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チラ裏
「チラ裏」は適当な走り書き。誤字・誤記・脱線が多いです！
2022-09-23 ガウスの第一証明・ディリクレの工夫 イントロ
平方剰余の相互法則についての Gauß の第一証明は、発想は壮大だが、実装は強引で「スパゲティ」（ごちゃごちゃ）ともいえる。
Dirichlet（ディリクレ）は、そのごちゃごちゃを整理して、証明を半分くらいに短縮した。Dirichlet の工夫は、大ざっぱに言えば Jacobi（ヤコビ）記号を使うこと。それだけでなく Jacobi 記号の「分母」として 1 や負数を許容する…。今で言う Kronecker（クロネッカー）記号に当たるが、Dirichlet がこれをやったのは、Kronecker 記号が導入される数十年前らしい！
現代では Gauß の第一証明自体も、その Dirichlet 版も、ほとんど紹介されない。そのため歴史的文脈が見通しにくいが、面白い冒険コースであることは間違いない。残念ながら本題に入るまでの準備が長く、いろいろなことが絡み合って見通しが悪いのだが…
【1】 −1 の逆数は −1 自身: (−1)−1 = 1/(−1) = −1。この結果として、任意の整数 c について
(−1)c = (−1)−c
が成り立つ。早い話、(−1) の整数乗は、偶数乗なら = +1 で奇数乗なら = −1。これについては、正の偶数・負の偶数の区別、正の奇数・負の奇数の区別は関係ない。従って a, b を任意の整数として
(−1)ab
のような値があるとき、指数の符号を反転させて (−1)−ab としても値は変わらないし、指数の任意の因子の符号を反転させて (−1)a(−b) などとしても値は変わらない。普段あまり使わない発想かもしれないが、内容的には当たり前。
さて Q を 3 以上の（従って奇数の）素数、a をある整数として、2次の合同式 x2 ≡ a (mod Q) に解 x があるかないか。もし a ≡ 0 なら x ≡ 0 という1種類の解がある。それ以外の場合、解があるとすれば2種類の解があり、解がないとすれば全く解がない――前者のケース（2種類の解あり）は平方剰余だが、これを L(a, Q) = 1 で表し、後者のケース（解なし）を平方非剰余（略して非剰余）と呼び L(a, Q) = −1 で表すことにする。この L は Legendre（ルジャンドル）記号と呼ばれるもので、一般的には「分数に丸かっこを付けた形」で表される。例えば x2 ≡ 3 (mod 13) には x ≡ ±4 という解があるから…（続き）
2022-09-20 連続する3個の整数の積は6で割り切れる 連続するN整数の積は…
以下の内容はたわいもないことだが、ガウスの第一証明はここから始まる。
【1】 連続する3整数、例えば 4, 5, 6 の積 4 × 5 × 6 = 120 は、3! = 1 × 2 × 3 = 6 で割り切れる。
理由。1, 2, 3 の中には偶数（つまり2の倍数）が1個しかない。連続する3整数は、順に「偶数・奇数・偶数」か「奇数・偶数・奇数」なので、どちらにしても2の倍数を1個含む（場合によっては2個含む）。
同様に 1, 2, 3 の中には3の倍数が1個しかない。他方、連続する3整数 A, A+1, A+2 の中にも、必ず3の倍数が1個含まれている。
A を 3 で割ると、余りは 0, 1, 2 のどれか。つまり A は 3k, 3k+1, 3k+2 のどれかの形を持つ（k は整数）。もし A = 3k なら、もちろんそれは3の倍数。もし A = 3k+1 なら A+2 = 3k+3 = 3(k+1) が 3 の倍数。最後に、もし A = 3k+2 なら A+1 = 3k+3 = 3(k+1) が 3 の倍数。…要するに、任意の連続3整数は、順序の違いを無視すれば mod 3 で {0, 1, 2} と合同。
すると A(A+1)(A+2) / 3! の分母にある因数は 2, 3 が1個ずつだけだが、この分数の分子には、必ず因子として 2 が 1個以上、3 が1個あるので、通分すると分母は 1 になる。
【2】 より一般的に、連続する N 整数の積は、N! で割り切れる。理由は上記と同様。N! の積を作っている整数たち…（続き）
2022-09-12 無味乾燥だが超絶技巧 第一証明の森の入り口
平方剰余の相互法則について、ごく一般的なガウスの第三証明を紹介した。今度は、あまり人気のないガウスの第一証明を紹介したい。
あえてこの険しい道を行く意味は、次第に明らかになるだろう。
無味乾燥な補助定理から…。その内容は平凡で「4k+1型の素数 Q が与えられたとき、Q より小さい奇素数の中には Q mod q が非剰余になるような q が少なくとも一つある」。言ってることは当たり前。大ざっぱなイメージとして、平方剰余になるか非剰余になるかは「半々の確率」だが、素数は無限にある。例えば Q = 53 未満の奇素数は14個、Q = 101 未満の奇素数は24個…。Q = 53 未満の奇素数 q の一つ一つを mod として、確率半々で Q が剰余または非剰余になるとすれば、そのどれも非剰余にならない確率は「コインを14回投げて、一度も裏が出ない（連続して表が出る）ようなもの」で、ありそうにない。
実際のデータは次の通り。R で剰余、N で非剰余を表すと、8個が剰余、6個が非剰余:
53N3, 53N5, 53R7, 53R11, 53R13, 53R17, 53N19,
53N23, 53R29, 53N31, 53R37, 53N41, 53R43, 53R47
ガウスも「一見とても明白だと思われ、ある人々は実際、証明の必要性を認めなかったのであるが…」とコメントしている。その言い回しからも分かるように、厳密性のためには、ここから始める必要がある。（続き）
2022-09-08 財務省を訴える裁判に Tornado Cash ウェブカメラ違憲判決の出た米国だが…
1 技術の発達も善しあしで、「何に興味を持って何をしているのか、行動を秒単位・1クリック単位でトラッキングされたり、GPSで追跡されたり、勝手に顔面認識されたり、記録が蓄積されAI分析されたり」…といったことが、現実に行われる世界になってしまった。経済活動についても（政治家の不正資金・わいろなどはどんどん取り締まればいいとしても）、一般人がいつ何を買っていくら払ったか逐一監視されるような技術的枠組みには、危険なものを感じる。
Tornado Cash (TC) の事件は、悪いイメージもある暗号通貨の分野で起きたことで「自分と無関係」と考える人も多いかもしれない。他方、「監視社会・全体主義・格差社会」のような広い文脈の中の一こまでもある。米国の議員が公開質問状を出したり、EFFが（一応）批判のコメントしたりしていることからも分かるだろう。
End-to-end のセキュアな暗号化通信を禁止して、プロバイダーにバックドアの設置を義務付けるようなことが、実際に検討されている時代背景。
2 事実関係 「ハッカーが悪用している」という罪状（？）で「ツールそのもの」が違法とされ、「悪用する一部の人」ではなく「全ユーザー」がブラックリストされ「開発者」が逮捕された。
いくらなんでも、やり過ぎだろう。米国では、6人の原告（何も悪いことをしていなのにブラックリストされてしまった一般ユーザー）が財務省を相手取り、訴訟を起こす模様。原告の一人は大手CEX（暗号通貨関連の事業者）の上級職員らしい。「ウクライナに義援金を送るとき、報復を恐れて、匿名で寄付するために使った」という。このCEXが訴訟費用を負担するらしい。
このシナリオについては別のメモでも記した: ウクライナを支援するとき使われたクリプト。「監視付きコインで義援金など送ったら、後々ロシアに報復されるかも」というのは、誰でも普通に心配する
。実際これは、プライバシーコインの典型的な活用法の一つ。リアルで募金箱にお金を入れるときだって、いちいち身分証を提示したりしない…。聖書にも「寄付するときは、右手のすることを左手に知られてはならない」と書いてある（関係ないｗ）。
ETHはプライバシーコインではない。だからこそ、この職員も、TCオプションを選択したのだろう。普通にプライバシーコインを使えばこんなトラブルもなかったはずだが、CEX職員としての立場上、自社が delist しているコインを避けたのかもしれない。だとすれば、プライバシー規制による二重の被害者ということになる。
3 雑感 筆者は Tornado Cash (TC) のユーザーではないし、TC のことをよく知らないし、何の利害関係もない。でも技術者（開発者）に対する行き過ぎた弾圧が怖い…というのは別の問題。
Winny事件のときもそうだった。Winnyを使ったことはないし、実態は知らないわけだが（悪用もされていたのはきっと事実だろう）、だからといって（悪用するユーザーではなく）ソフトウェアの開発者を逮捕…となれば驚くし、不穏に感じる。
だいたい著作権侵害のほう助がどうこう、当時はあれだけ執拗に言っていたのに、今の実態は何なのか。大企業が堂々と動画共有サイトを運営し、著作権があるはずのファイルでも、勝手にアップロードされ、「それで当たり前・便利だからいい」みたいな風潮になってしまった。かつて128 kbps程度のMP3や、320x240ピクセルの低画質動画で「侵害、侵害」と大騒ぎしていたのは、一体何だったのか…。そして今、「無料の昼食はない」という常識を知らない一般ユーザーが、知らずに無邪気に動画を楽しんでいるつもりで、一体どれだけ搾取されていることか…
ところで、オンライン授業の場合、小テストなどでいくらでもカンニングができる…ということから、米国ではテストのとき不正対策として「監視カメラのようなソフト」が使われることがある。これについて異議を唱えた学生がいて、最近「プライバシー侵害で違憲」という判決が出た。「個人の部屋の中をスキャンしたり、目の動きまでトラッキングするのは、やり過ぎ」という判断。オンラインチェスのソフト指しと似た問題だろう。監視カメラのようなものがあっても、その気になればいくらでも抜け道はあるだろうし、おとなしい善意の人（もともと不正などしない）が一方的にプライバシーを侵害される一方、ずるをする人はどうせするわけで…
このように米国の裁判所は、良い意味でも悪い意味でも、比較的独立性の高い判断をする伝統がある（政府の顔色をうかがう判決を出すとは限らない）。TC事件は明らかに憲法違反の疑いもあり、そういう判決が出るかもしれない。過剰な期待はできないが…
4 技術的には、TC事件は「もともとプライバシーのないシステム（ETH）の上に、アドオンのようにプライバシーのレイヤーを作ろうとしても、うまくいかない」という失敗知識という見方もできる。具体的事件そのものは驚きだったが、全体的な流れとしては、遅かれ早かれこういうことが起きてくる…というのは予想されていたし、これからますますひどくなるだろう。
End-to-end (e2e) 規制（バックドア強制）の可能性についても、技術的なユーザーは本気で心配はしていない。E2Eプロバイダーがバックドアを作っても、そんなものを通さず、ローカルで直接暗号化すれば済む話だから。
技術的にはそうなのだが、「暗号化技術を悪用して、こっそり爆弾テロの相談をしたり、児童ポルノをやり取りしたりする人もいる。規制が必要だ」というレトリックや、それを信じ込む風潮が問題なのである。一般人は確かに「爆弾テロ！」と言われれば「怖い話だ。確かに規制が必要だ」と考えるかもしれないが、常識的に考えて、メッセンジャーでやり取りされるオンラインの会話なんて、ほとんど100%どーでもいーよな日常的な内容だろう。100万人に一人いるか、いないかという架空のテロリスト対策の名目で、個人間のプライベートなメッセージのやりとりが検閲可能状態に置かれるのは、バランスの問題として不釣り合い…むしろ「そういう口実での独裁的全体主義・思想統制」という感じさえする。
独裁者による監視システムの恐ろしさは、歴史の教えるところだが、独裁者が結局は自滅するのも、歴史の教えるところである。「本当はないこと」が分かっていながら「大量破壊兵器の存在」を口実に侵略が行われた前例もある。
オンライン決済の件も、いくら執拗にクリプトを検閲しても、善意のユーザーが不便になるだけで、それで「怪しい裏金」やら「犯罪組織の闇取引」やらを阻止できるとは思えない（裏取引というと、クリプトなんて関係なく、ジュラルミン？のケースに入れた札束をやり取りしてるようなイメージがある…漫画の読み過ぎ？ｗ）。犯罪対策とやらをしたいなら、ウェブ検閲より、まずは「直接的な殺傷能力のある銃」というものの規制を考えたらどうなのか。要するに、銃の利権団体が多額のわいろ（？）を払うので、規制しないのでは…（文化的伝統や個人の思想もあるので、あまり単純化はできないが）。動画サイトも「高額の法人税を払ってくださる大企業さまがやることは悪くない。ボランティアの開発者が共有ソフトを作ると逮捕する」みたいな感じで、要するにカネが正義かよ～みたいな…
「絶対的権力は絶対的に腐敗する」というが、権力者のレトリックをうのみにせず、問題意識を持つことは大切だろう。
2022-09-06 アイゼンシュタインの証明の現代化 目で見る相互法則
ガウスの第三証明（ディリクレ版）、それを簡単化したアイゼンシュタインの幾何学的証明については、いずれも既に200年前のオリジナル版を紹介したが、現代的にはそれがどう整理されるか。
p = 11, q = 7 を例にすると、H = (p−1)/2 = 5, I = (q−1)/2 = 3。横 5 個、縦 3 個の長方形状に並んだ格子点（図の ● と ○）が、合計 5 × 3 = 15 個…という当たり前のことに、問題は帰着されるのだった。
赤線の下の ● と赤線の上の ○ が対称ではないことに注目（後者の方が1個多い）！
このうち赤線 y = (7/11)x の下にある格子点 ● の個数を考えると、y が縦座標なので…（続き）
2022-09-05 「Google Analytics 4」対策・試案 ウェブのプライバシーと利便性の兼ね合い
一般ユーザー、初心者が普通にできる範囲のこととして…
1. 「丸見えブラウザー」（あなたが今使っている環境です。「あなたを自動追尾する監視カメラ（録画機能付き）がいくつも設置されたガラス張りのトイレで、用を足している」とイメージしてください）を捨てる必要はありません。丸見えでもいい場所、むしろ一般人になりすます方がいい場所もあるでしょう。
2. ですが、プライバシーが必要なブラウジングのため、プライバシー志向の環境も用意して、使い分けましょう。ポータブル（スタンドアローン）のブラウザーなら共存できます。「丸見えブラウザー」のいわゆる「プライバシーモード」（茶番）の話じゃないですよ…。以下では、こっち側の設定について。残念なことに Firefox 系もデフォルトでは…いまいちになってしまいましたが、次のようなカスタマイズの自由は残されてます！
3. まず何はともあれ、JavaScript をデフォルトで無効にします。「今どきのサイトは、スクリプトがないと動作しない」というご意見もあるでしょう。そこでアドオンの NoScript を導入して、どうしても必要な場合だけ、必要なスクリプトを有効にしてください。これによって GA.js のような監視カメラは、「とりあえず」フル動作はしなくなります。
4. 第二に、できればクッキーを全部ブロックしてください。アドレスバーに about:config とタイプして、network.cookie.cookieBehavior を探し、値を 2（全部禁止）にします。これで、サイト内・サイト間の「明示的な」トラッキングは阻止できます。クッキーがないと動作しないへぼサイトについては、仕方がないので「丸見えブラウザー」を使うか、または少し妥協して、上記の値を 1（サードパーティーのクッキーを禁止）にします。これによってサイト間の「明示的な」トラッキングは阻止できます。
さらに、全体の設定で「何も残さない」ようにします。例えばクッキー、履歴等は、ブラウザーを閉じれば全部消えるようにします。
注1 閲覧にサードパーティーのクッキーが必要なサイトは、セキュリティー面・プライバシー面で、設計の根本に問題があります。危険なので、そういうサイトはなるべく利用自体をやめましょう。
注2 「ブラウザーを閉じるとクッキーが消えてしまう設定では、毎回ログインが必要で面倒」と思われるかもしれません。「毎回自動ログインしたい」＝「あなたが誰かを自動通知して利用したい」というケースは、こっちではなく「丸見えブラウザー」の出番です。一方、IPを含めて個人情報を一切渡さずに匿名サインアップしたサービスであれば、「丸見えブラウザー」を使うと、せっかくの苦労が水の泡。「丸見え」で使うのか「プライベート」で使うのか、利用目的によって区別して、混ぜこぜにしないようにしよう！
5. クッキーを切っても、Referer によってサイト間の足跡が残ります。about:config にて network.http.sendRefererHeader の値を 0 にすると、Referer を無効にできます。表面的な意味としては「そのページに、どのリンクから来たか」が見えなくなるわけですが、プライバシー上、もっと重要な意味は、「どこにでも入り込むG（ゴキブリ）画像」に関して「あなたがそのゴキブリをどこから読み込んだか？」という情報（つまりあなたがどのページを見ているか）が、ゴキブリ本部に通知されなくなります。プライバシー的に良いことでしょう。けど、もっと根本的に「Google検索」のようなリモート画像が平然と貼り付けられている場合、「このサイトの管理者は、あまり賢くないかも…」という判断になるでしょう…。
補足 Referer を無効にしても、通常、機能的な影響はないですが、世の中には「Referer の内容によってアクセスを妨害する意地悪サイト」も存在します。その場合、上記の値を 1 にすると、どのリンクをたどったかを通知しつつ、画像のリファラが無効になります。
6. この問題は G に限りません。よってサードパーティーの画像の読み込み自体をブロックするのが、良い考えでしょう。permissions.default.image を 2 にすると、全画像のロードを止められます。「画像が表示されないと寂しい」という人は、少し妥協して 3 にすると、サードパーティーの画像だけをブロックできます。
画像をオフにした状態でそのサイトがどう表示されるのか？というのは、ある程度「情報発信に対する真剣度」の目安にもなります。「altに何か書いとけばいい、というお役所仕事のサイト」と、「画像が表示されなくても本文を理解できるように、altに画像の内容をテキストで書いているサイト」とでは、もちろん後者の方が好ましい。「画像が表示されないと全く使い物にならないサイト」は、「テキストブラウザー」や「目が不自由な人」のことをまるで考えていないので、完成度やセキュリティーもそれなりでしょう。デフォルトで画像オフでも、特定の画像を見たければ、その画像だけを見ればいいわけです。単純な話でしょ？
7. G はフォントやスクリプトも提供しています。残念ながら、深く考えずに「無料で便利！」とこれを使う開発者もいるようです。ブラックな現場、予算・時間の都合…ってやつでしょうか…。スクリプトどころか CSS の @font さえ書けない人がメンテナンスしているサイトなんて、どうせ情報が漏れ放題なのであまり使いたくないのですが、ともかくユーザー側の自衛としては、アドオンの uBlock Origin を導入して、My filters に次を追加しましょう。
fonts.gstatic.com fonts.googleapis.com ajax.googleapis.com accounts.google.com www.googletagmanager.com
他にもブロックしたいものは、何でもここに追加しよう。グーグルのフォントをブロックしても、通常、フォントが変わるだけで実害はない。グーグルのアカウントやタグマネージャーなど、ブロックしてもほぼ100%問題ないでしょう。問題は見知らぬ他人の ajax に依存して動作する駄目サイトだが…われわれのポリシーでは、そもそも JavaScript はオフなので、これで動作しないサービスは「使うのをやめる」「丸見えブラウザーで使う」のどっちかにして、ここは妥協しない。
（悪名高い GA.js 等は、My filters に手動で入れるまでもなく、uBlock Origin によってデフォルトでブロックされます。）
JavaScript や画像自体を無効にしたのだから、ファイルをブロックする必要ないのでは？と感じるかもしれませんが、リクエストが発生してあなたの IP が G に記録されること自体が既に問題なのです。今の技術では、クッキーなしでも、スクリプトなしでも、AI分析であなた個人の行動パターンを認識・トラッキングできるようになりつつあります。従って「G にリクエストが送られたら、負け」と解釈してください。G 提供の DNS を使うなど、もってのほか、Google 検索は問題外です。
たぶん一般人は、そこまでできないでしょうから、G を使いたいときはこれまで通りの「丸見えブラウザー」、プライバシーが望ましいときはこっちのブラウザー…と分けて使うことが、（理想的ではないにせよ）現実的な解法だと思われます。
どうしても G 検索が必要だがプライバシー侵害は嫌…という方は、Searx をお試しください。
Searx は一つの検索エンジンではなく、メタ検索のインスタンスです。あるインスタンスが G 側からブロックされても、いっぱいあるので、別のインスタンスを使えばOK。
追記（2022-09-22） whoogle-search という選択肢もある（評価不明）。ところで、またまた嫌なニュースが…
https://metager.de/meta/meta.ger3?eingabe=US+Military+Bought+Mass+Monitoring
この際 G とは縁を切ろうと決意できた方（たぶん少数派？）には metager.de が今のイチオシですが、ドイツ語じゃ分からん！という場合 ddg.gg も、普通の検索ならまぁ使えるかもしれません。どーしてもゴキブリ検索が好き！という人は、妥協して、グーグルの子分 Startpage.com を使えば、直接ゴキを触るよりは良いかも………
付記 技術系のユーザーは Tor Browser や単体の Tor サービスを使う手もあるでしょうが、TB には特有の欠点があるので注意: IPは匿名になるものの、Tor の Exit node からアクセスしていることが先方に丸見えなので、場合によって悪目立ちする。Tor ユーザーが少ない場所だと「いつも○時くらいにくる Tor ユーザー」のように、かえって特定・トラッキングされてしまう。一般人のふりをしてあえて「丸見えブラウザー」を使う方が良い場合もある。
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。forum.doom9.org / videolan.org
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