos 3θ が成り立つからといって θ = 18° とは限らない。

事実 cos 18° = sin 72° なので、（その両辺の −1 倍を考えると） −cos 18° と −sin 72° は等しい。今 θ = −54° と仮定すると…
　　sin 2θ = sin (−108°) = −sin 108° = −sin 72°
　　cos 3θ = cos (−162°) = cos 162° = −cos 18°
この二つの値が等しいのだから、 θ = −54° のときも、等式『か』は成り立つ。『き』では複号の + を選んだが、もしも − を選んでいたら、結果は次の負数になっていた:
　　x = sin (−54°) = (−1 − √5)/4
　　∴　sin 54° = cos 36° = (1 + √5)/4　　『ぎ』

cos 36° は、数値的には (1 + 2.236…)/4 = (3.236…)/4 = 0.809… に当たる。

『ぎ』を使って sin 36° = cos 54° を求める。
　　sin² 36° = 1 − cos² 36° = 1 − ((1 + √5)/4)²
(1 + √5)² = 1 + 2√5 + 5 = 6 + 2√5 なので:
　　sin² 36° = 1 − (6 + 2√5)/16 = (10 − 2√5)/16
両辺の正の平方根から:
　　sin 36° = cos 54° = [√(10 − 2√5)]/4　　『ぐ』

18° の倍数の sin, cos
　　cos 72° = sin 18° = (−1 + √5)/4　そして　sin 72° = cos 18° = [√(10 + 2√5)]/4
　　cos 36° = sin 54° = (1 + √5)/4　そして　sin 36° = cos 54° = [√(10 − 2√5)]/4

θ = 18°, 36°, 54°, 72° に対する sin θ と cos θ が簡潔に求まった！

39.　§37 では『か』を cos θ についての3次式『が』に変形し、その両辺を cos θ で割ることで（cos 18° ≠ 0 を根拠に、この割り算を正当化した）、2次方程式を得た。「このような割り算によって、3次式が2次式になる」ということは、「もし θ を変数とするなら cos θ = 0 は『が』の（従って『か』の）自明な解」ということを暗示している。

実際、もし cos θ = 0 なら（360° の整数倍の違いを無視して） θ = ±90° なので、そのときには…
　　sin 2θ = sin (±180°) = 0
　　cos 3θ = cos (±270°) = 0
この二つの値も等しいので、 θ = ±90° のときも、等式『か』は成り立つ。

〔注〕　0 = 0 なんていう「自明な等式」に実用上の興味はないが、理論上は「それも解だよ」と。

§37 では天下り的に sin 36° = cos 54° からスタートしたが、 cos 36° = sin 54° からスタートすることも可能。最初と同じように θ = 18° を定数と仮定する。ただし『か』の sin 2θ = cos 3θ の代わりに、次の関係を使ってみる。
　　cos 2θ = sin 3θ　　『け』
倍角・3倍角の公式を使って、これをばらすと:
　　cos² θ − sin² θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ　つまり
　　(1 − sin²θ) − sin² θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ
x = sin θ と置くと:
　　1 − x² − x² = 3x − 4x³　すなわち
　　4x³ − 2x² − 3x + 1 = 0　　『こ』

3次方程式『こ』が有理数解を持つとすれば、その解は、定数項 1 の約数 ±1 またはその 1/2 or 1/4 だが、実際に試すと x = 1 が解であることはすぐ分かる。よって『こ』の左辺は x − 1 で割り切れる。実際に割ってみると…

        4x^2 + 2x   - 1
      ┌─────────────────────
x - 1 │ 4x^3 - 2x^2 - 3x + 1
        4x^3 - 4x^2
        ───────────
             + 2x^2 - 3x
               2x^2 - 2x
               ─────────
                     - x + 1
                     - x + 1
                     ───────
                           0

結局『こ』は…
　　(x − 1)(4x² + 2x − 1) = 0
…と分解される。この場合も x = sin θ = 1 つまり θ = ±90° は一つの解（自明な解）というわけ。以下、「自明な解」以外（つまり x ≠ 1 の場合）を考える。その場合には x − 1 ≠ 0 なので、上の等式の両辺を x − 1 で割ることができ、こうなる。
　　4x² + 2x − 1 = 0
これは §37 で解いたのと同じ2次方程式なんで、後は全く同じ議論に。 sin 36° = cos 54° の代わりに cos 36° = sin 54° からスタートしても同じ結論に至ることが分かった。

〔付記〕　同じ結論になるだけで何の新たな成果もないようだが（sin 36° = cos 54° から始めて答えは全部出てるのに、わざわざ別の経路でやるのは無駄なようだが）、「教科書の sin 36° = cos 54° をひっくり返して cos 36° = sin 54° から始めたらどーなるんだろ？」という好奇心が満たされた。ひっくり返しにやると、途中で3次式を分解する手間が増える。大した手間じゃないけど、教科書ではそれを嫌って sin 36° = cos 54° からスタートしてるんだろう。

不思議なもんで、こんなふうに「こじんまり」とまとめると、今度は逆に「これでは本質が見えてこない。複素数の範囲で5次方程式を解くのが、最も透明だろう」といった思いも生じる。どの方向から料理しても「帯に短し、たすきに長し」といった感じ…。「1 の原始5乗根」というのは、ギリシャ以来の古典幾何学（正五角形）と、複素数ベースの近代的な数論（円分多項式）の両方にまたがる話題で、どっちか一方の側からのアプローチをすると、他方の文脈では不満が残るのかもしれない。

〔参考文献〕　Casey, Trigonometry, p. 44
https://archive.org/details/treatiseonplanet00caseuoft/treatiseonplanet00caseuoft/page/44/mode/1up

2024-06-26　24° に関連する問題　怠け心は成功の母

#遊びの数論　#1 の原始根　#角の等分

問題　cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192° = 1/2 を証明せよ。

少し考えると、円分多項式 Φ₁₅ の根の和の半分ということが分かり、具体的な cos の値は必要ない。それはいいのだが、 Φ₁₅ を導出するには、地道に割り算するしかないのだろうか。5分もあれば完了する単純作業とはいえ、少々面倒くさい。何とか手抜きはできないものか…？

5分の手間を惜しんで、何十分も熟慮・検討⸺楽をするためなら、どんな苦労もいとわない（←矛盾）

そのとき電球がともった！ｗ

40.　cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192° とは、画像の A, B, C, D′ の横座標の和に他ならない。

複素平面上の数としての A, B, C, D; A′, B′, C′, D′ は、 1 の原始15乗根（4組の共役複素数）。この八つの数を根とする8次式を構成すれば、根と係数の関係から、7次の係数が根の和の −1 倍; その係数が −1 であることを示せば、
　　A + B + C + D + A′ + B′ + C′ + D′
　　 = 2(cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192°) = 1　　『さ』
…となって証明完了。

〔注〕　A と A′、 B と B′ などの各ペアは、それぞれ共役: 実部が同じなので、 cos に関する限り、ペアになってる二つの点のどっちの偏角を使ってもいい; 虚部は「絶対値が同じで符号だけ反対」なので、足し合わせると消滅:
　　A + A′ = (cos 24° + i sin 24°) + (cos 24° − i sin 24°) = 2 cos 24°　等々

z¹⁵ = 1 すなわち z¹⁵ − 1 = 0 の左辺を分解して、「原始15乗根でない15乗根」を根とする因子を除去すれば、そのような8次式が得られる。まず…
　　z¹⁵ − 1 = (z⁵)³ − 1 = (z⁵ − 1)(z¹⁰ + z⁵ + 1)

右辺の因子 z⁵ − 1 = (z − 1)(z⁴ + z³ + z² + z + 1) は、1 の15乗根のうち、 1 という数（一つ）とその原始5乗根（四つ）の計 5 個の根を持つ。もう一つの因子 z¹⁰ + z⁵ + 1 は、1 の15乗根のうち、それ以外のもの⸺原始3乗根（二つ）と原始15乗根（八つ）の計 10 個⸺の根を持つ。よって、z¹⁰ + z⁵ + 1 は、原始3乗根を根とする z² + z + 1 で割り切れる。

この「10次式 ÷ 2次式」の筆算を実直にやれば、商は望みの8次式⸺この割り算は、さほど大変でもない。もはや証明できたも同然。

だが、どーも「この割り算、したくねーな」という感じが…

割り算回避の方法を検討: y = z + 1/z と置けば、10次式が5次式になり、計算量・半額セール。それも悪くないけど z と y の相互変換の手間がかかるし、5次式といえども、割り算自体をしたくない。理由は分からないが、なぜかそう感じてしまう…

そのとき、ひらめいた⸺この割り算、必要ねーじゃんっ！　分解未完了で、原始根以外の余計な根が混ざってる10次式だけど、余計な根の正体が図の W, W′ であることは分かってる: その二つの複素数は、 1 の原始3乗根（通例 ω と ω² で表される）; ω + ω² = −1 はハッキリしてるので、引き算で簡単に除去できる。具体的に、10次の因子 z¹⁰ + z⁵ + 1 の9次の係数は 0 なので、10個の根の和は:
　　A + B + C + D + A′ + B′ + C′ + D′ + W + W′ = 0
ところが W + W′ = −1 なのだから、
　　A + B + C + D + A′ + B′ + C′ + D′ + (−1) = 0
　　∴　A + B + C + D + A′ + B′ + C′ + D′ = 1
つまり『さ』が成り立つ。∎

41.　別解。今証明した式はそれなりに有名らしく Wikipedia でも言及されてるし^†、教科書の「和→積」の公式の節の、練習問題ともなっている^‡。

†　The following is perhaps not as readily generalized to an identity containing variables (but see explanation below)
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Identities_without_variables

‡　Casey, p. 63, 30.
https://archive.org/details/treatiseonplanet00caseuoft/treatiseonplanet00caseuoft/page/63/mode/1up

参考までに「和→積」の公式を使ってみる。
　　cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
　　cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
この二つを縦に足すと:
　　cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β
x = α + β, y = α − β と置くと x + y = 2α つまり α = (x + y)/2; そして x − y = 2β つまり β = (x − y)/2 なので、上の式はこうなる。

cos の「和→積」の公式
　　cos x + cos y = 2 cos [(x + y)/2] cos [(x − y)/2]

〔補足〕　cos x + cos y と cos y + cos x は等しいので、左辺の二つの角度のうち、どっちを x、どっちを y と見てもいい。つまり右辺の [(x − y)/2] の分子は、どっちからどっちを引いてもいい。

さて、問題の cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192° つまり…
　　cos (2π/15) + cos (4π/15) + cos (8π/15) + cos (16π/15)
　　 = cos (2π/15) + cos (4π/15) + cos (8π/15) + cos (14π/15)　　『し』
…は、次の形式を持つ:
　　cos a + cos b + cos c + cos (a + b + c)　　『す』
便宜上、問題を少し一般化して、任意の a, b, c について、この形の「四つの cos の和」を考えてみたい。「和→積」の公式を使うと…
　　最初の2項　cos a + cos b = 2 cos [(a + b)/2] cos [(a − b)/2]
　　残りの2項　cos c + cos (a + b + c) = 2 cos [(a + b + 2c)/2] cos [(a + b)/2]
よって4項全部の和は（上記2式の右辺の和を考え、共通因数でくくる）:
　　cos a + cos b + cos c + cos (a + b + c)
　　 = 2 cos [(a + b)/2] {cos [(a − b)/2] + cos [(a + b + 2c)/2]}
　　 = 2 cos [(a + b)/2] {2 cos [(a + c)/2] cos [(b + c)/2]}　　← 下記〔注〕参照
　　 = 4 cos [(a + b)/2] cos [(b + c)/2] cos [(c + a)/2]　　『ず』

〔注〕　{ } 内の変形では、 x = (a + b + 2c)/2, y = (a − b)/2 として、上記「和→積」の公式を使った。こうなる:
　　(x + yb)/2 = [(a + b + 2c)/2 + (a − b)/2]/2 = [(2a + 2c)/2]/2 = (a + cb)/2
　　(x − yb)/2 = [(a + b + 2c)/2 − (a − b)/2]/2 = [(2b + 2c)/2]/2 = (b + c)/2

任意の a, b, c について『す』と『ず』が等しい、ってことが分かった。

〔例〕　a = 2°, b = 4°, c = 6° とすると:
　　cos 2° + cos 4° + cos 6° + cos 12° = 4 cos 3° cos 4° cos 5°
なかなか面白い！

『す』で a = 2π/15, b = 4π/15, c = 8π/15 とした場合が『し』。そのとき…
　　(a + b)/2 = 6π/15 = 2π/5
　　(b + c)/2 = 12π/15 = 4π/5
　　(c + a)/2 = 10π/15 = 2π/3　　← 120°　この数の cos は = −1/2
…となるから、『す』に等しい『ず』の形は、こうなる:
　　『し』 = 4 cos (2π/5) cos (4π/5) cos (2π/3) = −2 cos (2π/5) cos (4π/5)
「和→積」の逆の「積→和」の公式を使うと^†:
　　 = −2⋅1/2 (cos (6π/5) + cos (2π/5))
　　 = −[cos (6π/5) + cos (2π/5)] = −[cos (4π/5) + cos (2π/5)]
「マイナス½の定理」から^‡、この [ ] 内は −1/2 に等しい。よって『し』は +1/2 に等しい。∎

†　直接 cos 72° と cos 144° の値を使う手もある。
　　cos 72° = (−1 + √5)/4
　　cos 144° = −cos 36° = (−1 − √5)/4
…なので（『き』・『ぎ』参照）:
　　−2 cos (2π/5) cos (4π/5) = −2 ((−1 + √5)/4)((−1 − √5)/4) = −2 ((1 − 5)/16) = 1/2

‡　複素数を使っていいなら、前節同様、4種類の「1 の原始5乗根」を足し合わせた和の半分…と考えた方が手っ取り早い。
　　z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0
…の4解の和は −1 なので、その半分は −1/2。

恒等式『す』=『ず』はすてきだけど、「和→積」経由での証明は、真意が分かりにくい。

この問題は「円分多項式の根の和」の半分と見るのが、自然で透明だろう。もし素直に円分多項式…
　　Φ₁₅ = z⁸ − z⁷ + z⁵ − z⁴ + z³ − z + 1　　『せ』
　　↑　6次と2次の項がなく、残りの係数は交互に ±1。回文的。
…を考えるなら、その根（1 の原始15乗根）の和は、7次の係数の符号を変えた +1; 根の和の半分は 1/2。

代わりに恒等式 a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1) に a = z⁵ を代入して z¹⁵ − 1 = 0 の左辺の10次の因数…
　　z¹⁰ + z⁵ + 1　　『そ』
…を考えると、『そ』の根の和が 0 であること、『そ』の根のうち（原始15乗根以外の）二つの和は ω + ω² = −1 であることから、『せ』を持ち出さずに、同じ結論を得ることができる。

単に『そ』を z² + z + 1 という因子（その根は ω, ω²）で割れば『せ』になる。実用上、余計なことを考えず、その割り算をした方が手っ取り早いかもしれない。割り算をすれば、容易に次の分解を得る。
　　z¹⁰ + z⁵ + 1 = (z² + z + 1)(z⁸ − z⁷ + z⁵ − z⁴ + z³ − z + 1)
だが「その割り算をしたくねーな」という怠け心がモチベーションとなって、『そ』経由の方法が見つかった。

2024-06-28　cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192°　強引な解法

#遊びの数論　#1 の原始根　#角の等分

cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192° = 1/2 を直接計算で示す。

前回は、普通に根と係数の関係を使ったり、別解として「和→積」の変換を使ったりしたが、原始15乗根の実部・虚部は、有理数の加減乗除と平方根の組み合わせだけで表現可能（15 = 3 × 5 の素因数 3, 5 は、どちらも 1 を引くと 2ⁿ の形なので）。その範囲で cos 24° などを直接求め、直接足し算することも、難しくない。

42.　複素平面上、「単位円（原点 O を中心とする）に内接する正15角形」の頂点を考える。一つの頂点を P = 1 + i0 とする。反時計回りに P の隣の頂点 A は、偏角 ∠AOP = 24° を成す。 P の2個先の頂点 B は ∠BOP = 48° を成し、 P の3個先の頂点 Q は ∠QOP = 72° を成す。等々。いずれも円周15等分点。

P を 0 番として、「3 の倍数」番目の頂点を結べば、正五角形 PQRR′Q′ が得られる。これらは特別な円周15等分点で、円周5等分点。
　　Q = cos 72° + i sin 72° = (1/4)(−1 + √5) + (i/4)√(10 + 2√5)
　　R = cos 144° + i sin 144° = (1/4)(−1 − √5) + (i/4)√(10 − 2√5)
…と、それらの虚部の符号を変えた Q′, R′ は、 1 の原始5乗根。

「5 の倍数」番目の頂点を結べば、正三角形 PWW′ が得られる。これらは円周3等分点。
　　W = cos 120° + i sin 120° = −1/2 + (i√3)/2
　　W′ = cos (−120°) + i sin (−120°) = −1/2 − (i√3)/2
…は 1 の原始3乗根。どの頂点から見ても、5個前方・5個後方の頂点は、偏角が相対的に ±120° の位置。ある頂点 Z の座標が (x, y) なら⸺つまり複素数として Z = x + iy なら⸺、その ±120° の位置の頂点は、複素数としては x + iy の W 倍ないし W′ 倍に当たる。

120° 前方（反時計回り）の点は:
　　ZW = (x + iy)(−1/2 + (i√3)/2) = (1/2)(−x − y√3) + (i/2)(−y + x√3)
120° 後方の点は:
　　ZW′ = (x + iy)(−1/2 − (i√3)/2) = (1/2)(−x + y√3) + (i/2)(−y − x√3)

係数 1/2 を脇へ置き、それ以外の部分に注目すると、 +120° 回転後の実部・虚部は、それぞれもともとの実部・虚部（つまり x, y）の符号を変えたもの^†に基づく。回転後の実部では、もともとの虚部の √3 倍がそこから引き算され^‡、回転後の虚部では、もともとの実部の √3 倍がそこに足し算される。 −120° 回転の場合もほとんど同じだが、 √3 倍の加減については、 +120° 回転の場合と逆に、回転後の実部が足し算・虚部が引き算。

†　120° 回転は 180° 反転に近いので、大ざっぱに言えば符号が逆になる。実際 W, W′ = −1/2 ± … を掛ければ、実部・虚部は、とりあえずどちらも −1/2 倍される。ただし、100パーセント符号が変わるとは限らない。例えば、偏角 −60° の点（第4象限）を +120° 回転した場合、結果は偏角 +60° で第1象限: 虚部の符号は変わるが、実部の符号はプラスのまま。

‡　引き算が発生する理由について: Z の偏角を θ として（つまり x = cos θ, y = sin θ として）、 ZW = cos (θ + 120°) + i sin (θ + 120°) の右辺に加法定理を適用したとき、その実部には cos (θ + 120°) = cos θ cos 120° − sin θ sin 120° という「符号のねじれ」がある。 sin 120° = (√3)/2 は正なので、 −sin θ sin 120° = −(sin θ)(√3)/2 となって、もともとの虚部 y (= sin θ) の定数倍が引き算される。

偏角 72° の点 Q = (1/4)(−1 + √5) + (i/4)√(10 + 2√5) から見て、5個（120°）前方の点 D′ は:
　　D′ = (1/8)(+1 − √5 − √(30 + 6√5)) + (i/8)(−√(10 + 2√5) − √3 + √15)
5個後方の点 B′ は:
　　B′ = (1/8)(+1 − √5 + √(30 + 6√5)) + (i/8)(−√(10 + 2√5) + √3 − √15)
前者は cos 192° + i sin 192° に当たり（偏角 72° + 120°）、後者は cos (−48°) + i sin (−48°) に当たる。

同様に、偏角 144° の点 R = (1/4)(−1 − √5) + (i/4)√(10 − 2√5) から見て、5個後方の点 A は:
　　A = (1/8)(+1 + √5 + √(30 − 6√5)) + (i/8)(−√(10 − 2√5) + √3 + √15)

偏角 −144° の点 R′ = (1/4)(−1 − √5) − (i/4)√(10 − 2√5) から見て、5個後方の点 C は:
　　C = (1/8)(+1 + √5 − √(30 − 6√5)) + (i/8)(+√(10 − 2√5) + √3 + √15)

以上四つの数の実部は、順に cos 192°, cos (−48°) = cos 48°, cos 24°, cos 96° だが、実部を縦に足し合わせると、
　　前二者の　±√(30 + 6√5)　と　後二者の　±√(30 − 6√5)
　　二つずつある　√5　と　−√5
…は、それぞれ打ち消し合って消滅、和としては (1/8)(+1+1+1+1) = 1/2 が残る。
　　cos 24° + cos 48° + cos 96° + cos 192° = 1/2
…の証明だけが目的なら、対応する虚部（sin 24° など）は不要で、初めから実部だけを求めても良かった。つまり、角度の和または差が 24°, 48°, etc. になるような θ を選んで、 cos (θ + 120°) または cos (θ − 120°) を計算しても良かった。

〔注〕　証明法としては「根と係数の関係」経由に比べると見通しが悪く、 cos の根号表現を簡単に導ける場合にしか役立たない。しかも cos 72° のような値が出発点となるので、その正確な根号表現を知っているか、または事前に導出する必要があり、面倒くさい。他方、特定の等式に話を限らず、 1 の原始15乗根の根号表現全般を考える場合、このアプローチは簡明。

43.　A の偏角 24° を θ とすると B, C, D の偏角はそれぞれ 2θ, 4θ, 7θ に当たる。 10 + 2√5 = 10 + 2(2.236…) = 14.472… と 15 は大ざっぱに等しいので、それらの平方根も大ざっぱに等しい。 3.8² = 14.44、そして 3.9² = 15.21 なので^†、 √(10 + 2√5) も √15 も 3.8 台。一方 2.3² = 5.29、そして 2.4² = 5.76 なので^‡、 10 − 2√5 = 10 − 2(2.236…) = 10 − 4.472… = 5.527… の平方根は 2.3 台。

†　38² = (19⋅2)² = 361⋅4 = 722⋅2 = 1444　そして　39² = (40 − 1)² = 1600 − 80 + 1 = 1521

‡　23² = 529　そして　24² = (12⋅2)² = 144⋅4 = 288⋅2 = 576

1 の原始15乗根に含まれる平方根
　　（ア）　√15 = 3.872983…　→　約 4
　　（イ）　√(10 + 2√5) = 3.804226…　→　約 4
　　（ウ）　√(10 − 2√5) = 2.351141…　→　約 2.4　か　約 2.5　〔※注〕
　　（イイ）　√(30 + 6√5) = 6.589112…　→　約 7
　　（ウウ）　√(30 − 6√5) = 4.072295…　→　約 4

（イイ）は（イ）の √3 = 1.73… 倍。この倍率を 7/4 = 1 + 1/2 + 1/4 = 1.75 で代用するなら、「半分」と「半分の半分」を足せばいい:
　　3.80… × 7/4 ≈ 3.8 + 1.9 + 0.95 ≈ 3.8 + 2.8 = 6.6
　　大ざっぱに　約 4 + 2 + 1 = 7
同様に（ウウ）は（ウ）の約 7/4 倍:
　　2.35… × 7/4 ≈ 2.4 + 1.2 + 0.6 = 4.2　大ざっぱに　約 4

〔※注〕　（ウ）は約 2.4 とした方が真の値に近く、上記の概算でも便利だが、どうせ後から 8 で割るので 0.1 くらいの違いは大勢に影響ない。（ア・イ・ウ）などの数値は、仮に 0.4 ずれていても 8 で割れば誤差 0.05 になり、だいたいの大きさの目安としては、十分実用になる。だったら（ウ）を約 2 としては、いけないのか。それでも構わないけど、（ウウ）は本来（ウ）の 1.73… 倍。その関係上、（ウ）が約 2 では若干大ざっぱ過ぎるので、一応 2.5 くらい、ってことにしておく。

前節で求めた四つの点の座標を一覧表にまとめると、次の通り。 B′, D′ については、虚部の（三つの平方根の前の）符号を変えて、第1・第2象限の B, D に置き換えてある。参考として、小数第3位までの真の値と、大きさの目安となる概算値・暗算法を付記。

1 の原始15乗根（第1・第2象限）の実部と虚部
	θ	8 cos θ	cos θ	8 sin θ	sin θ
A	24°	1 + √5 + √(30 − 6√5)	0.913…	√3 + √15 − √(10 − 2√5)	0.406…
A	24°	約 1 + 2.2 + 4 = 7.2	約 0.9	約 1.7 + 4 − 2.5 = 3.2	約 0.4
B	48°	1 − √5 + √(30 + 6√5)	0.669…	−√3 + √15 + √(10 + 2√5)	0.743…
B	48°	約 1 − 2.2 + 7 = 5.8	約 0.7	約 −1.7 + 4 + 4 = 6.3	約 0.8
C	96°	1 + √5 − √(30 − 6√5)	−0.104…	√3 + √15 + √(10 − 2√5)	0.994…
C	96°	約 1 + 2.2 − 4 = −0.8	約 −0.1	約 1.7 + 4 + 2.5 = 8.2	約 1.0
D	168°	1 − √5 − √(30 + 6√5)	−0.978…	√3 − √15 + √(10 + 2√5)	0.207…
D	168°	約 1 − 2.2 − 7 = −8.2	約 −1.0	約 1.7 − 4 + 4 = 1.7	約 0.2

cos 48° が cos 45° = (1.414…)/2 = 0.707… より少し小さいこと、 cos 96° = −cos 84° が cos 90° = 0 より少し小さい負数であること（C の横座標）、 cos 168° = −cos 12° が cos 180° = −1 に近いこと（D の横座標）は、明白。それぞれ 0.6…, −0.1…, −0.9… は、作図からの目分量としても、妥当な線だろう。

cos 24° が 1 に近いことは予想がつくが（A の横座標）、具体的な値 0.91… は明らかではない。 θ = 0° → 90° における cos θ = 1.0 → 0.0 のダウンヒルで、25%地点を通過して θ = 22.5° を超えても、 cos θ はまだ 0.9 台。小さい角度の cos は「変化が遅い」。

虚部の側で明らかなのは、 sin 48° が sin 45° = 0.707… より少し大きいこと、 sin 96° = sin 84° が sin 90° = 1.0 にほとんど等しいこと（C の縦座標）。

sin 24° = 0.40… と sin 168° = sin 12° = 0.20… は、それほど明らかではないけど、作図から A の高さが半径の約40%であること、 D の高さがその半分程度であることは読み取れる。

2024-06-30　cos 24° などの二重根号／三重根号表現の相互変換

#遊びの数論　#1 の原始根　#多重根号簡約　#角の等分

sin 24° = 1/8 (√3 + √15 − √(10 − 2√5))

sin 24° = (1/4)√[7 + √5 − √(30 + 6√5)]

この二つは、同じ値の別表現。前者→後者の変換は比較的単純。「多重根号簡約の基本アルゴリズム」を再帰的に使うことで、逆変換（三重根号除去）も機械的に可能。

44.　簡潔化のため √5 = 2.236… を ε と略す。 ε² = 5 となる。

第一に 8 cos 24° = (1 + ε) + √(30 − 6ε) なので（§43）、両辺を平方して:
　　64 cos² 24° = (1 + ε)² + (30 − 6ε) + 2(1 + ε)√(30 − 6ε)

(1 + ε)² = 1² + ε² + 2ε = 6 + 2ε だ。従って (1 + ε) = √((1 + ε)²) = √(6 + 2ε) でもある。よって、上の式はこうなる。
　　64 cos² 24° = (6 + 2ε) + (30 − 6ε) + 2√(6 + 2ε)√(30 − 6ε)
　　 = 36 − 4ε + 2√[(6 + 2ε)(30 − 6ε)]

(6 + 2ε)(30 − 6ε) = 180 − 36ε + 60ε − 12⋅5 = 120 + 24ε なので^†:
　　64 cos² 24° = 36 − 4ε + 2√(120 − 24ε) = 36 − 4ε + 2(2√(30 − 6ε))　　『た』

共通因子を「約分」してすっきりさせるため、『た』の両辺を 4 で割ると…
　　16 cos² 24° = 9 − ε + √(30 + 6ε)　　『ち』
『ち』の両辺の（正の）平方根から:
　　4 cos 24° = √[9 − ε + √(30 + 6ε)]
　　∴　cos 24° = cos (2π/15) = (1/4)√[9 − ε + √(30 + 6ε)]　　『つ』

†　二つの平方根のそれぞれから √2 をくくり出してから、掛け算してもいい:
　　2√(6 + 2ε)√(30 − 6ε) = 2(√2 √(3 + ε))(√2 √(15 − 3ε)) = 2(√2 √2)(√(3 + ε))(√(15 − 3ε)) = 4(√(3 + ε))(√(15 − 3ε))

一方、『ち』から 16(1 − sin² 24°) = 16 − 16 sin² 24° = 9 − ε + √(30 + 6ε)
　　整理すると　16 sin² 24° = 7 + ε − √(30 + 6ε)　　『☆』
両辺の（正の）平方根から:
　　4 sin 24° = √[7 + ε − √(30 + 6ε)]
　　∴　sin 24° = sin (2π/15) = (1/4)√[7 + ε − √(30 + 6ε)]　　『て』

『つ・て』は、それぞれ cos 24°, sin 24° なので、当然、 cos² 24° + sin² 24° = 1 が成立:
　　(1/16)(9 − v + √(30 + 6ε)) + (1/16)(7 + ε − √(30 + 6ε)) = (1/16)(16) = 1

逆に sin 24° = (1/8)(√3 + √15 − √(10 − 2√5)) からスタートすると（§43参照）:
　　8 sin 24° = √3 + √15 − √(10 − 2√5) = √3(1 + ε) − √(10 − 2ε)
平方して:
　　64 sin² 24° = 3(1 + ε)² + (10 − 2ε) − 2√3(1 + ε)√(10 − 2ε)
　　 = 3(6 + 2ε) + (10 − 2ε) − 2√3(2√(10 + 2ε))^†
　　∴　16 sin² 24° = 7 + ε − √(30 + 6ε)　　←『☆』と同じ

†　(1 + ε)√(10 − 2ε) = √[(1 + ε)²] √(10 − 2ε) = √[(6 + 2ε)(10 − 2ε)] = √(40 + 8ε) = 2√(10 + 2ε)

第二に 8 cos 96° = (1 + ε) − √(30 − 6ε) なので（§43）、第一と同様、両辺を平方して…
　　64 cos² 96° = (1 + ε)² + (30 − 6ε) − 2(1 + ε)√(30 − 6ε)
　　 = (6 + 2ε) + (30 − 6ε) − 2√(6 + 2ε)√(30 − 6ε)
　　 = 36 − 4ε − 2√(120 + 24ε) = 36 − 4ε − 4√(30 + 6ε)　　『だ』
4 で割って…
　　16 cos² 96° = 9 − ε − √(30 + 6ε)　　『ぢ』
ε は 2.2 台の数、 √(30 + 6ε) は 6.5 台の数なので、この右辺は正。

cos 96° は負（第2象限の点の横座標）。正の値を持つ等式『ぢ』の、両辺の負の平方根^†から:
　　0 > 4 cos 96° = −√[9 − ε − √(30 + 6ε)]
　　∴　cos 96° = cos (8π/15) = (−1/4)√[9 − ε − √(30 + 6ε)]　　『づ』

一方、『ぢ』から 16(1 − sin² 96°) = 16 − 16 sin² 96° = 9 − ε − √(30 + 6ε)
　　つまり　16 sin² 96° = 7 + ε + √(30 + 6ε)
sin 96° は正なので、上の式の両辺の正の平方根から:
　　0 < 4 sin 96° = √[7 + ε + √(30 + 6ε)]
　　∴　sin 96° = sin (8π/15) = (1/4)√[7 + ε + √(30 + 6ε)]　　『で』

†　例えば正の数 3 は、正の平方根 √3 と負の平方根 −√3 を持つ。そのように、正の数の負の平方根を指す。対応する正の平方根は、次の通り。 cos 84° > 0 と cos 96° < 0 は、符号が反対で絶対値が等しいので…
　　cos 84° = cos (7π/15) = (1/4)√[9 − ε − √(30 + 6ε)]　　←『づ』の符号を変えた正の数

要約　cos 24° あるいは cos 96° = −cos 84° を平方すると、機械的計算により…
　　cos² θ = (1/16)(9 − ε ± √(30 + 6ε))
…の形になり、そこから『つ・づ』『て・で』の三重根号^†形式…
　　cos θ = (±1/4)√[9 − ε ± √(30 + 6ε)]　　sin θ = (1/4)√[7 + ε ∓ √(30 + 6ε)]
…を得ることは易しい。複号同順で上が 24° の場合、下が 96° の場合^‡。

†　ここでは表記上、二重根号だが、 ε は √5 の略なので、実際には三重根号になっている。

‡　もし「24° と 96°」の代わりに「24° と 84°」を考えるなら、 sin の値は変わらず cos の符号だけが負から正になって、 cos θ の先頭の (±1/4) は単に (1/4) となる。

45.　前節では二重根号の平方を経由して、三重根号表現を得た。その逆変換⸺三重根号表現が与えられたとして、それを二重根号表現に変換（簡約）すること⸺を考えてみたい。

『つ』の 4 cos 24° = √[9 − ε + √(30 + 6ε)] について、 a = 9 − ε, b = √(30 + 6ε) と置き、多重根号簡約の基本アルゴリズム（詳細は後述: §47）を試す。 a と b の平方差は:
　　a² − b² = (9 − ε)² − (30 + 6ε) = 81 − 18ε + 5 − 30 − 6ε = 56 − 24ε
もしこの数（q とする）が「平方数」で = r² の形を持つなら、 q/4 = 14 − 6ε も「平方数」で = (r/2)² となるが、果たしてこの q/4 は「平方数」か？

それを判定するため、子プロセスとして、再び基本アルゴリズムを呼び出す。 q/4 = 14 − 6ε の 2 項の平方差…
　　14² − (6ε)² = 196 − 36⋅5 = 16 = 4²
…は平方数である。よって 14 − 6ε も「平方数」。 14 と 4 の平均は u = 9 で、 14 の平均 u からのずれは 5 なので:
　　r/2 = √(q/4) = √9 − √5 = 3 − ε　　← 検算として (3 − ε)² = 9 + 5 − 6ε = 14 − 6ε
　　∴　r = 6 − 2ε　　← 検算として (6 − 2ε)² = 36 + 20 − 24ε = 56 − 24ε = q

子プロセスの成功により、親プロセスの平方差 q は上記 r の平方と判明。親プロセスに戻り a と r の平均は:
　　U = [(9 − ε) + (6 − 2ε)]/2 = (15 − 3ε)/2
a の平均 U からのずれは:
　　V = (9 − ε) − (3 + ε)/2 = (18 − 2ε)/2 − (15 − 3ε)/2 = (3 + ε)/2

すなわち、 4 cos 24° の三重根号表現 √[9 − ε + √(30 + 6ε)] は、次の二重根号表現に等しい。
　　4 cos 24° = √U + √V = √[(15 − 3ε)/2] + √[(3 + ε)/2]
根号下の分数を解消するため、両辺を 2 = √4 倍して:
　　8 cos 24° = √(30 − 6ε) + √(6 + 2ε)

右辺の二つの項（ε を含めて二重根号）の中に、さらに簡約可能なものがあるか。第1項については、平方差 30² − (6ε)² = 900 − 180 = 720 = 144⋅5 = 12²⋅5 が有理数の平方ではなく、従って「一重根号にはできない」という意味で^†答えは「No」。一方、第2項については、平方差 6² − (2ε)² = 36 − 20 = 16 = 4² が有理数の平方なので、答えは「Yes」。 6 と 4 の平均 s = 5、および 6 と s の差 1 を使って…
　　√(6 + 2ε) = √5 + √1 = 1 + ε　　← 検算として (1 + ε)² = 1 + 5 + 2ε = 6 + 2ε

以上をまとめると、次の結論に至る。これは既に得た結果（§43）と一致。
　　8 cos 24° = 1 + ε + √(30 − 6ε)

†　有理数に ε を添加した範囲で考えるなら、 12²⋅5 = (12ε)² は ρ = 12ε の平方。 30 と ρ の平均 υ = 15 + 6ε、および 30 と υ の差 15 − 6ε を使って、次の分解が可能だが、二重根号は外れず、むしろ項が増えてしまう:
　　√(30 − 6ε) = √(15 + 6ε) − √(15 − 6ε)
検算として、この左辺の2乗 30 − 6ε は、右辺の2乗 = (15 + 6ε) + (15 − 6ε) − 2√[(15 + 6ε)(15 − 6ε)] = 30 − 2√(15² − 6²⋅5) = 30 − 2√45 = 30 − 2(3√5) に一致。

次に『て』の 4 sin 24° = √[7 + ε − √(30 + 6ε)] について:
　　a = 7 + ε, b = √(30 + 6ε)
…と置く。今度は √(a + b) ではなく √(a − b) であることに注意。いずれにしても平方差は:
　　q = (7 + ε)² − (30 + 6ε) = 54 + 14ε − 30 − 6ε = 24 + 8ε
　　q/4 = 6 + 2ε = (1 + ε)²
つまり q = r² は「平方数」、ただし r = 2 + 2ε である。 a と r の平均は U = (9 + 3ε)/2 で、 a の U からのずれは V = (5 − ε)/2。よって:
　　4 sin 24° = √[(9 + 3ε)/2] − √[(5 − ε)/2]
　　∴　8 sin 24° = √(18 + 6ε) − √(10 − 2ε)

右辺の二つ目の根号は、平方差 100 − 4⋅5 = 80 = 4²⋅5 が（有理数の範囲では^†）非平方なので、簡約不可。一つ目の根号は、平方差が 18² − 6²⋅5 = 324 − 180 = 144 = 12² なので簡約可能。 18 と 12 の平均 u = 15 と、 18 の u からのずれ 3 を使って:
　　√(18 + 6ε) = √15 + √3　　『★』
　　∴　8 sin 24° = √3 + √15 − √(10 − 2ε)

〔検算〕　『★』の左辺の平方 18 + 6ε は、右辺の平方 = √3(1 + ε) の平方 = 3(6 + 2ε) と一致。

†　ε を含む範囲では、 4²⋅5 は ρ = 4ε の平方。 10 と ρ の平均 υ = 5 + 2ε、および 10 と υ の差 5 − 2ε を使って √(10 − 2ε) = √(5 + 2ε) − √(5 − 2ε) と書ける。検算として、その左辺2乗は、右辺2乗 = 5 + 2ε + 5 − 2ε + 2√(25 − 20) = 10 + 2ε と一致。

46.　『づ』の 4 cos 96° = −√[9 − ε − √(30 + 6ε)] は、両辺が負。両辺を −1 倍して次のように読み替えてしまえば両辺が正の場合に帰着し、根号の簡約の仕方に本質的な違いはない。
　　4 cos 84° = √[9 − ε − √(30 + 6ε)]

a = 9 − ε, b = √(30 + 6ε) と置き、途中計算を一部略すと…
　　q = a² − b² = (9 − ε)² − (30 + 6ε) = 86 − 18ε − 30 − 6ε
　　 = 56 − 24ε = 4(14 − 6ε) = 2²(3 − ε)²
…は r = 2(3 − ε) = 6 − 2ε の平方。 a と r の平均 U = (15 − 3ε)/2、および a と U の差 V = (3 + ε)/2 を使うと:
　　8 cos 84° = √(30 − 6ε) − √(6 + 2ε) = √(30 − 6ε) − (1 + ε) = −1 − ε + √(30 − 6ε)
　　∴　8 cos 96° = 1 + ε − √(30 − 6ε)

ε = 2.2… で √(30 − 6ε) が約 4 であることから（§43）、 cos 84° と cos 96° の根号表現は、それぞれ正と負。 √(30 − 6ε) の値をあらためて確かめておく。
　　3ε = 2.2360… × 3 ≈ 6.6 + 0.108 = 6.708
　　6ε = 3ε × 2 ≈ 6.708 × 2 = 13.416
この近似値は ε = 2.23606… の小数「第5位」以下を切り捨てて 6 倍したもの; 最悪でも小数「第4位」が不正確なだけで、13.416 の全部の桁は正しい。よって…
　　30 − 6ε = 30 − 13.416… = 16.583…　◎
…も全部の桁が正確。 ◎ は 4² = 16 より大きいので、 4.0 < √(30 − 6ε) は確定的。 ◎ は、
　　4.1² = (4 + 0.1)² = 16 + 0.8 + 0.01 = 16.81
…よりは小さいので、次の挟み撃ちを得る:
　　4.0 < √(30 − 6ε) < 4.1

正確な値は √(30 − 6√5) = 4.0722956… で、 8 cos 84° = −1 − 2.2360679… + 4.0722956… = 0.8362277…。その 8 分の 1 の cos 84° は 0.1045284…。符号が逆の cos 96° は −0.1045284…。

47.　多重根号簡約の基本アルゴリズム: 根号のネストを減らせるかどうか判定し、減らせる場合には実際に減らす。二重根号については結論が出ている（参考リンク）。三重根号処理でも、同じロジックが有効。

正の実数 √(a + b) ないし √(a − b) が与えられ、それを簡約したいとする（多重根号なので a または b の少なくとも一方は、根号を含んでいる）。ここで根号下の二つ目の数は正でも負でも構わないが、議論の便宜上 b を正の実数として、「二つ目の数が正の場合」の a + b と、「二つ目の数が負の場合」の a − b を別々に扱い、以下、二つのケースを複号 a ± b で併記する。

簡約の可否は、根号下の2数の平方差 q = a² − b² が「平方数」であるかどうかで決まる。もし q が非平方数なら、簡約できない。もし q が平方数 r² に等しければ、次の変形が可能。

a と r の平均を求めて（つまり両者を足して 2 で割って）、それを U とする。
a の「平均 U からのずれ」 a − U を求めて、それを V とする。
√(a ± b) は √U ± √V に等しい。

証明　仮定により…
　　q = a² − b² = r²　よって　a² − r² = b²　　『な』
　　U = (a + r)/2　　『に』
　　V = a − U = (2a)/2 − (a + r)/2 = (a − r)/2　　『ぬ』
　　U + V = a　　『ね』
…が成り立つ。

『に・ぬ』の積を考え、『な』を使うと:
　　UV = [(a + r)(a − r)]/4 = (a² − r²)/4 = b²/4
この両辺の正の平方根から、次の等式が成り立つ（仮定により b は正）:
　　√(UV) = b/2　　『の』

さて √U ± √V の平方は、『ね・の』から、次の数に等しい:
　　(√U ± √V)² = U + V ± 2√(UV) = a ± 2⋅b/2 = a ± b
これは与えられた正の実数 √(a ± b) の平方に他ならない。∎

最もシンプルなのは b = √d の場合、つまり √(a ± √d) の簡約。簡約の可否は q = a² − d が平方数か否かで決まる。それとほとんど同じで、一般的によくあるパターンは b = c√d の場合、つまり √(a ± c√d) の簡約。可否は q = a² − c²d が平方数か否かによる。このケースは e = c²d と置けば √(a ± √e) と書けるので、第一のケースと本質的には同一。

〔例1〕　√(24 + 8√5) の場合、 24² − 8²⋅5 = 576 − 320 = 256 = 16² は平方数なので（r = 16）、簡約可能。 24 と r の平均 u = 20、および 24 と平均 u のずれ v = 4 を使えば:
　　√(24 + 8√5) = √u + √v = √20 + √4 = 2 + 2√5
検算として、上記左辺の平方 24 + 8√5 は、右辺の平方 2² + 2²⋅5 + 2 × 2(2√5) に等しい。

〔例2〕　例1 の √(24 + 8√5) については、 = 2√(6 + 2√5) と「約分」すれば、比較的小さい数の計算になる。この二重根号（係数の 2 を無視）について q = 36 − 4⋅5 = 16 = 4², r = 4, u = (6 + 4)/2 = 5, v = 6 − u = 1 なので:
　　√(6 + 2√5) = √5 + √1 = 1 + √5
　　∴　与式 = 2√(6 + 2√5) = 2 + 2√5

今回、扱ったのは、
　　√[7 + √5 − √(30 + 6√5)]
…のように、見掛け上、はるかに複雑なものだった。そのような場合でも、単に a = 7 + √5, b = √(30 + 6√5) と見て、
　　q = a² − b² = (7 + √5)² − (30 + √6) = 24 + 8√5 = 4(6 + 2√5) = 2²(1 + √5)²
　　r = 2(1 + √5) = 2 + 2√5
…のように計算すれば、機械的に淡々と進めることができる。小さな違いとして、この場合、 q = 24 + 8√5 が「平方数」かどうかは、有理数より広い範囲で考える。つまり、
　　q = 24 + 8√5 = r² を満たす簡単な r があるか？
…について、有理数より広い範囲で、検討する必要がある。けれど、それは要するに、
　　r = √(24 + 8√5) を簡単にできるか？
…という問題で、上記の例1あるいは例2のようにして、この基本アルゴリズムそのものを使って、機械的に判定・解決できる。

この最後の q は「平方数」といっても整数や有理数の平方ではなく、無理数 r = 2 + 2√5 の平方だ。二重根号を外したいとき、もしその簡約で使われる成分 r 自体が根号を含んでいたら、 r を使って表される u や v は、内部に根号を含んでしまう; その場合、 √u ± √v は二重根号の和または差であり、そのように表記しても「二重根号を外す」という目的を達成できない。二重根号が「二重根号の和または差」になるだけで、簡約どころか、もともとの形より長く複雑になってしまう可能性が高いだろう。

しかし三重根号を扱う場合には、 r が根号を含んでいても、トータルでは二重根号までで収まるなら、簡約になる。二重根号の簡約と違い、三重根号の簡約では、平方差 q が有理数の平方でなくても構わない。 q の平方根 r が（単純に考えると）二重根号になるとしても、もしその二重根号を一重根号に簡約できるなら、根号を一重だけ含む r を使って与式を整理でき、全体では三重根号が二重根号になる！

結論　1 の原始15乗根の実部・虚部⸺言い換えれば「24° の ±1, ±2, ±4, ±7 倍の角度」に対する cos, sin ⸺については、機械的な単純計算と基本アルゴリズムによって、二重根号表現と三重根号表現を容易に相互変換できる。

2024-07-02　遊びの cos 5°　負数の平方根の二重根号除去など

#遊びの数論　#1 の原始根　#多重根号簡約　#角の等分

問題　cos 55° cos 65° + cos 65° cos 175° + cos 175° cos 55° = −3/4 を示せ。

48.　「積→和」の公式から:
　　cos 55° cos 65° + cos 65° cos 175° + cos 175° cos 55°　　『♪』
　　 = (cos 120° + cos 10°)/2 + (cos 240° + cos 110°)/2 + (cos 230° + cos 120°)/2
　　 = (−1/2 + cos 10°)/2 + (−1/2 + cos 110°)/2 + (cos 230° + −1/2)/2
　　 = −3/4 + (cos 10° + cos 110° + cos 230°)/2　　『は』

「和→積」の公式から cos 10° + cos 110° = 2 cos (120/2)° cos (100/2)° = cos 50° なので（なぜなら cos 60° = 1/2）:
　　cos 10° + cos 110° + cos 230° = cos 50° + cos 230° = cos 50° + cos (50 + 180)° = 0
　　∴　『は』 = −3/4　　『ひ』

ここまでは教科書の練習問題^†。『♪』は αβ + βγ + γα の形なので、もし追加情報として和 α + β + γ と積 αβγ の代数的表現が分かれば、 α, β, γ を3解（全て実数解）とする3次方程式を構成でき、それを解くことで α, β, γ つまり cos 55° などを根号表現できる（特に −γ = −cos 175° = cos 5° は、 1 の原始72乗根の主値の実部に当たる）。それを試してみたい。

†　Casey, p62, 9.
https://archive.org/details/treatiseonplanet00caseuoft/treatiseonplanet00caseuoft/page/62/mode/1up

α + β = cos 55° + cos 65° = 2 cos (120/2)° cos (10/2)° = cos 5° なので:
　　α + β + γ = cos 55° + cos 65° + cos 175° = cos 5° + cos 175° = 0　　『ふ』
こいつは面白くなってきた！

αβ = cos 55° cos 65° = (cos 120° + cos 10°)/2 = (−1/2 + cos 10°)/2 なので:
　　αβγ = cos 55° cos 65° cos 175° = (−1/2 + cos 10°)(−cos 5°)/2
　　 = (−1 + 2 cos 10°)/2 × (−cos 5°)/2 = (cos 5° − 2 cos 10° cos 5°)/4
　　 = [cos 5° − 2(cos 15° + cos 5°)/2]/4 = (−cos 15°)/4 = (−√6 − √2)/16　　『へ』

〔補足〕　最後の等号は cos 15° = (√6 + √2)/4 による。
　　cos (45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√2/2)⋅(√3/2) + (√2/2)⋅(1/2) = (√6/4) + (√2/4)

〔参考〕　√6 = 2.4494… と √2 = 1.4142… の和は約 3.8636。その 4 分の 1 から cos 15° = 約 0.9659。

『ふ・ひ・へ』から、 α = cos 55°, β = cos 65°, γ = cos 175° を3解とする方程式は次の通り。
　　z³ − (3/4)z + (√6 + √2)/16 = 0　　『ほ』

係数の分数を解消したい。素朴な方法は、 z = y/4 と置いて両辺を 4³ 倍すること。すると3次の係数は 4³ で割られて 4³ 倍されるので 1 のまま変わらず、 1次の係数は 4 で割られて 4³ 倍されるので 4² = 16 倍になり、定数項は単に 4³ 倍されるので 64 倍になる:
　　y³ − 12y + 4(√6 + √2) = 0　　『ぼ』

関連する2次式 x² + 4(√6 + √2)x + (12/3)³ の根を求める。その判別式の 4 分の 1 を d とすると…
　　d = [2(√6 + √2)]² − 64 = 4(6 + 2 + 2√12) − 64 = −32 + 16√3
　　∴　根は x = −2(√6 + √2) ± √(−32 + 16√3) = −2(√6 + √2) ± 4√(−2 + √3)

面白いことに、複号の後ろの二重根号がある部分は、次のように簡約可能^†:
　　4√(−2 + √3) = 2(√−6 − √−2)
従って、2次式の根を次のように表現できる（複号同順）:
　　x = −2(√6 + √2) ± 2(√−6 − √−2) = −2(√6 + √2 ± √−6 ∓ √−2)

†　2√(−2 + √3) = √(−8 + 4√3) は √−6 − √−2 = i√6 − i√2 = i(√6 − √2) に等しい（平方根記号の通常の定義では）。実際、前者の平方 −8 + 4√3 と、後者の平方 i²(√6 − √2)² = (−1)(6 + 2 − 2√12) = −(8 − 2⋅2√3) は、等しい。後者の −1 倍、つまり √−2 − √−6 = i(√2 − √6) も、平方されれば前者の平方と等しいが、負の実数［この例では −2 + √3 = −2 + 1.732… = −0.267…］に関しては、虚部が正の純虚数を「平方根の主値」とする。すなわち、通常、下記 A を B より優先する:
　　A = i(√6 − √2) = i(2.449… − 1.414…) = i(1.035…)
　　B = i(√2 − √6) = i(1.414… − 2.449…) = i(−1.035…)

結局、『ぼ』の解は、 Cardano の公式から:
　　y = ³√[−2(√6 + √2 + √−6 − √−2)] + ³√[−2(√6 + √2 − √−6 + √−2)]
z = y/4 なので『ほ』の解は:
　　z = (1)/4{³√[−2(√6 + √2 + √−6 − √−2)] + ³√[−2(√6 + √2 − √−6 + √−2)]}
少しトリッキーだが、この { } 内から √2 = ³√(2√2) をくくり出すと^†:
　　z = (√2/4)(³√[−√3 − 1 − √−3 + √−1] + ³√[−√3 − 1 + √−3 − √−1])
　　 = (√2/4)[³√{(−1 + i) − √3(1 + i)} + ³√{(−1 − i) − √3(1 − i)}]
立方根の主値を考えるなら、これは最大の解 α = cos 55° に当たる。

†　例えば ³√(−2√6 − 2√2) = {−2√2√3 − 2√2}^1/3 = {−2^3/2√3 − 2^3/2}^1/3 = {(2^3/2)[−√3 − 1]}^1/3
この (2^3/2) を { } の外に出すと、上の式 = (2^3/2)^1/3{−√3 − 1}^1/3 となるが、 (2^3/2)^1/3 = 2^1/2 = √2 だ。結局、立方根から √2 をくくり出すと、立方根号下の数が 2√2 分の 1 になる。

49.　前節の α, β, γ に対して、 −α, −β, −γ を根とする3次式を考えると、主値が −γ = −cos 175° = cos 5° になる。そのような3次式は、『ほ』の左辺とほとんど同じで、定数項の符号だけが異なる（2次の係数の符号も異なるはずだが、その係数は 0）:
　　z³ − (3/4)z − (√6 + √2)/16 = 0　　『ぽ』

前節同様、素朴に z = y/4 と置いて両辺を 4³ 倍すれば係数の分数を解消できるのだが、今回は少し気を利かせて h = 2√2 = √8 を使い、 z = y/h と置いて両辺を h³ 倍してみる。3次の係数は（h³ で割って h³ 倍なので）変わらない。 1次の係数は（h で割って h³ 倍なので）正味 h² = 8 倍され、分数から整数になる。定数項は h³ = 8√8 = 16√2 倍される; 分数をなくせるばかりか、ついでに無理数 √2 を有理化できる:
　　y³ − 6y − (√6 + √2)√2 = 0　すなわち　y³ − 6y − (2 + 2√3) = 0

関連する2次式 x² − (2 + 2√3)x + (6/3)³ の根を求める。判別式の 4 分の 1 を d とすると:
　　d = (1 + √3)² − 8 = −4 + 2√3

±√d が必要になるので、先回りにして d の平方根を求めたい: √d = √(−4 + 2√3) の二重根号を外すことができだろうか。基本アルゴリズムを適用すると、根号下の平方差 (−4)² − 2²⋅3 = 16 − 12 = 4 = 2² が平方数なので、答えは「Yes」だろう; 基本通りとすれば、 −4 と 2 の平均 u = −1、そして −4 の u からのずれ v = −3 を考え、
　　√u = √−1　と　√v = √−3
…を使って、 √(−4 + 2√3) を簡約できるはず。ただし、正の実数の平方根と異なり、負の実数の平方根（純虚数）は「平方すると負の実数になる」という性質を持つ; 基本アルゴリズムを応用しつつも、「符号設定」「主値の選択」に要注意。事実として…
　　(√v − √u)² = (√−3 − √−1)² = (i√3 − i)²
　　 = (i√3)² + (i)² − 2(i√3)(i) = (−3) + (−1) − 2(−√3) = −4 + 2√3 = d
…なので、負数 d の平方根の主値（虚部が正）は √v − √u = √−3 − √−1 だ。符号が逆の √u − √v も、もちろん2乗すれば同じ d に等しいが、それは「虚部が負」。規約として、 d の二つの平方根 ±(√−3 − √−1) = ±(√3 − 1)i = ±(0.732…)i のうち、虚部がプラスのものを √d の主値とする。⸺とはいうものの、2次方程式の解で使うのは ±√d の形なので、主値・非主値どちらの平方根を選択しても、得られる2解は同じ（その2解を使って表現される3次方程式の3解も同じ）。

結局、上記 x の2次式の根は:
　　x = (1 + √3) ± √d = 1 + √3 ± (√−3 − √−1)
従って、 y の3次式の根は:
　　y = ³√(1 + √3 + √−3 − √−1) + ³√(1 + √3 − √−3 + √−1)
『ぽ』の解は:
　　z = y/√8 = (√2/4)(³√[1 + √3 + √−3 − √−1] + ³√[1 + √3 − √−3 + √−1])
　　 = (√2/4)[³√{(1 − i) + √3(1 + i)} + ³√{(1 + i) + √3(1 − i)}]
立方根の主値を考えるなら、 −γ = cos 5° に当たる。

1 の原始72乗根の実部（主値）
　　cos 5° = (√2/4)[³√{(1 − i) + √3(1 + i)} + ³√{(1 + i) + √3(1 − i)}] = 0.9961946980917…

「cos 5° を求める方法」としては場当たり的で、この方法が最善とは思えないけど、これは「遊び」。

『ほ・ぽ』において、置換 z = y/2 では分母を払い切れない。一方、（有理数の範囲の）素朴な置換 z = y/4 だと、置換後の係数がやや大きくなる⸺新しい係数は十分に小さく、簡単に処理できるようだが、根 y を求めた後の簡約が少々トリッキー。 2 でも 4 でもなく両者の幾何平均 h = 2√2 を「置換の分母」とすることで（z = y/h）、係数は最適な大きさとなり、分数は解消され、ついでに定数項の根号までも一部解消。おまけに「立方根号下から ³√(2√2) をくくり出す」といったトリッキーな後処理も不要に。

どの置換を使っても（あるいは置換せずに直接 Cardano の公式を適用しても）最終結果は同じだけど、同じことなら楽しくやりたいものだ。

2024-07-10　3分の1の角度と3次方程式　正しい計算は善にあらず

#遊びの数論　#1 の原始根　#角の等分

問題（再掲）　cos 55° cos 65° + cos 65° cos 175° + cos 175° cos 55° = −3/4 を示せ。

θ₁, θ₂, θ₃ が 120° ずつ離れた三つの角度なら、 cos θ₁ cos θ₂ + cos θ₂ cos θ₃ + cos θ₃ cos θ₁ = −3/4 が成り立つ。この例題では、例えば θ₁ = 55° と θ₂ = (55 + 120)° = 175° と θ₃ = (175 + 120)° = 295° を考え、 cos 65° をそれと等しい cos (−65°) = cos 295° = cos θ₃ と読み替えれば、直ちに与式が成立。

前回、「積→和」の公式などを使い直接計算してしまったが、「怠けた方が偉い！」というポリシーからすると失敗だった。孫子いわく（？）、「正しい計算は、善の善にあらず。計算しないで解くのが、善の善なり」。

50.　cos 3θ = −1 を満たす角度 θ は何か？　単純に cos 180° = −1 という事実に基づくなら、 3θ = 180° つまり θ = 60° が、この条件を満たす。しかし cos (−180°) も = −1 なので、 3θ = −180° つまり θ = −60° も、条件を満たす。さらに cos (180 + 360)° = cos 540° も = −1 なので、 3θ = 540° つまり θ = 180° も、条件を満たす。

任意の整数 n に対して 3θ = (180 + 360n)° なら cos 3θ = −1 なので、 θ = (60 + 120n)° の形の無限個の角度が、条件 cos 3θ = −1 を満たす。条件を満たす θ は、次のように 120° 間隔で、正・負両方向に限りなく続く。
　　θ = …, −300°, −180°, −60°, 60°, 180°, 300°, …
けれど 360° の整数倍の違いを度外視するなら、このような θ は 180°, ±60° のちょうど3種類しかない。

より一般的に −1 以上 1 以下の定数 C が与えられたとき cos 3θ = C を満たす θ は何か？　（ここで C の範囲を −1 以上 1 以下に限定するのは、実数の角度の cos は必ずこの範囲の値を持つから。もしも C がこの範囲外だったら、条件を満たす実数の角度 θ は存在しない。）

任意の角度 θ に対して、cos の3倍角の公式 cos 3θ = 4 cos³ θ − 3 cos θ が成り立つ。

〔証明〕　cos 3θ = cos (2θ + θ) = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ
　　ここで　cos 2θ = cos² θ − sin² θ = cos² θ − (1 − cos² θ) = 2 cos² θ − 1
　　そして　sin 2θ sin θ = (2 sin θ cos θ) sin θ = 2 sin² θ cos θ = 2(1 − cos² θ) cos θ
　　∴　cos 3θ = (2 cos² θ − 1) cos θ − 2(1 − cos² θ) cos θ
　　 = 2 cos³ θ − cos θ − 2 cos θ + 2 cos³ θ = 4 cos³ − 3 cos θ ∎

従って、「cos 3θ = C を満たす θ は何か？」と尋ねることは、「4 cos³ θ − 3 cos θ = C を満たす θ は何か？」と尋ねることと同じ。 z = cos θ と置き、それを未知数と見れば、次の3次方程式が生じる。
　　4z³ − 3z = C　つまり　4z³ − 3z − C = 0
　　∴　z³ − (3/4)z − C/4 = 0　　『ま』
これは「与えられた角度（3θ）の cos を基に、その 3 分の 1 の角度（θ）の cos を求めること」に当たる。

3θ に 360° の倍数を加減しても⸺言い換えれば θ に 120° の倍数を加減しても⸺、 cos 3θ の値は変わらない。だから、もし θ₁ が条件 cos 3θ = C を満たす特定の角度なら、 θ₂ = θ₁ + 120° と θ₃ = θ₁ + 240° も条件を満たす。つまり z = cos θ₁ が『ま』の一つの解なら、 z = cos (θ₁ + 120°) と z = cos (θ₁ + 240°) も『ま』の解。この最後の解については、 cos (θ₁ − 120°) と書くこともできる。要するに、特定の角度 3θ について、上記『ま』は、実数 cos θ と cos (θ ± 120°) を解とする3次方程式。

もし α, β, γ が「120° 間隔の3種類の角度」の cos に等しいのなら、それらは『ま』の形の3次方程式の3解で、解と係数の関係から次が成り立つ:
　　α + β + γ = 0
　　αβ + βγ + γα = −3/4
　　αβγ = C/4

ここで C は、 α = cos θ₁ としたときの cos 3θ₁ に等しい^†。第1式・第2式は、この C の値と無関係に成立。

よって、最初の問題は、次の3行だけで解決可能だった。

θ = 55° と θ = 55° ± 120° は cos 3θ = cos 165° を満たすが、3倍角の公式から cos 3θ = 4 cos³ θ − 3 cos θ。
すなわち z = cos θ と置くと、 cos 55°, cos 175°, cos (−65°) は、3次方程式 4z³ − 3z − cos 165° = 0 の解。
cos (−65°) = cos 65° に注意すると、解と係数の関係から与式が成り立つ。∎

†　α = cos θ₁, β = cos θ₂, γ = cos θ₃ のうちの任意の一つを cos θ として（つまり θ₁, θ₂, θ₃ のうち、好きな一つを選んで θ として）、 C = cos 3θ としても構わない。

（必須ではないが）選択の仕方を工夫することにより、 0° ≤ 3θ ≤ 180° の範囲の 3θ を使って C を定義でき、従って 0° ≤ θ ≤ 60° に限定できる。なぜなら、もし角度の絶対値が 180° より大きいなら、 360° の整数倍を加減することで（実質的な方位を変えずに）絶対値 180° 以下の角度に置き換え可能; cos (−3θ) = cos 3θ なので、もし −180° ≤ 3θ < 0° なら、符号を変えた正の角度をあらためて 3θ とすることができる。

実際、 cos 3θ = C を満たす角度 3θ は無限個あるが、 0° 以上 180° 以下の範囲に限るなら、ちょうど一つだけ存在する。その範囲から選んだ角度 3θ の 3 分の 1 を θ₁ とすると…
　　θ₁　　《これは 0° 以上 60° 以下の角度》
　　θ₂ = θ₁ + 120°　　《これは 120° 以上 180° 以下の角度》
　　θ₃ = θ₁ − 120°　　《これは −120° 以上 −60° 以下の角度》
…の3種類の角度は、どれも条件 cos 3θ = C を満たす。

51.　『ま』を3次方程式として実際に解いてみる。分数を解消するため y = z/2 と置いて両辺を 8 倍すると:
　　y³ − 3y − 2C = 0　　『み』
関連する2次方程式は:
　　x² − 2Cx + 1 = 0　　『む』
その判別式の 4 分の 1 を d とすると:
　　d = C² − 1

ここで −1 ≤ C ≤ 1 なので、二つのケースに別れる。

(i)　もし C = ±1 なら d = 0 となり、重解が生じる。 C = cos 3θ = 1 は 3θ = 0°, ±360° のような場合で、そのとき θ = 0°, ±120° なので z = cos θ = 0 or −1/2 となる（−1/2 は重解）。3次方程式『み』としては、
　　y³ − 3y − 2 = (y − 2)(y + 1)² = 0
…の場合。その解 y = 2, −1 の半分が z に当たる。同様に C = cos 3θ = −1 は θ = 180°, ±60° のような場合で z = cos θ = −1 or 1/2 となる（1/2 は重解）。3次方程式としては、
　　y³ − 3y + 2 = (y + 2)(y − 1)² = 0
…となる。

(ii)　もし C ≠ ±1 なら d < 0 となり、2次方程式『む』は共役の非実数解を持ち、3次方程式『み』は三つの相異なる実数解を持つ。この場合でも C = 0 などの特殊なケースでは、『み』が有理係数の範囲やそれに近い範囲で分解されるが、一般には Cardano の簡約不能ケースが生じる。具体的に C = cos 3θ, d = C² − 1 とすると、『み』の解（主値）は:
　　y = ³√(C + √d) + ³√(C − √d)
従って『ま』の解は:
　　z = (1/2)(³√(C + √d) + ³√(C − √d))

例1　3θ = 60° の場合。 cos 60° を基に「3 分の 1」角の cos 20° を求める。 C = cos 3θ = 1/2 なので d = (1/2)² − 1 = −3/4 となる。よって √d = 1/2√−3 となって…
　　y = ³√[½ + ½√(−3)] + ³√[½ − ½√(−3)]
右辺各項を 2 = ³√8 倍して（つまり立方根号下の数を 8 倍して）、その和の 2 分の 1 を考えても、全体として右辺の値は変わらない。
　　y = (1/2)(³√(4 + 4√−3) + ³√(4 − 4√−3))
　　∴　cos 20° = z = y/2 = (1/4)(³√(4 + 4√−3) + ³√(4 − 4√−3))

例2　3θ = 120° の場合、 C = cos 3θ = −1/2, d = −3/4 となり、例1と同様に:
　　cos 40° = (1/4)(³√(−4 + 4√−3) + ³√(−4 − 4√−3))

C が「分母 2 の分数」の場合、関連する2次方程式の解がさらに 8 倍されている方が、処理が簡潔になる。『ま』で z = y/2 の代わりに z = Y/4 と置いて両辺を 4³ 倍すると:
　　Y³ − 12Y − 16C = 0
関連する2次方程式 X² − 16CX + 64 = 0 の解は:
　　X = 8C ± √(64C² − 64) = 8C ± 4√(4C² − 4)

例2の場合 X = −4 ± 4√−3 だから:
　　cos 40° = Y/4 = (1/4)(³√(−4 + 4√−3) + ³√(−4 − 4√−3)) = 0.766044443…
　　同様に　cos 20° = (1/4)(³√(4 + 4√−3) + ³√(4 − 4√−3)) = 0.939692620…

例3　3θ = 30° なら、 C = cos 3θ = √3/2 で X = 4√3 ± 4√−1 なので:
　　∴　cos 10° = (1/4)(³√(4√3 + 4√−1) + ³√(4√3 − 4√−1)) = 0.984807753…
同様に 3θ = 150° なら、 C = −√3/2 で X = −4√3 ± 4√−1 なので:
　　cos 50° = (1/4)(³√(−4√3 + 4√−1) + ³√(−4√3 − 4√−1)) = 0.642787609…

具体的な計算をせず、構造を透明に見通すのが「理想」。けれど大抵は、さんざん迷い、遠回りをした末、運が良ければ、ようやくうまい道が見つかる。洗練への道は泥くさい。純粋に遊びとしてやってる分には、探検や宝探しのようなもの。「分からない」ということさえ楽しい。

2024-07-13　3分の1の角度と3次方程式（その2）　カルダノの公式

#遊びの数論　#1 の原始根　#角の等分

カルダノの公式（3次方程式の解の公式）は、意味が分かりにくい。 0.93969… のような「普通の実数」を表すのに、わざわざ「複素数の立方根」の和を使う⸺というのは奇妙。
　　複素数　P = 1/2 + i(√3)/2 = 0.5 + (0.86602…)i
　　共役複素数　P′ = 1/2 − i(√3)/2 = 0.5 − (0.86602…)i
　　実数　0.93969… = (1/2)(³√(P) + ³√(P′))

「理論的意義はともかく、こんな表現じゃ実用にならない！」と言われることも多い。

だが「3分の1の角度のコサイン」のような状況では、カルダノの公式の意味は明快に図示可能。「60° の 3 分の 1 の角度は 20°」といった無邪気な話から、虚数や複素数、その立方根…といった観点が自然と生じてくるのは面白い。

52.　180° 未満の、ある正の角度（3θ）が与えられたとき、その 3 分の 1 の角度（θ）の cos は、次の式を満たす（§51）。
　　cos θ = (1/2)(³√(C + √d) + ³√(C − √d))
　　ここで　C = cos 3θ, d = C² − 1

仮定により 0° < 3θ < 180° なので 1 > C = cos 3θ > −1。従って C² は 1 未満 0 以上。よって、そこから 1 を引いた d は負で √d は純虚数。結局、二つの立方根号下の数は、実数 C と虚数 √d の和または差から成る複素数。

d は負だから −d は正。 −d = 1 − C² = 1 − cos² 3θ = sin² 3θ なので、つじつまは合っている。この正の数 −d = sin² 3θ の平方根は、もちろん正の実数…
　　√−d = sin 3θ
…だ（平方根には ± sin 3θ の可能性があるが、 3θ は正という仮定から、第1・第2象限の sin 3θ も正）！

〔例〕　3θ = 30° の場合、 C = cos 3θ = cos 30° = (√3)/2 なので:
　　d = C² − 1 = ((√3)/2)² − 1 = 3/4 − 1 = −1/4
その平方根 √d は虚数 i/2 だが、符号を変えた −d = 1/4 なら、その平方根は実数:
　　√−d = 1/2
これは sin 3θ = sin 30° に他ならない。

√d は、「正の数」の平方根 √−d = sin 3θ に対応する「負の数」の平方根に（つまり純虚数 i sin 3θ に）等しい。 sin 3θ を S と略すと、 √d = i sin 3θ = iS だから、冒頭の式はこうなる:
　　cos θ = (1/2)(³√(C + √d) + ³√(C − √d)) = (1/2)(³√(C + iS) + ³√(C − iS))
　　略さず書くと　= (1/2)(³√(cos 3θ + i sin 3θ) + ³√(cos 3θ − i sin 3θ))

具体例として 3θ = 60° の場合を考える。座標 (cos 3θ, sin 3θ) は、単位円上の偏角 60° の点 P に当たる。座標の横軸・縦軸の値をそれぞれ実部・虚部の値と解釈するなら（＝座標平面を複素平面と見るなら）、点 P は複素数 cos 60° + i sin 60° に当たる⸺ただし、平面上の点 P を「その横座標 A = cos 60° = 1/2 が実部で、その縦座標 B = sin 60° = (√3)/2 = 0.866… が虚部であるような複素数」と同一視した。

複素平面上の任意の点は「その点の横座標を実部、縦座標を虚部とするような複素数」を表す、と解釈できるので、しばらくの間、「点」と「数」（複素数）という二つの表現を区別せずに使うことにする。

では、複素数 P = cos 60° + i sin 60° の立方根とは…？　単位円上の点の立方根は、再び単位円上にあり、偏角が 3 分の 1 の点^†。つまり図の Q = cos 20° + i sin 20° に当たる。

3θ = 60° の例（画像参照）では…
　　³√(C + √d)　つまり　³√(cos 3θ + i sin 3θ)
…とは、立方根の記号の下にある複素数から見て、偏角が 3 分の 1 の点。要するに P から見た Q の立場^‡。同様に、第二の立方根…
　　³√(C − √d)　つまり　³√(cos 3θ − i sin 3θ)
…は、第一の立方根と比べ「立方根記号の下にある複素数の実部が同じで、虚部の符号だけが反対」。すなわち P′ の立方根に当たる。 P′ は偏角 −60° なので、その立方根は偏角 −20° の Q′。

ここまではイメージしやすいが、その二つの立方根 Q と Q′ を足し合わせる⸺ってのは、一体何をしたいのか？　二つの複素数を足し合わせれば、言うまでもなく、実部同士の和が結果の実部、虚部同士の和が結果の虚部。この場合、 Q と Q′ の実部は等しいので（それを X とする）、 Q + Q′ の実部は 2X に等しい。一方、 Q と Q′ の虚部は大きさが同じで符号が反対なので、足し合わせると 0 になる。結局、 Q + Q′ とは、実部が 2X で虚部が 0 の点 R に当たる（この足し算は「ひし形」でイメージすることもできる）。ところが Q の横座標 X はもちろん cos 20° なので、 Q + Q′ = R = 2X の半分が cos 20° に他ならない。まとめると:
　　cos 20° = (1/2)(Q + Q′) = (1/2)(³√(P) + ³√(P′))
　　 = (1/2)(³√(cos 60° + i sin 60°) + ³√(cos 60° − i sin 60°))

より一般的に 3θ を 60° に限定しない場合でも、次の関係は全く同様。
　　cos θ = (1/2)(³√(cos 3θ + i sin 3θ) + ³√(cos 3θ − i sin 3θ))
　　 = (1/2)(³√(C + iS) + ³√(C − iS)) = (1/2)(³√(C + √d) + ³√(C − √d))

「複素数の立方根」の足し算を含む変な式は、実はごく当たり前のことを言っている: cos 3θ を基準に X = cos θ を求めたければ、
　　複素数　cos 3θ + i sin 3θ　の立方根の実部が X
…だよ、と。つまり ³√(cos 3θ + i sin 3θ) の実部が X だよ…っていうだけ。でも、この立方根それ自体は、複素数 cos θ + i sin θ だ。そこから実部の X = cos θ だけを取り出すための手段として、①第一の立方根 cos θ + i sin θ と第二の立方根 cos θ − i sin θ を求め、②両者を足し合わせることで 2 cos θ を得て、③その半分を考えることで望みの cos θ を得ている！

†　「立方根」の意味から、この主張は「Q を立方すれば P になる」つまり「Q³ = P」ということを含意する。実際、任意の複素数 w の立方 w³ は、 w に比べ偏角が 3 倍になり、絶対値（原点 O からの距離）が 3 乗になる。 Q から見ると確かに P は偏角が 3 倍だし、 P も Q も単位円の円周上にあって絶対値 1 なので、「Q の絶対値 1 の 3 乗」が「P の絶対値」という関係を満たす（ぶっちゃけどっちも絶対値 1 で「1 は何乗しても 1」ってだけだが）。

‡　一般の複素数の立方根は、絶対値が 1 とは限らないのでもう少し話が複雑になる（偏角の主値などの、テクニカルな問題も絡んでくるかもしれない）。ここではシンプルに「絶対値 1 の複素数」の立方根に話を絞る。

53.　要約　180° 未満の、ある正の角度 3θ に対する cos と sin がそれぞれ C, S なら、その 3 分の 1 の角度 θ の cos は、次の形を持つ。
　　cos θ = (1/2)[(C + iS)^1/3 + (C − iS)^1/3]
ただし表記の便宜上 ³√(…) の代わりに (…)^1/3 と書いた。ここでは「どちらの表記も同じ意味。立方根の主値を表す」とする。

例1　cos 60° = 1/2, sin 60° = (√3)/2 なので、それらを C, S とすると:
　　cos 20° = (1/2)[(1/2 + i(√3)/2)^1/3 + (1/2 − i(√3)/2)^1/3]
この分数だらけの式については、 [ ] 内を 2 倍⸺つまり (…)^1/3 内を 8 倍⸺して、代わりに冒頭の分母を 2 から 4 にすれば、もう少し簡潔に整理可能（§51）。前述の図解との関係では、上記形式の方が、何が起きているのか分かりやすい。

例2　cos 45° = sin 45° = (√2)/2 なので:
　　cos 15° = (1/2)[((√2)/2 + i(√2)/2)^1/3 + ((√2)/2 − i(√2)/2)^1/3]
理論的には、これで何も間違ってない。しかし cos 15° は平方根までの範囲で表現可能なので、こんなふうに複素立方根を使って表記するのは、無駄に複雑。3次方程式を使うまでもなく…
　　cos 15° = cos (45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
　　 = (√2)/2⋅(√3)/2 + (√2)/2⋅1/2 = (√6 + √2)/4
　　ついでに　sin 15° = sin (45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°
　　 = (√2)/2⋅(√3)/2 − (√2)/2⋅1/2 = (√6 − √2)/4
分子の √6 と √2 の間の符号は、どっちが + でどっちが − か？　「角度が 0° に近いとき、その角度の cos は 1 に近く sin は 0 に近い」ってことから、どっちが + かは明らかだろう。

例3　cos 30° = (√3)/2, sin 30° = 1/2 なので:
　　cos 10° = (1/2)[((√3)/2 + i1/2)^1/3 + ((√3)/2 − i1/2)^1/3]
例1とほぼ同じ。立方根の実部と虚部が入れ替わっただけ。 cos 30° = sin 60°, sin 30° = cos 60° なので。

同様に cos 150° = −(√3)/2, sin 150° = 1/2 なので:
　　cos 50° = (1/2)[(−(√3)/2 + i1/2)^1/3 + (−(√3)/2 − i1/2)^1/3]

例4　cos 15° = (√6 + √2)/4, sin 15° = (√6 − √2)/4 なので（例2のコメント参照）:
　　cos 5° = (1/2)[((√6 + √2)/4 + i(√6 − √2)/4)^1/3 + ((√6 + √2)/4 − i(√6 − √2)/4)^1/3]　　（⌘）

例4は、「遊びの cos 5°」で場当たり的に求めた値の、理論整然とした表記。必須ではないが、分数を一つにまとめるため、右辺冒頭の分数を半分にして、代わりに [ ] 内を 2 倍すると⸺ついでに、 i√m の形の純虚数を √−m と表記すると⸺:
　　cos 5° = (1/4)[(2√6 + 2√2 + 2√−6 − 2√−2)^1/3 + (2√6 + 2√2 − 2√−6 + 2√−2)^1/3]
　　 = (√2/4)[(√3 + 1 + √−3 − √−1)^1/3 + (√3 + 1 − √−3 + √−1)^1/3]
最後の等号では [ ] 内から √2 を⸺つまり (…)^1/3 内から 2√2 を⸺くくり出した（§48参照）。この書き換えの結果が「遊びの cos 5°」の表記と同じ値を表していることは、容易に確認可能。

例5　三角関数の基本性質として cos 75° = sin 15°, sin 75° = cos 15° なので、 3θ = 75° の場合は、例4とほとんど同じ。単に立方根の実部と虚部が入れ替わる（言い換えると √6 と √2 の間の符号が逆になる）:
　　cos 25° = (1/2)[((√6 − √2)/4 + i(√6 + √2)/4)^1/3 + ((√6 − √2)/4 − i(√6 + √2)/4)^1/3]　　（⌘）

cos 5° と cos 25° の表現の対称性（⌘）は、眺めて楽しい。 15° ないし 75° の cos, sin をそれぞれ C, S として、「C + iS の立方根と C − iS の立方根を足して 2 で割ってる」だけで、タネが分かると当たり前…。

この手法は「3 分の 1」角以外にも適用できる⸺例えば (C ± iS)^1/3 を (C ± iS)^1/7 に置き換えれば「7 分の 1」角の cos に。実際には「7 分の 1」は（そんなふうに7乗根を使うまでもなく）立方根までの範囲で表現可能だが、理論上、円周の任意の整数等分は、この方法で根号表現される。

2024-07-14　3分の1の角度と3次方程式（その3）　sin バージョン

#遊びの数論　#1 の原始根　#Morrie の法則　#角の等分

sin, cos いずれの3倍角の公式も「4A³ と 3A の差」の形。「差」と言っても、どっちが 4A³ − 3A で、どっちが 3A − 4A³ か？

A の値が 1 のとき、 4A³ − 3A は 1 だが、 3A − 4A³ は −1。さて θ = 0° なら cos θ = 1 で、 cos 3θ = cos 0° も = 1 なので、 4A³ − 3A つまり 4 cos³ θ − 3 cos θ が cos バージョン。 θ = 90° のとき sin θ = 1 で、 sin 3θ = sin 270° = −1 なので、 3 sin θ − 4 sin³ θ が sin バージョン。

54.　sin の3倍角の公式は sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ。

〔証明〕　sin 3θ = sin (2θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ
　　 = (2 sin θ cos θ) cos θ + (cos² θ − sin² θ) sin θ
ここで (2 sin θ cos θ) cos θ = 2 sin θ cos² θ = 2 sin θ (1 − sin² θ), cos² θ − sin² θ = (1 − sin² θ) − sin² θ なので:
　　sin 3θ = 2 sin θ (1 − sin² θ) + (1 − 2 sin² θ) sin θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ ∎

今 sin 3θ = S, sin θ = z と置くと:
　　S = 3z − 4z³　つまり　4z³ − 3z + S = 0
　　∴　z³ − (3/4)z + S/4 = 0　　『め』

y = z/2 と置いて、『め』の両辺を 8 倍すると:
　　y³ − 3y + 2S = 0　　『も』
cos についての同様の式 y³ − 3y − 2C = 0 と比べると（§51）、定数項の符号が違うだけ。『も』に関連する2次式 x² + 2Sx + 1 の判別式の 4 分の 1 を d とすると:
　　d = S² − 1 = −C²　ここで　C = cos 3θ
ゆえに『め』の解は:
　　z = (1/2)(³√(−S + iC) + ³√(−S − iC))

〔例〕　3θ = 60° のとき C = 1/2, S = (√3)/2 なので:
　　z = (1/2)[(−(√3)/2 + i1/2)^1/3 + (−(√3)/2 − i1/2)^1/3]
この z の主値は cos 50° に（従って sin 40° に）等しい（§53、例3）。見掛け上、 60° の 3 分の 1 の角度の sin を求めているようだが、 sin 20° = cos 70° = cos (−70°) = cos (50° − 120°) は主値ではない。もう一つの非主値は cos (50° + 120°) = cos 170° = −cos 10° = −sin 80° だ。

1 の原始3乗根を掛けることで二つの立方根の偏角を 120° ずつ回転させれば、「現在の表現では非主値である特定の値」を主値とするような新しい根号表現を作ることは、常に可能。もっとも sin 20° の場合、 cos 20° の表現から虚部を抜き出した方が手っ取り早く、分かりやすい。
　　cos 20° = (1/2)[(1/2 + i(√3)/2)^1/3 + (1/2 − i(√3)/2)^1/3] = 0.93969262078…
　　sin 20° = [1/(2i)][(1/2 + i(√3)/2)^1/3 − (1/2 − i(√3)/2)^1/3] = 0.34202014332…

sin の「3 分の 1角」の公式は、事実上 cos の「3 分の 1角」の公式の再利用に過ぎない。 0° < θ < 60° の範囲の cos θ は、もし C = cos 3θ を四則演算・根号の範囲で表現できるなら、 Cardano 形式の主値として根号表現可能; そして 30° < X < 90° の範囲の sin X は、基本性質 sin X = cos (90° − X) により、上記の範囲の cos θ の問題に帰着。例えば sin 80° を求めることは cos 10° を求めることに他ならない（§53、例3）。

55.　『め』の解と係数の関係を考えると、 cos の場合と同様（§50）、 θ₁, θ₂, θ₃ が 120° 間隔の任意の角度なら α = sin θ₁, β = sin θ₂, γ = sin θ₃ について、次が成り立つ。
　　α + β + γ = 0
　　αβ + βγ + γα = −3/4
　　αβγ = −S/4

ここで S は、 θ₁, θ₂, θ₃ のどれでもいいから一つを選んで θ とした場合の sin 3θ に等しい。

第1式・第2式は θ₁, θ₂, θ₃ の sin でも θ₁, θ₂, θ₃ の cos でも変わらない。例えば…
　　cos 10° cos 130° + cos 130° cos 250° + cos 250° cos 10° = −3/4
　　sin 10° sin 130° + sin 130° sin 250° + sin 250° sin 10° = −3/4

〔注〕　「120° 間隔の角度」に対する三つの値と同じ値であっても、角度が 120° 間隔ではない⸺という場合には、一般に cos と sin を置き換えられない。例えば cos 250° = cos (−250°) = cos 110° なので、上の cos 250° を cos 110° に置き換えても値は同じだが「120° 間隔の角度」ではなくなる。この場合、 sin 250° = sin (−110°) = −sin 110° なので、第2式の sin 250° を sin 110° に置き換えると、値が変わってしまう（−sin 110° に置き換えるのならいいが）。

120° 間隔の角度 θ₁, θ₂, θ₃ に対する cos の積は cos 3θ の 4 分の 1 だったが、同じ θ₁, θ₂, θ₃ に対する sin の積は、符号設定が変わって、 sin 3θ のマイナス 4 分の 1。

例題　sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° を数値で表す。

いろんなやり方があるだろうが、とりあえず Morrie の法則 cos 20° cos 40° cos 80° = 1/8 の sin 版を考える。

sin 40° と sin 160° = sin 20° と sin 280° = sin (−80°) = −sin 80° は 120° 間隔の三つの角度。上述の性質を使い、三つの角度のうち、例えば 20° を θ とすると S = sin 3θ = sin 60° = (√3)/2 なので^†…
　　sin 20° sin 40° (−sin 80°) = −sin 60°/4 = −(√3)/8
　　∴　sin 20° sin 40° sin 80° = (√3)/8
　　∴　sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = (√3)/8⋅(√3)/2 = 3/16 ∎

†　他の二つの角度（40°, −80°）のどちらかを θ としても S の値は変わらない。三つの θ 候補はどの二つも 120° の違いなので、 3 倍した 3θ は 360° の違いになり、実質、同じ方位。それに対応する三角関数の値は同じ。

別解　Morrie の法則の両辺に cos 60° = 1/2 を掛けて:
　　cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1/16
ところで tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = 3 が成り立つ。従って:
　　sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = (tan 20° tan 40° tan 60° tan 80°) × (cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°) = 3/16 ∎

なかなかきれいな結果が得られた！

2024-07-15　3分の1の角度と3次方程式（その4）　tan バージョン

#遊びの数論　#1 の原始根　#Morrie の法則　#角の等分

tan² 20° + tan² 40° + tan² 60° + tan² 80° = 36 のようなきれいな式の背景。

56.　tan の3倍角の公式は、加法定理を使って機械的に導出可能だが、「実部 1 の複素数」の偏角を考えると意味が分かりやすい。複素平面上で、複素数 w = 1 + iz が表す点（z: 実数）と原点を結ぶ直線の傾きは、明らかに z。この直線と正の実軸が成す角度は⸺言い換えれば w の偏角 θ は⸺、もちろん z = tan θ を満たす（偏角の tan は傾き）。

〔例1〕　虚部 z = √3 の場合。 w = 1 + i√3 = 1 + i(1.732…) に当たる点 P と原点 O を結ぶ直線の傾きは √3 = 1.732…。 P から横軸に下ろした垂線の足 A は (1, 0) なので、直角三角形 OPA は底辺 1、高さ √3、従って（三平方の定理から）斜辺の長さ 2。横軸上の点 B (2, 0) を考えると △OPB は一辺 2 の正三角形。従って w の偏角 θ = ∠POA = ∠POB は = 60° = π/3。確かに z = tan θ つまり √3 = tan 60° が成立。

一般に、複素数 w = 1 + iz の偏角が θ なら、 w³ = (1 + iz)³ = (1 − 3z²) + i(3z − z³) の偏角は 3θ だ。 w³ に当たる点と原点を結ぶ直線の傾きは (3z − z³)/(1 − 3z²) なので、「偏角の tan は傾き」ということから、次の関係が成り立つ:
　　tan 3θ = (3z − z³)/(1 − 3z²) = (3 tan θ − tan³ θ)/(1 − 3 tan² θ)
これが tan の3倍角の公式。形式的には、二項係数 1 3 3 1 を分母・分子に交互に、符号を交代させながら書いたもの。

〔例2〕　例1の w = 1 + i√3 は、偏角 θ が 60° だった。 3乗すると…
　　w³ = (1 + i√3)³ = 1³ + 3⋅1²⋅i√3 + 3⋅1⋅(i√3)² + (i√3)³
　　 = 1 + (3√3)i − 9 − (3√3)i = −8
この w³ は実部が負、虚部が 0 なので、横軸上の負の向きにあり、確かに偏角が 180° つまり 3θ に等しい。このとき、3倍角の公式の左辺は確かに tan 3θ = tan 180° = 0 であり、右辺は次のように左辺と一致:
　　(3 tan 60° − tan³ 60°)/(1 − 3 tan² 60°) = [3√3 − (√3)³]/[1 − 3(√3)²] = 0/(−8) = 0
ちなみに w の絶対値 2 から見ると、 w³ の絶対値 8 は3乗になっている。

tan θ の値を引き続き z として、 tan 3θ の値を T とする。3倍角の公式…
　　T = (3z − z³)/(1 − 3z²)
…の分母を払うため、両辺を 1 − 3z² 倍すると T − 3Tz² = 3z − z³ となり、それを整理すると:
　　z³ − 3Tz² − 3z + T = 0　　『や』

これは cos 版の『ま』や sin 版の『め』に当たる tan 版の3次方程式: ある角度 3θ が与えられたとき、それに関連する実数 T = tan 3θ を考えると、『や』を満たす三つの z ⸺ α = tan θ₁, β = tan θ₂, γ = tan θ₃ とする⸺のうちどれか一つは、 tan θ に等しい。 θ₁, θ₂, θ₃ は、いずれも「その 3 倍の角度の tan が T であるような角度」。

cos 版、 sin 版と同様、残りの2解は tan (θ ± 120°) である…と言っても間違いではない。もっとも、 360° 周期の関数 cos, sin と違い tan は 180° を周期とするので^†、 tan 版の場合、 θ ± 120° の代わりに θ ∓ 60° と言っても同じこと。実際、 tan (θ ± 120°) = tan (θ ∓ 60°) が成り立つ。解の順序を区別しなければ tan (θ ± 60°) と言ってもいい。

†　例えば原点と「偏角 −40° の点」を結ぶ直線、原点と「偏角 140° の点」を結ぶ直線は、同一の直線であり、当然、同一の傾きを持つ。つまり tan (−40°) と tan (−40° + 180°) = tan 140° は等しい。

57.　『や』の解と係数の関係から、 θ₁, θ₂, θ₃ が 60° 間隔（または 120° 間隔）の三つの角度のとき、 α = tan θ₁, β = tan θ₂, γ = tan θ₃ は、次の関係を満たす。
　　α + β + γ = 3T
　　αβ + βγ + γα = −3
　　αβγ = −T
ここで T というのは、 θ₁, θ₂, θ₃ のどれか一つを選んで（どれを選んでも結果は同じ）それを θ としたときの tan 3θ の値。

〔例3〕　−40°, 20°, 80° は 60° 間隔の三つの角度なので:
　　tan (−40°) tan 20° tan 80° = −tan 60° = −√3
この計算では 20° を θ として T = tan 3θ = tan 60° とした。さて tan (−40°) = −tan 40° なので、上の等式の両辺の −1 倍から:
　　tan 20° tan 40° tan 80° = √3
　　∴　tan 20° tan 40° tan 60° tan 80° = √3⋅√3 = 3√3

〔例4〕　例3と同じ T を使って tan (−40°) + tan 20° + tan 80° = 3√3 = 1.73205080… × 3 = 5.1961524…

〔例5〕　tan (−40°) tan 20° + tan 20° tan 80° + tan 80° tan (−40°) = −3

〔例6〕　α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα) なので、例4・例5から:
　　tan² 20° + tan² 40° + tan² 80° = (3√3)² − 2(−3) = 27 + 6 = 33
　　∴　tan² 20° + tan² 40° + tan² 60° + tan² 80° = 33 + 3 = 36
同様に tan (−50°) + tan 10° + tan 70° = 3 tan 30° = √3 なので:
　　tan² 10° + tan² 50° + tan² 70° = (√3)² − 2(−3) = 9
　　∴　tan² 10° + tan² 30° + tan² 50° + tan² 70° = 9 + 1/3 = 28/3

以前「ゾクッとする式・きれいな式」として tan² 20° + tan² 40° + tan² 80° = 33 などの関係を“発見”したが、今はそのパターンをより一般的な文脈の中で認識できる。 3 倍の角度 3θ ⸺ 3θ の側から見れば 3 分の 1 の角度 θ ⸺が絡む3次方程式の、解と係数の関係から派生する一つの例として。

58.　3次方程式『や』、つまり z³ − 3Tz² − 3z + T = 0 について、ここまでは個々の解 α, β, γ の値を問題にせず、「その三つ全部を含む対称式」の値（積 αβγ など）を考えた。今度は、個々の解を考えてみたい。

3次方程式の定石に従い、2次の項を消すため、変数を置換して z = y + T と置く:
　　(y + T)³ − 3T(y + T)² − 3(y + T) + T = 0
左辺を展開、整理すると…
　　(y³ + 3y²T + 3yT² + T³) − 3T(y² + 2yT + T²) − 3y − 3T + T
　　 = y³ + y²(3T − 3T) + y(3T² − 6T² − 3) + (T³ − 3T³ − 2T)
　　 = y³ + (−3T² − 3)y + (−2T³ − 2T)
つまり『や』は、こうなる:
　　y³ − (3T² + 3)y − (2T³ + 2T) = 0　　『ゆ』
関連する2次方程式は:
　　x² − (2T³ + 2T)x + (T² + 1)³ = 0　　『よ』

『よ』の判別式の 4 分の 1 を d とすると…
　　d = (T³ + T)² − (T² + 1)³
　　 = (T⁶ + 2T⁴ + T²) − (T⁶ + 3T⁴ + 3T² + 1) = −T⁴ − 2T² − 1
　　 = −(T² + 1)²

T = tan 3θ は実数なので T² は 0 以上、よって (T² + 1)² は 1 以上の正の数; 従って d = −(T² + 1)² は負。『よ』は非実数の共役複素数解を持ち、『ゆ』従って『や』は三つの相異なる実数解を持つ（『や』の3解 α, β, γ が 60° 間隔の実数の角度の tan であることと、つじつまが合う）。

三角関数の基礎によれば sin² 3θ + cos² 3θ = 1、その両辺を cos² 3θ で割れば…
　　tan² 3θ + 1 = sec² 3θ　　ただし sec 3θ とは cos 3θ の逆数
…なので、負の数 d = −(T² + 1)² = −(tan² 3θ + 1)² とは (−1)(sec² 3θ) であり、その平方根は次の純虚数:
　　±√d = ±i sec 3θ
よって『よ』の解は:
　　(T³ + T) ± i sec 3θ = tan 3θ(tan² 3θ + 1) ± i sec 3θ
　　 = tan 3θ(sec² 3θ) ± i sec 3θ = sec² 3θ(tan 3θ ± i)
ゆえに Cardano の公式から『ゆ』の解は:
　　y = ³√[sec² 3θ(tan 3θ + i)] + ³√[sec² 3θ(tan 3θ − i)]　　『ら』

変数を z = y + T = tan 3θ + y に戻し、次の結論に至る。

定理1（3 分の 1 角の tan）　30° より大きく 90° より小さい角度 θ について:
　　tan θ = T + [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3
　　ここで　T = tan 3θ, E = sec 3θ

角度 θ の範囲制限は、立方根の主値を考える場合の十分条件。すなわち、『ら』の二つの立方根は共役複素数であり、立方根が主値（偏角の絶対値が 60° 未満^†）を表すという規約の下で、『ら』の実数 y は、『ゆ』の三つの実数解のうち最大のものに等しい。与えられた定数 T = cos 3θ を y に足したものが z なので、 y が大きければ大きいほど、それに対応する z も大きい。要するに『や』の三つの実数解 z = α, β, γ のうちで最大のものが、『ら』の立方根の主値に対応。この「最大の解」を仮に α = tan θ₁ とすると、具体的な解 α の値が何であれ、 −180° < θ₁ < 180° の範囲から θ₁ を選ぶことができる（その範囲で tan は任意の実数値を取るので）。3解が 60° 間隔の三つの角度に対応することを思い出そう。もしも θ₁ < 30° なら、 z = tan (θ₁ + 60°) の方が値の大きい解なので「α が最大の解」という仮定に反するし、もしも θ₁ = 30° なら T = tan 3θ₁ = tan 90° は定義されないので、題意に適さない。よって、立方根の主値を考える場合、一般性を失うことなく θ は上掲の範囲内にあると仮定できる。

立方根の非主値も考え、必要に応じて一方の立方根の偏角を ±120° 変え、他方の立方根の偏角を ∓120° 変えるなら（複号同順）、 θ のこの範囲制限はなくなる。例外として、その場合でも T = tan 3θ が定義されないことには計算が成り立たないので、上記の式で θ が ±30° ⸺または、それに 60° の整数倍を加減した角度⸺になることだけは不可能^‡。

†　任意の複素数の偏角 A を −180° < A ≤ 180° の範囲で表すことにする。「負の実数（偏角 180°）の立方根」の主値の偏角は 60° に等しいが、『ら』の立方根号下の数は、2次方程式『よ』（その判別式は負である）の解であり、実数ではない。ゆえに、これらの（非実数の）立方根の主値の偏角 B は −60° < B < 60° の範囲。

‡　『や』を解くまでもなく tan 30° などの値（あるいは tan 90° などが定義されないこと）は明らかなので、これらの例外の角度は、実用上問題にならない。

例として、 θ = 80° とすると、 T = tan 3θ = tan 240° = tan 60° = √3 だから:
　　E = sec 3θ = 1 / cos 240° = −2, E² = (−2)² = 4
　　∴　tan 80° = T + [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3 = √3 + [4(√3 + i)]^1/3 + [4(√3 − i)]^1/3

〔注〕　T = tan 3θ の値は θ に 60° の倍数を加減しても変わらない。上の例では θ = 20° でも T = √3。一方 E = sec 3θ の値は θ に 60° を加減したとき、符号が反対になる; cos 3(θ ± 60°) = cos (3θ ± 180°) = −cos 3θ だから。しかし実際に使うのは E² の値なので、 E の符号の違いは結果に影響しない。

tan 80° については、以前、特定の3次方程式を経由して検討したが、今、われわれは、任意の角度 θ について、もし tan 3θ と cos 3θ の表現（四則演算・根号までの範囲での）が分かれば、機械的に tan θ の根号表現を決定できる立場になった。理論上、 cos 3θ と sin 3θ の一方の表現が分かれば他方の表現も（従って tan 3θ の表現も）決定できるので、「この計算で tan θ を求めるのに必要なのは、 cos 3θ または sin 3θ の根号表現だけ」ということになる。

二つの注意点。第一に、立方根の主値を考える場合、絶対値 30° 未満の θ について、この方法で tan θ の根号表現を求めることはできない。非主値を利用するなら、この制約は生じない。第二に、 tan θ が平方根までの範囲で表現可能な場合について（例えば tan 75° について）、あえてこの方法で根号表現を求めようとすると、「間違いではないが無駄に難解な表現」（不必要な立方根を含む）が生じてしまう。この「無駄に複雑な表現」は（少なくとも理論的には）後から簡約可能だが、この種の簡約（立方根の除去）は一般に難しい。初めから平易な方法で⸺例えば tan 75° なら tan (45° + 30°) などとして⸺計算した方がいい。

2024-07-20　3分の1の角度の tan について

#遊びの数論　#角の等分

3次方程式を解くことにより、例えば tan 120° を使って tan 40° を表し、 tan 150° を使って tan 50° を表すことができる。それとは別に、このような「3 分の 1 の角度の tan」を「同じ角度の sin」を使って表せる。例えば…
　　tan 40° = 4 sin 40° − √3
　　tan 50° = (4 sin 50° − 1) / √3

59.　θ₂ を −30° より大きく 30° より小さい角度として、 θ₁ = θ₂ + 60°, θ₃ = θ₂ − 60° とする。θ₁, θ₂, θ₃ は、 (−90°, 90°) の区間の 60° 間隔の三つの角度。

〔例1〕　θ₁ = 80°, θ₂ = 20°, θ₃ = −40° は、そのような 60° 間隔の角度。 θ₁ − θ₂ = θ₂ − θ₃ = 60° であり、 θ₃ − θ₁ も ≡ 60° (mod 180°) である。

このような場合、 θ₁, θ₂, θ₃ のどれを θ としても T = tan 3θ の値は一定; E = sec 3θ は、符号の違いを除き一定で、 E² = sec² 3θ は符号も含めて一定の値を持つ。

〔例2〕　例1の場合 T = tan 240° = tan 60° = tan (−120°) = √3; E = sec 240° = sec (−120°) = −2 または E = sec 60° = 2 で、どちらの場合も E² = 4。

定理2　θ が −30° より大きく 30° より小さい角度なら:
　　tan (θ + 60°) = tan (3θ) + 2 sec (3θ) cos (30° − θ) = tan (3θ) + 2 sec (3θ) sin (θ + 60°)

証明　この定理の θ は上記の θ₂ に当たる。左辺にある角度 θ + 60° は、 30° より大きく 90° より小さい（θ₁ に当たる）。 T = tan 3θ, E = sec 3θ と置くと、そのどちらも実数で、次の関係が成り立つ（§58、定理1）。
　　tan (θ + 60°) = T + [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3
二つの立方根の和 [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3 が 2 sec (3θ) cos (30° − θ) に等しいことを示せば、定理は証明される（sin を使った表現は cos X = sin (90° − X) による書き換えに過ぎない）。

さて、 E² は実数なので、複素数 w = E²(T + i) の偏角は T + i の偏角に等しい。 T + i は実部が T で虚部が 1 なので、その偏角 η は第1または第2象限の角で、 cot η = T を満たす。すなわち:
　　cot η = T = tan 3θ = cot (90° − 3θ)
　　∴　η = 90° − 3θ　　『り』
（仮定により −90° < 3θ < 90° なので、偏角 η は 0° < η < 180° を満たし、正しい象限にある。）

一方、この複素数 w = E²T + iE² の絶対値の平方は:
　　(E²T)² + (E²)² = E⁴(T² + 1) = E⁶
　　なぜなら　T² + 1 = tan² 3θ + 1 = sec² 3θ = E²
従って w の絶対値は E³ である（仮定により −90° < 3θ < 90° なので cos 3θ は正、よってその逆数 E は正で E³ も正）。

以上のことから、極座標表現を使うと…
　　E²(T + i) = w = E³(cos η + i sin η)
　　E²(T − i) = w^* = E³(cos η − i sin η)
…となって:
　　[E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3 = w^1/3 + (w^*)^1/3
　　 = E(cos (η/3) + i sin (η/3)) + E(cos (η/3) − i sin (η/3))
　　 = 2E cos (η/3) = 2 sec (3θ) cos (30° − θ)
なぜなら『り』から η/3 は 30° − θ に等しい。∎

60.　定理2の例　θ = 20° のとき:
　　tan 80° = tan 60° + 2 sec 60° cos 10° = tan 60° + 4 cos 10° = tan 60° + 4 sin 80°

実際、 T = tan 3θ = tan 60°, E = sec 3θ = sec 60° と置くと、定理1から:
　　tan 80° = T + [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3
　　 = tan 60° + [4(tan 60° + i)]^1/3 + [4(tan 60° − i)]^1/3
ここで w = E²(T + i) の偏角は arccot (tan 60°) = arccot (cot 30°) = 30° であり、
　　|w|² = (4√3)² + 4² = 64
…なので、 |w| = 8。従って:
　　[4(tan 60° + i)]^1/3 = [8(cos 30° + i sin 30°)]^1/3 = 2(cos 10° + i sin 10°)
　　∴　[4(tan 60° + i)]^1/3 + [4(tan 60° − i)]^1/3 = 4 cos 10°

代数的にも、次の二つの数が等しいことを容易に確かめられる。
　　[4(tan 60° + i)]^1/3 = [4(√3 + i)]^1/3
　　[8(cos 30° + i sin 30°)]^1/3 = [8((√3)/2 + i 1/2)]^1/3 = 2((√3)/2 + i 1/2)^1/3

同様に θ = −20° のとき:
　　tan 40° = −tan 60° + 4 cos 50° = −tan 60° + 4 sin 40°

T = tan 3θ = tan (−60°) = −√3 の符号が反転する以外、既述の例とほとんど同じ; w に当たる複素数の偏角は arccot (tan (−60°)) = arccot (cot 150°) = 150° となる。 cot (−30°) = cot 150° なので、形式的には −30° も同様の式を成立させるが、 w は第1または第2象限にあるので、 −30° では偏角が間違った向き（正反対）になってしまう。

〔参考〕　実数 y に対する arccot y の値域を (0°, 180°) とすることは、実変数の y = cot x を考える場合には珍しくない（複素関数としての観点からは必ずしも自然ではないが）。

次の結論に至る。

tan 80° = √3 + 2[((√3 + i)/2)^1/3 + ((√3 − i)/2)^1/3] = √3 + ³√(4√3 + 4i) + ³√(4√3 − 4i)
tan 40° = −√3 + 2[((−√3 + i)/2)^1/3 + ((−√3 − i)/2)^1/3] = −√3 + ³√(−4√3 + 4i) + ³√(−4√3 + 4i)

定理2の例（その2）　θ = 10° のとき:
　　tan 70° = tan 30° + 2 sec 30° cos 20° = tan 30° (1 + 4 cos 20°) = tan 30° (1 + 4 sin 70°)

実際、 T = tan 30° = 1/√3, E = sec 30° = 2/√3 = 2 tan 30° と置くと、定理1から:
　　tan 70° = T + [E²(T + i)]^1/3 + [E²(T − i)]^1/3 = 1/√3 + [(4/3)(1/√3 + i)]^1/3 + [(4/3)(1/√3 − i)]^1/3
　　 = tan 30° + [(4/3)(tan 30° + i)]^1/3 + [(4/3)(tan 30° − i)]^1/3
ここで w = E²(T + i) の偏角は arccot (tan 30°) = arccot (cot 60°) = 60° であり、
　　|w|² = (4/(3√3))² + (4/3)² = 64/27
…なので、 |w| = 8/(3√3)。従って:
　　[(4/3)(tan 30° + i)]^1/3 = [8/(3√3)(cos 60° + i sin 60°)]^1/3 = 2/(√3)(cos 20° + i sin 20°)
　　∴　[(4/3)(tan 30° + i)]^1/3 + [(4/3)(tan 30° − i)]^1/3 = 4/(√3) cos 20° = 4 tan 30° cos 20°

代数的には、次の二つの数が等しい。
　　[(4/3)(tan 30° + i)]^1/3 = [4/(3√3)(1 + i√3)]^1/3
　　[8/(3√3)(cos 60° + i sin 60°)]^1/3 = [8/(3√3)((1)/2 + i √3/2)]^1/3

同様に θ = −10° のとき:
　　tan 50° = −tan 30° + 2(2 tan 30°) cos 40° = tan 30° (−1 + 4 cos 40°) = tan 30° (−1 + 4 sin 50°)

次の結論に至る。

tan 70° = 1/√3 + 2/(√3)[((1)/2 + i√3/2)^1/3 + ((1)/2 − i√3/2)^1/3] = (1/√3)[1 + ³√(4 + 4i√3) + ³√(4 − 4i√3)]
tan 50° = −1/√3 + 2/(√3)[((−1)/2 + i√3/2)^1/3 + ((−1)/2 − i√3/2)^1/3] = (1/√3)[−1 + ³√(−4 + 4i√3) + ³√(−4 − 4i√3)]

tan 40°, tan 50° などが、それぞれ sin 40°, sin 50° との間で面白い等式（それほど自明ではない）を満たすことは、漠然と分かっていた（最初にたまたま tan 80° のケースに気付いたときは、かなりミステリアスな感じがした）。今回 cot, arccot を利用することで、この関係について仕組みを明らかにして、多少一般化できた。 θ が π の有理数倍なら、定理1における w = tan 3θ ± i の偏角 η = 90° − 3θ も π の有理数倍。よって w の立方根の偏角も π の有理数倍になり、もし −30° < θ < 30° なら tan (θ + 60°) = tan 3θ + 2 sec (3θ) sin (θ + 60°) が成り立つ。 θ が 10° の倍数の場合に限らず、例えば tan 65° = tan 15° + 2 sec 15° sin 65° となる。

この種の関係は（少なくとも個々のケースに関しては）、工夫すればもっと直接的に⸺ Cardano 形式を経由せず、一般的な三角関数の公式だけを使って⸺示すことができるのかもしれない。あまり人気のない Cardano 形式だが、この場合に関しては、なかなか気分のいい展望台。「実数の範囲の議論であっても、実数の範囲で考えるのでは見えない事柄がある」ということ、複素数の範囲で考えることが自然で必然的であるということが、あらためて実感される。

『遊びの数論31』に続く

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