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チラ裏

2021-10-20 Wikipedia over .onion Searx風

説明 https://codeberg.org/orenom/Wikiless

Onionインスタンスの例 http://dj2tbh2nqfxyfmvq33cjmhuw7nb6am7thzd3zsjvizeqf374fixbrxyd.onion/

一般論としては、プロキシを信用せず、普通に Tor Browser で見た方がいい(プロキシ自体がスパイかもしれないし、ウィキペディアは、閲覧に関してはもともと Tor friendly なので)。けれど .onion なら、場合によっては利用価値もあるかと。

2021-10-14 複素整数「ゴルゴ13」 565+13i

g = 565+13i はガウス整数の範囲で素数だろうか、それとも分解されるのか?

a = 123+45i と g の最大公約数は何か? (もし 1 でないとすれば、もちろんゴルゴ13は素数でない。)

まずは準備体操として、普通の整数の範囲での「ユークリッドの互除法」を思い出そう。

【例題】 3195億7869万7969 と 6385億0876万1014 の最大公約数は何か?

【互除法=ユークリッドのアルゴリズム】 2個の整数が与えられる。大きい方を M、小さい方を N としよう。M と N の最大公約数を求めたい。

ステップ1 M を N で割る。割り切れれば、もちろん最大公約数は N そのものだが、割り切れない場合を考える。M の方がでかいのだから、商は1以上だが、商はとりあえず無視。問題は余り。余りが r1 だったとする。

ステップ2 今度は N を割る。何で割る? 直前のステップの余り r1 で割る。今度は余りが r2 だったとしよう。

ステップ3 r1 を r2 で割って、余りを r3 とする。

ステップ4 r2 を r3 で割って、余りを r4 とする。

ステップ5 r3 を r4 で割って、余りを r5 とする。

以下同様に、割り切れるまで(余りがゼロになるまで)続ける。ゼロでなかった最後の余りが、M と N の最大公約数。

さっそく上の例題に適用。

N = 319578697969
M = 638508761014
MをNで割る → 余り r1 = 318930063045
Nをr1で割る → 余り r2 = 648634924
r1をr2で割る → 余り r3 = 450315361
r2をr3で割る → 余り r4 = 198319563
r3をr4で割る → 余り r5 = 53676235
r4をr5で割る → 余り r6 = 37290858
r5をr6で割る → 余り r7 = 16385377
r6をr7で割る → 余り r8 = 4520104
r7をr8で割る → 余り r9 = 2825065
r8をr9で割る → 余り r10 = 1695039
r9をr10で割る → 余り r11 = 1130026
r10をr11で割る → 余り r12 = 565013
r11をr12で割る → 余り r13 = 0 割り切れた

従って、ゼロでなかった最後の余り r12 = 565013 が gcd(M,N) ということに。比較として、素因数分解を強行するなら…
 M = 2 × 565013 × 565039
 N = 565013 × 565613
…となって、同じ結論が得られるが、この分解を試行除算で行うと、何万回も割り算する必要がある。ユークリッドの互除法なら、たった13回の割り算で答えが出るのだから、桁違いに効率が良い。

もちろん重要なのは「なぜこのアルゴリズムでうまくいくのか」。

普通の整数の範囲での互除法の証明は、ウィキペディアなど、多くの場所で見ることができるだろう。例えばオンライン教科書『Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets』
https://wstein.org/books/ent/ent.pdf
では、§1.1.2に当たる。同じアルゴリズムが一般の整域で通用するかどうかは、ケースバイケースで微妙だが、ガウス整数に関しては、それほど難しくない。

2021-10-13 123+45i と 678+90i の最大公約数

ピタゴラス・トリオも、フェルマーの最終定理の n=4 の場合も、ガウス整数の問題として考えるのが正道だろうし、多くの教科書に必ず出る話題だろうが、普通に群・環から始めると、結構だるい。

ここでは具体的な問題を考えてみたい。

【問題】 ガウス整数 a = 123+45i と b = 678+90i の最大公約数は何か?

これらの数を凝視すると「実部も虚部も3で割り切れる」。だから 3+3i が公約数だろうけど、それは最大だろうか?

そもそもガウス整数の大小とは…? 素朴な発想は、a と b をそれぞれ素因数分解してみることだろう。それで共通の素因数を全部抜き出して、それらを掛け算すれば、それが最大公約数に違いない。ただし、素因数分解は易しくない。

a = −i⋅3(1+i)(13+28i)

b = −i⋅3(1+i)(8+3i)(8+5i)

もし上記の分解を事実と認めるなら、単数倍の違いを無視して、最大公約数は 3(1+i) だろうが、どうやって上記のように分解されるのか。そもそも一意分解が成り立つのか…。

普通の整数の場合もそうだが、最大公約数を知りたいだけなら、素因数分解よりユークリッドの互除法の方が、単純で、効率が良い。ガウス整数でも、同じ方法を試してみたい。

複素数の範囲で b/a = 5.0975… − i1.1332…

ガウス整数としては、b を a で割ると、割り切れずに、商が 5−i で余りが発生すると予想される。この余りを r1 とすると…

b = a(5−i) + r1 つまり r1 = b − a(5−i) = 18−12i

同様に a/r1 = 3.5769… + i4.8846… だから

a = r1(4+5i) + r2 つまり r2 = a − r1(4+5i) = −9+3i 余りが r1 より「小さく」なった。良い兆候。

次に r1/r2 = −2.2 + 0.6i だから

r1 = r2(−2+i) + r3 つまり r3 = r1 − r2(−2+i) = 3+3i 余りが r2 よりさらに「小さく」なった。

最後に r2/r3 = −1 + 2i これで余りがゼロ、割り切れた!

互除法によれば、割り切れる1個手前の余り r3 = 3+3i が a と b の最大公約数。ユークリッドのありがたみがよく分かる。素因数分解と比べると単純計算だし、厳密化も比較的簡単そうだ。まずは「最大公約数」の意味を定義して、次にガウス整数でも互除法ができることを示せばいいだろう。上記の例から「互除法を使うと、余りの絶対値がだんだん小さくなる。余りはガウス整数なので、有限の値からだんだん小さくなるとしたら、いつかはゼロになるしかない」ということが分かる。

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。


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「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
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MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
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猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
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神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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