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2026-02-28 おばあちゃんが教えてくれた公式
英国のある学生が「おばあちゃんから教わった」と教師に話したら、その先生も数学部の同僚たちも「こんな式、見たこともない」と感心したという†。
それは π つまり 180° を3等分・5等分・7等分…した角度のうち、「直角以下の正の角度」の余弦についての、次のような関係:
㋐ 2 cos π/3 = 1
㋑ 2 cos π/5 × 2 cos 2π/5 = 1
㋒ 2 cos π/7 × 2 cos 2π/7 × 2 cos 3π/7 = 1
㋓ 2 cos π/9 × 2 cos 2π/9 × 2 cos 3π/9 × 2 cos 4π/9 = 1
︙
なかなかきれい！
因子 2 cos 3π/9 = 2 cos 60° = 1 を取り除くと、㋓は
2 cos 20° × 2 cos 40° × 2 cos 80° = 1
∴ cos 20° × cos 40° × cos 80° = 1/8
となる。これは有名（？）な Morrie の法則で、㋑㋒なども同種の等式だ。
「おばあちゃんの公式」は美しく、面白い性質だけど、特に何かに役立ちそうには思えないかもしれない。でも、この種の等式（特に sin 版）は例えばガウス和にも利用可能。研究価値がある。
本質的に「1 の n 乗根」の問題なので、指数関数を利用すると見通しが良い。
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2026-02-23 コーシーの不等式とコーシー゠シュワルツ不等式
コーシーは、よりにもよって、1789年8月にパリで生まれた（バスティーユ襲撃の翌月）。革命・暴動のさなかでも、赤ちゃんは生まれ、成長する――生命のたくましさ。でも、現実問題、パンがなくて大変だったという。
三角不等式と関連して、コーシーの不等式
(a1b1 + a2b2 + ··· + anbn)2 ≤ [(a1)2 + (a2)2 + ··· + (an)2] [(b1)2 + (b2)2 + ··· + (bn)2]
を導入した（a1, ···, an, b1, ···, bn は任意の実数）。しかしこの不等式、それだけ提示されると、どうも平板というか、中途半端な感じがする。大きな「森」の一部なのに「一本の木」を眺めるような感じ。
もう少し奥行きのある「コーシー゠シュワルツ不等式」の一部として、コーシーの不等式を再考してみたい。
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2026-02-19 三角不等式・逆三角不等式（実践バージョン）
逆三角不等式は、第一印象、意味が分かりにくい。
||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|
二つ目の不等号は、通常の三角不等式。一つ目の不等号が、逆三角不等式。二重の絶対値記号が、なにやら「おれさまは複雑で難しいんだぜ」というムードを漂わせている…
真ん中の ± は + でも − でも構わない。どちらでもいいのに（そのことが応用上、重要なのに）、文献では三角不等式のときには + だけが記され、逆三角不等式のときには − だけが記されていることが多い。少々不親切だ！
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2026-02-14 三角不等式とコーシーの不等式
三角不等式とは、「三角形の二辺の長さの和は、もう一つの辺の長さ以上」という（当たり前の）主張。△ABCを考えると、「頂点 A から頂点 C へ、辺 AC 上を真っすぐ行く」のと比べ、「別の頂点 B に寄り道して A → B → C と折れ線状に進む」のは、遠回りになる（少なくとも近道にはならない）。
そんなの、当たり前！ と感じられる。確かに直観的には超当たり前。けれど証明しようとすると、意外と手間がかかる。「フン、折れ線は直線より長い、なんていう当たり前の不等式、証明したところでどーせ何の役にも立つまい！」とも思えるが、この種の不等式は文字通りの「三角形の辺についての自明な命題」という以上の意味を持ち、いろんな分野で（基本ツールとして）常用される。そのうち最も身近なのは、たぶん実数や複素数の「和の絶対値」の扱いだろう。
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2026-02-10 sin, cos などの「差→積」の公式
sin A − sin B のような「三角関数の引き算」を「三角関数の掛け算」の形に変換したいこと（そうすると都合がいいケース）がある。例えば sin x や cos x などの導関数を（定義に従って）求めるとき、
[sin (x + h) − sin x]/h
のような値（の h→0 における極限値）を評価する必要があり、この分子を処理するのに「差→積」の変換が役立つ。別の例として、 Hua によるガウス和の符号決定では、
sin (π(x2 + x)/(2p)) − sin (π(x2 − x)/(2p))
のような引き算の整理に、同様の変換が利用される。
tan の「和→積」「差→積」は比較的マイナーだけど、中身は単純。それを利用して tan x の導関数を（商の微分法に依存せず、直接定義から）求めることもできる。
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2026-02-07 ガウス和の符号の決定〔Hua 版〕
ガウス和の符号の決定は難しいといわれる。ガウス自身による証明は平明で味わい深いけれど、「なぜこの方法でうまくいくのか」という仕組みが不透明で、その意味では謎めいている。このメモでは、フワ・ルォーケン（华罗庚 [華羅庚], Hua Loo-Keng）の著書 [3] にある短い別証明を記す。非常に手際が良く、流れるように進む。「どこが難しいの？」と言わんばかりの清澄さ。
ガウス版だと、証明の準備だけで何節も必要。その点、この別バージョンは簡潔だ。
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2026-02-02 複素数の平方根 i はお金では買えない
√(3 + 4i) = 2 + i のような「複素数の平方根」の計算は、「二重根号外し」と同じアルゴリズムによって実行可能。 √(3 + 4i) ってのは
√(3 + 4√)
を略したもんなんで、二重根号の処理になるのは不思議じゃないし。
上の例の場合、根号下の二つの数の平方差 d を求めると:
d = 32 − (4i)2 = 9 − 16(i2) = 9 − 16(−1) = 9 + 16 = 25
根号下の一つ目の数 A = 3 と √d = 5 の平均 u を求めると:
u = (3 + 5)/2 = 4
A の平均 u からのずれ v を求めると（A は平均より小さい）:
v = 3 − 4 = −1
よって求める平方根は:
√u + √v = √4 + √−1 = 2 + i
（これでうまくいく理由については後述。）
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
2025年4月14日 「ニュートンの式」軽妙な入門 ライヒシュテインによる
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明 ☆総和記号不使用☆
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト＆クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
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bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
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75C0 706B 3CD0 B5D0]