妖精現実

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チラ裏

2021-11-25　ガウス整数 1 + 13i の因数分解　実例研究その2

33.　いきなり α = 1 + 13i を分解しろと言われても、どこから手を付けていいのか分からない感じだが…。ガウス整数が分解されるときには、対応するノルムも、普通の整数の範囲で分解されるのだった。とりあえずノルムを調べてみよう:
　　norm(α) = norm(1 + 13i) = 1² + 13² = 170 = 2 × 85

85 はさらに 5 で割れるが、今は 2 の方に集中する。状況を再確認:
　　α = βγ なら norm(α) = norm(β) norm(γ)
　　ここでは α = 1 + 13i で norm(α) = 170, norm(β) = 2, norm(γ) = 85。

要するに、ノルムが 2 のガウス整数 β を見つければ、α = βγ のような分解が成り立つ可能性がある。具体的に α/β が割り切れれば、α/β = γ と置いて α = βγ となる。注意点として
　　α = βγ なら norm(α) = norm(β) norm(γ)
というのは確かだが、逆が成り立つ保証はない。つまり、
　　norm(α) = norm(β) norm(γ) だからといって α = βγ とは限らない。
言い換えると α/β が割り切れる保証はない。保証はなくても可能性はあるので、試すだけ試してみたい。

問題　norm(β) = 2 を満たすガウス整数 β は何か？

先に感覚的なアプローチ、後からきっちりしたアプローチを…。感覚的には、「普通の整数をガウス整数の範囲でさらに分解したいなら、2平方数の和で書けばいい」:
　　2 = 1² + 1² = 1² − i² = (1 + i)(1 − i)
従って β = 1 + i または β = 1 − i という可能性がある。

試しに α = 1 + 13i を第一候補 β = 1 + i で割ってみると（割り算の仕方は13.参照）:
　　α / β = (1 × 1 + 13 × 1) / 2 + [(13 × 1 − 1 × 1) / 2]i　　【ア】
　　= 14 / 2 + (12 / 2)i = 7 + 6i

イェーイ、割り切れた！　【ア】実部の分子は「実実・虚虚の和」、【ア】虚部の分子は「内内マイナス外外」、【ア】の分母は β のノルム（16.参照）。やり方を無理に丸暗記しなくても、13.のように普通に計算すれば同じ結果が得られる。とりあえず…

α = 1 + 13i = (1 + i)(7 + 6i)　　【イ】

…ここまでは分解できた。石橋をたたく心構えで【イ】の右辺を展開してみる:
　　(7 + 6i) + (7 + 6i)i = (7 + 6i) + (7i − 6) = 1 + 13i
うん、ちゃんと【イ】の左辺と等しい。

34.　【イ】右辺の第1因数 1 + i は、そのノルムが2（普通の意味での素数）なので、これ以上、分解できない。第2因数 7 + 6i については、そのノルムが 49 + 36 = 85 = 5 × 17 なので、ノルム 5 のガウス整数で割り切れる可能性がある。ノルム 5 のガウス整数（仮に ζ と名付ける）を作るため、5 を2平方数の和として表現する:
　　5 = 2² + 1² = 2² − i² = (2 + i)(2 − i)
ζ = 2 + i または ζ = 2 − i は、ノルム5を持つ。

試しに ζ = 2 + i で割ってみる:
　　(7 + 6i) / (2 + i) = (14 + 6) / 5 + [(12 − 7) / 5]i = 4 + i
割り切れた！　商のノルムは17（普通の意味での素数）なので、これ以上の分解はできず、これにて分解完了:
　　1 + 13i = (1 + i)(7 + 6i) = (1 + i)(2 + i)(4 + i)

他方の選択肢 ζ = 2 − i を試すと何が起きるのか。
　　(7 + 6i) / (2 − i) = (14 − 6) / 5 + [(12 + 7) / 5]i = 8/5 + (19/5)i
こっちだと、割り切れない。つまり、こっちは正しい因数ではない。「ノルム5」というのは大きな手掛かりだが、因数をピンポイントで確定させるほどの「決定的な情報」でもない。最終的には、地道に「試し割り」するしかなさそうだ。

35.　話を少し戻して、33. の β の導出をもう少しきっちり考えてみたい。β = x + yi とすると（x, y は普通の整数）、
　　norm(β) = norm(x + yi) = x² + y²
…が 2 に等しいというのが条件なので:
　　x² + y² = 2　　【ウ】

x² と y² は、どちらも 0 以上の整数なので、【ウ】が成り立つとすれば、一方が 2 で他方が 0 になるか、または、両方とも 1 になる必要がある。「一方が 2」というパターンは無理（x² = 2 のようなものは、整数の範囲で解けない）。従って、正解は x² = y² = 1 つまり x = ±1, y = ±1（符号の選択は自由）:
　　β = 1 ± i または −1 ± i　　【エ】
選択肢がいっぱいあって扱いにくそうだが、複素平面上において、これらは全部「座標軸の2本の対角線」の上にあり、原点からの距離が一定。言い換えると、ベクトル (1, 1) を90°刻みで回転させたものに他ならない（回転方向は反時計回り）。(1, 1) はもちろん 1 + i に対応する点。さて、あるベクトルの180°の回転（つまり、原点から伸びる正反対の矢印）が、もともとのベクトルの −1 倍に対応することは、明らかだろう。90°の回転とは「2回繰り返すと180°の回転（つまり −1 倍）に対応する操作」なので、i 倍に当たる（i 倍したものをもう一度 i 倍すれば、最初の −1 倍になる）。

【エ】の4個の選択肢は、β = 1 + i を基準にすると (i)β, (i²)β = (−1)β, (i³)β = (−i)β に当たり、どの二つも互いに単数倍なので、通常の因数分解の観点からは、区別する必要ない。特に、
　　2 = (1 + i) × (1 − i) の第2因子 (1 − i) について
　　(1 − i) = −i(1 + i)
が成り立つので:
　　2 = (1 + i) × [−i(1 + i)] = −i(1 + i)²
普通の意味での素数が、ガウス整数の範囲でさらに分解されるのは、よくあること。けれど 2 という数は、ガウス整数の世界で、何とも興味深い形で分解される…。一種の「平方数」、正確に言えば「平方数の単数倍」。イメージ的には、1 + i は偏角45°、絶対値 √2 のベクトルなので、自乗すると、結果は偏角90°、絶対値 2:
　　2i = (1 + i)²
90° の回転を打ち消して実数に戻すため、−i を掛け算すると:
　　2 = (1 + i)² × (−i)

最後に、ノルム5の因子についても同様に考えると、【ウ】に当たるものは
　　x² + y² = 5
…上記 β と同様に考えると、x², y² の一方が 4、他方が 1 になる必要があり、【エ】に当たるものは:
　　ζ = 2 ± i または −2 ± i または 1 ± 2i または −1 ± 2i
ガウス整数の世界には単数が4種類しかないので、これら8パターンが全部「互いに単数倍」というのは不可能。第1グループとして、ζ = 2 + i とその単数倍（自分自身＝1倍を含む）計4種は、本質的に同じ因子。第2グループとして、ζ = 2 − i とその単数倍・計4種は、本質的に同じ因子だが、第1グループとは異なる。実際、34. で見たように、一方では割り切れても、他方では割り切れないことがある。

β の例は特別で、虚部の符号を変えた相棒（正式名称: 共役）が互いに単数倍（正式名称: 同伴）になっていた。一般には ζ の例のように、虚部の符号を変えた相棒は「同伴」ではなく、友達以上・恋人未満…。「ノルムが同じ・絶対値も同じ・実部も同じで虚部の符号だけが正反対」という特別な関係ではあるけれど、「おれに割れる数なら、おまえにも割れる。おまえに割れる数なら、おれにも割れる」というほどの、一心同体の関係ではない。

2021-11-24　ガウス整数 13i の因数分解　実例研究その1

当面の目標は「ガウス整数の世界でも一意的な素因数分解ができる」という命題だけど、実際の証明の前に実例をいくらかいじって、感覚をつかんでおきたい。ユークリッド整域なので「既約」と「素数」の違いを隠したまま話を進めることもでき、その方がお手軽だが…。その二つが異なる概念であること（分解不可能だけど素数でない例。逆に素数なのに分解できる例）が、核心だろう。ある時点で、思い切りカメラを引いて「整域」を外側から眺めることが必要になる。まぁ適当にやってみたい…。

32.　13 はバニラ素数なので、2平方数の和。4² = 16 は大き過ぎるから、1² = 1, 2² = 4, 3² = 9 の範囲で和を考える。簡単な試行錯誤の結果（総当たりでも数パターンしかない）:
　　13 = 2² + 3² = (2 + 3i)(2 − 3i)
　　つまり 13i = (2 + 3i)(2 − 3i)i = (2 + 3i)(2i + 3)　　（＊）

出てきた因子の A = 2 + 3i などは、もうこれ以上分解できないのだろうか？

ここでクリティカルな役割を果たすのが「ノルム」（15.参照）。0でないガウス整数 A が、2個のガウス整数の積 PQ に分解されたとしよう。つまり
　　A = PQ
が成り立ったとしよう。上の式の両辺のノルムを考えると:
　　norm(A) = norm(PQ) = norm(P) norm(Q)
A = 2 + 3i の場合、norm(A) = 13 は普通の意味での素数なので、これ以上意味のある分解はできない。強いて言えば norm(P), norm(Q) の一方が13、他方が1で 13 = 13 × 1 という分解が考えられるが、ノルム1の数は ±1, ±i に限られ、これらは真の約数ではない（普通の素因数分解で、因子 1 が無視されるのと同じ）。要するに、ノルムが素数なら、もうそれ以上、分解できない。

この場合、2 と 3 の順序を入れ替えて次のように書いても、最終的な結論は同じ:
　　13 = 3² + 2² = (3 + 2i)(3 − 2i)
　　つまり 13i = (3 + 2i)(3 − 2i)i = (3 + 2i)(3i + 2)　　（＊）と同じ

2021-11-23　ガウス整数から見た 3² + 4² = 5²　（その3）

30.　ガウス整数の範囲では x² + y² = (x + yi)(x − yi) だが、ピタゴラス・トリオ (x, y, z) の場合、このように分解した因子の x + yi が再び平方数 (A + Bi)² になる。他方の因子 x − yi も同様の平方数 (A − Bi)² になる（21.参照）。理由が分かれば「当たり前」かもしれないが、
　　3² + 4² = 5²　⇒　(3 + 4i)(3 − 4i) = (2 + i)²(2 − i)² = (2² + 1²)²
　　5² + 12² = 13²　⇒　(5 + 12i)(5 − 12i) = (3 + 2i)²(3 − 2i)² = (3² + 2²)²
といった構造は、本当とは思えないほど美しい。素直に感動！

もっとも x + yi の形…例えば 3 + 4i…を (A + Bi)² の形…例えば (2 + i)²…に変換する魔法は、まだ修得していない。要するに「ガウス整数の世界の素因数分解」だが、その研究は後のお楽しみ！

呪文でホラ変身よ＞　3 + 4i　パリエルレムリン・スイートミント、ガウス素数になぁれ～　= (2 + i)²

逆方向の変換法は、既に分かっている。例えば (2 + i)² つまり A = 2, B = 1 を x + yi の形にするには、2乗の部分を展開するだけ。一般に、こうなる（「その2」22.）:
　　x = A² − B²
　　y = 2AB
　　z = A² + B²
分解されているものを掛け合わせるのは簡単だが、掛け合わされているものを分解するのは難しい…。「自分は数学が得意だから、そんなの全然難しくないよ」と考える人もいるかもしれないが、「計算量的に本当に難しい」というのが多くの専門家の予想であり、実際この予想が、日常、インターネット上で使われるRSA系の暗号システムの基礎となっている。

とはいえ最近…大ざっぱに2010年くらいから…「難しいといっても、原理的にはやればできるし」「パスワードとかクラックされたら、セキュリティー的にやばいし」というムードが強まって、「RSAでも桁数をさらにでかくしよう」「RSA系自体が不安だから、楕円曲線暗号に移行しよう」という流れになっている。楕円なら安全？　それもまた、誰にも分からない未解決問題。数論の世界には、未知がいっぱい。教科書に書いてあることを覚えればいい、なんていう、甘い話じゃない。ある意味「ロマン」だが、難しくて途方に暮れてしまう。

31.　ピタゴラス・トリオについては、上記の A, B の性質がよく分かっているので、次の例のように、いくらでも機械的に生成できる（「その2」付録）。

[  1 ] A= 2, B= 1 ::: (3,4,5)
[  2 ] A= 3, B= 2 ::: (5,12,13)
[  3 ] A= 4, B= 1 ::: (15,8,17)
[  4 ] A= 4, B= 3 ::: (7,24,25)
[  5 ] A= 5, B= 2 ::: (21,20,29)
[  6 ] A= 5, B= 4 ::: (9,40,41)
[  7 ] A= 6, B= 1 ::: (35,12,37)
[  8 ] A= 6, B= 5 ::: (11,60,61)
[  9 ] A= 7, B= 2 ::: (45,28,53)
[ 10 ] A= 7, B= 4 ::: (33,56,65)

これをじっと眺めると、トリオの最後の数 z に素数が多いことが目に付く: 5, 13, 17, 29 など…。これらの素数は、どれも「4で割ると1余る素数」（愛称: バニラ素数）のようだ。それは実は当たり前。だってさぁ、
　　z = A² + B²
って、2個の平方数の和じゃん？　しかも、AとBって、一方が偶数、他方が奇数（22.参照）。偶数の2乗は、4の倍数（★）。奇数の2乗は、4の倍数プラス1（☆）。それらの和（★プラス☆）も、4の倍数プラス1。だから z は、素数であっても素数でなくても、必ず「4で割ると1余る数」。

（★）　どんな偶数も、2の倍数なので 2n の形を持つ（n は整数: 例えば、偶数6は 2×3）。その2乗は: (2n)² = 4n²。これは「4 の n²倍」なので、4の倍数。

（☆）　どんな奇数も、2の倍数より1大きいので 2n+1 の形を持つ（n は整数: 例えば、奇数7は 2×3+1）。その2乗は: (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4(n² + n) + 1 = 4の倍数 + 1。

具体例を眺めると、逆にどのバニラ素数も、必ずピタゴラスの z となるように思える（この予想は実は正しい）。けれど今は、別の部分に注目したい。

z が全部素数になるなら「ありがちな展開」かもしれないけど、なんか 5 の倍数が交じってるよ？　上の例では 25 と 65。何だ、この連中？　そっちの方が気になる。

暫定的に「ピタゴラストリオの z は、バニラ素数または5の倍数になる」という予想が浮かぶ。ところが、上記の「付録」をよーく見ると、この予想は正しくない:

[ 29 ] A=12, B= 5 ::: (119,120,169)

この z = 169 は 13² であり、素数でも5の倍数でもない。予想に合わない「反例」ってやつ。素早く予想を修正して「素数でない z は、5の倍数または平方数」と言いたい気もするが、本当だろうか？

話がちょっと戻るが、まだ導入してない x + yi の素因数分解の技術。やり方はともかく、結果としては…
　　[1]　3 + 4i = (2 + i)²
　　[2]　5 + 12i = (3 + 2i)²
　　[3]　15 + 8i = (4 + i)²
　　[4]　7 + 24i = −(1 + 2i)⁴
　　[5]　21 + 20i = (5 + 2i)²
　　[6]　9 + 40i = (5 + 4i)²
…だいたいは、前述の通り、そのまんま「何かの2乗」の形になってるが、4番だけ、妙な形になっている。4乗なので、これも「何かの2乗」の形に書き直すことができ（20. & 21.参照）、上記 30. の主張に間違いはないのだが…。「ピタゴラストリオの式の左辺を（ガウス整数として）分解した因子」という同じ性質のものなのに、なぜ一つだけ他と違う形なのだろう？

「素数でない z は、どういう数か？」という疑問。そしてこの、釈然としない現象。

実は、この二つのもやもやは関連していて、全てをすっきり透明に見通せる観点が存在している。…それは分かってしまえば簡単なことで、客観的には当たり前のことなので、いちいち教科書には記されてないだろうけど、主観的には意外と面白い。どんな小さな命題だって、自力で独立に発見した事柄は、キラキラ心に残るだろう。

24.では「バシェ／ベズの定理」を導入して、懸案の「ガウス整数の一意分解」を攻略する伏線を張った。教科書的には「一意分解ができること」を証明してから、具体例を挙げるのが正しいだろうけど、「一意分解」という抽象的性質を考える前に、「分解の具体例」を体験して感覚をつかむ方が、たぶん分かりやすい…。記事にまとめるとき、余計な脱線を削除して、説明が抜けてるところを補い、整理したい。

2021-11-21　【150法】コンウェイの秘技【3～4桁の数を暗算で因数分解】

2の倍数・3の倍数・5の倍数は明らか。7の倍数以降の判別法もあるにはあるけど（それ自体としては面白いけど）、実用上は「実際に割ってみた方が手っ取り早い」という感じがする。ところが…

Conway は、7の倍数～19の倍数を一気に検出するすごい裏技を編み出していた！

【1】　説明のための例として、x = 209 を分解してみよう。

まず150のN倍で x を近似する。この場合、N=1、つまり150自体で近似すると、誤差は59。

手のひらを広げて「1回引いたら深呼吸」と言いながら、59からNを引く。手のひらの上に58をイメージする。

「親、行く」と言いながら、親指を見て、またNを引いた57をイメージする。親指を折り曲げる。

「ひどいな」と言いながら、人差し指を見て、またNを引いた56をイメージする。

「仲いいな」と言いながら、中指を見て、またNを引いた55をイメージする。中指を半分折り曲げる。

「くっさい」と言いながら、薬指を見て、またNを引いた54をイメージする。

最後に「恋さ」と言いながら、小指を見て、またNを引いた53をイメージする。

親指が曲がって、中指が半分曲がっている。これで 209 が 19 と 11 で割れることが判明。実際 209 = 19 × 11。

何をやってるのかというと…。「親、行く」は「親指イク＝19」。57が19で割れるか考える。商3で割り切れるので、イエス。記録として、親指を折り曲げておく。

「ひどいな」は「人差し指イナ＝17」。このステップでは、56が17で割れるか考える。ノー。

「仲いいな」は「中指イイ・ナ＝11と7」。このステップでは、55が11または7で割れるか考える。イエス、11で割れる。記録として、中指を半分折り曲げておく。

「くっさい」は「薬指サイ＝31」。このステップでは、54が31で割れるかチェック。ノー。

「恋さ」は「小指イサ＝13」。このステップでは、53が13で割れるかチェック。ノー。

この方法で、7～19の素因数は、漏れなく検出される（31も検出される）。

【2】　別の例、x = 533。

N=3 とする。450を引いて83。以下、繰り返しNを引く。

1回引いたら深呼吸 → 手のひらの上に80がある。

親）いく → 77÷19。割り切れない。

ひど）いな → 74÷17。割り切れない。

仲）いいな → 71÷11 と 71÷7 を考える。割り切れない。

くっ）さい → 68÷31。割り切れない。

こ）いさ → 65÷13。商5で割り切れる。小指を曲げておく。

結論として 533 は 13 で割り切れる。暗算で割り算すると、商41。この商は明らかに素数なので、533 = 13 × 41 と分解できる。

【3】　逆方向に、足しながらやってもいい。x = 1023。N=7 として、1050 に切り上げた方が誤差が小さい。差は27。（この x は一目で3の倍数だが、説明の例として、構わず進める。）

1回足したら深呼吸 → 手のひらの上に34がある。今度はNを繰り返し足す。

親）いく → 41÷19。割り切れない。

ひど）いな → 48÷17。割り切れない。

仲）いいな → 55÷11 と 55÷7 を考える。11で割り切れるので、中指を半分曲げておく。

くっ）さい → 62÷31。これも割り切れるので、薬指を曲げておく。

こ）いさ → 69÷13。割り切れない。

結論として x = 1023 は 11 と 31 で割り切れる。31 × 11 = 310 + 31 = 341。x が 3 で割れることは最初から分かってるので 1023 = 3 × 11 × 31 となる。

参考として、最初と同じ引き算方向でやると N = 6。900を引いて差は123。

1回引いたら深呼吸 → 117。

親）いく → 111÷19。割り切れない。

ひど）いな → 105÷17。割り切れない。

仲）いいな → 99÷11 と 99÷7 を考える。11で割り切れるので、中指を半分曲げておく。

くっ）さい → 93÷31。これも割り切れるので、薬指を曲げておく。

こ）いさ → 87÷13。割り切れない。

ちゃんと同じ結論になった！

【4】　この方法でなぜうまくいくのかの説明、さらに拡張する方法については、次の文献をごらんください。
Arthur T. Benjamin: Factoring Numbers with Conway’s 150 Method (PDF)
https://math.hmc.edu/benjamin/wp-content/uploads/sites/5/2019/06/Factoring-Numbers-with-Conway%E2%80%99s-150-Method.pdf
参考リンク:
Quick Divisibility Test for Primes up to 67
https://numbertheoryguy.com/2020/05/23/quick-divisibility-test-for-primes-up-to-67/

この方法の注意点として、因数が見つからないことの方が多いです。例題では、説明のため因数があるケースを取り上げましたが、整数が7で割れる確率は単純計算で1/7、11で割れる確率は1/11等々なので、大ざっぱに因数が見つかるケースは1～2割で、5回に4回くらいは7～19の因数が出ないでしょう。ヒットしなくてもがっかりせず、「それで当たり前」「その範囲の因数がないことを確定判定できた！」と肯定的に考える心構えが重要かと。順次引き算または足し算する数 N は、状況によって変わるので、単純な計算ミスに注意すること。指との「同期」がずれると正しく判定できないので、落ち着いて「1回引いたら（足したら）深呼吸」をやること。中指は 7 と 11 の2種類の因数に対応するので、混乱しないように、7 だったら軽く曲げ、11 だったら半分曲げ、7 × 11 だったら思い切り曲げるといいかも。

この方法は、Conway が1996年にイベントで披露したものだそうです。Benjamin は直接それを見聞きして、2018年に上記の記事を書いたようです。The author thanks the referee for many helpful suggestions, and especially wishes to thank John Conway for his permission to share his algorithm... まではよくある普通の結びですが、続けて ...and for being such a large prime factor in the mathematics community. としゃれたことを…。Benjamin の書いた文章のことは、インドの RESONANCE 2021年5月号で知りました。Arvind Ayyer と B. Sury の「John Horton Conway: The Magical Genius Who Loved Games」（PDF）の末尾でチラッと言及されていたのです。雰囲気的には、楕円曲線法で分解を試みるときの Baby Steps に似てる。こういうことを知るたび、世の中にはすごいことを考える人がいるもんだな～とびっくり！　理解できないような難しい研究をする学者がいるのは普通に分かるけど、簡単な算数みたいなことでも、すごいことができるんだなぁ…

（コメント）　検索エンジンで「素因数分解の技法」のようなキーワードを使っても、ベンジャミンの論文は出てこないだろう。巨大検索エンジンからは見えないことが、小さな趣味のサイトからはピンポイントでリンクできる。この現象は、脱中心の重要性を示唆しているのではないか？

チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• 脱線だらけの数論入門　平明な言葉でピンとくる直観を
  • 2021-10-04　ピタゴラス・トリオで遊んじゃえっ　勉強だって遊んじゃえっ
  • 2021-10-05　フェルマーの最終定理: n=4 の場合　ピタゴラス・トリオで遊んじゃえっ
  • 2021-10-13　「ゴルゴ13」分解計画　　565+13i
  • 2021-11-03　ガウス整数から見た 3² + 4² = 5²　ピタゴラス・トリオで遊んじゃえっ
  • 2021-11-13　バシェ／ベズの定理
  • 2021-11-17　直観的に分かる「第一補充法則」　かえって疑問が増えるけどｗ
• プライバシー　人間の欲・虚栄心を離れた「情報それ自体」
  • 2021-06-29　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
  • 2021-09-01　メール・プロバイダの安全性　あなたのメアドは何点？　定量的分析の一例
  • 2021-10-27　検索エンジン MetaGer　Webのプライバシーあれこれ
  • 2021-11-20　オンラインショッピング　Gmailで登録すると…　全店の詳細購入履歴が永久保存
• その他いろいろ
  • 2021-08-22　思い出の漫画（1）　岡田あーみん「ルナティック雑技団」
  • 2021-08-23　思い出の漫画（2）　岩館真理子「街も星もきみも」
  • 2021-09-05　思い出の漫画（3）　篠有紀子「パラレル」
  • 2021-05-29　動画注意報: madVRの色スケールがTV（16-235）になってしまう
  • 2021-05-08　log (1 + i) とか　複素関数って値の変数名がwで草
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-14　ω 乗
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
  • 2021-03-29　【動画作成】注意報　Vorbis/Opus音声はリスキー　直してほしいVLCのバグ
  • 2021-02-12　2項定理　ばかばかしいけど分かりやすい（？）説明
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