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五・六・十角形の恒等式（遊びの数論24）

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2024-03-27　五・六・十角形の恒等式　現代とは違う感覚
2024-03-31　五角形のジグソーパズル　五・六・十角形の式の別証明
2024-03-23　「正五角形の矢」とは…
2024-03-22　「正五角形の矢」の研究　小学生の算数から
2024-03-24　「正五角形の矢」の研究（続き）
2024-04-01　加法定理からの tan 24°　「基本の次」の二重根号処理
2024-04-02　sin/cos からの tan 24°　やや複雑な二重根号処理

コタンジェントに恋してる

2024-03-27　五・六・十角形の恒等式　現代とは違う感覚

#数論　#正五角形　#正五角形の矢

今から2000年以上前の古代ギリシャでは、ものすごく幾何学の研究が進んでいた。ユークリッドの『幾何学原論』第13巻（最終巻）の命題10は、次のような趣旨の、優雅で面白い定理。

「同一の円に内接する正五角形・正六角形・正十角形の一辺の長さをそれぞれ x, y, z とすると、 x² = y² + z² が成り立つ」

全ては掛け値なしに「小学生の算数の範囲」。何しろ三角関数どころか、平方根の記号も、「1, 2, 3」のようなアラビア数字も知らない古代人が記したのだ…。

ユークリッド自身の証明は、一見謎めいている――現代の感覚では「確かにその補助線を引くとそうなるけど、なぜそんな所に補助線を引くの？」といったところか。しかし「学問の進歩した現代なら、2000年前よりうまくできるはず」というおごりを捨て、謙虚にユークリッドの証明を検討しているうちに、「この古代の証明こそが最も軽妙」と思えてきた。

このメモでは、ユークリッド自身による証明を、簡単化して紹介したい。

【1/3】　まず、円に内接する正六角形の一辺の長さ y は、その円の半径に等しい。このことは、当たり前だろう。念のため理由を記すと、次の通り。

円の中心を O として、そこに内接する正六角形の一辺を AH とすると、∠AOH は 360° の6分の1なので 60°。しかも △AOH は、二等辺三角形（斜辺 AO も OH も、同じ円の半径だから長さが等しい）。だから、その二つの底角（図の ?）は等しい。――三角形の内角の和は 180° なので、これは ? = 60° を意味し、三つの角が全部 60° ということは正三角形なので、どの辺の長さも y に等しい。二等辺のみならず三等辺！

〔補足〕　二等辺三角形の三つの角のうち、「底辺と斜辺が成す等しい二つの角度」（底角）を a として、「斜辺と斜辺が成すもう一つの角度」を b とすると、三角形の内角の和は 180° なので a + a + b = 180°。上の例では b = 60° なので a + a + 60° = 180°、従って a も 60° となる。――この例に限らず、どんな二等辺三角形でも、2個の「底角」を a、「もう一つの角」を b とすると、 a = (180° − b)/2。

従って、「円に内接する正六角形の一辺」を y とする代わりに、「その円の半径」を y としても同じことであり、ユークリッドの命題を次のように言い換えることができる。

「半径 y の円に内接する正五角形の一辺を x、正十角形の一辺を z とすると、
　　x² = y² + z²
が成り立つ」

以下では、この等式を証明する。

【2/3】　円に内接する正五角形（あるいは同じことだが、正五角形の外接円）について考えると、「正五角形の一辺の長さ AB = x は、（外接円の）半径 BO = y より少し長い」ということに気付く。

現代のわれわれは、この x と y の関係を「三角関数を使って表現」したり、根号を含む式で「代数的に表現」したりするのだが、古代ギリシャにはそのような概念はなかった。とはいえ古代の研究者も、もちろん x と y の関係に興味を持った！

三角関数のようなツールのない古代の人々は、素朴に AB の長さ（つまり x）に対する BO の長さ（つまり y）の比はどうなっているか？と考えた。そのためには、BO を底辺として「二等辺三角形 ABO と相似な（つまり三つの角が等しい）三角形」を作図する――というのが、自然な発想となる（AO を底辺としても同様になるが、ユークリッドは BO を選んだ）。現代人には少し違和感のある発想かもしれないけど、他にあまりツールがないのだから、「相似に持ち込めないか？」と考えるのは、当時としては当たり前の感覚だったに違いない。

具体的には次の通り。

△ABO について、二つの斜辺 AO = BO = y は円の半径なので等しく、 ∠AOB は 360° の5分の1なので 72°。この二等辺三角形（底角 54°）と相似な △BOQ を、BO を底辺として作図し（BQ = OQ）、Q が AB 上に来るようにすると、「相似な三角形では、対応する辺の比は一定」ということから…
　　底辺 : 斜辺 = AB : AO = BO : BQ　つまり　x : y = y : BQ
　　従って　x(BQ) = y²　　‥‥〔★〕

x と y の比は、y と BQ の比に等しい――その事実を利用して、古代の研究者も x と y の関係を正確に把握できた。だが、このような都合のいい Q を、具体的にはどうやって作図すればいいのだろうか。

正五角形の性質上、∠ABO = ∠QBO = 54° であることは、分かっている。そこで △BOQ が △ABO と相似であるためには、 ∠BOQ も 54° でなければならない。それは ∠AOB = 72° のちょうど4分の3。従って、∠AOB の二等分線 OC を引いて、さらに ∠AOC のそのまた二等分線 OD を引いて、OD と AB の交点を Q とすればいい。「半分」プラス「半分の半分」は「4分の3」なので、 ∠BOQ = ∠BOD = 54° となる！

【3/3】　古代人でも現代人でも、弧 AB の中点 C が「A, B を頂点とする正十角形」の頂点の一つであることに気付く。

相似を利用することに慣れていた古代の幾何学者は、「正十角形の一辺の長さ CA = CB = z も、AB = x に対する比を利用して、うまく表現できる」ことに、気付いただろう。実際、二等辺三角形 ABC は、小さい二等辺三角形 CAQ と相似なので^†…
　　底辺 : 斜辺 = AB : BC = CA : AQ　つまり　x : z = z : AQ
　　従って　x(AQ) = z²　　‥‥〔★★〕

今、〔★〕と〔★★〕の左辺同士・右辺同士をそれぞれ足し合わせると…
　　x(BQ) + x(AQ) = y² + z²
　　つまり　x(BQ + AQ) = y² + z²
ところが BQ + AQ = AB = x なので…
　　x(x) = y² + z²　つまり　x² = y² + z²
証明したかった等式が得られた。∎

†　△ABC は明らかに二等辺。 △CAQ が二等辺であることを示すには、 CA と OD の交点を R として（CA と OD が直交することは容易に示される）、△CRQ ≡ △ARQ を言えばいい（それには、この二つの直角三角形について CR = AR, RQ = RQ に注目すればいい）。さて、二つの二等辺三角形 △ABC, △CAQ は頂点 A の部分の角を共有するので、底角が等しい。従って、対応する三つの角がそれぞれ等しく、相似。

証明自体はシンプルだが、もともとどういう経緯でこの定理が発見されたのかは、はっきりしない。

「正20面体」の研究過程で発見された――と考える人もいるが、上記の証明・考察からすると、考え過ぎの可能性が高い。正五角形と外接円の半径の関係は、当然、古代の幾何学者の基礎研究の範囲内であり、比較的早い段階で、この命題は発見されたと思われる。

補助線がミステリアスだというのは、代数的・抽象的な式変形に慣れ切っている現代人の感覚に過ぎず、研究ツールが限られていた当時としては、当たり前の作図だったのだろう。「相似な三角形を作る」という立場からは、補助線 OQ を引くことと、ついでに CQ を線分で結ぶことは、同種の操作。三角関数の立場から考えても、この命題は正20角形と関係しているので、正五角形の弓形の二等分線のそのまた二等分線（順に正十角形と正20角形の辺に対応する）が登場するのは、不自然ではない。

2009年、米国の Baez [2] がこの命題に言及し、ネット上で活発な議論が行われ、まとめのページ [3] が作られた。2014年の [4] でもテーマとなっている。「ユークリッド自身の証明は、ごちゃごちゃして分かりにくい。現代の知見をもってすれば、もっと簡単にできるはず」――誰でもまあそう思う。けれど、結局のところ「これはユークリッドの上を行く」と言えるような、うまい証明は出てこなかった。いろいろな別証明は考えられるが、ユークリッドの淡々とした証明と比べると、どうも技巧的で小ざかしい…。

『幾何学原論』の記述は、やや冗長に感じられる。だがそのエッセンスは、味わい深い！

第13巻・命題10　もしも円の中に等辺の五角形が描かれるなら、その五角形の辺上の正方形（の面積）は、その同じ円の中に描かれる（等辺の）六角形と十角形の（辺上の正方形の面積の和）。

ユークリッドの作図（9世紀の写本）と、それに基づく今回の作図
JPEG Image courtesy of the Clay Mathematics Institute/Digilib;
PNG Images: public domain, generated with gnuplot

とはいえ、もちろん、ユークリッドの証明だけが唯一絶対ではない。2000年たっても何も進歩していないというのでは、むしろ古代の研究者に申し訳が立たない…。18° 単位の三角関数の値（あるいは同じことだが 1 の原始5乗根）を使いこなすなら、この命題はほぼ自明だろう。

〔参考文献〕
[1] Fitzpatrick (2008): Euclid’s Elements of Geometry
https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Euclid.html
[2] Baez (2009): This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 283)
https://math.ucr.edu/home/baez/week283.html
[3] pentagon decagon hexagon identity
https://ncatlab.org/nlab/show/pentagon%20decagon%20hexagon%20identity
[4] Baez (2014): Pentagon-Hexagon-Decagon Identity
https://blogs.ams.org/visualinsight/2014/01/01/pentagon-hexagon-decagon-identity/

2024-03-31　五角形のジグソーパズル　五・六・十角形の式の別証明

#数論　#正五角形　#正五角形の矢

AB を一辺とする緑の正五角形。AC, CB, BE を 3 辺とする赤い正十角形。――その二つが、半径 1 の円（O を中心とする）に内接しているとしよう。

図のように AO, OE を 2 辺として、もう一つの（青い）正五角形 AOEFG を描くことができる。青い五角形の頂点 F, G は、それぞれ OB, OC の延長線上に。青い五角形は、もともとの緑の五角形より少し小さいが、どちらも正五角形！

赤い十角形を 10 等分した二等辺三角形（例えば △ACO や △BCO）を「水色タイル」と呼ぶことにする。一方、青い五角形の一辺を底辺とし、赤い十角形の一辺を斜辺とする二等辺三角形（例えば △AGC）――この三角を「黄色タイル」と呼ぶことにする。

水色 4 枚、黄色 3 枚のタイルをうまく並べると、一辺の長さ 1 の正五角形を作れる。…青い五角形のことだが、図解も何もなく、計 7 枚のタイルだけ渡されたら、うまく並べることができるだろうか？

瞬時にはできないかもしれない。試行錯誤により、そのうちできるだろう！　この作図自体、試行錯誤で見つけた。しかしパーツを渡されるのではなく、自分でパーツを作ること――正五角形を七つの二等辺三角形に分割すること――は、比較的難しい。

ジグソーパズルのようなこの図を、ユークリッドの命題 XIII.10 の証明に利用できる。その命題とは、「同一の円に内接する正五・六・十角形の一辺の長さをそれぞれ x, y, z とすると x² = y² + z²」というもの。以下の証明法は、ユークリッドのオリジナルより近代的だが、三角関数は不要。

円の半径 y は、その円に内接する正六角形の、一辺の長さに等しい。そこで六角形の一辺の長さの代わりに、円の半径を y とする（両者は等しいので）。

半径 OA = y の円があるとして、その円に内接する正五角形の一辺を AB とする（AB = x）。話を簡潔にするため、当面、半径 y = 1 としよう。

弧 AB の二等分点を C として、半径 OC と辺 AB の交点を P とする（OC と AB は直交する）。 OAGB がひし形になるように、OC の延長線上に点 G を設定。さらに △BFG が二等辺三角形になるように（BG = FG = 1）、OB の延長線上に点 F を設定し、その底辺 BF の長さを w とする。

【1】　AO と GB は平行; ∠AOB = 72° なので ∠FBG も 72°。このことから、二等辺三角形 BFG と二等辺三角形 FGO は、どちらも 72°–72°–36° の3角を持ち、相似。前者は底辺 w、斜辺 1、後者は底辺 1、斜辺 1 + w なので…
　　w : 1 = 1 : 1 + w
　　従って　w(1 + w) = 1
この左辺は w² + w = (w + 1/2)² − 1/4 に等しいから…
　　(w + 1/2)² − 1/4 = 1
　　つまり　(w + 1/2)² = 5/4

w は線分の長さなので正、従って w + 1/2 も正。上の式の両辺の正の平方根から…
　　w + 1/2 = (√5)/2　つまり　w = (√5 − 1)/2　　‥‥①
　　∴　OG = OF = 1 + w = 2/2 + (√5 − 1)/2 = (√5 + 1)/2　　‥‥②
OP は、ひし形の対角線 OG の半分なので、その長さは次の通り。
　　OP = (√5 + 1)/4　　‥‥③

今、直角三角形 OPA に、三平方の定理 (OP)² + (AP)² = (AO)² を適用する。③から…
　　(OP)² = ((√5 + 1)/4)² = (√5 + 1)²/16 = (5 + 2√5 + 1)/16 = (6 + 2√5)/16
さらに (AO)² = 1² = 1。従って、三平方の定理は、われわれに次の関係を教えてくれる。
　　(6 + 2√5)/16 + (AP)² = 1
　　∴　(AP)² = 1 − (6 + 2√5)/16 = 16/16 − (6 + 2√5)/16 = (10 − 2√5)/16
AP の長さは、その正の平方根。
　　AP = √(10 − 2√5)/4
そして緑の五角形の一辺の長さ x = AB は AP の長さの 2 倍:
　　x = √(10 − 2√5)/2　　‥‥④

【2】　最後に、△BCO も 72°–72°–36° の二等辺三角形で、その斜辺の長さは 1 なので、△BCO ≡ △BFG。両者の底辺は等しいので z = w である！

従って、①から:
　　z = w = (√5 − 1)/2　　‥‥⑤

④と⑤は、それぞれ半径 1 の円に内接する正五角形・正十角形の一辺の長さ。よって y = 1 のとき、次の二つの値は確かに一致する。
　　④から　x² = (10 − 2√5)/4
　　⑤から　y² + z² = 1 + (6 − 2√5)/4 = (10 − 2√5)/4

なぜなら z² = ((√5 − 1)/2)² = (√5 − 1)²/4 の分子は (√5)² − 2⋅√5⋅1 + 1² = 5 − 2√5 + 1 に等しい。

円の半径 y が必ずしも 1 ではない場合には、それに比例して、④も⑤もそれぞれ y 倍になる。具体的に、④は [√(10 − 2√5)/2]y になり、 ⑤は [(√5 − 1)/2]y になるので、やはり次の二つの値は一致する。
　　x² = [(10 − 2√5)/4]y²
　　y² + z² = y² + [(6 − 2√5)/4]y² = [(10 − 2√5)/4]y²

円の半径 y ――それは、その円に内接する正六角形の一辺の長さでもある――がどのような値でも、x² = y² + z² が成り立つことが、証明された。∎

本文で w と置いた BF の長さは、赤い正十角形の一辺の長さ z に等しい。従って、青い正五角形の対角線 OF のうち BF の部分は、赤い正十角形の一辺の長さと等しい。下図の △EFB のような黄色いタイルは、二等辺三角形なのだッ！

ちなみに、一辺の長さ 1 の青い五角形の対角線の長さ 1 + w = (√5 + 1)/2 = (2.236… + 1)/2 = 1.618… は、いわゆる黄金比。

緑の五角形は、半径 OA = y の円に内接するが、緑の五角形の一辺 x は y より少し長い。一方、青い五角形の一辺は、この y に等しい。具体的に y を 1 とすると、④から:
　　x = √(10 − 2√5)/2 = 1.1755705…

すなわち、円に内接する正五角形の一辺は、その円の半径より約 17.5% 長い。青い五角形の一辺から見た緑の五角形の一辺も、同じ割合で、少し長い。

1.1755705… というこの値は、∠AOP = 36° の直角三角形 AOP において、斜辺 OA の長さを 1 としたときの、対辺 AP の 2 倍に等しい。
　　2(AP) = 2 sin 36° = 2 × 0.58778525… = 1.1755705…
言い換えれば、半径 1 の円に内接する正五角形の一辺の長さ。

③によれば、OP = cos 36° = (√5 + 1)/4。これは、同じ緑の五角形の「中心から辺までの垂直距離」。言い換えれば、緑の五角形に内接する円の半径。さらに言い換えれば、一辺 1 の青い五角形の対角線の長さ OG = OF の半分であり、要するに、黄金比の半分。

水色タイルは、底辺が z で斜辺が 1、等しい底角が 36° × 2、もう一つの角が 36° に等しい。

黄色タイルは、底辺が 1 で斜辺が z、等しい底角が 36°、もう一つの角が 36° × 3 に等しい。

「180° を 5 等分した 36° の角度」を「1 単位」とすると、合計 180° の内角を二等辺三角形の三つの角に配分するとき、前者では 2:2:1 の割合、後者では 1:1:3 の割合が使われている。

⑤によれば、赤い正十角形の一辺は z = (√5 − 1)/2 = 0.6180339… だが、この値は 2 sin 18° に当たる（緑の正五角形の一辺が 2 sin 36° に当たるのと同様）。すなわち:
　　sin 18° = cos 72° = (√5 − 1)/4 = 0.30901699…

ユークリッドの命題 XIII.10 は、三角関数の言葉で表現すればシンプルな内容とはいえ、何らかの形でその三角関数の値を求める必要がある。ユークリッド自身の証明は簡潔で高速だが、「変な補助線」（正20角形に関連）を使う。今回の別証明も「変な補助線」を使うけど、正十角形までの範囲でピタリと収まる上、作図自体が美しく、いったん仕組みが分かると（コンセプト的には）見通しがいい。

2024-03-23　「正五角形の矢」とは…

#数論　#正五角形　#正五角形の矢

正五角形の「矢」というのは、外接円と辺の間にできる弓形（図の黄色い部分）の高さ（赤い矢印）――辺の中点と弓形の弧の中点の距離。

それが何の役に立つのか？　大人は言うかもしれないけど、眺めてきれいな図には違いない。

正五角形の五つの辺は対称的なので、五つの弓形は合同で、5カ所のどこで測っても「矢」――つまり「弓形の高さ」――は同じ。

「矢」は、外接円の半径（水色・実線）と、内接円の半径（黄緑・点線）の差に等しい。なぜなら…
　　内接円の半径 + 矢 = 点線の長さ + 赤い矢印の長さ = 外接円の半径

正五角形の矢の研究を「小学生の算数」から始める――矢には tan の半角の公式が絡んでいて、その土台となるから。

最初の部分は幾何の基礎知識として普通に役立つだろうが、だんだんマニアックでマイナーな話題になってくる…。教科書に出てくる sin, cos, tan だけでなく、csc と cot が活躍。

少なくとも三角関数の勉強・計算練習にはなるだろうけど、あくまで遊び。リアルで役立てようなんて気はさらさらないし、興味ない人にとっては面白くもなんともないだろう。実のところ、自分自身、正五角形が面白いとは、思ってなかった…古代ギリシャからみっちり研究され、ポピュラー過ぎるし。ホントは正15角形、正30角形、あるいは正20面体あたりをじっくり研究してみたい。正五角形はその準備。

とはいえ、やってみると、多重根号の問題が絡んだりして正五角形も案外、微妙に難しく、侮れない。「学問に王道なし」である！

2024-03-22　「正五角形の矢」の研究　小学生の算数から

#数論　#正五角形　#正五角形の矢

のび太くんは、平面上のでたらめな2点を A, B として、AB を直径とする円を描きました。そして、その円周上から勝手に選んだ点を C として、三角形 ABC を作りました。

不思議なことに、何度やっても、どの向きにどんな形の三角形を描いても、正確に作図すると ∠C はちょうど 90° になるのです…。

∠A, ∠B の大きさはいろいろに変えられるのに、なぜ ∠C の大きさが固定されてしまうのでしょうか？

直径 AB の中点――つまり円の中心――を O とする。線分 AO と OC は、同じ円の半径なので、長さが等しい。だから △AOC は二等辺三角形。その等しい底角を小文字の a としよう。

同様に △BOC も二等辺三角形なので、その等しい底角を小文字の b としよう。

謎の ? = ∠ACB は a + b に等しい。要するに a + b = 90° を示せばいいのだ！

ところが、三角形の内角の和は 180° なので、△ABC について、次が成り立つ。
　　∠A = a
　　∠B = b
　　∠C = a + b
　　∠A + ∠B + ∠C = a + b + a + b = 180°
あってもなくてもいい丸かっこをサービスで付けておけば…
　　(a + b) + (a + b) = 180°
その両辺の半分を考えると…
　　(a + b) = 90°
これが証明したいことであったッ！

a, b は和が 90° なら好きな角度に設定できるのだが、 a + b の和が固定されている結果、もう一つの ∠C は大きさが一定に…

ところで y = ∠COB は、 a のちょうど 2 倍の大きさを持つ。理由は次の通り。 ∠AOC を x とすると、三角形の内角の和は 180° なので…
　　a + a + x = 180°　つまり　x = 180° − 2a

x と y の和は 180° だが、x は 180° − 2a なので y は（それと足して 180° になるのだから） 2a でなければならない。

〔補足〕　次のように言うこともできる。 x + y = 180° つまり x = 180° − y。ところが x = 180° − 2a でもあるので、 x = 180° − y = 180° − 2a、従って y = 2a。

そこで y の代わりに 2a と書くと、次の図のようになる。なかなか美しいではないか…。以下の話と関係ないので図には記入してないけど、同様に ∠AOC = 2b でもある。 a + b = 90° なので 2a + 2b = 180° というわけ。

C を通って AB と直交する直線と AB の交点を D とすると、∠BCD は a に等しい。というのも △BCD は、直角三角形。その内角の和は…
　　b + ∠BCD + 90° = 180°
…なので b + ∠BCD = 90° つまり ∠BCD = 90° − b となる。

この 90° − b というのは、どういう角度だろうか？

a + b = 90° なのだから、もちろん 90° − b = a である！

初めは ? だった ∠ACB は、ちょうど 90° と判明した。この 90° の角度を、半径 CO を使って ∠ACO と ∠BCO に分割するなら、前者は a で後者は b になる（二等辺三角形の性質から）。垂線 CD を使って ∠ACD と ∠BCD に分割するなら、前者が b で後者が a になる。

点 C として、円周上のどこを選んでも、ABC が三角形になる限り、この性質が成り立つ。別の言い方をすると、大きい三角形 ABC と、それを分割してできる小さい三角形 ACD、小さい三角形 BCD は、どれも a–b–90° の3角を持つ。つまり三つの三角形は相似であり、辺の長さの比は一定。

この円の半径を OC = 1 としよう。単位円を使った三角関数の定義から、次の関係が成り立つ。
　　cos (2a) = OD, sin (2a) = CD　　‥‥➊
C が O より左にあるときは OD は負、C が O より下にあるときは CD は負だが、細かいことにこだわると見通しが悪くなるので、とりあえず「辺の長さの正・負」の扱いについては、気にしないことにする。

直角三角形を使ったタンジェント（tangent — 記号 tan）の定義は、対辺 ÷ 隣辺。もっと分かりやすい言葉で言えば「高さ ÷ 底辺」。ただし「高さが縦・底辺が横」とは限らないことに注意。直角三角形はどっち向きになってるか分からないし、直角以外の二つの角のどっちを基準にするかも分からないからだ。この文脈では、斜辺以外の2辺のうち、基準とする角の向かい側にある辺が高さ（対辺）、基準とする角（がある頂点）に接する辺が底辺（隣辺）。

△ACD の ∠A = a を基準にすると、辺 CD が高さ（対辺）、辺 AD が底辺（隣辺）。この場合は、底辺が下にあって分かりやすい。タンジェントの定義によると…
　　tan a = 高さ/底辺 = CD/AD = CD/(AO + OD)

半径 AO = 1 ということと➊を組み合わせると…
　　tan a = sin (2a)/(1 + cos (2a))　　‥‥➋

一方、 △BCD の ∠BCD = a を基準にすると（この場合、底辺＝隣辺は縦で、高さ＝対辺は横）…
　　tan a = DB/CD = (OB − OD)/CD = (1 − cos (2a))/sin (2a)　　‥‥➌
ここでは、半径 OB = 1 ということと➊を使った。

これらの式を導いたところで、後回しにした「符号の問題」をクリアにしておきたい。結論から言えば、➋➌の関係は、原則として a が正でも負でも成り立つ。だが、そもそも tan a とは何なのか？

タンジェントは、直観的には「上昇率」。底辺（隣辺）を「時間の流れ」と思うと、どれだけ時間をかけて対辺の高さまで上昇したか。底辺が 1 で高さが 2 なら、時間 1 で 2 上昇したんだから、タンジェントは 2。あるいは底辺が 2 で高さが 1 ならタンジェントは 1/2。――点 C が、基準となる直径 AB より上にあれば、斜辺 AC は「上昇」しているので、タンジェントは正だが、C が AB より下にあれば「下降」…「負の上昇」ということになる。下降の場合、 a は 0° より小さく −90° までの範囲にある。上昇の場合 a は 0° より大きく +90° までの範囲にある。もしも a = ±90° だったら、真上・真下に向かって、時間が止まった状態で限りなく上昇・下降する意味になってしまうが、それは ±∞ の傾き: 無限大の傾きでは △ABC を描画できないので、図の a の範囲は −90° < a < 90° でなければならない。さらに a = 0° の場合にも △ABC がつぶれてしまうので、 a ≠ 0° という条件も付けておく。

〔注〕　tan 0° = 0 は、きちんと定義される（傾きがゼロなら、どこまで行っても上昇はゼロ）。 0° を除外する理由は tan 0° 自体に問題があるからではなく、単に「この作図では、その値をうまく表現できない」というだけ。同様に、絶対値が 90° を超える角度の tan も定義されるのだが、この作図では説明しにくい。

上記の前提で a が正の場合、 2a は 0° より大きく 180° より小さい（第1象限または第2象限の角）。その範囲では sin (2a) は常に正、 cos (2a) は −1 より大きく +1 より小さい。従って➋➌の分子・分母は両方正で、➋➌は正の値を持つ。 a が正なら tan a は正…という事実と、つじつまが合っている。このケースは単純明快、符号の問題はない。

同じ前提で a が負の場合、 2a は 0° より小さく −180° より大きい（第3象限または第4象限の角）。その範囲では sin (2a) は常に負、 cos (2a) はやはり −1 より大きく +1 より小さい。従って➋➌は負の値を持ち、 a が負なら tan a は負…という事実と、つじつまが合っている。

a が負の角度なら、△ACD の斜辺 AC は「下降」しているのだから、その場合、辺 CD を「負の長さ」と解釈するしかあるまい。C の縦座標が sin 2a なんだし、横軸 AB より下に行くのだから、そう考えるのは自然だろう。 △BCD については、正負の意味が不明朗だが、C が円の下半分にあるときは辺 CD は「負の長さ」――と決めたからには、△BCD の底辺（隣辺） CD は「負の時間経過」を表していることになるだろう: C から D へと「過去に進む」と、対辺 DB の長さの上昇が起きる。過去へ行くほど上昇してるんだから、斜辺 CB は下降している、と。

ちょっと苦しい説明かも――三角関数を作図だけで説明することには、限界がある。でも計算自体は合ってるんだし、何より tan の半角の公式を具体的にイメージできるメリットは大きい。

2a = θ と置くと、a = θ/2 となって、➌はこうなる。

tan の半角の公式（sin, cos バージョンその1）
　　tan (θ/2) = (1 − cos θ)/sin θ

この公式は「矢」の概念とセットで考えると、イメージしやすい。

円周上の2点を結ぶ「弧」と「弦」を考え、その弧と弦が作る図形を弓形と名付ける。例えば、図で「B を経由する円周の一部 CE」は弧。「C と E を直線で結ぶ CE」は弦。両者は弓形 CEB を作る（図の黄色の領域）。

弓形の弦の部分を「底辺」として、その中点から垂直に測った弧の高さ DB は、 sagitta と呼ばれる――直訳すれば「矢」、意訳すれば「辺弧距離」^†。「弦から弧までの長さ」を「弓の弦につがえられた矢」に見立てた用語だろう（つがえる＝弓に矢をセットすること）。特に、正弦 sin θ = CD につがえられた矢 1 − cos θ = DB を正矢と呼ぶことにする。

†　ラテン語に基づく用語。分かりやすく「矢の長さ」と言ってもいい。一方 sagitta は既に「その部分の長さ」という意味なので、「sagitta の長さ」と言うのは冗長。

セイント正矢

すると tan の半角公式は、次の簡潔な言葉で表現される――「半角 θ/2 に対応する tan は、全角 θ に対応する正矢・正弦の比に等しい」。その根拠は ∠BCD = θ/2 であること、そして C から D までの「時間」で高さ DB の上昇が起きること。

tan (θ/2) = (1 − cos θ)/sin θ = 1/sin θ − cos θ/sin θ = csc θ − cot θ なので、csc, cot バージョンへの変換も容易。 csc θ − cot θ については、ひし形の作図を利用した方が、イメージしやすいかもしれない。しかし上の図からも、正弦 CD を 1 として――これは単位円なので正弦は一般には 1 ではないはずだが、相対的な比を考える上では、どこを 1 としても構わない――、それを直角三角形 COD と対辺と見ると、斜辺 CO は csc θ、隣辺 OD は cot θ。 CO は円の半径に当たるから、半径 OB も csc θ。従って DB = OB − OD = csc θ − cot θ。ところが CD を 1 としているのだから、直角三角形 CDB に着目すれば DB は tan (θ/2) に等しく、tan の半角の公式（csc, cot バージョン）を再び得る。さらに、この図からは、ペアとなる cot の半角も出てくる: △CAD の隣辺（CD = 1 を対辺とする）は AD = cot (θ/2) だが、円の半径が csc θ なのだから、AD = AO + OD は csc θ + cot θ に等しい。

θ が 90° を超えると cos θ は負になるので、正矢 1 − cos θ は、幾何学的には足し算になる（D が O より左に来て、DO + OB = |cos θ| + 1 が正矢）。➋の式は、その感覚に近い。

tan の半角の公式（sin, cos バージョンその2）
　　tan (θ/2) = sin θ/(1 + cos θ)

A から D までの「時間」で高さ CD の上昇が起きる。

正五角形にも「矢」がある。

それは「正五角形の一辺 CE が、外接円から切り取る弓形 CEB の高さ」。 CE の中点を D とすれば、DB の長さ。

∠BCD = ∠CAD = 18° が ∠COD = 36° の半分になる――というのは、これまでの話と全く同様。正五角形の一辺の長さが 2 で CD = 1 なら、タンジェントの意味から DB = tan 18° となる（時間 1 当たりの高さの変化）。

今までの作図では、半径 OC = 1 だった。この正五角形の図では CD = 1 であり、外接円の半径 OC は 1 ではなく csc 36° = 1/sin 36° に等しい。つまり図の各部のサイズが、これまでと比べ 1/sin 36° 倍されている。従って、OD の長さも、余弦 cos 36° ではなく、
　　cos 36° × 1/sin 36° = cos 36°/sin 36° = cot 36°
…ということに。

DB = tan 18° は、正五角形の外接円の半径と、内接円の半径の差でもある。その観点からは、この図は、csc, cot バージョンの tan の半角の公式の具体例の、新たな可視化ともいえる。外側の円の半径 OA = OB = csc 36° から、内側の円の半径 OD = cot 36° を引き算した長さが「矢」 DB で、それは tan 18° に等しい。つまり:
　　csc 36° − cot 36° = tan 18°

同じ図は、cot の半角の公式 csc 36° + cot 36° = cot 18° の可視化にもなっているのだった。

csc と cot の和は、半角のコタンジェント。 csc と cot の差は、半角のタンジェント。――シンプルですてきな関係。正五角形の一辺の長さが半分の 1 だったら、「矢」も半分の 1/2 tan 18° になる。一般には、次の通り。

一辺 a の正五角形の「矢」　(a/2) tan 18° = (a/10)√(25 − 10√5)

ただし、計算済みの tan 18° = [√(25 − 10√5)]/5 を使った。「矢」は、外接円の半径と内接円の半径の差なので、次の関係が成り立つ。
　　(a/10)√(25 − 10√5) = R − r = (a/10)√(50 + 10√5) − (a/10)√(25 + 10√5)

実際、両辺を 10/a 倍して、移項すると:
　　√(25 + 10√5) + √(25 − 10√5) = √(50 + 10√5)

「なぜこんな足し算が成り立つの？」と戸惑うかもしれないけど、二重根号簡約の一種。左辺の2項を掛け合わせると、根号の中身が 625 − 500 = 125 になるんで、二重根号が一重になって √125 = 5√5。従って:
　　左辺の2乗 = (25 + 10√5) + (25 − 10√5) + 2(5√5) = 右辺の2乗
もともと両辺とも正なので、これは左辺 = 右辺を意味する。

√25 + √25 = √50 のような単純計算はもちろん許されないが、面白いことに、この場合、それに似た計算が本当に成り立ってしまう！

「矢」は存在自体知られてないような地味な概念だが、他にも興味深い性質を秘めている。それについては、次回にでも…

tan 0° = 0 は有効な値だけど（グラフの点線参照）、tan の半角の公式のうち「正矢・正弦の比」は、角度 0° に対応できない（分母が 0 になってしまう）。 csc, cot バージョンも 0° には非対応（csc 0° も cot 0° も定義されない）。 sin, cos バージョンその2は、角度が 0° でも構わない。

tan ±90° は定義されず、従って半角の公式で θ を ±180° にすることはできない（どのバージョンでもゼロ除算が発生）。

cot は tan の逆数なので、tan の半角の公式の分母と分子をひっくり返せば、 cot の半角の公式になる。その場合、cot 0° 自体が定義されないので（グラフの実線参照）、どのバージョンでも角度を 0° にはできない。半面、tan と違って cot は ±90° に対しても定義される。そのとき半角の公式では θ = ±180° だが、csc, cot バージョンはこれに非対応、sin, cos バージョンその2も非対応。その1（の逆数）、つまり次の式は θ = ±180° に対しても有効。
　　cot (θ/2) = sin θ/(1 − cos θ)

もっとも tan 0° = 0 や cot ±90° = 0 については、わざわざ半角の公式を使って計算するまでもないだろう。

2024-03-24　「正五角形の矢」の研究（続き）

#数論　#正五角形　#正五角形の矢

「矢」と円の半径の関係。二重根号外し（基本形）の四つの方法。

アルキメデスは正96角形を使い、円周率が 3 + 10/71 (= 3.140…) よりわずかに大きいことを証明した。同じ正96角形を使って、この下界を 3 + 11/78 (= 3.141…) に改善できる。

正五角形 ABCDE の中心を O、辺 CD の中点を P とする。

正五角形の一辺の半分 CP の長さを 1 とすると、直角三角形 COP は ∠COP が 36° で対辺（高さ）が 1 なので、底辺 OP の長さは cot 36°、斜辺 OC の長さは csc 36° になる。

この底辺 OP = cot 36° = [√(25 + 10√5)]/5 は、正五角形の内接円の半径 r に当たる（図の緑の点線）。

斜辺 OC = csc 36° = √(50 + 10√5)/5 は OA と長さが等しく、外接円の半径 R に当たる（オレンジの実線）。

OP を（A の反対側に）延長した直線と、外接円の交点を Q とすると、矢 PQ は tan 18° = [√(25 − 10√5)]/5 に等しい（前半で確かめたように、△QCP と △CAP は相似で ∠QCP = 18°）。

より一般的に、正五角形の一辺の長さを a とすると、CP = a/2 となり、各部のサイズは a/2 倍されて次のようになる（簡潔化のため、内接円・外接円の半径をそれぞれ内径・外径と略す）。

一辺 a の正五角形に関連する長さ
　　矢 s = (a/2) tan 18° = (a/10)√(25 − 10√5)
　　内径 r = (a/2) cot 36° = (a/10)√(25 + 10√5)
　　外径 R = (a/2) csc 36° = (a/10)√(50 + 10√5)

矢の意味から s = R − r であり、これは tan の半角の公式（csc, cot 版）の図解ともいえる:
　　tan 18° = csc 36° − cot 36°

直角三角形 CAQ は ∠C = 18°、対辺 1 なので、底辺 AP = AO + OP = cot 18° であり、同時に cot の半角の公式（csc, cot 版）の図解でもある。
　　cot 18° = csc 36° + cot 36°

さて、内径の式を辺長 a について解くため、両辺を 2 tan 36° 倍すると:
　　a = 2r tan 36°　　‥‥①
特に、半径 r = 1 の単位円に外接する正五角形の一辺は a = 2 tan 36° = 2√(5 − 2√5)。このことは OP = 1 と考えれば、作図からも明らか。従って、単位円に外接する正五角形の周囲の長さ（5辺の長さの合計）は:
　　10√(5 − 2√5) = 7.2654252…
五つの接点を除き辺は単位円の外側にあるので、当然、単位円周 2π = 6.2831853… より少し大きい。

同様に、外径の式の両辺を 2 sin 36° 倍すると:
　　a = 2R sin 36°　　‥‥②
特に、単位円に内接する正五角形の一辺は 2 sin 36° = [√(10 − 2√5)]/2。 OC = 1 と考えれば、作図からも明らか。単位円に内接する正五角形の周囲の長さは:
　　[5√(10 − 2√5)]/2 = 5.8778525…
こちらは 2π より少し小さい。

正五角形は、円の近似図形としては大ざっぱ過ぎるけど、もっと辺の多い（円に近い）正多角形を考えれば、この方法で 2π の（従って円周率 π の）まずまずの近似値が求まる。以前、正12角形を使って素朴な方法で円周率を近似した。三角関数を利用すれば、体系的に同様のことを実行可能。例えば θ = 180°/96 = 1.875° とすると、単位円に内接あるいは外接する正96角形の周囲の長さの半分は、 96 sin θ あるいは 96 tan θ に等しい。

今から2000年以上前（紀元前3世紀ごろ）、アルキメデスは実質これと同じ計算を行い、次の挟み撃ちを得たという。驚嘆すべき成果だ！
　　π は 3 + 10/71 = 3.14084… より大きい（この下界は 96 sin θ = 3.14103… に当たる）
　　π は 3 + 1/7 = 3.14285… より小さい（この上界は 96 tan θ = 3.14271… に当たる）

正96角形を使えば、π が 3.141 より大きいこと、つまり「小数第3位は 1 か 2 で 0 ではない」ことを確定できるのだが、アルキメデスは 3.140 台の可能性を排除していない。当時は10進小数（位取り記数法）自体が未発見だったので、「小数何桁」という考え方をしなかったのだろう。しかし、小数がない世界だとしても、 3 + 10/71 (= 3.140…) の代わりに 3 + 11/78 (= 3.14102…) とすれば、さらに良かった。上界 3 + 1/7 は妥当だが、さすがのアルキメデスも、下界の最良近似分数を得られなかったのである！

10/71 は、面白いといえば面白いが、変な分数。 11/78 の方が、感覚的にもしっくりする。

〔補足〕　アルキメデスの名誉のために言うと、1/7 = 10/70 と 10/71 での挟み撃ちは、「1 を 70 等分した 10 個分よりは大きいが、1 を 71 等分した 10 個分よりは小さい」と言い換えられ、それはそれで簡潔で分かりやすい。けれど、同じくらいの複雑さの分数を使う挟み撃ち（範囲指定）なら、原則としては、より狭い範囲に限定した方が良い。

〔追記〕　アルキメデスが得た「生の」下界は 25344/8069 = 3.140909… だったらしい。それに対する 223/71 = 3.140845… は優良な近似分数の一つ。理論的に可能なはずの 245/78 = 3.141025… を採用し得なかった背景として、96 sin θ に肉薄しながら優良な近似分数を得られなかったのではなく、計算で利用した √3 の近似分数の誤差、途中計算での近似誤差などから、高精度の肉薄（小数5桁ほどの有効数字が必要）自体ができなかったようだ。参考リンク:
Archimedes' Approximation of Pi
https://web.archive.org/web/20210511201318/https://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html

①を矢の式に代入すると、内径 r を使って矢を表すことができる:
　　s = r tan 36° tan 18° = r√(5 − 2√5)⋅[√(25 − 10√5)]/5 = (r√5/5)(5 − 2√5)

同様に、②を矢の式に代入すると:
　　s = R sin 36° tan 18° = R[√(10 − 2√5)]/4⋅[√(25 − 10√5)]/5 = (R/4)√(14 − 6√5)
最後の根号内の平方差 14² − (6√5)² = 196 − 180 = 16 は平方数なので、二重根号を解除可能（詳細については後述）:
　　(R/4)√(14 − 6√5) = (R/4)(3 − √5)

あるいは sin の倍角の公式を使って…
　　s = R sin 36° tan 18° = R(2 sin 18° cos 18°) sin 18°/cos 18° = 2R sin² 18°
　　 = 2R((√5 − 1)/4)² = (R/4)(3 − √5)

倍角の公式に基づく表現 s = 2R sin² (π/(2n)) は、何の役に立つのかはともかく、簡潔でなかなか面白い。ここで n は正多角形の辺の数。正五角形の場合 2n = 10 で π/10 = 18° となる。

〔参考文献〕　Weisstein (2003), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2nd ed.), p. 2616, “Sagitta”;
vol. 4, p. 1590 in 1st ed. (1999)
https://archive.org/details/CrcEncyclopediaOfMathematics/Weisstein__Eric_W_-_CRC_Concise_Encyclopedia_Mathematics_Vol_4__CRC_1999__4AH/page/n101/mode/1up

上記 √(14 ± 6√5) のような二重根号を（一重にできる場合に）一重にする方法。これは二重根号解除の基本形で、機械的に処理可能。

第一の方法は、一般性が高い。まず根号内の平方差を確認する。この場合 196 − 180 = 16 が平方数 m² なので、二重根号を解除できる。その平方数の正の平方根 m = 4 と、根号内の整数部分 14 の平均を求める: (4 + 14)/2 = 9。この平均値と m のずれを求める: 9 − 4 = 5。得られた二つの数 9 と 5 のそれぞれに根号を付ければ、解除完了: √9 ± √5 = 3 ± √5

数が大きいとき、平方差の処理は少々面倒だが、結果が平方数かどうかで「二重根号を普通の範囲で解除できるか？」を確定判断できる。この話題を扱う文献の多くは、この方法と実質同じアルゴリズムを（やや分かりにくい公式として）記述している。

第二の方法として、二重根号を解除できると事前に分かっている場合や、解除できると分かる（勘が働く）場合に、平方差の計算をしないで済ませることも可能。この例で言うと、内側の根号の係数 6 の半分 3 を二つの自然数の積 xy で表す。この場合 x = 1, y = 3 か x = 3, y = 1 しかない。 x² + 5y² を根号内の整数部分 14 に等しくできれば成功: x = 3, y = 1 は条件と満たすので x ± y√5 = 3 ± √5 となる。 5y² と y√5 の 5 は、もともとの二重根号の内側の根号内の数。
　　√(a ± b√c) = x ± y√c
…の c が一定の場合に限って使える（数論的な問題では、多くの場合 c が一定になるので、実用性は高い）。

このアルゴリズムは、拡張 Pell 方程式の解の全数検索に当たるが、積 xy の情報があるため、条件によっては高速。

第三の方法にも同様の条件が付く。これは第一の方法の亜種で、根号内の平方差が平方数 m² と分かったとき、根号内の整数部分 14 に m を足すか引くかして（どちらでも可）、平方数の半分を作れたら成功。この例では 14 − 4 = 10 は平方数の半分ではないが、14 + 4 = 18 は平方数 36 の半分。二重根号内の数に、この加減を行ったものを「途中の数」と呼ぶ。
　　√(14 ± 6√5)　→　途中の数　18 ± 6√5
途中の数を「加減の根拠となった平方数」（途中の数の整数部分 18 の 2 倍）の平方根 6 で割ると、答えを得る。

このアルゴリズムは面白いけど、m² の正負どちらの平方根を使うのが得策か判断する必要があり、アルゴリズムの分岐が増える。

第四の方法は、第二の方法の亜種。まず与えられた二重根号を変形して、内側の根号の係数が 2 になるようにする:
　　√(14 ± 6√5) = √(14 ± 2√45)
そして、この例で言えば「和が 14 で積が 45 の二つの数」を探す。若干の試行錯誤で 9 と 5 が見つかるので、それぞれに根号を付ければいい。

第四の方法は、シンプルで意味が分かりやすいが、多くの場合、積の候補が増えてしまい、第二の方法より効率が悪い。

一般には、第一の方法を使うのが堅実だろう。シンプルなケースでは、第二の方法を使ってもいいと思われる。第四の方法も、内側の根号の係数がもともと 2 で、内側の根号の中身が小さいときには、役立つだろう。

2024-04-01　加法定理からの tan 24°　「基本の次」の二重根号処理

#数論　#1 の原始根　#4次方程式　#正五角形　#正五角形の矢

tan 144° = −tan 36° = −√(5 − 2√5) は、比較的簡単な形を持つ。それと tan 120° = −√3 を組み合わせる方法で、 tan 24° を求めてみる。

cos 36° = (√5 + 1)/4, sin 36° = [√(10 − 2√5)]/4 なので:
　　tan 36° = [√(10 − 2√5)]/(√5 + 1) = [√(10 − 2√5)(√5 − 1)]/4
　　この分子 = √(2√5)√(√5 − 1)(√5 − 1) = √(2√5)(√5 − 1)^3/2
　　 = √(2√5)[(√5 − 1)³]^1/2 = √(2√5)(5√5 − 3⋅5 + 3√5 − 1)^1/2
　　 = √(2√5)√(8√5 − 16) = √(16⋅5 − 16⋅2√5) = 4√(5 − 2√5)
　　∴　tan 36° = √(5 − 2√5)
　　∴　tan 144° = tan (−36°) = −√(5 − 2√5)

tan の加法定理から:
　　tan 24° = tan (144° − 120°) = (tan 144° − tan 120°)/(1 + tan 144° tan 120°)
　　 = [−√(5 − 2√5) − (−√3)]/[1 + (−√(5 − 2√5))(−√3)] = [√3 − √(5 − 2√5)]/[√(15 − 6√5) + 1]

2段階に分けて分母を有理化する。まず分子・分母を √(15 − 6√5) − 1 倍:
　　tan 24° = [(√3 − √(5 − 2√5))(√(15 − 6√5) − 1)]/[(15 − 6√5) − 1] = [(√3 − √(5 − 2√5))(√(15 − 6√5) − 1)]/(14 − 6√5)
次に分子・分母を 14 + 6√5 倍:
　　 = [(√3 − √(5 − 2√5))(√(15 − 6√5) − 1)(14 + 6√5)]/(196 − 180)
　　 = (1/8)(√3 − √(5 − 2√5))(√(15 − 6√5) − 1)(7 + 3√5)　　‥‥①

15² − (6√5)² = 225 − 180 = 45 は有理数の平方ではないので、この二重根号は簡約不可能。同様に、もう一つの二重根号も簡約できない。そこで、①の各因子を地道に、順々に掛け算していく。 (5 − 2√5)(15 − 6√5) = 75 − 60√5 + 60 = 135 − 60√5 なので:
　　(√3 − √(5 − 2√5))(√(15 − 6√5) − 1) = √(45 − 18√5) − √3 − √(135 − 60√5) + √(5 − 2√5)
ところが 135² − (60√5)² = 18225 − 18000 = 225 = 15² は平方数なので、この二重根号は簡約可能（他の2カ所は簡約不可）。基本の手順に従うと、135 と 15 の平均は 75、そして 135 の平均からのずれは 60 なので:
　　 = √(45 − 18√5) − √3 − (√75 − √60) + √(5 − 2√5)
　　 = 3√(5 − 2√5) − √3 − 5√3 + 2√15 + √(5 − 2√5) = 4√(5 − 2√5) − 6√3 + 2√15

従って、①はこうなる。
　　(1/8)(4√(5 − 2√5) − 6√3 + 2√15)(7 + 3√5)
　　 = (1/4)(2√(5 − 2√5) − 3√3 + √15)(7 + 3√5)
①に比べ、因子が一つ減った。残った二つの因子も展開しよう。例えば 2√(5 − 2√5) × 7 では単に 2 を 7 倍すればいいが、 2√(5 − 2√5) × 3√5 では 2 を 3 倍して根号内を 5 倍する必要がある。
　　 = (1/4)(14√(5 − 2√5) + 6√(25 − 10√5) − 21√3 − 9√15 + 7√15 + 3√75)
　　 = (1/4)(14√(5 − 2√5) + 6√(25 − 10√5) − 6√3 − 2√15)　　↑ 3√75 = 3⋅5√3
　　 = (1/2)(7√(5 − 2√5) + 3√(25 − 10√5) − 3√3 − √15)
　　 = (1/2)(7√(5 − 2√5) + 3√5√(5 − 2√5) − 3√3 − √15)
　　 = (1/2)[(7 + 3√5)√(5 − 2√5) − 3√3 − √15]　　‥‥②

二つの二重根号の和（2項）を積の形（1項）にできた（どちらも √(5 − 2√5) の倍数であることを利用）。この積は次のように、機械的に計算可能:
　　(7 + 3√5)√(5 − 2√5) = √[(7 + 3√5)²]√(5 − 2√5)
　　 = √(49 + 42√5 + 45)√(5 − 2√5) = √(94 + 42√5)√(5 − 2√5)
　　 = √(470 − 420 + 210√5 − 188√5) = √(50 + 22√5)　　‥‥③

50² − 22² = 2500 − 484 = 2016 (= 63 × 32) は平方数でないので、この二重根号のさらなる簡約はできない。③を②に代入し、次の結論を得る。

tan 24° = (1/2)(√(50 + 22√5) − 3√3 − √15)

50 + 22√5 = 50 + 22 × 2.236… ≈ 50 + 44.72 + 4.472 = 99.192、その平方根 ≈ 9.960。 3√3 = 3 × 1.732… ≈ 5.196、√15 ≈ 3.873。従って tan 24° の近似値は:
　　(9.960 − 5.196 − 3.873)/2 = 0.891/2 = 0.4455
真の値は tan 24° = 0.4452286…

この例から、二重根号処理に関して、幾つかの事実を観察できる。

第一に、 √(p + q√5) のような数は普通に a 倍することも √b 倍することもでき、
　　a√b × √(p + q√5) = a√(bp + bq√5)
であるが、同じ形式の二つの二重根号の積…
　　√(p + q√5) × √(r + s√5)
…は、一つの二重根号 √(A + B√5) に簡約される。実際、
　　(p + q√5)(r + s√5) = (pr + 5qs) + (ps + qr)√5
であるから A = pr + 5qs, B = ps + qr となる。

〔例1〕　①で √(5 − 2√5) × √(15 − 6√5) = √(135 − 60√5)

第二に、同じ形式の三つの二重根号の積も、同様に簡約される。その特別な場合として、3因子が等しいか共役のとき、つまり…
　　(√(p + q√5))³　や　(√(p + q√5))² √(p − q√5)
…の形を作れる場合は、処理しやすい（この形に持ち込むことを以前「トリック」と呼んだ）。さらに、3因子のうち2因子だけが等しい場合も、比較的処理しやすい。
　　(a + b√5)√(r + s√5)
…の形はこのパターンになり、 √(A + B√5) の形に簡約される:
　　(a + b√5)√(r + s√5) = (√(a + b√5))² √(r + s√5) = √[(a² + 5b²) + 2ab√5] × √(r + s√5)
…なので、上記 A = pr + 5qs, B = ps + qr に p = a² + 5b², q = 2ab を代入すると、 A = (a² + 5b²)r + 10abs, B = (a² + 5b²)s + 2abr となる。

〔例2〕　②に含まれる (7 + 3√5)√(5 − 2√5) は、③の √(50 + 22√5) に簡約された（上掲の恒等式で a = 7, b = 3; q = 5, r = −2 に当たる）。

一般に √d が無理数のとき、(a + b√d)√(r + s√d) は一つの二重根号に簡約可能。

もし同じ二重根号 N = √(r + s√d) を因子とする二つの項があって、一方が N の a 倍、他方が N の b√d 倍になっていれば、簡約の道が開ける（a, b の一方または両方は 1 などでも構わない。例えば N の a 倍と N の √d 倍の和でも可）。

〔例3〕　7√(5 − 2√5) + 3√(25 − 10√5) = (7 + 3√5)√(5 − 2√5) = √(50 + 22√5)。最後の等号は、例2より。

一つの二重根号 √(p + q√d) が、別の二重根号 √(r + s√d) の √d 倍（あるいはその整数倍）になってないか――という観察が、鍵になり得る。

第三に、「基本の方法で二重根号を一重にできる場所はないか」の検討は、どのステップでも重要。最初に（あるいは途中で）基本の変形が成り立つ場所が見つかれば、上記のようなことと組み合わせて、基本より一歩先の二重根号簡約ができるかもしれない。

追記　次の手順の方が簡単なようだ（2024年7月18日）。

　tan (α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β) において α = 60°, β = 36° とする。 √5 を f と略すと tan 36° = √(5 − 2f) なので:
　　tan 24° = tan (60° − 36°) = [√3 − √(5 − 2f)]/[1 + √3⋅√(5 − 2f)] = [√3 − √(5 − 2f)]/[√(15 − 6f) + 1]　　‥‥①

①の分子・分母を √(15 − 6f) − 1 倍すると:
　　分子 = √(45 − 18f) − √(135 − 60f) − √3 + √(5 − 2f)　　〔⌘1〕
　　 = 3√(5 − 2f) − (5√3 − 2√15) − √3 + √(5 − 2f)
　　 = 4√(5 − 2f) − 6√3 + 2√15
　　分母 = (15 − 6f) − 1² = 14 − 6f

この分子 ÷ 分母を 2 で約分すると:
　　① = [2√(5 − 2f) − 3√3 + √15]/(7 − 3f)　　‥‥②

②の分子・分母を 7 + 3f 倍すると分母は 7² − (3f)² = 49 − 45 = 4 になるので、②は次の数を 4 で割ったものに等しい。
　　(7 + 3f)(2√(5 − 2f) − 3√3 + √15)
　　 = 2(7 + 3f)√(5 − 2f) − (21√3 + 9√15) + (7√15 + 3√75)　　〔⌘2〕
　　 = 2√(50 + 22f) − 6√3 − 2√15　　‥‥③
つまり:
　　tan 24° = ③ ÷ 4 = (1/2)(√(50 + 22√5) − 3√3 − √15)

〔⌘1〕　√(15 − 6f)√(5 − 2f) = √(75 − 30f − 30f + 12⋅5) = √(135 − 60f) の二重根号（f = √5 が内側の根号）は、基本アルゴリズムにより簡約可能: 135² − (60f)² = (3⋅5⋅9)² − (3⋅5⋅4)²⋅5 = (3⋅5)²(9² − 4²⋅5) = (3⋅5)² = 15² は平方数なので、 135 と 15 の平均 u = 75 および 135 と u の差 60 を使って、 √(135 − 60f) = √75 − √60 = 5√3 − 2√15。

〔⌘2〕　7 + 3f = √[(7 + 3f)²] = √(49 + 42f + 9⋅5) = √(94 + 42f) と √(5 − 2f) の積は √(470 + 210f − 188f − 84⋅5) = √(50 − 22f)。

今回は tan の加法定理経由で tan 24° を求めた。24° の sin と cos の比として tan 24° を求めることも考えられるが、もっと面倒そうにも思える。
　　sin 24° = 1/8 (√3 + √15 − √(10 − 2√5))
　　cos 24° = 1/8 (1 + √5 + √(30 − 6√5))

sin 24°/cos 24° の分母の3項式をどう有理化したものか…。

2024-04-02　sin/cos からの tan 24°　やや複雑な二重根号処理

#数論　#1 の原始根　#4次方程式　#正五角形　#正五角形の矢

tan 24° を sin 24°/cos 24° として求める。

sin 24° = 1/8 (√3 + √15 − √(10 − 2√5)) を cos 24° = 1/8 (1 + √5 + √(30 − 6√5)) で割る――というのは、第一印象、面倒そう。
　　tan 24° = [√3 + √15 − √(10 − 2√5)]/[1 + √5 + √(30 − 6√5)]　　★
この割り算は、ちょっと敬遠したくなるよね…

tan の加法定理経由の方が楽そう…ってなわけで、前回はそれをやって、既に tan 24° 自体は求まったのだが、今回は上記の sin 24°/cos 24° を試してみたい。理由――どうなるのか気になるから。冒険でしょでしょ！？

★ を眺めて「どこから手を付けたものか」と検討。何となく、本格的な計算を始める前に、こう変形しておくのが得策に思える。
　　[√3(1 + √5) − √(10 − 2√5)]/[(1 + √5) + √3√(10 − 2√5)] = [√3(1 + √5) − √(10 − 2√5)]/[√3√(10 − 2√5) + (1 + √5)]　　☆

これは、前回の教訓…

一つの二重根号 √(p + q√d) が、別の二重根号 √(r + s√d) の √d 倍（あるいはその整数倍）になってないか――という観察が、鍵になり得る。

…を生かすことでもある。

(1 + √5) を一つの項と見ると、☆ の分母は2項式。――分母の足し算の順序を逆にした理由は、単なる気分の問題: 2項式 X + Y の第1項 X が第2項 Y より大きいなら、有理化の最中に (X + Y)(X − Y) = X² − Y² が負にならず、気分がいい。ひっくり返さなくても後から分子・分母を −1 で割れば（−1 倍すれば）同じことなんで、別にどっちでもいーんだけど。

下ごしらえができたところで、前回同様、2段階に分けて分母を有理化する。まず ☆ の分子・分母に
　　√3√(10 − 2√5) − (1 + √5)
を掛ける:
　　{[√3(1 + √5) − √(10 − 2√5)][√3√(10 − 2√5) − (1 + √5)]}/[3(10 − 2√5) − (1 + √5)²]

この分母 = 30 − 6√5 − (6 + 2√5) = 24 − 8√5 = 8(3 − √5) なので、分子・分母をさらに 3 + √5 倍すれば、新しい分母は 8(3 − √5)(3 + √5) = 8(3² − 5) = 32 となる。要するに:
　　tan 24° = (1)/(32)[√3(1 + √5) − √(10 − 2√5)][√3√(10 − 2√5) − (1 + √5)](3 + √5)　　☆☆

分母の有理化完了！　さて、ここからどうするか…。二重根号内の平方差を見ると、外せる二重根号はない。因子を順に掛け算するしかあるまい。まず、☆☆ の二つの [ ] の積を、地道に 1 項ずつ計算。
　　[…][…] = 3(1 + √5)√(10 − 2√5) − √3(1 + √5)² − √3(10 − 2√5) + (1 + √5)√(10 − 2√5)
　　 = 4(1 + √5)√(10 − 2√5) − √3(6 + 2√5) − √3(10 − 2√5)
　　 = 4(1 + √5)√(10 − 2√5) − 16√3
　　 = 4√(6 + 2√5)√(10 − 2√5) − 16√3　　〔※注1〕
　　 = 4√(40 + 8√5) − 16√3 = 4⋅2√(10 + 2√5) − 16√3　　☆☆☆

この ☆☆☆ を ☆☆ に代入して 8 で約分すると:
　　tan 24° = (1)/(4)(√(10 + 2√5) − 2√3)(3 + √5)　　《ア》
　　 = (1)/(4)[(3 + √5)√(10 + 2√5) − 6√3 − 2√15]　　《イ》
　　 = (1)/(4)(√(14 + 6√5)√(10 + 2√5) − 6√3 − 2√15)　　〔※注2〕
　　 = (1)/(4)(√(200 + 88√5) − 6√3 − 2√15) = (1)/(2)(√(50 + 22√5) − 3√3 − √15)

前回と同じ結論が得られたッ！　基本形の二重根号外しがなかった分、この経路の方が tan の加法定理経由より楽かも。ポイントは、《ア》の「2項 × 2項」を展開するとき、バラバラに4項にしてしまわず、《イ》のように…
　　(a ± b√d)√(r ± s√d)
…の形（符号の組み合わせは任意）を残しておくこと。前回見たように、この形の積は、トリックなしの単純計算によって、一つの二重根号に簡約可能。二重根号簡約の文脈では、これを見逃す手はない！

〔※注1〕　前回と同じパターン。ここでは (1 + √5) を √(6 + 2√5) で置き換えた。根拠は (1 + √5)² = 6 + 2√5。その後は、単なる根号内の掛け算。

〔※注2〕　注1と同様 (3 + √5)² = 3² + 2⋅3√5 + 5 = 14 + 6√5 を利用し、後は単なる掛け算。

今のところ tan 24° 自体に用はないけど、二重根号処理の例題としては、なかなかゲームバランスがいい――二重根号外しの基本形よりは少しレベルが高いけど、難し過ぎない。とはいえ、今回は事前整理によって、分母を事実上、2項式として扱った。分母が二重根号を含む一般の3項式で、こんなふうに事前整理ができない場合は、どうしたものか…。

五角形の話題でも二重根号が重要な役割を果たすが、15角形・30角形（12° の倍数の角度の三角関数）では、三重根号を含むやや高度な多重根号処理が絡んでくる。もう少し研究しておきたい。

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