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2025-06-18 コーシー／ミリマノフ多項式 7乗を超えて
コーシーの恒等式で y = 1 と置いたもののうち、
(x + 1)5 − x5 − 1 = 5x(x + 1)(x2 + x + 1)
(x + 1)7 − x7 − 1 = 7x(x + 1)(x2 + x + 1)2
の二つは、全部の根が一目瞭然。本当の冒険は「11乗バージョン」から。このタイプの多項式は、「コーシーの定理が保証する因子」以外の因子を持たない――1903年に Mirimanoff （ミリマノフ）はそう予想した。一般の場合については、依然として未解決問題のようだ。
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2025-06-17 (x + y)n − xn − yn コーシーの定理の別証明
(x + y)5 − x5 − y5 = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) という分解や、同様の7乗バージョンは、独特の美しさを持つ。この分解は5乗と7乗のときだけの特殊現象ではなく、11乗・13乗等々の同様の式も、同様の因子を持つ。「二項係数の飛び石和」との関連性は、単純な観察だが面白い。
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2025-06-16 パスカルの三角形（二項係数）の飛び石和
パスカルの三角形は 1 + 2 = 3 のような単純な足し算でできている。すなわち各数は、自分の「左上にある数」と「右上にある数」（空欄なら 0 と見なす）の和。
パスカルの三角形のてっぺんの「1 だけ」を第 0 行、次の「1, 1」を第 1 行、そのまた次の「1, 2, 1」を第 2 行、一般に「1, n」から始まる行を第 n 行と呼ぶことにしよう。ある一つの行について、次のような「飛び飛びの和」を考える。例えば、第 7 行
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
から、数値を三つごと（二つ置き）の一定間隔で抜き出す――左端の 1 から始めた場合、 1 と 35 と 7 が同じ「三つごと」の系列（仮に「ア」とする）に属し、それらの和は 1 + 35 + 7 = 43。同様に、同じ行において、左端の一つ隣の 7 から始めた「イ」の和は 7 + 35 + 1 = 43 で、左端の二つ隣の 21 から始めた「ウ」の和は 21 + 21 = 42。
問題: パスカルの三角形の第 n 行について、このような「三つに一つの割合で飛び飛びに足し算」した和ア・イ・ウは、それぞれどんな式で表されるか？
上記の例では 43, 43, 42 となって、誤差 ±1 でア・イ・ウが一致するが、どの段でもそうなると言い切れるか？
より一般的に「s 個に一つの割合で飛び飛びに足した和」は？
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2025-06-13 (x + y)n − xn − yn コーシーの定理の簡単化
フェルマーの最終定理の n = 7 の場合と関連して、フランスの Liouville （リューヴィル†） と Cauchy （コーシー） は、
(x + y)7 − x7 − y7
= 7xy(x + y)(x2 + xy + y2)2
のような形の多項式（左辺）とその分解（右辺）を考えた。例えば、
(x + y)8 + x8 + x8 は U = x2 + xy + y2 で割り切れる
(x + y)10 + x10 + x10 は U2 = (x2 + xy + y2)2 で割り切れる
といった現象は、不透明に思われる。
Cauchy & Liouville の定理と「周期 6 の振る舞い」について、既存の文献の証明の簡単化に成功した。普通の高校生でも完全に理解できるような形で、簡潔に記述できる。アイデアの源泉は、別の場所で「ロシア公式」と呼んだもの。実際には、あのパズルの出典はロシアではなく、英国の Wolstenholme だった。
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2025-06-11 「ロシア公式」（Wolstenholme のパズル）について
A, B, C を定数とする。3次式 z3 − Az + Bz − C の根を a, b, c として、 a, b, c についての対称式の値を A = a + b + c, B = ab + ac + bc, C = abc を使って表すことは、ありふれた操作だ。例えば A = a + b + c = 0 という特殊な条件下では、 Newton 風の再帰的計算によって、
pm = am + bm + cm, m = 3, 4, 5, ···
を容易に求めることもできるし、そのような特殊な条件を付けず、一般の場合の pm の明示的公式を（m = 7 くらいまでについて）導出することもできる。
「ロシア公式」も、本質的には上記 pm に関する平凡な問題に過ぎない。ただし、対称式の理論を使わない別解の中に、興味深いものがある――ロシア語の（比較的マイナーな）問題集にチラッと記されている物珍しい内容なんで、あらためて検討してみたい。
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2025-06-08 1/27 = 0.037037… とその恋人
次の二つの数。無限に続く循環小数とはいえ、桁の並び方がシンプル。互いに「恋人同士」のようだ:
1/27 = 0.037 037 037…
1/37 = 0.027 027 027…
27 の逆数では「037」がループし、 37 の逆数は「027」がループする。このシンメトリックな性質は「偶然」だろうか？
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2025-06-06 x2 + xy + y2 と「ロシア公式」（Wolstenholme のパズル）
x2 + xy + y2 という多項式には、いろいろな面白い性質がある。
和が 0 になる任意の三つの数（例えば 1, 2, −3）を二つずつ掛けて足し合わせたものを B としよう:
B = 1⋅2 + 1⋅(−3) + 2⋅(−3) = 2 + (−3) + (−6) = −7
同じ三つの数の中から好きな数を二つ選んで x, y とすると、 x2 + xy + y2 は −B に等しい:
1, 2 を選ぶと 12 + 1⋅2 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7
1, −3 を選んでも 12 + 1⋅(−3) + (−3)2 = 1 − 3 + 9 = 7
2, −3 を選んでも 22 + 2⋅(−3) + (−3)2 = 4 − 6 + 9 = 7
a + b + c = 0 のとき 6(a5 + b5 + c5) = 5(a3 + b3 + c3)(a2 + b2 + c2) ――のような一連の「ロシア公式」は、対称式の問題だ。でも、上記のたわいもない性質を利用して、算数的な別証明もできる。それが意外とエレガント。モデノフ（Петр Сергеевич Моденов）の問題集の解法。ロシア語圏でもそれほど知られてない？
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2025-06-04 根の5乗和の応用例（その2）
問題3 a + b + c = 0 を満たす任意の実数 a, b, c について、 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) が成り立つことを示せ。
〔例〕 a = 3, b = −2, c = −1 ⇒ 左辺 2⋅(243 − 32 − 1) = 2⋅210 と右辺 5⋅6⋅(9 + 4 + 1) = 30⋅14 は等しい。
a + b + c = 0 という条件で a5 + b5 + c5 ないし a7 + b7 + c7 を基本対称式・べき和対称式の積として表す問題が5パターンほどある。
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2025-06-02 根の5乗和の応用例
問題 a + b = 4 かつ a5 + b5 = 464 のとき、 a と b の値は？
対称式（5乗和）の例題としては、易し過ぎず、難し過ぎず、こぢんまりとした良問。予期せぬ「もつれ」として、出典には「b = 4 − a を第二式に代入する単純な消去法で解くことは不可能」と記されている――「不可能」ってのは、言い過ぎだろう。教科書通りの解法と、直接的な解法の両方を試す。
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2025-06-01 ガウス周期を使わない円周13等分
cos (π/9) cos (2π/9) cos (4π/9) = 1/8 は「モリーの法則」と呼ばれる。
次の等式は、その変わり種。
cos (π/13) cos (3π/13) cos (4π/13)
=
(3 + √13)/(3 + 13)
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2025-05-31 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
3次元の普通の（立方体の）サイコロは、「目」が 1 から 6 まである。4次元の超立方体サイコロの「目」は 1 から幾つまであるのだろうか？
最初は強引に直接数えていたが、ちょっとしたアイデアで4次元・5次元をすっきり見通せる！
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2025-05-29 ラマヌジャンのパズル（続き）
ラマヌジャンのいろいろな式は、単に好奇の対象というだけでなく、「本質的に美しい何か」を秘めている。「何か」の正体は謎だが…。通常「バッハの音楽が何の役に立つのか？」というのが的外れの問いであるように、「ラマヌジャンの式が何の役に立つのか？」というのは、あまり意味のない問いだろう。
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2025-05-27 ラマヌジャンのパズルじゃん 生への執着・死への執着
インドの天才ラマヌジャン（Ramanujan）は、さまざまな奇妙な式・深遠な式を残したことで知られる。今回紹介するのは、どちらかというと娯楽系のパズル。似た形の二つの式 (i) と (ii) を示せ、というもの。1914年、 [1] に掲載された†。 (i) は次の通り。
3√[cos (2π/7)]
+
3√[cos (4π/7)]
+
3√[cos (8π/7)]
=
3√[(5 − 3⋅3√)/2]
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト＆クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20250511 (archive)
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