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2026-07-11 博士の愛した公式（その4） 田舎の村よ［1764 = 422］
デンマークの Niels Nielsen が「スターリング数」という用語を使い始めたのは20世紀の初めだが、19世紀末にも（そういう呼び名がなかっただけで）「スターリング数」は既に研究されていた。 Nielsen 自身の1893年の論文†は、その
Glaisher [7] は、有名な「ウォルステンホーム（Wolstenholme）の定理」に触発されている――この定理には軽妙なパズルのような要素があって、好奇心を刺激する。
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12
の分子 25 は 52 の倍数です、なぜでしょう？ というのが最小の具体例。定理の内容がシンプルで分かりやすく、簡単に証明できそうに見えて、それほど簡単でもない。 Dickson の数論史に記載があるだけでも当時、既に10種類くらいの証明がいろいろな研究者によって発表された。21世紀の現在でも、新証明が公表されている。
Wolstenholme の定理は 1862年に The Quarterly Journal 誌に掲載された。そのジャーナルの編集者が Glaisher だった。 Glaisher の [7] も、同誌に掲載されることになる。しかも、巻頭35ページ！ 編集者権限で雑誌を私物化してるふしもあるけど（笑）、内容が興味深い上、恐らく人類史上初めて n = 23 までのスターリング数の表を掲載した力作（n = 10 くらいまでならスターリング自身が既に表を作っている）。
スターリング数のもともとの定義は単純。 x(x + 1)(x + 2)···(x + m) のような積を展開したらどうなるか？ その係数を問題にする。例えば、
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 + 24x
の右辺の係数 1, 10, 35, 50, 24 の一つ一つがスターリング数の例。このような n 次式の k 次の項の係数は、現代の記号では [n S k] に当たる（読み方は「n サイクル k」）。例えば、上の5次式で x2 の係数は 50 なので [5 S 2] = 50 と。で、この [5 S 2] で表される数が 52 の倍数なのは偶然ではなく、上掲の「ウォルステンホームの定理」の分子が 52 の倍数であることと同値。分かってみると当たり前なんだけど、最初は「な～るほど！」と結構、感動する。
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2026-07-08 博士の愛した公式（その3） 3⋅4⋅56⋅7
[10 S 5] ≡ 52 [10 S 6] (mod 56)
[14 S 7] ≡ 72 [14 S 8] (mod 75)
[22 S 11] ≡ 112 [22 S 12] (mod 115)
これらは Glaisher の合同式の一種。 mod p5 は一定パターンで規則的に生じるが、 mod p6 は珍しい。
意味？
[10 S 6] = 63273 を 52 倍した 1581825 と、 [10 S 5] = 269325 は、どっちの数も 56 = 15625 で割ったときの余りが同じ！ってこと（具体的には 3700 余る）。
言い換えると、両者の差
1581825 − 269325 = 1312500 = 15625 × 84 = 56 × 84
は 56 の倍数。 84 = 12 × 7 = 3 × 4 × 7 なので、おしゃれに（？）書けば:
52⋅[10 S 6] − [10 S 5] = 3⋅4⋅56⋅7
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2026-07-05 上側 2p のスターリング（承前） いい気持ちで眠れる証明
p = 5 のとき n = 2p に対する W3, W5, W7 は、それぞれ
9450, 269325, 1172700
で、いずれも p2 = 25 の倍数。小さな素数 p = 3, 5, 7, 11, ··· で試すと、奇数 r = 3, 5, ···, 2p − 3 に対して Wr = [2p S 2p − r] は p2 で割り切れると予想される。特に、
[2⋅3 S 3] ≡ (3 − 2)⋅32 (mod 33)
[2⋅5 S 5] ≡ (5 − 2)⋅52 (mod 53)
[2⋅7 S 7] ≡ (7 − 2)⋅72 (mod 73)
[2⋅11 S 11] ≡ (11 − 2)⋅112 (mod 113)
︙
[2p S p] ≡ (p − 2)⋅p2 (mod p3)
の関係は美しい。
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2026-07-04 上側インデックス 2p の第一種スターリング数
4人の子どもたち A, B, C, D が、二つのグループに分かれる方法は何通り？ そのパターンの数が、第二種スターリング数 {4 S 2} だ。ただし「メンバーが一人だけのグループ」もありだが、「メンバー 0 人のグループ」は駄目とする。これは {A, B, C, D} を二つの部分集合（どちらも空集合ではない）に分ける方法の総数に当たり、三人と一人に分かれる方法が 4 パターン（「一人だけのグループ」を作る人に、四つの可能性がある）、二人と二人に分かれる方法が 3 パターン（A が B, C, D の誰と組むかを決めれば全て確定）。合計 7 通り。
………歴史的には、スターリング数は、そういった「順列・組み合わせ」的文脈で考えられたものではなく、ある種の式変形から生まれた。例えば、
(x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 1⋅x6 + 15⋅x5 + 85⋅x4 + 225⋅x3 + 274⋅x2 + 120⋅x1 + 0⋅x0
の展開は、手間さえ惜しまなければ単純計算だが、この6次式の係数 1, 15, 85, 225, 274, 120, 0 が n = 6 に対する第一種スターリング数に当たる。上述の「第二種」スターリング数とは多少意味が違うけど、第一種と第二種には密接な関係がある。
ラグランジュは、ウィルソンの定理の証明のため、これらの係数に W0 = 1, W1 = 15, W2 = 85, ···, W6 = 0 のような名前を付け、それらの相互関係を巧みに利用した（n が素数の場合について）。
ラグランジュは、実は W でなく文字 A を使って W1, W2, ··· の代わりに A′, A″, ··· のように表記した。ここで文字 W を選択したのは、 r 個ずつの積の「和」（Wa)という日本語のイニシャルにちなむ。 Wolstenholme へのリスペクトも含む。
Wr には、別の解釈もある。「根と係数の関係」によれば、例えば上記の W2 は、 1 以上 6 未満の数（1, 2, 3, 4, 5）を二つずつ掛けた場合の合計でもある:
1⋅2 + 1⋅3 + 1⋅4 + 1⋅5 = 2 + 3 + 4 + 5 = 14
2⋅3 + 2⋅4 + 2⋅5 = 6 + 8 + 10 = 24
3⋅4 + 3⋅5 + 4⋅5 = 12 + 15 + 20 = 47
総計 85
一般に「1 以上 n 未満の数」を「r 個ずつ」掛けたときの合計を Wr(n) で表し、 n が決まっているときは、簡潔化のため Wr と書く――こう考えても、上記の（多項式の係数に基づく）定義と、同じ結果に。「1 以上 n 未満」より「1 から N = n − 1 まで」の方が分かりやすいので、同じことを Sr(N) = Sr(n − 1) で表すこともある。現代では、ラグランジュの
W1(6) = 15, W2(6) = 85, W3(6) = 225, W4(6) = 274, W5(6) = 120
とは逆順に番号を付けて、
[6 S 1] = 120, [6 S 2] = 274, [6 S 3] = 225, [6 S 4] = 85, ···
のような記号によって、第一種スターリング数を表すことも多い。二項係数のいとこ、みたいな感覚で。
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2026-07-01 ウィルソンの定理の拡張 猫は気まぐれ
4 は 5 の倍数より 1 小さい。
1 × 2 × 3 × 4 = 24 も 5 の倍数より 1 小さいよ――これがウィルソンの定理の例。
6 は 7 の倍数より 1 小さい。
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 24 × 5 × 6 = 120 × 6 = 720 も 7 の倍数より 1 小さいよ――これ。 Lagrange が un très-beau Théorème d’Arithmétique と呼んだ、きれいな性質。一般に p が素数なら、
1 × 2 × 3 × ··· × (p − 1)
は p の倍数より 1 小さい。
この定理の一般化（拡張）。スターリング数の記号を使うと、例えば [5 S 1] = 24 だけでなく [6 S 2] = 274 や [7 S 3] = 1624 なども 5 の倍数より 1 小さい。 [5 S 1] とは何か。一つの解釈は「1 以上 5 未満の数を 5 − 1 個ずつ掛けた合計」。要するに 1⋅2⋅3⋅4 = 24。それが 5 の倍数より 1 小さいってのは、元祖 Wilson の定理に当たる。では [6 S 2] とは？
「1 以上 6 未満の数を 6 − 2 個ずつ（全パターンで）掛けた合計」。つまり、
1⋅2⋅3⋅4 = 24 と
1⋅2⋅3⋅5 = 30 と
1⋅2⋅4⋅5 = 40 と
1⋅3⋅4⋅5 = 60 と
2⋅3⋅4⋅5 = 120
の、計五つの積の合計が 274 だよ、と。
これは一見、意図の分からない足し算かもしれない。それが何の役に立つの？ うーん、「役に立つ・立たない」ってのとは、ちょっと次元が違うかも――「どうせ死ぬのに、何のために生きてるの？」と悩むのは、「どうせ帰国・帰宅するんだから、旅行・散歩には何の意義もない」と言い張るようなもんだろう。その内容が面白ければ、そのロジックが美しければ、それは探索・散策の十分な理由。「きれい」といった単純なコンセプトが「何の役に立つの・メリットはあるの・お金がもうかるの」等々の価値観とは別の尺度だということについては、画然と区別しなければなるまい。繊細で奥深く、優美だけれど難しく、垣間見えるけど到達できない永遠的なもの。ただ見とれ、不思議がり、分からず、迷い、ときに小さな発見に喜び、結局何もなかったかのように去っていく。ぶっちゃけ、好奇心旺盛な猫――「面白そうだと感じたら調べてみるにゃ。面白さに、他人の同意は要らないにゃ」。
1⋅2⋅3⋅4 = 24 や 1⋅2⋅3⋅5 = 30 は表面上「簡単な算数」だけど、この話はそれなりに難しい！
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2026-06-23 ウィルソンの定理の証明（ラグランジュ）の応用 逆三角の倍数列島
(x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 + 24x + 0 の係数（W0 = 1, W1 = 10, W2 = 35, ··· とする）や、同種の数について。n が素数のとき (x + 0)(x + 1)···(x + n − 1) の W1 ～ Wn−2 として n の倍数が並ぶ（Lagrange の定理）。
n = 0, 1, 2, ··· のそれぞれに対する W たちを逆順で三角形状 ◣ に並べた場合、「ある数 A の n 倍 + A の左の数」が「A の真下の数」に（例: 10 × 5 + 35 = 85）。よって p の倍数が並んでいる下には「p の倍数Ⅱ世」が出現。「Ⅱ世」が並べば、下に「Ⅲ世」。こうして「同じ p の倍数たち」が逆三角形状 ◥ に配列される。
Glaisher は「二項係数の下克上」（Lucas の定理）を利用して、このような現象を検討した。
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2026-06-20 「二項係数」を斬る！ 余りの下克上
げこくじょう【下克上・下剋上】 下の立場の者が上の立場の者をしのぎ、勢力を振るうこと。
15人の選手がいるバスケチームから、5人のスターターを選ぶ方法は 3003 通りもある:
(15 C 5) = (15⋅14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅3⋅4⋅5)
= (14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅4) = 7⋅13⋅3⋅11 = 3003
これには優秀なコーチも悩むかも？ どの選手を起用するかもそうだが、この計算は、あまり簡単ではない。
やぶから棒だけど、この (15 C 5) の上の数 15 と下の数 5 をそれぞれ p = 7 で割ると、 15 ÷ 7 の余りは 1。 5 ÷ 7 の余りは 5。「下の余り」の方が大きい。ところで 3003 は p = 7 で割り切れる。
同じ 15 と 5 をそれぞれ p = 13 で割ると、「上の余り」は 2 で「下の余り」は 5。やはり下が大きい。ところで 3003 は p = 13 でも割り切れる！
一般に y = (n C k) の上の数 n と下の数 k をそれぞれ p で割ったとき、もし「下の余り」が「上の余り」を超えるなら（余りの下克上）、 y は p で割り切れる。ここで p は、任意の素数（1 と自分自身でしか割り切れない 2 以上の数）。 p = 2, 3, 5, 7, 11, 13 など。
この豆知識について略述。「下克上」の概念を使って、とある美しい定理を証明したい。
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2026-06-18 博士の愛した公式（その2）
Glaisher の「4乗数を法とする合同式」のうち、 Sk(N) の N が偶数（N + 1 が奇数）の場合に関するものは、スターリング数を使うと、こう要約できる。いわく p が奇素数なら、 0 以上の任意の（ただし (p − 3)/2 を除く）整数 q に対して、次が成り立つ。
[p S 2q] ≡ pq⋅[p S 2q + 1] (mod p4)
前回は N が偶数の場合について記した。今回は N が奇数（N + 1 が偶数）の場合について、入り口の部分を記す。
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2026-06-17 博士の愛した公式 「スターリング数」で遊びましょっ
娯楽数論の王道「フィボナッチ数」や、ありきたりの「二項係数」と比べると、マイナーな存在の「スターリング数」。とりあえず「パスカルの三角形」に似た簡単な計算で、次々と値を得ることはできる…
【表2】の各数は、「真上の数の n 倍（上の行の n を使う） ＋ 左上の数」に等しい（空欄は 0 と見なす）。例えば 11 は 3 × 3 + 2。
| n ↓ |
[n S 0] | [n S 1] | [n S 2] | [n S 3] | [n S 4] |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | |||
| 2 | 0 | 1 | 1 | ||
| 3 | 0 | 2 | 3 | 1 | |
| 4 | 0 | 6 | 11 | 6 | 1 |
実はこの 11 って数、「1 から 3 までの数」の「二つずつの積」の和に等しい:
1⋅2 + 1⋅3 + 2⋅3 = 2 + 3 + 6 = 11
【表2】に含まれる変てこな記号については後から説明するけど、上記のような「○個ずつの積」の和とも関係ある、と。
0, 1 から始まって「真上の数の n 倍に左上の数を足す」という単純な規則で生じる数たち――そこに 74 = 2401 や 114 = 14641 のような「4乗数」が続々登場するとしたら大ニュースだが、そこまで露骨な「奇跡」が起きるわけじゃない。でも、一定の方法で「隣り合う数」を比較すると、そこに立方数や4乗数が潜んでいる。
簡単そうな数たちの間に隠された不思議な関係――このメモでは、その一例を紹介。実はこの法則の発見者自身は「スターリング数」について言及していない。スターリング数なんて持ち出すと、かえって話が複雑になる。
とはいえ、これはスターリング数についての性質でもあるから、その方向から考えてみるのも、面白いかも。普段あまり使う機会のないスターリング数で遊んでみたい。
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2026-06-14 素数についてのラグランジュの定理 古風な証明・意外な応用
ウィルソンの！ 定理の！ 感嘆符！
例えば 4! それが 5 の倍数より 1 小さいのはなぜっ？
なに、「4 が 5 より 1 小さいのは当たり前」？ だから 4 じゃなくて 4! だってば～
………ラグランジュは、ウィルソンの定理（当時はウィルソン予想）に魅了され、「とても美しい算術の一定理」と呼び、その正しさを証明した（副産物として、フェルマーの小定理も証明される）。
ウィルソンの定理とは、「どんな素数 n を考えても、
1 × 2 × 3 × ··· × (n − 1) + 1
は必ず n で割り切れる」というもの。
〔例〕 n = 5 は素数:
1⋅2⋅3⋅4 + 1 = 24 + 1 = 25 は 5 で割り切れる。
n = 7 は素数:
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 + 1 = 720 + 1 = 721 は 7 で割り切れる。
一方 n = 6 は素数ではない:
1⋅2⋅3⋅4⋅5 + 1 = 120 + 1 = 121 は 6 で割り切れない。
現代ではフェルマーの小定理が圧倒的に重要視され、ウィルソンの定理は「おまけ」扱いだが、温故知新、ラグランジュによる18世紀の証明法を紹介したい。その応用として、「それなりに面白いのに、ほとんど知られてない別の定理」を導く。
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2026-06-13 グレイシャーのシグマ関数（その4）
1 + 2 + 3 + 4 = 10 は 5 で割り切れる。 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 は 7 で割り切れる。 一般に N が偶数なら 1 + 2 + ··· + N は N + 1 で割り切れる。この和は N(N + 1)/2 だから。
1 + 2 + 3 = 6 は 2 倍すれば 4 で割り切れる。 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 は 2 倍すれば 6 で割り切れる。 N が奇数の場合、 N + 1 は偶数なので、和 N(N + 1)/2 の分子の因子 N + 1 は分母と約分され半分になってしまう。従って、この和自身は N + 1 では割り切れないが、和の 2 倍 N(N + 1) は N + 1 で割り切れる！
ほぼ同様のことが、「三つずつの積」の和、「五つずつの積」の和、等々についても成り立つ。例えば、
S3(4) = 1⋅2⋅3 + 1⋅2⋅4 + 1⋅3⋅4 + 2⋅3⋅4 = 6 + 8 + 12 + 24 = 50
は 5 で割り切れる（実は 52 で割り切れる）。
S3(5) = 1⋅2⋅3 + 1⋅2⋅4 + 1⋅2⋅5 + 1⋅3⋅4 + 1⋅3⋅5 + ··· + 3⋅4⋅5 = 225
は、 2 倍すれば 6 で割り切れる。
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2026年2月28日 おばあちゃんが教えてくれた公式
2026年2月7日 ガウス和の符号の決定〔Hua 版〕
2025年12月9日 ガウス和の符号
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
2025年4月14日 「ニュートンの式」軽妙な入門 ライヒシュテインによる
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明 ☆総和記号不使用☆
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト゠クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20260405 (archive)
75C0 706B 3CD0 B5D0]