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チラ裏
「チラ裏」はメモ。誤字・誤記・脱線が多いです！
2023-05-27 Müller のアルゴリズムと無料平方根 25%のラッキー
#数論 #平方根 mod p #オリジナル
1990年代、Atkin は8k+5型素数 p について、平方根 mod p の「無料」計算法を示した。「無料」とは「他の処理（強擬素数テストなど）の副産物として、ついでに求まる」という意味だが、平方根計算を主目的として Atkin のアルゴリズムを使うこともできる。
Müller はそれを16k+9型の素数 p に拡張した。mod p の平方剰余 a について、第1の場合（a が四乗非剰余）には「無料」の計算が成り立つ。この場合の「無料」は「Atkin 風」――具体的には、補助的な平方非剰余 z を必要とせず「高速」。Kong らは、第1の場合を簡単化した。第2の場合（a が四乗剰余）には、Müller のアルゴリズムは z が必要という意味で「有料」だが、2023年、われわれは第2の場合を簡単化した。
のみならず、第2の場合についても、一定確率で「無料」の計算が成り立つ。以下のアイデアの核心は自明に近いが、Müller のアルゴリズムとの組み合わせ方は自明とも言い切れず、すてきな散歩道だ！
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2023-05-23 Müller のアルゴリズムの簡単化 2023年版
#数論 #平方根 mod p #オリジナル
Siguna Müller の平方根アルゴリズムの簡単化に成功した。Rotaru & Iftene 版（2013年）では1回のべき・2回の平方・6回の掛け算が必要だが、われわれは1回のべき・1回の平方・3回の掛け算で同じ結果に至り、内容も透明になった。世界最先端（？）の最新成果を分かりやすく解説する。
ところで、通常は平方非剰余を必要とするケースでも、4回に1回の割合で「無料」の（平方非剰余を必要としない）平方根計算が成り立つ――四乗剰余・八乗剰余と関係していて、検討してみると面白そうだ。全体としては初等的でさまつなことだけど、これを入り口に視野が広がるかも…。
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2023-05-13 Müller のアルゴリズム mod 16k+9
#数論 #平方根 mod p
Tonelli のアルゴリズムは mod p での平方根を求めるシンプルで汎用的な方法。素数 p が8k+5型のときには、直接計算することもできるし、Pocklington の公式（§38）を使うこともできるし、巧妙な Atkin のアルゴリズムを使うこともできる。
Atkin のアルゴリズムは「8k+1型素数」にも（部分的には）拡張可能。この拡張（Siguna Müller のアルゴリズム）は、なかなか面白い。本題の Tonelli–Shanks から見るとますます脱線になるが、寄り道もまた楽し！
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2023-05-10 Atkin の平方根アルゴリズム（その2） 幾何学的イメージ
#数論 #平方根 mod p
8k+5型の素数 p について、Atkin の平方根アルゴリズムによると、a の平方根 mod p が存在するなら、それは2種類あって ay(i − 1) と −ay(i − 1) ≡ ay(1 − i) に等しい。ここで y ≡ (2a)k, i ≡ (2a)y2。
そうなる理由について、以下の明快な説明が成り立つ。本題の Tonelli–Shanks との関連では脱線になるが、Atkin のアルゴリズムも研究に値する。
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チラ裏より
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
新着コンテンツ
2023年2月15日 「ばびっと数え歌 でかい数編」を更新。キロ・メガ・ギガ・テラ・ペタ・エクサ・ゼタ・ヨタの上（最近追加された新しいSI接頭辞）にも対応。兆の上の「京・垓」などの漢字の意味も説明。
2023年2月18日 「五観の偈（げ）と数論」中途半端な思い付きのメモ。
2023年2月22日 メルセンヌ数と「LLT」のメモを完結させた（前編 中編 後編）。
2023年3月2日 メルセンヌ数の分解
2023年3月13日・14日 1000個のドアと1000人のいたずらっ子 ／ 「1000人のいたずらっ子」パズルの答え
2023年3月16日 14+24+34+…+104 のような和
2023年3月24日 完全数と忍者数 メルセンヌ数・再訪
2023年3月25・29日 ベルヌーイ数・速算術 ／ 2乗和～5乗和の公式を1分で導く方法
2023年4月7日 14+24+34+…+104 のような和（その5） るり色のグラフ
2023年4月20日 しげちーの1円玉集め 具体例でじっくり研究 √a mod p
2023年5月2日 Tonelli のアルゴリズム 源流・1891年バージョン
2023年5月23日 Müller のアルゴリズムの簡単化 16k+9型素数を法とする場合について、既存アルゴリズムの改良に成功。
新着記事
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数学・プログラミング
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- −1 の 3/2 乗？ オイラーの公式（その2） (2019-03-03)
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- フェルマーのクリスマス定理で遊ばせて！ (2018-12-23)
- 1640年のクリスマスの日、フェルマーはメルセンヌに宛てた手紙の中で、こう言った。「4の倍数より1大きい全ての素数は、ただ一通りの方法で、2個の平方数の和となります」 〔v5: 2020年12月27日〕
- 「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム (2016-03-27)
- 整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
- [JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ (2016-05-08)
- JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
- [JS] メルセンヌ数の分類と分解 (2016-06-05)
- 数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
- 楕円曲線で因数分解 (2016-08-14)
- 楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
- 楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法 (2016-10-02)
- 元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
- アルカンの異性体の数の公式・第1回 小さなパズルと不思議な解 (2015-09-20)
- 異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。（全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい）
- 「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか？ (2014-08-03)
- 数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか？」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか？」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
- 平方剰余の相互法則 (2003-03-26)
- 「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
- 楕円曲線暗号 (2003-11-28)
- 最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装？ 実装はダサいが、内容（ロジック）は正しい。
- 触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04)
- 理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
- デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10)
- 真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。
天文・暦
- 13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03)
- 曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
- 「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い (2017-11-26)
- 「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解（公転最速理論？）、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2022年9月1日〕
- 公式不要の明快な曜日計算 (2016-10-23)
- 公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
- ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30)
- いいもん、いいもん！ これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから！ …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
- さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
- 海王星～海王星～。目蒲線はお乗り換えです。
- 第9惑星・追悼演説 (2019-03-24)
- 我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか？ 否、始まりなのだ！
- ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ） (2018-01-14)
- 微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2023年4月13日〕
- ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉 (2018-01-28)
- 「ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ）」の別解・発展。 〔最終更新: 2020年11月24日〕
シリア語・Unicode・詩
- シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01)
- カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
- ばびっと数え歌 シリア語編 (2014-02-09)
- 「シリア語の数詞の1～10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
- ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14)
- キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
- 少年と雲 （シリア語の詩） (2017-12-24)
- 雲さん、どこから来たんだい？／背中に何をしょってるの？／そんなに顔を曇らせて／空から何を見ているの？
- 黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15)
- 「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
- ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16)
- 以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
- HTML5 の
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)
- ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の
dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
ジョーク
- 未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01)
- 宇宙旅行のお供に／非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
- イヤ～な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01)
- 睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
- さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
- 海王星～海王星～。目蒲線はお乗り換えです。
- 漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も (2019-04-01)
- 「客舍青青 柳色新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維（おうい）。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。（エイプリルフールのジョーク記事）
- 円周率は12個の2 スパコンで判明／ほか 3題 (2016-04-01)
- 三原則ロボットおちょくられて仕返し？／円周率は12個の2 スパコンで判明／人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ？
- ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19)
- JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
- ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20)
- お花はとってもデリケート。
- 「確信犯」たちの「開発動機」 (2005-09-23)
- ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
- 「水からの伝言」の世界 (2006-08-21)
- 水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
- 脳内ディベート大会 (2009-07-31)
- 応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。
漫画・アニメ
- 大島弓子の漫画 （チラ裏3題） (2019-04-28)
- バナブレは「漫画で何ができるのか？」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国（わたくに）は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
- ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か？ (2006-01-28)
- ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
- 勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22)
- 「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ！」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
- チラ裏
- アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。
字幕
- MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
- 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
- SSA入門 中級編 (2004-08-27)
- 二つの入門編（音声タイミング・基本スタイリング）に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
- [SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21)
- 単純な
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
- ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009)
- 字幕と音声のずらし方／縁ワイプ／字幕のリップシンク／縦カラオケ／他。古い記事だが参考までに。
哲学・ファンタジー
- 60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24)
- ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ？ 〔v8: 2019年4月18日〕
- 至るところ青山 （チラ裏3題） (2019-04-14)
- 3丁目が見えない理由（先行きの不安）は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
- 不死でないから星は輝く （チラ裏3題） (2019-04-14)
- 「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
- 猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか？ (2014-11-23)
- 南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
- 神から見た「主の祈り」 (2004-10-04)
- 「天にましますわれらの父よ」 神「はい？」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
- 「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04)
- 人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
- 妖精物語 3題 (2005-07-02)
- 王様の赤いばらと白いばら。
- 「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03)
- Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…
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