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2026-06-06　フェラーズの定理（リー・グレイシャーによる証明）

1 以上の整数 H が与えられたとき、 1, 2, 3, ···, H をそれぞれ自乗して、全部掛けた積を考える。 p = 2H + 1 とすると:

H	p	(H!)2	観察
1	3	12 = 1	p = 3 の倍数より 1 大きい
2	5	12⋅22 = 4	p = 5 の倍数より 1 小さい
3	7	12⋅22⋅32 = 36	p = 7 の倍数より 1 大きい
4	9	12⋅22⋅32⋅42 = 9⋅64 = 576	9 の倍数
5	11	12⋅22⋅32⋅42⋅52 = 14400	11 の倍数より 1 大きい†
6	13	12⋅22⋅32⋅42⋅52⋅62 = 518400	13 の倍数 より 1 小さい‡

p が素数なら、積 (H!)² は p の倍数より 1 大きいか 1 小さい――この大小は H が奇数か偶数かで決まる。ウィルソン（Wilson）の定理から派生する現象。

1894年ごろ、英国のフェラーズ（Ferrers）は、関連する短い定理 [6] を記した。いわく、 p が 5 以上の素数のとき、 {1², 2², 3², ···, H²} を全部足した和は p の倍数。 t 個ずつの積の和も p の倍数（0 < t < H）。

〔例〕　H = 3, p = 7 のとき:
　　1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14　　← 7 の倍数
2 個ずつの積の和:
　　1²⋅2² + 1²⋅3² + 2²⋅3² = 4 + 9 + 36 = 49　　← 7 の倍数

1900年、同じ英国のリー・グレイシャー（Lee Glaisher）はそれを発展させ、小味の利いた証明 [7] を発表。

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2026-06-02　ウォルステンホームの定理: 発見者自身による証明

この定理は有名だが、発見者が最初に編み出した証明法は、半ば忘れられてしまった（もっと簡単な方法が見つかったので）。

遊びとして、あえてその「忘れられた証明」をトレースしてみたら結構楽しく、思いがけず面白い副産物も得られた。

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2026-06-01　偽金貨と二項係数　おしゃま／もやもや

金貨が 7 枚ある。 1 枚、偽金貨が交ざってる（残り 6 枚は本物だが、外見などでは区別が付かない）。そのうち 3 枚、好きな金貨をもらうとしたら、何が起こり得るか？

➀ラッキーな人は、 3 枚とも本物の金貨 6 枚の中から選ぶ。 6 枚から 3 枚を選ぶ方法は:
　　6⋅5⋅4/(3⋅2⋅1) = 20　パターン
➁不運な人は、何枚目かでインチキ金貨を選んでしまい、結果的に純正金貨 6 枚の中からは 2 枚だけ選ぶ。 6 枚から 2 枚選ぶ方法は:
　　6⋅5/(2⋅1) = 15　パターン
（偽金貨は 1 枚だけなので、それを選んでしまう場合、「偽金貨の選び方」自体にはバリエーションがない。）

➀か➁のどちらかが起きるので、選び方は、トータルで 25 + 10 = 35 パターン。もちろんこの合計数は、単に 7 枚から 3 枚を選ぶパターン数、
　　◎ = 7⋅6⋅5/(3⋅2⋅1) = 35
と一致する。この ◎ = ➀ + ➁ というのが「二項係数の加法定理」の一例。

〔注〕　パターン数は「何を基準にするか」によっても変わる。「3 枚選んだ中に、偽金貨が交ざっているかどうか」だけなら 2 パターンしかない。

さて、 H₄ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 12/12 + 6/12 + 4/12 + 3/12 = 25/12 のような「逆数の和」は、符号を交互にした
　　●⋅1 − ●⋅1/2 + ●⋅1/3 − ●⋅1/4
の形でも表現可能。この例では四つの ● を順に 4, 6, 4, 1 とすると、
　　4⋅1 − 6⋅1/2 + 4⋅1/3 − 1⋅1/4 = 48/12 − 36/12 + 16/12 − 3/12 = 25/12
となって、前記 H₄ と一致。 ● に入れた 4, 6, 4, 1 は、二項係数 (4 C k) に他ならない（k = 1, 2, 3, 4）。実は任意の正整数 n について、
　　H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/n
と値が一致するような、同様の別表現が存在する――その証明に「偽金貨の定理」（加法定理）が使われる。

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2026-05-31　ウォルステンホームの第3命題

p を 5 以上の素数とする。 2p − 1 個のアイテムから p − 1 個を選び出す組み合わせの総数は、 p³ の倍数より 1 大きい（選ぶ順序の違いは区別しない: 例えばメンバーが 5 人いるクラブのうち 2 人がイベントに参加する場合、参加メンバーの選択肢は 10 パターン）。

最小の例は p = 5 の場合。 9 個のアイテムから 4 個を選択する方法は、
　　9⋅8⋅7⋅6/(4⋅3⋅2⋅1) = 9⋅7⋅2/1 = 63 × 2 = 126
種類ある（「二項係数・超入門」参照）。この数は、確かに 5³ = 125 の倍数（1 倍）より 1 大きい。

ウォルステンホーム（Wolstenholme）は、この性質（第3命題）が成り立つことに気付いて、それが一般的に成立することを証明しようとした。第1命題（狭義の「ウォルステンホームの定理」）と第2命題は、もともとは第3命題を導くための補助定理というか、副産物だったらしい（今では、その副産物の方が有名だが）。

その証明は、必要以上にややこしかった――ウォルステンホーム自身もそう感じていたようで、結果を公表したとき、「私の採用した方法は少々面倒である。貴誌読者の中に、もっと直接的な証明を提供してくださる方がおられたら、ありがたい」とアイデアを募っている。

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2026-05-29　ウォルステンホームの第2命題

1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/(p − 1) の分子が p² で割り切れる、という「ウォルステンホームの定理」は、実は三部構成の命題の一つ目（p は 5 以上の素数）。二つ目は、
　　1 + 1/2² + 1/3² + ··· + 1/(p − 1)²
の分子が p で割り切れる、という内容。例えば p = 5 のとき、
　　1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² = 205/144
の分子は 5 で割り切れる。この命題は地味だが、証明手法がそれなりに面白い。一つ目と合わせて、最後の三つ目の命題の伏線ともなっている。

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2026-05-27　再挑戦！　ウォルステンホームの定理　易しい別証明

ウォルステンホームの定理というのは、 p が 5 以上の素数のとき、
　　1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/(p − 1)
を計算すると、分子が p² の倍数になる――というもの。

前回、面白がって21世紀のエレガント（？）な証明を紹介したが、少々トリッキーな面があった。実直なアプローチでリトライしたい。今回の別証明のいいとこは「2乗和の公式」を知らなくても問題ないこと、総和記号も必要ないこと、そしてなにより、「有理数 1 ∕ a と mod p の a⁻¹ を同一視」というトリック（巧妙だが分かりにくい）に依存しないこと。手法自体にも価値があり、ついでにウィルソンの定理も証明される。

簡単なことのようにスラスラ書いてるけど、実は小さい頃、この定理を証明しようとして苦労した。たまたま現象に気付き、ひどく好奇心を刺激されたものの、 Wolstenholme の定理という名前も知らなかったので、文献を調べようもなかった。

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2026-05-25　きれいな「ウォルステンホームの定理」

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = (12 + 6 + 4 + 3)/12 = 25/12

この分子は 5² で割り切れる。同じ足し算に2項追加すると…

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 25/12 + 1/6 + 1/5
　　 = (25 + 2)/12 + 1/5 = 9/4 + 1/5 = (45 + 4)/20 = 49/20

この分子は 7² で割り切れる。同様に、次の分子は 11² で割り切れる（付録A参照）:

1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/10 = 11 × 11 × 61/2520

p が 5 以上の素数のとき、上記のように p − 1 個の分数を足し算すると、分子が p² の倍数に！　計算自体は「簡単な算数」だが、なぜそうなるかの説明は、それほど簡単ではない。2010年代に Aebi & Cairns がうまい証明法を公表したので、それを…

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2026-05-21　指標としてのルジャンドル記号

mod 11 の 11 種の数のうち、 11 の倍数を除く 10 種
　　1, 2, 3, ···, 10
のそれぞれは、順序の違いを無視すれば
　　2⁰, 2¹, 2², ··· , 2⁹　あるいは同じことだが　2¹, 2², 2³, ··· , 2¹⁰
の形の 10 個の数によって、過不足なく表現される。例えば、
　　2⁴ = 16 ≡ 5 (mod 11)
なので、この場合 5 という数は、指数（インデックス） 4 に対応:
　　Ind 5 ≡ 4 (mod 10)

さて 2⁰ = 1, 2² = 2, 2³ = 4, ··· であるが、 mod の 11 は素数なので、フェルマーの小定理から
　　2¹⁰ ≡ 1, 2¹¹ ≡ 2, 2¹² ≡ 4, ·· ·
でもある。 x が 1 ずつ増えるときの 2^x の値は、周期 10 で同じパターン（1, 2, 4, 8, 5, ·· ·）の繰り返し。特に「x 乗される数」の 2 は（2 に限らず 10 の倍数以外の任意の整数は）、 10 乗されると ≡ 1 に戻るという性質を持つ―― mod 11 の世界では。

普通の数の世界にも「10乗されると = 1 になる数」（1 の10乗根）がある。例えば y = 1 や y = −1 は、明らかに y¹⁰ = 1 を満たす。その他にも（一見しただけでは分からないかもしれないけど）、
　　(1/4)(−1 + √5) + (i/4)√(10 + 2√5)
などの「1 の原始5乗根」や、
　　(1/4)(1 + √5) + (i/4)√(10 − 2√5)
などの「1 の原始10乗根」も、 10 乗されると = 1 になる^†。

10乗されると ≡ 1 になる「11 の原始根」（例えば 2）の代わりに、10乗されると 1 になる「1 の10乗根」（例えば −1）を使ってみたらどうかしら――という素朴な発想が、奥の深い世界への入り口となる。

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2026-05-18　原始根とインデックス　ゴルゴ13に登場したフェルマーの小定理

例えば a = 10 について、 x = a³ を満たす x を求めるのが指数計算（答えは 1000）。逆に 1000 が与えられたとして a^x = 1000 を満たす x を求めるのが対数計算（答えは 3）。指数だけを考えると、
　　10³ × 10² = 10³⁺²
のように、「掛け算」が足し算になる（同様に「割り算」が引き算になる）。

この性質は、使い方次第で驚くほど役立つ――「対数」のコンセプトが発見され「対数表」が普及したとき、「これで天文学者の寿命は2倍になった！」と大感謝されたという（面倒な掛け算・割り算などが楽になって、深い研究に使える時間が増えた、というほどの意味）。

コンピューターが身近にある現在では、もはや掛け算や割り算の目的で対数表を使う人は、ほとんどいないだろう。対数表を見たこともない人も多いと思われる。

数論では、今でも一種の対数表が使われることがある。画像はその種の表の一例で、19世紀に作られたもの（Jacobi, Canon arithmeticus より）。シンプルな数列みたいだけど、一体どんな規則で数字が並んでるか、分かるでしょうか？

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2026-05-15　mod 2ⁿ の特殊性　8, 16, 32, ··· には原始根が無い

n が正の整数、 p が 3 以上の素数のとき、 mod pⁿ の全種類の数（p の倍数を除く）は、たった一つの数 ɡ と掛け算だけを使って、
　　ɡ, ɡ⋅ɡ, ɡ⋅ɡ⋅ɡ, ··· 
の形で表現される（ɡ をうまく選べば）。例えば mod 5 の全種類の数 {1, 2, 3, 4} は ɡ = 2 の累乗として生成可能:
　　2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8 ≡ 3; 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5)

同じ素数でも p = 2 の場合には、一般には上記のようなことができない。例えば mod 2³ つまり mod 8 の全種類の数 {1, 3, 5, 7} を一つの元（げん）の累乗で生成することは不可能。 1 の累乗からはもちろん 1 しか出てこないし、それ以外の種類の数を試しも:
　　3² = 9 ≡ 1; 5² = 25 ≡ 1; 7² = 49 ≡ 1 (mod 8)
どれも2乗するだけで ≡ 1 になってしまう。つまり 3 の累乗からは自分自身と 1 しか生じず、 5 の累乗、 7 の累乗についても同様。

素朴な算数のような観点から見ると、「どんな奇数も、自乗されると 8 の倍数より 1 大きい数になる」。近代的な抽象代数の観点からは、「mod 5 の乗法群と mod 8 の乗法群は、どちらも四つの元から成る可換群だけど、構造が違う」。

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2026-05-13　1 × 2 × 3 × 4 とか 2 × 3 × 4 × 5 とか　連続4数の積: 1 を足すと？

連続する四つの整数を掛けて 1 を足すと、平方数になる:
　　(1 × 2 × 3 × 4) + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²　　タ
　　(2 × 3 × 4 × 5) + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²　　チ
　　(3 × 4 × 5 × 6) + 1 = 360 + 1 = 361 = 19²　　ツ
　　　︙

内容は単純だけど、なかなかいい感じ。

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2026-05-11　「奇妙な等式」の真相は…

前回取り上げた ³√(2 + √5) + ³√(2 − √5) = 1 は、いかにも奇妙に思える。複雑そうな二重根号の無理数の和が、整数（それも 1）になるなんて…

上記の式は「負の実数の立方根として、負の数を選ぶ」という「実数ルール」での計算だが、次のように「負の数の立方根」が絡まないように書き換えることもでき^†、そうすれば「実数ルール」は無関係:
　　³√(√5 + 2) − ³√(√5 − 2) = 1　　エ

よってこの現象の根本原因は、「負の数の立方根の選択についての特別なルール」ではない。この変てこな形の等式の正体は何なのか、どこからどうやってそれが生じるのか、その真相を明らかにしたい。

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2026-05-10　奇妙な等式　³√(2 + √5) + ³√(2 − √5) = 1

3乗すると x になる実数を ³√x で表すことにする（x 自身も実数とする）。
　　【例】　³√8 = 2, ³√−8 = −2

問題　³√(2 + √5) + ³√(2 − √5) = 1 を証明せよ。

雰囲気的には、有名なラマヌジャンのパズルに少し似ているが、それよりは簡単かな…？

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2026-05-09　mod pⁿ の原始根（その3）　10 ÷ 81 = 0.123456790 123456790…

1 ÷ 7 は割り切れず、やや複雑な循環小数になる。だから、それをさらに 7 で割った 1 ÷ 7 ÷ 7 つまり 1 ÷ 49 は、ますますややこしい小数になる。直観的には、当たり前。円形のパイを 7 等分するのは困難なのに、ましてや 49 等分なんて無理。

1/7 = 0.142857 142857 ··· 
1/49 = 0.0204081 6326530 6122448 9795918 3673469 3877551 0204081 6326530 ···

同様に 1 ÷ 11 より 1 ÷ 11² =  1 ÷ 121 は複雑、 1 ÷ 13 より 1 ÷ 13² =  1 ÷ 169 は複雑。一般に p を 7 以上の素数とすると、 1 ÷ p は複雑な小数になるけど、 1 ÷ p² がさらにややこしい（循環周期がさらに長くなる）のは、直観的には当たり前のように思われる。

ところが意外なことに、 1 ÷ p² が 1 ÷ p より複雑にならないケースが存在するっ！　そのような最初の例 p = 487 は、フランスのデマレ（Desmarest）によって、1852年に記述された^†。二つ目の p = 56598313 はコンピューターを使って発見され、1971年に公表された^‡。――2026年現在、この種の奇素数は、上記の二つしか知られていない^¶。

一見ランダムで面白みのない数「487」に潜む不思議な性質…。これは一体どういう現象なのだろうか。

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2026-05-07　mod pⁿ の原始根（その2）

ɡ が pⁿ の原始根なら（p: 奇素数）、その位数 δ = (p − 1)pⁿ⁻¹ は、
　　ɡ^δ ≡ 1 (mod pⁿ)　つまり　ɡ^δ = 1 + hpⁿ
を満たすが（h: 何らかの整数）、このとき、もし「h が p で割り切れない」という条件が満たされるなら、 ɡ は pⁿ⁺¹ の原始根でもある（問題2）。しかもその場合、 pⁿ⁺¹ の原始根としての ɡ も同様の条件を満たし、従って ɡ は pⁿ⁺² の原始根でもあり、同様に pⁿ⁺³, pⁿ⁺⁴, ··· の原始根でもある！

よって、土台となる n = 1 のケース（mod p）の原始根 ɡ が上記条件を満たしてくれれば、その ɡ は自動的に任意の pⁿ の原始根となる（n = 1, 2, 3, ···）。

以上が前回の成果だが、条件「h が p で割り切れない」の真意が必ずしも透明になっていないし、肝心の「土台のケース」を証明する必要がある。

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• 遊びの数論59　mod pⁿ の原始根
  • 2026-05-04　1 ÷ 5 = 0.33333…　非常識は面白い！
  • 2026-05-06　mod pⁿ の原始根　50 ÷ 49 = 1.02 04 08 16 32…
  • 2026-05-07　mod pⁿ の原始根（その2）
  • 2026-05-09　mod pⁿ の原始根（その3）　10 ÷ 81 = 0.123456790 123456790…
  • 2026-05-10　奇妙な等式　³√(2 + √5) + ³√(2 − √5) = 1
  • 2026-05-11　「奇妙な等式」の真相は…
  • 2026-05-13　1 × 2 × 3 × 4 とか 2 × 3 × 4 × 5 とか　連続4数の積: 1 を足すと？
  • 2026-05-15　mod 2ⁿ の特殊性　8, 16, 32, ··· には原始根が無い
  • 2026-05-18　原始根とインデックス　ゴルゴ13に登場したフェルマーの小定理
• 遊びの数論58　ガウス和・第四証明・ヤコビ記号
  • 2026-04-07　平方剰余の相互法則: ガウスの第四証明
  • 2026-04-09　第四証明と第二補充法則
  • 2026-04-10　ガウス和に関連する比較的マイナーな定理
  • 2026-04-12　ガウス和の符号と第一補充法則
  • 2026-04-17　ガウス和: n が偶数の場合から n が奇数の場合を導くこと
  • 2026-04-22　ガウス和とヤコビ記号・前編
  • 2026-04-25　ガウス和とヤコビ記号・中編
  • 2026-04-27　ガウス和とヤコビ記号・後編
  • 2026-05-01　ヤコビ記号について
• 遊びの数論57　おばあちゃんとガウス和
  • 2026-03-13　おばあちゃんとガウス和（その2）
  • 2026-03-18　おばあちゃんとガウス和（その3）
  • 2026-03-19　おばあちゃんとガウス和（その4）
  • 2026-03-20　奇数 1, 3, 5, ··· を 2 乗して
  • 2026-03-22　4 個の解を持つ2次方程式　mod 2ⁿ
  • 2026-03-24　49 を 32 で割ると 17 余ります。それでは···
  • 2026-04-01　sin の積と（拡張された）ガウスの補題
  • 2026-04-04　ガウスの補題と sin の積（特に D = ±1, ±2, ±3, ±4）
• 遊びの数論56　おばあちゃんが教えてくれた公式
• 遊びの数論55　ガウス和の符号〔華羅庚〕
• 遊びの数論54　n が合成数のときのガウス和
• 遊びの数論53　n が偶数のときのガウス和
• 遊びの数論52　ガウス和の符号
• 遊びの数論51　フェルマーの最終定理の拡張　x³ + y³ = kz³
• 遊びの数論50　フェルマーの最終定理 n = 3　3 には約数が三つある？
• 遊びの数論49　フェルマーの最終定理 n = 7　ジェノッキの秘密の花園
• ミリマノフ多項式・第4部　それ自体が目的地（遊びの数論48）
• ミリマノフ多項式・第3部　さめない夢みたいに（遊びの数論47）
• ミリマノフ多項式・第2部　捨ててこそ（遊びの数論46）
• ミリマノフ多項式　Curious Roots of Cauchy–Mirimanoff Polynomials （遊びの数論45）
• コーシーの定理・ラームスの公式　二項係数の飛び石和（遊びの数論44）
• 四次元サイコロ「目」は幾つ　アイのごとし（遊びの数論43）
• おまえはもう解けている　奇跡は誰にでも一度おきる（遊びの数論42）
• べき和対称多項式　5乗和は5がいっぱい（遊びの数論41）
• バーゼルからゼータへ　とにかく一歩（遊びの数論40）
• ベルヌーイのべき和公式　円周率の２乗？（遊びの数論39）
• ソフィー・ジェルマンの冒険　リアル「ベルばら」（遊びの数論38）
• フォン・シュタウト゠クラウセンの定理　ベルヌーイ数の分母（遊びの数論37）
• べき和公式の因子　6次式の根（遊びの数論36）
• ガウス和の平方と相互法則　sin π/7 （遊びの数論35）
• 正七角形のいんちき作図法　√2 + √3 = 3.14…（遊びの数論34）
• ガウスの和　その優美さゆえに（遊びの数論33）
• x¹⁷ = 1 の代数的解法　係数 2,1,5,7,4（遊びの数論32）
• 半角のタンジェント　小さな貝殻（遊びの数論31）
• 3分の1の角度と3次方程式　怠け心は成功の母（遊びの数論30）
• tan の多倍角　方程式は解かずに使え（遊びの数論29）
• びっくり15乗和　その狂気には秩序がある（遊びの数論28）
• デザートからの3次方程式入門　（遊びの数論27）
• 円周13等分　ゼータ・サーティーン（遊びの数論26）
• 週末は17角形で！　他の道を行きましょう（遊びの数論25）
• 五・六・十角形の恒等式　正五角形の弓矢（遊びの数論24）
• かいじゅうペンタゴン　正五角形の冒険（遊びの数論23）
• はじめての4次方程式　ひとりでできるもん（遊びの数論22）
• 1 の原始根　ゾクッとする式（遊びの数論21）
• プライバシー　属人性のない「情報それ自体」の実存？
  • 2025-04-28　「自由の乱用」の甘受 vs. 「不自由」の甘受
  • 2025-04-18　暗号通貨でお買い物　美しい理念・複雑な現実
  • 2025-05-22　日本の債券市場の危機と除夜の鐘　煩悩のビットコイン108K
  • 2025-03-07　macOS からの Tails 導入について
  • 2025-03-05　「広告技術」進化し過ぎて「国防問題」？
  • 2025-02-19　BBC が Google の新規約を批判　フィンガープリンティング
  • 2025-02-09　被害者「1億9000万人」に　米国の医療情報盗難
  • 2024-09-10　MetaGer 検索有料化　検索エンジンどこがいい？
  • 2024-06-11　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ
  • 2023-12-08　Google で18年働いた人の述懐　最初は素晴らしい会社だった…
  • 2023-11-22　自由ソフトウェアとは？　公式の日本語訳があった
  • 2023-11-21　匿名フリーメール Cockmail 一般登録再開　冗談半分10周年
  • 2023-10-15　プライバシーは「表現の自由」　女神よ…
  • 2023-09-09　自由を奪われてる人は奪われてることに気付かない？
  • 2021-06-26　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
• その他いろいろ
  • 2024-11-27　手塚治虫の「まんが十訓」
  • 2024-08-30　MAT-LESS　北アフリカの地理
  • 2024-08-29　ジョジョの奇妙な修正　第3部・エジプトのモスク描写
  • 2024-06-10　「ナイルの城」橋　ジョジョ3部で DIO がやられた場所
  • 2024-03-25　あしたの嬢さん　泪橋を斜めに渡れ
  • 2023-10-08　今年は6年前と曜日が同じ…？　バースデイ・メッセージの定理
  • 2022-02-04　「信仰とは何なのか」という根源的な問い
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
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