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最新記事 cos π/7 正七角形の七不思議・補遺(2022-05-08)

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チラ裏

「チラ裏」は適当な走り書き。誤字・誤記・脱線が多いです!

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2022-06-29 フェルマーの小定理のスパイシーな話題 4k+1型素数は無限個

Hardy & Wright(1938)が「more difficult」と呼び、第20章でようやく証明を完成させている定理。高木貞治ていじ の『初等整数論講義』(1931)では、それが第1章で、そよ風のように証明されている――「フェルマーの小定理のちょっとした応用例」として!

どちらも有名な古典的名著だが、この証明に関しては、高木に軍配が上がるだろう。

美しい証明を紹介し、若干の冒険を試みる。

【1】 多くの人はご存じだろう。「素数は無限個存在する」こと、そして、ユークリッドによるそのエレガントな証明を…

2000年以上前、日本列島の住民が文字も持たず、1冊の本も持たず、竪穴住居でつましく暮らし(?)、イネを植えたりドングリを拾って食べたりしていた頃、ギリシャでは既に公理論的数論の研究書が執筆され、素数の無限が証明されていた。それから1000年以上たっても、ヨーロッパの住民は、古代ギリシャの教科書を読んで数論を勉強していた。驚くべきことだ!

ユークリッドの方法を少し変えると、4k+3型の素数(愛称: チョコレート素数)が無限個存在することも、簡単に示される。矛盾を導くため、チョコレート素数が有限個しかないと仮定する。その場合、一番大きいチョコレート素数が存在するので、それを C としよう。C 以下のチョコレート素数を、全部掛け合わせる:
  3 × 7 × 11 × … × C
ユークリッドはこのような積に 1 を足したが、ここでは、この積を4倍して 1 を引いたものを D とする:
  《に》 D = 4(3 × 7 × 11 × … × C) − 1
  《ぬ》 D = 4(3 × 7 × 11 × … × C) − 4 + 3 = 4[(3 × 7 × 11 × … × C) − 1] + 3

D は、4の倍数プラス3なので、4k+3型の奇数。言い換えれば:
  《ね》 D ≡ 3 (mod 4)

D は、もちろん C よりでかい。もし D が素数だったらそれは C より大きい4k+3型素数であり、上記の仮定が間違ってたことが直ちに分かる。一方、D が合成数だとすると、D は、C 以下のどの4k+3型素数 p でも割り切れない(なぜなら《に》によれば、D は p の倍数より 1 小さい、つまり p の倍数ではない)。だが、仮定によれば C より大きい4k+3型素数は存在しない。ということは、D は4k+3型素数では一切割り切れないことになり、D の素因数は全部「4k+1型」でなければならない(D は奇数なので、因子2を含まない)。今、D が、次のように h 個の素因数に分解されたとしよう:
  D = v1v2v3…vh
   ここで v1, v2, … は、どれも4k+1型素数(必ずしも相異ならない)
   言い換えると v1, v2, … は、どれも ≡ 1 (mod 4)
  このとき D = v1v2v3…vh ≡ 1⋅1⋅1⋅…⋅1 ≡ 1 (mod 4)
この最後の合同式は《ね》と矛盾する。□

〔例1〕 4k+3型素数が {3, 7} だけだと仮定(C = 7)。D = 4(3⋅7) − 1 = 83 は4k+3型素数で C より大きいので矛盾。

〔例2〕 4k+3型素数が {3, 7, 11} だけだと仮定(C = 11)。D = 4(3⋅7⋅11) − 1 = 923 = 13 × 71 と素因数分解される。71 は4n+3型素数で C より大きいので矛盾。

【2】 同様な方法で「4k+1型素数(愛称: バニラ素数)も無限にあること」も、示せそうな気がする。実際には、これは【1】より少し難しい。

Hardy & Wright は、この証明の完成を200ページくらい先延ばしして、x² + y² = n の解の個数の議論の特別な場合(n の因子としてチョコレート素数の1乗が含まれると、解がないこと)に帰着させている。高木は、これをフェルマーの小定理を使ってあっさり片付け、続けて「一般に、ak+1型素数が無限にある」ことまで証明している(4k+1型は a=4 に当たる)。

以下ではまず高木の方法を紹介する。これは次の補題に依存していて、含蓄があるのだが、微妙に回りくどい。【3】では、この補題を使わないで済むような、ショートカットを研究しよう。

補題 b を任意の整数とする。b2 + 1 が、4k+3型素数で割り切れることはない。

証明 p を 3 以上の素数とする。b2 + 1 が p で割り切れるとする。
  p で割り切れるということは b2 + 1 ≡ 0 (mod p) つまり
  《の》 b2 ≡ −1 (mod p)

《の》の両辺を平方して b4 ≡ 1。補助定理1から、この指数 4 は b の位数の倍数。《の》から b の位数は 2 以下でないので、b の位数は「4」。補助定理1.1より、位数「4」は p − 1 の約数。従って
  4 × 整数 = p − 1 つまり p = 4 × 整数 + 1
と書ける。つまり、3 以上の p は4k+1型: b2 + 1 が4k+3型素数で割り切れることはない。□

〔付記〕 原始根の存在を認めるなら…。p = 4k+3 のとき、《の》に解がない理由は、p − 1 = 4k+2 が 4 で割り切れないから(詳細)。補題の実体は、平方剰余の第一補充法則に他ならない。

定理(高木 §10.2) 4k+1型の素数が無限に存在する。

証明 矛盾を導くため、4k+1型の素数が有限個だと仮定する。すると、一番大きい4k+1型素数が存在がする。それを V としよう。このとき、4k+1型の全素数の積は:
  5 × 13 × 17 × … × V
この積の平方の4倍に 1 を足したものを W とする:
  《は》 W = 4(5 × 13 × 17 × … × V)2 + 1 つまり
  《ひ》 W = 22(5 × 13 × 17 × … × V)2 + 1 = (2 × 5 × 13 × 17 × … × V)2 + 1

《は》から分かるように、W は4k+1型の奇数で V より大きい: もし W が素数なら直ちに矛盾が生じる。一方、W が合成数だとした場合、
  b = 2 × 5 × 13 × 17 × … × V
と置くと、《ひ》は W = b2 + 1 となるが、上の補題によれば、この数が4k+3型素数で割り切れることはない。つまり奇数 W が合成数なら、その素因数は4k+1型に限られる。ところが《ひ》から分かるように、V 以下のどの4k+1型素数で W を割っても、1 余ってしまい、割り切れない。要するに W が合成数なら、その素因数は4k+1型で、しかも V より大きい。いずれにしても最初の仮定は誤りで、V より大きい4k+1型素数が存在する。□

〔例3〕 4k+1型素数が {5, 13, 17} だけだと仮定(V = 17)。W = 4(5⋅13⋅17)2 + 1 = 4884101 は4k+1型素数で V より大きいので矛盾。

〔例4〕 4k+1型素数が {5, 13, 17, 29} だけだと仮定(V = 29)。W = 4(5⋅13⋅17⋅29)2 + 1 = 4107528101 = 37 × 173 × 641701 と素因数分解される。どの素因数も4n+1型で V より大きいので矛盾。

【3】 上記の高木の証明(若干改変している)は、フェルマーの小定理を直接使わず、位数の理論に依存する補題を経由している。以下では、この依存を取り除き、フェルマーの小定理だけを直接使って、同じ結論を得る。

ユークリッドは、素数のリストが有限だと仮定し「リストにある全素数の積プラス1」を考えて、矛盾を導いた。現代では、もう少し具体的に、最大の素数 x の存在を仮定して「x以下の全素数の積プラス1」を考えることが普通だろう。ここでも V 以下の全素数の積を考える(V は4k+1型の素数)。ただし、高木の工夫をまねて「V以下の全素数の積の2乗、プラス1」を考え、それをあらためて W と呼ぼう。
  W = (2 × 3 × 5 × … × V)2 + 1 = 4(3 × 5 × … × V)2 + 1

この W は4k+1型の奇数で V より大きいので、もし W が素数なら、証明が完了する。一方、W が合成数の場合、その素因数の一つをどれでも勝手に選んで p とすると…。W は、V 以下のどの素数で割っても 1 余って割り切れないので、W の素因数 p は V より大きい。さて、W が p で割り切れるということは:
  W ≡ 0 つまり (2 × 3 × 5 × … × V)2 + 1 ≡ 0 (mod p)
  従って (2 × 3 × 5 × … × V)2 ≡ −1 (mod p)
この両辺を (p−1)/2 乗すると〔注1〕:
  《ふ》 (2 × 3 × 5 × … × V)p−1 ≡ (−1)(p−1)/2 (mod p)

〔注1〕 V は4k+1型の素数なので、最低でも5、p はそれより大きい素数なので奇数: (p−1)/2 は割り切れて整数になる。

p は素数なので、もちろん (2 × 3 × 5 × … × V) の倍数ではない。だから《ふ》の左辺にフェルマーの小定理を適用できる:
  《へ》 (2 × 3 × 5 × … × V)p−1 ≡ 1 (mod p)

分かりにくければ (2 × 3 × 5 × … × V) を b と置いてみよう。

《ふ》と《へ》の左辺同士は等しいので、もちろん右辺同士も等しい:
  《ほ》 (−1)(p−1)/2 ≡ 1 (mod p)
−1 の奇数乗は −1、偶数乗は 1 なので、(p−1)/2 が奇数か偶数かに応じて、《ほ》は
  −1 ≡ 1 (mod p) もしくは 1 ≡ 1 (mod p)
となる。前者は、ばかげている〔注2〕。従って (p−1)/2 は偶数でなければならない: 2 で割って偶数になるのだから、(p−1) は 4 の倍数でなければならない。だから、とある整数 k を使って
  p−1 = 4k つまり p = 4k+1
と書くことができる。すなわち、V より大きい4k+1型素数が存在する。これが証明されるべきことだった。□

〔注2〕 A ≡ B (mod p) の意味は「A − B が p の倍数」。だから −1 ≡ 1 (mod p) の意味は「−2 が p の倍数」。上記の p は奇数なので「−2 が p の倍数」ということは不可能。

この別証明は、高木のオリジナル版から補題を除去して簡単化したもの。p は勝手に選んだ W の素因数であり、どの素因数を選んでもそれが4k+1型になることが示されたのだから、「W の素因数は4k+1型に限られる」という点に関しては、オリジナル版と変わらない。補題を使わないで同じ結論が出るのだから、この道の方が良いだろう。ただし W の定義が異なり、高木版と比べ、数値的には、無駄に大きい。「両辺を (p−1)/2 乗する」という操作も、若干、天下り的で不自然かもしれない。「遊び」としては、トリッキーな式変形もまた一興…

〔例5〕 4k+1型素数が {5, 13, 17} だけだと仮定(V = 17)。W = (2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17)2 + 1 = 260620460101 = 1409 × 184968389 と素因数分解される。どの素因数も4n+1型で V より大きい。例3の W = 4(5⋅13⋅17)2 + 1 = 4884101 に比べると、桁違いに大きい W を考えている。

今回の命題に関しては、Hardy & Wright の証明法を紹介すらしなかった(高木の証明の方が簡潔なので)。話題の選択上そうなっただけで、別に Hardy & Wright の偉業にけちをつけるつもりはない!

⁂

2022-06-28 フェルマーの小定理で遊んじゃえっ

【1】 3 以上の素数 p を考える。その素数 p より 1 小さい数を q としよう。このとき、2q − 1 は p で割り切れる。

  • p = 3 は素数: 22 − 1 = 3 はもちろん 3 で割り切れる。
  • p = 5 は素数: 24 − 1 = 15 は 5 で割り切れる。
  • p = 7 は素数: 26 − 1 = 63 は 7 で割り切れる。
  • p = 11 は素数: 210 − 1 = 1023 は 11 で割り切れる。
  • p = 13 は素数: 212 − 1 = 4095 は 13 で割り切れる。
  • などなど

これは面白い現象だ! q 乗から 1 を引くと p で割り切れる――事実は単純だが、なぜそうなるのかはミステリー。

一方、p が素数でない場合、似たことを考えると、例えば…

  • p = 9 は素数でない: 28 − 1 = 255 は 9 で割り切れない。
  • p = 15 は素数でない: 214 − 1 = 16383 は 15 で割り切れない。

p が素数かどうかによって、2q − 1 の振る舞いが異なるようだ。2q − 1 という数は、q が「素数マイナス1」かどうか、どうやって「感じる」ことができるのだろうか?

【2】 q 乗される数 b は「2」に限る必要ない。素数 p の倍数以外なら、何でもいい。試しに b を「3」としてみよう。

  • p = 3 は素数だが… b = 3 はその p の倍数(1倍)なので、条件を満たさない。
  • p = 5 は素数: 34 − 1 = 80 は 5 で割り切れる。
  • p = 7 は素数: 36 − 1 = 728 は 7 で割り切れる。
  • p = 11 は素数: 310 − 1 = 59048 は 11 で割り切れる。
  • などなど

一般に、p を素数、b を p の倍数以外の任意の整数とするとき、
  bq − 1 は p で割り切れる(q = p − 1)。
  つまり bp−1 − 1 は p で割り切れる。

bp−1 − 1 が p で割り切れるのだから、それより 1 大きい数を考えると、こうなる:
  bp−1 を p で割ると、割り切れずに 1 余る。
式で書くと:
  bp−1 ≡ 1 (mod p)

これがフェルマーの小定理だ!

合同記号 ≡ の意味は「小定理への道②」参照。

【3】 私たちはカレンダーを使って、この不思議な定理(何の役に立つのか分からないが…)を証明した。道筋を振り返ってみよう。ある月の次の日付は、もちろん全部曜日が違う:
  S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ところが、S1 の日付をそれぞれ2倍した次の日付も、やはり全部曜日が違う:
  S2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
しかも S2 の日付に含まれる6種類の曜日は、S1 の日付の6種類の曜日と同じなのだ!

例えば、2022年6月のカレンダーでは、
  S1 の要素 ←同じ曜日→ S2 の要素
の1対1の対応が、次のように成り立っている:
  1 ≡ 8 (mod 7)  水曜日
  2 ≡ 2 (mod 7)  木曜日
  3 ≡ 10 (mod 7)  金曜日
  4 ≡ 4 (mod 7)  土曜日
  5 ≡ 12 (mod 7)  日曜日
  6 ≡ 6 (mod 7)  月曜日
合同式の左辺には S1 の日付が過不足なく1回ずつ現れ、右辺には S2 の日付が過不足なく1回ずつ現れている。

普通の等式について、例えば x = A, y = B なら xy = AB となるのは当たり前だが(ピンとこなければ x = A = 5, y = B = 3 のように具体的な数を当てはめてみよう)、合同式についても、法が一定の場合、x ≡ A, y ≡ B なら xy ≡ AB が成り立つ(パラレルワールドの掛け算)。それどころか、合同式が3個以上に増えて、例えば z ≡ C が追加されたとすると、xyz ≡ ABC も成立。上の曜日の対応表から、
  1 × 2 × 3 ≡ 8 × 2 × 10 (mod 7)
が成り立つはずだ。実際に計算すれば、簡単に確かめられる:
  6 ≡ 160 (mod 7) 左辺も右辺も7で割った余りは同じ
この理屈を6個の数の積に拡張して、同じ曜日の対応表を使うと:
  1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ≡ 8 × 2 × 10 × 4 × 12 × 6 (mod 7)
――この左辺は S1 の全要素の積、右辺は S2 の全要素の積に他ならない。掛け算の順序を入れ替えると:
  1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ≡ 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × 12 (mod 7)

より一般的に、b を7の倍数以外の任意の数とするとき、次の2個の集合は、同じ曜日の日付をちょうど1個ずつ含む(ただし、現実のカレンダーと無関係に、例えばその月の「26日」の10日後を、その月の「36日」とみなす)。
  S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  S3 = {1b, 2b, 3b, 4b, 5b, 6b}
この場合も、前者の全要素の積と、後者の全要素の積は合同(理由は後述)なので:
  1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ≡ 1b × 2b × 3b × 4b × 5b × 6b (mod 7)
  つまり 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ≡ (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6)b6 (mod 7)

この最後の合同式の両辺を (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6) で割ると
  1 ≡ b6 (mod 7)
  つまり b6 ≡ 1 (mod 7)
となって、フェルマーの小定理の p = 7 の場合が証明されたことになる。

この割り算が本当に許されるのか確かめることは、結構面倒だったが、私たちは「秘技」と呼ばれるものを証明した――この「秘技」を使うと「割り算の規則1」が証明され、上記の割り算の正しさが保証される。具体的に、mod m の世界では、m と互いに素な数で割るのなら、合同式の両辺を自由に割り算できる!

上の例の場合、(1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6) は、mod 7 の「7」と互いに素。

【4】 さらにさらに一般的に、任意の素数 p について、次の2個の集合を考えよう:
  T1 = {1, 2, 3, 4, …, p−1}
  T2 = {1b, 2b, 3b, 4b, …, (p−1)b}
ここで b は p の倍数以外の任意の整数。

この場合も2個の集合のそれぞれについて、全要素の積は合同で:
  1 × 2 × 3 × 4 × … × (p−1) ≡ 1b × 2b × 3b × 4b × … × (p−1)b (mod p)
  つまり 1 × 2 × 3 × 4 × … × (p−1) ≡ [1 × 2 × 3 × 4 × … × (p−1)]bp−1 (mod p)
両辺を 1 × 2 × 3 × 4 × … × (p−1) で割り算すると(☆):
  1 ≡ bp−1 (mod p)
フェルマーの小定理が証明された!

(☆)の割り算が許される根拠として、z = 1 × 2 × 3 × 4 × … × (p−1) と p は互いに素。なぜなら p は素数なので、2 以上 p 未満の約数を持たず、z と p の最大公約数は 1。「割り算の規則1」が適用される。

T1 と T2 の各要素が mod p において1対1対応すること(例えば、1週間が11日で曜日が11種類あるパラレルワールドでは、どちらの集合も同じ10種類の曜日を過不足なく含んでいること)については、「小定理への道①」である程度観察したが、この点をもう少し分析してみよう。

「秘技」によると、XY が Z で割り切れるとき、X と Z が互いに素なら、Y が Z で割り切れる。裏を返せば:
  《な》 X と Z が互いに素なのに、Y が Z で割り切れないなら、XY は Z で割り切れない。

T1 のどの要素も、もちろん p で割り切れない。T2 のどの要素も、やはり p で割り切れない。なぜ? この場合、X に当たるのは 1, 2, 3, …, p−1 のどれか。Y = b で、Z = p に当たり、X と Z は互いに素。しかも「b は p の倍数ではない」と仮定しているから、Y = b は Z = p で割り切れない。だから《な》によって、XY = 1b, XY = 2b, XY = 3b などが Z = p で割り切れることはない。

すると、T1 も T2 も「p で割り切れる数」――言い換えれば ≡ 0 (mod p) の数――を含んでいない。つまり T1 の日付は、その月の p 日目の曜日を含んでいないが、T2 も、この曜日を含んでいない。一方、mod p ということは「1週間が p 日で曜日が p 種類」なのだから、T1 は、p 日目の曜日以外の全曜日を1回ずつ含む。

もしも T1 と T2 の曜日(mod p での区別)が1対1対応していないのなら、集合 T2 の日付を考えると、T1 に含まれるどれかの曜日(どれかの要素と合同な要素)が抜けている。けれど、どちらの要素も p−1 個なので、T1 の日付にあって T2 の日付にない曜日があるとするなら、その分、T2 の日付には「同じ曜日の重複」がある。それは不可能。というのも、もしも T2 のとある要素 Nb と別の要素 Mb の曜日が「衝突」(重複)していれば――要するに
  Nb ≡ Mb (mod p)
    ここで Nb と Mb は T2 の相異なる要素。
    つまり N も M も 1 以上 p−1 以下
が成り立つとすれば――、その両辺から Mb を引いて:
  Nb − Mb ≡ 0 (mod p)
  つまり b(N − M) ≡ 0 (mod p)
従って b(N − M) は p で割り切れるはず。そうすると、b と p は互いに素なので、「秘技」によって N − M が p で割り切れるはず。N も M も 1 以上 p−1 以下なのだから、N と M をどう選択しても、そんなことは起こり得ない(強いて言えば N = M なら N − M = 0 は p で割り切れるが、その場合 Nb と Mb は同一の要素であり、相異なる要素ではないので、「別々の2要素が同じ曜日」という「衝突」はない)

以上のことから、T1 と T2 は、全体として、同じ曜日の日付を一つずつ含む。つまり(☆)の割り算の前の「掛け算による合同式」には、きちんとした根拠がある。

T1 = {u1, u2, u3, …, up−1}, T2 = {v1, v2, v3, …, vp−1} とすると、u1 は v のどれか一つと合同、u2 は v のどれか一つと合同、等々。具体的にどの要素とどの要素が合同なのかはさておき、全体として1対1で合同なのだから、u1u2…up−1 という積は、全体として v1v2…vp−1 という積と合同。

【5】 論理的には、これでフェルマーの小定理が証明されたわけだが、算数のようなことを組み合わせて…というのは、とっつきやすい半面、見通しが悪い点もあるだろう。

フェルマーの小定理の証明法は、もちろんこれだけではない。

今回の主眼は、教科書をトレースすることではなく、「2・4・6・8・10・12・14日」は曜日が違うといった日常的なことからの(ちょっと奇抜な)アプローチ…。全てを「公倍数は、最小公倍数の倍数」という算数に帰着させ、ユークリッドの補題を小学生的な方法で証明した。これらの方法はエレガントではないかもしれないが、少し掘り下げると、いろんなことと結び付いてる。

注意! フェルマーの小定理は、p が素数なら、bp−1 ≡ 1 (mod p) が必ず成り立つことを保証している(ここで b は p の倍数以外)。言い換えると、bp−1 ≡ 1 (mod p) が成り立たなければ p は絶対に素数ではない。一方、逆に bp−1 ≡ 1 (mod p) が成り立つからといって、必ずしも p が素数とは限らない(実際には素数であることが多いが、保証はない)。「4の倍数なら必ず偶数」だが、逆に「偶数だからといって、必ずしも4の倍数とは限らない」…それとと同じこと。

⁂

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

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分数なくして、すっきり。語呂合わせ付き。 〔v8: 2019年3月17日〕
3次方程式の奥(2018-03-04)
3次方程式は奥が深い。「判別式の図形的解釈」は1990年代の新発見だという。 〔v15: 2022年2月23日〕
3次方程式の判別式(2018-03-18)
いろいろな判別式。Qiaochu Yuan による恐ろしくエレガントな解法。 〔v8: 2022年2月27日〕
3次方程式と双曲線関数 ☆ 複素関数いじっちゃお(2019-02-17)
定義から始めてのんびり進むので、双曲線関数の予備知識は不要。3次方程式も別記事で初歩から解説。三角・指数関数なら知ってるという探検気分のあなたへ。複素関数プチ体験。 〔v7: 2021年2月19日〕
cos i = ?
曇りなきオイラーの公式 微分を使わない直接証明(2019-02-17)
exp ix = cos xi sin x のこんな証明。目からうろこが落ちまくる! 〔v11: 2020年12月23日〕
−1 の 3/2 乗? オイラーの公式(その2)(2019-03-03)
(−1)3/2 って ((−1)3)1/2 = (−1)1/2 = i なのか、((−1)1/2)3 = i3 = −i なのか、それとも…? exp zez が同じという根拠は? 〔v7: 2021年1月24日〕
(za)b = zab の成立条件(2019-06-09)
(za)b = zab は一般には不成立。ではどういう条件で、この等式が成り立つか。(za)bzab は、どういう関係にあるのか。「巻き戻しの数」(unwinding number)は、この種のモヤモヤをすっきりさせるための便利なコンセプト。 〔v5: 2021年1月24日〕
フェルマーのクリスマス定理で遊ばせて!(2018-12-23)
1640年のクリスマスの日、フェルマーはメルセンヌに宛てた手紙の中で、こう言った。「4の倍数より1大きい全ての素数は、ただ一通りの方法で、2個の平方数の和となります」 〔v5: 2020年12月27日〕
「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム(2016-03-27)
整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕
[JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ(2016-05-08)
JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
[JS] メルセンヌ数の分類と分解(2016-06-05)
数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
楕円曲線で因数分解(2016-08-14)
楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法(2016-10-02)
元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
アルカンの異性体の数の公式・第1回 小さなパズルと不思議な解(2015-09-20)
異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。(全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい)
「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか?(2014-08-03)
数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか?」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか?」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
平方剰余の相互法則(2003-03-26)
「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
楕円曲線暗号(2003-11-28)
最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装? 実装はダサいが、内容(ロジック)は正しい。
触って分かる公開鍵暗号RSA(2004-02-04)
理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル(2006-04-10)
真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい(2017-09-03)
曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い(2017-11-26)
「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解(公転最速理論?)、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2018年12月30日〕
公式不要の明快な曜日計算(2016-10-23)
公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星(2013-09-30)
いいもん、いいもん! これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから! …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説(2019-03-24)
我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)(2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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