（遊びの数論34）
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きちんとまとまった記事ではなく、雑多なメモ。誤字脱字・間違いがあるかもしれません。
- 目次。約1の項目があります。2024などの数字は、メモの日付です。
- 2024-10-27 正七角形のいんちき作図法 だまされないぞ！
- 2024-10-28 正七角形のいんちき作図法（その2） ヒント
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2024-10-27 正七角形のいんちき作図法 だまされないぞ！
問題 下記の作図は、どこが間違っているか。
任意の線分 PQ を延長します。その直線上の P の反対側で PQ:QR = 1:3 になるような場所に印を付け（コンパスを使って）、点 R と呼びましょう。さらに QR:RS = 1:2 になるような点 S に印を付けます。
S を中心に半径 PS の円を描き、円 S と呼びます。円 S が直線 PS と交わる新しい点を A とします。
Q を通り PS と直交する直線が、円 S と交わる点を D, E とします。
D を中心に半径 DE の円を描き、それが円 S と交わる新しい点を C とします。
同様に、コンパスの幅を DE に固定して、円 S 上に等間隔の点 A, B, C, D, E, F, G を次々と取り、線で結べば、正七角形 ABCDEFG の出来上がり♪
2024-10-28 正七角形のいんちき作図法（その2） ヒント
この「いんちき作図」、少々惑わすような記述もあれど、要するに PQ:QS = 1:9 と言っている。
PS の長さを 1 としよう。すると QS の長さは 0.9。
…おいおい、そりゃーおかしくねーかぁ？
だってさぁ、直角三角形 QSD を考えると SD = 1 じゃん、円の半径だから。ってことは、作図が正しけりゃ cos (π/7) = 0.9 になっちまうぞ！
（あるいは S を原点として、符号も考えるなら cos (6π/7) = −0.9 ってことに。）
コサイン（cos）ってのは、 45° とかの「きっかりした角度」を入れても、出力は √2/2 = 0.7071… とかの無理数だぜ、普通？
ましてや π/7 = 180°/7 = 25.714…° みてーな「割り切れねぇ角度」のコサインが、きっかり 0.9 = 9/10 になるわけねーだろ、感覚的に言って！
ダウト、ダウト、
ダウト！
直観的にはそう思える。でも、どうやってそれを証明しましょう？
それにしても、作図がおかしいのなら、何でちゃんと正七角形になってるように見えるんだろう。正七角形が「作図不可能」なら、なぜ現実に正七角形の物体が存在するのだろう…？
あなたは正七角形の存在を信じますか
