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チラ裏

2021-10-25 「ゴルゴ13」分解計画(その2) ユークリッドの互除法

10. 互除法は、最大公約数を求める有力なツール。「最大公約数なんて、小学校の算数。分かり切ったこと」…と油断してはならない。ガウス整数(別名: 複素整数)のような「より一般的な世界」においては、そもそも最大公約数とは何か?が問題となり、「この二つの数には、最大公約数がない」という奇妙な現象さえ起こり得る。

具体例として、自然数の範囲で gcd(1326, 570) を求めてみる。

  1. ① 1326 を 570 で割ると 186 余る。
  2. ② 570 を 186 で割ると 12 余る。
  3. ③ 186 を 12 で割ると 6 余る。
  4. ④ 12 を 6 で割ると、割り切れる。

最後の余り 6 が 1326 と 570 の最大公約数。計算の仕方は、「A を B で割ると C 余る。B を C で割ると D 余る。C を D で割ると E 余る…」という単純な繰り返しを割り切れるまで、続けるだけ。

④ から、12 は 6 の倍数(言い換えれば 6 は 12 の約数)。③ は
  【ア】 186 = 12c + 6 …ここで c は 186 を 12 で割った整数商(つまり15)
という意味だが、12 は 6 の倍数であり(④で確認済み)、それを c 倍した 12c も当然 6 の倍数。さらに、6 自身はもちろん 6 の倍数なので、
  186 = 12c + 6 = 6の倍数 + 6の倍数
…も、6 の倍数。これで 186 も 6 の倍数であることが確認された。

同様に ② は
  【イ】 570 = 186b + 12 …ここで b は 570 を 186 で割った整数商(つまり3)
という意味だが、186 は 6 の倍数(③で確認済み)、12 も 6 の倍数(④で確認済み)なので、それらの和 570 も 6 の倍数であることが分かる。

さらにさかのぼって ① は
  【ウ】 1326 = 570a + 186 …ここで a は 1326 を 570 で割った整数商(つまり2)
という意味だが、570 は 6 の倍数(②で確認済み)、186 も 6 の倍数(③で確認済み)なので、それらの和 1326 も 6 の倍数であることが分かる。

以上によって、1326 も 570 も 6 の倍数、言い換えると 6 は両者の公約数。…ここまでは簡単だが、それが「最大」公約数だという証拠は、どこにあるのか。

今 1326 と 570 に、何らかの公約数 x があったとしよう(実際 x=2 などがあるが、もっと大きい公約数もあるかもしれない)。言い換えると、1326 と 570 はどちらも整数 x の倍数だと仮定する。このとき【ウ】から
  186 = 1326 − 570a
となるが、仮定により 1326 も 570a も x の倍数なので、それらの差 186 も x の倍数(☆)。なぜなら
  1326 = mx, 570a = nx とすると 186 = mx − nx = (m − n)x …ここで m, n, m − n は整数。

同様に【イ】から
  12 = 570 − 186b
となるが、仮定により 570 は x の倍数、(☆)より 186b も x の倍数なので、それらの差 12 も x の倍数(☆☆)。さらに【ア】から
  6 = 186 − 12c
となるが、(☆)より 186 は x の倍数、(☆☆)より 12c も x の倍数なので、それらの差 6 も x の倍数。

結局、1326 と 570 にどんな公約数 x があるにせよ、必ず 6 は、その x の倍数。言い換えれば x は 6 の約数であり、従って 6 以下。これで 6 が「最大」公約数であることが分かった。

1326 と 570 に限らず、数値が何であっても、同様の議論が成り立つので、上記の方法(ユークリッドの互除法)によって、自然数の範囲であれば、最大公約数を求めることができる。

以上をきちんとした証明の形にすると、商 q1, q2, q3, … と余り r1, r2, r3, … についての数学的帰納法になる。きちんとしたい方は、自分で書いてみるか、教科書などを見てください…。本題はそれではなく「同じことがガウス整数の世界でも通用するのか」。

11. 上記の例に倣って「最大公約数」を再定義しよう。要素の間で、足し算・引き算・掛け算ができる世界 W を考える。W の2要素 a, b の最大公約数 g = gcd(a, b) とは、W における a と b の公約数のうち、次の性質を持つものである。
  性質 「a と b の任意の公約数 x は、g の約数である

少し分かりにくい…。まず「約数」とは何だろうか。「d が a の約数」ということは「a は d の倍数」ということであり、つまり d を何倍かすると a になるという意味。言い換えると、a = dq を満たすような q ∈ W が存在する、という意味。例えば、自然数の世界 N において 2 が 12 の約数であるということは、12 = 2q を満たす q ∈ N が存在するということ。そのような q は、もちろん存在する(q = 6)。同様に、12 = 3q も 12 = 4q も自然数の解を持つから、3 も 4 も 12 の約数だが、一方 12 = 5q は N の範囲に解を持たないから、自然数の世界において 5 は 12 の約数ではない。

a と b の公約数とは、「a の約数であり、b の約数でもあるような要素」。

当たり前のことをややこしく言ってるようだが、ここで思わぬ展開が…

「足し算・引き算・掛け算ができる世界」を考えているのだから、自然数の世界は、その前提を満たしていない(自然数の世界では、例えば 2 − 5 が定義されない)。もうちょっと広く、整数の世界 Z で考える必要がある。そうすると、1326 と 570 の最大公約数は最初に見たように 6 でもいいのだが、−6 も「1326 と 570 の最大公約数」の定義を満たす。1326 と 570 の任意の公約数 x は −6 の約数だから。

つまり「最大」公約数の「最大」は、もはや単純な大小関係ではない。そうではなく、親分・子分のような関係なのだ。

チンピラ「おれさまは 2。おれさまの空手を受けてみろ。1326 も 570 も割れてしまうぜ」

別のチンピラ「おれさまは 3。おれさまの空手を受けてみろ。1326 も 570 も割れてしまうぜ」

親分「おれさまは 6。てめえらは全員、おれさまの約数、雑魚だぜ。1326 と 570 を割ることにかけては、おれさまがボスだ」

もちろん −6 も同じことを言えるのだが、−1 倍の違いについては、こだわらない。このポリシーを「単数倍の違いを無視」と表現する。ここで「単数」とは 1 の約数のこと。通常の整数では 1 と −1 が単数であり、ガウス整数ではそれらに加えて i と −i も単数。整数の世界では、約数にせよ、素因数分解にせよ、単数倍の違いについてはあまり気にしない。自然数の世界でも、1 は単数。「なぜ 1 は素数でないのか」「素因数分解のとき × 1 を付け加えてはいけないのか」というのは、よくある疑問だが、これも「単数倍の違いについては考えない」ということに他ならない。1 は素数でもなく合整数でもなく単数というわけ。

新しい意味での最大公約数は、公約数のボス。「公約数のボス」とは、どんな公約数も自分の約数(いわば子分)として従属させているような存在。複素数であるガウス整数の世界では、例えば「−2 + 2i と −4 は、どちらが大きいのか」といわれても、簡単には答えようがない…「数が大きい・小さい」というコンセプトに執着して「最大」を定義しようとすると、無理が生じる。

これで、ガウス整数の互除法を考える準備が、半分整った。565+13i すなわち複素整数「ゴルゴ13」が完全にバラバラになる日も、そう遠くあるまい…。

2021-10-23 「ゴルゴ13」分解計画 565+13i

8. 諸行無常、万物は流転する。有名な殺し屋ゴルゴにも、ついに自分がバラされる日が…? それとも 565+13i は、分解不可能な複素整数だろうか。

われわれは極秘裏に調査を開始した(謎)。

ミッション1 13 は 22 + 32 に等しい。565 も 2個の平方数の和として書けるか?

ミッション2 素数2は、複素整数の範囲では (1+i)(1−i) と分解される。G = 565+13i は、複素整数の範囲では分解可能か?

***

最初のミッションは、フェルマーの「2平方の定理」の一般形に当たる。4k+1型の素数(愛称: バニラ素数)は2平方数の和として書けるが、4k+3型の素数(愛称: チョコレート素数)は2平方数の和として書けない。565は、5の倍数。素数じゃないので、判定法はもう少しややこしい。「こんな小さい数、全数検索だっ!」…と言いたいところだが、まぁスナイパーのゴルゴに敬意を払い、ここはブルートフォースでなく、精密に考察する方向で…

まずは、普通に有理素数に分解: 565 = 5 × 113。どちらの因子もバニラ素数なので、ガウス整数の範囲では、さらに分解される:
   5 = 12 + 22 = (1 + 2i)(1 − 2i)
   113 = 72 + 82 = (7 + 8i)(7 − 8i)

バラバラになったゴルゴ。5を分解した因子と、113を分解した因子を一つずつ組み合わせて、例えば、こう書ける:
   (1 + 2i)(7 + 8i) = −9 + 22i
   (1 − 2i)(7 − 8i) = −9 − 22i
   つまり 5 × 113 = (−9 + 22i)(−9 − 22i) = (−9)2 + 222 = 81 + 484 = 565

もう1パターンの組み合わせ方を使うと:
   (1 + 2i)(7 − 8i) = 23 + 6i
   (1 − 2i)(7 + 8i) = 23 − 6i
   つまり 5 × 113 = (23 + 6i)(23 − 6i) = 232 + 62 = 529 + 36 = 565

結論として、足す順序と平方される数の符号を無視すると、565 は2通りの方法で2平方数の和となるようだ: 62 + 232 = 92 + 222

これで第1のミッションは一応完了。「普通の整数の問題でも、あえてガウス整数などの広い範囲で考えることで、簡単になる場合がある」という好例だろう。

***

9. 上記の議論を検討すると、バニラ素数を2平方数の和にする部分が、透明になっていない。5 = 12 + 22 はともかく、113 = 72 + 82 はそれほど明らかではない。任意の大きいバニラ素数、例えば 565013 について、全数検索せずに、2平方の和の形…
   565013 = 2382 + 7132
…にするアルゴリズムが欲しい。ここで役立つのが、フェルマーの小定理の考え方: p が素数なら、2以上 p 未満の任意の整数 b について
   bp−1 ≡ 1 (mod p)
が成り立つが、このような b の中には、p−1乗して初めて ≡ 1 になる数(原始根)がある。そのような b を選んで固定する。今、p を奇数とすると、(p−1)/2 は整数であり、
   q ≡ b(p−1)/2 と置くと q2 ≡ bp−1 ≡ 1 (mod p)
ここで b は、p−1乗して初めて ≡ 1 になるのだから、(p−1)/2乗では ≡ 1 にならない。つまり q は ≡ 1 ではないが、2乗すると ≡ 1 になる数であり、要するに q ≡ −1 だろう[※注1]。さらに、p を4k+1型の素数(バニラ素数)に限定した場合、(p−1)/4 も整数であり、上記と同様に
   r ≡ b(p−1)/4 と置くと r2 ≡ q ≡ −1 (mod p)
   つまり r2 + 1 ≡ 0 (mod p)
これは
   自然数 r2 + 1 を p で割ると 0 余る
   つまり r2 + 1 = (r + i)(r − i) は p の倍数 ……… (☆)
という意味。

[※注1] q2 ≡ 1 つまり q2 − 1 = (q + 1)(q − 1) ≡ 0 なので、(q + 1)(q − 1) は p の倍数。p は素数なので、(q + 1) または (q − 1) は p の倍数(下記参照)。後者が p の倍数なら q − 1 ≡ 0, q ≡ 1 だが、仮定よりそうではない。だから前者が p の倍数で q + 1 ≡ 0, q ≡ −1。…素数位数の有限体という観点からは、
(q + 1)(q − 1) ≡ 0
の時点で「整域には零因子がないので、どちらかの因数が ≡ 0」とも言える。

p = x2 + y2 の整数解を使って、ガウス整数の範囲では
   p = (x + yi)(x − yi) ……… (☆☆)
   α = x + yi, β = x − yi と置くと p = αβ
という素因数分解が成り立つ。問題は、どうやって x, y の値を決定するか。

拡張された世界での「素数の定義」を思い出そう。α が素数ということは、その世界において、
   任意の積 AB が α の倍数のとき、必ず A または B が α の倍数になる
という意味だった。A = r + i, B = r − i と置くと、(☆)から
   AB = (r + i)(r − i) は p の倍数
ここで p は α の倍数なので、AB も α の倍数。α はガウス整数の素数だから、素数の定義から A または B は α の倍数。必要に応じて y の符号を逆にすることにより「A が α の倍数」と決め付けて差し支えない。すなわち…
   A = r + iα = x + yi の倍数
   言い換えると α = x + yi は A = r + i の約数

(☆☆)によると α = x + yi は p の約数でもあるので、α の値を得るためには、A = r + i と p の公約数を考えればいい。A と p の最大公約数は、互除法により機械的に決定され、それが求める α

なぜ「最大」公約数と言い切れるか。…仮に α が最大公約数でないとすると、A/α と p/α = β には、まだ単数以外の公約数が残っている。けれど β は素数なので、単数倍の違いを無視すると、約数は β 自身しかない。だから、公約数があるとすれば A/α も β で割り切れる(言い換えると A が αβ = p で割り切れる)。それは不可能。というのも A = r + i を自然数 p で割ると r/p + i/p になるが、その虚部は整数でない。つまり、ガウス整数として割り切れない。

このアルゴリズムでは、q ≡ b(p−1)/2 ≡ −1 (mod p) が必要条件。b が原始根であることは、(十分条件だが)必要条件ではない。例えば p = 13 のとき b = 5 は条件を満たす: q ≡ 512/2 ≡ −1 (mod 13)。この場合、54 ≡ 1 (mod 13) なので 5 は原始根ではないが、それでも構わない: r ≡ 512/4 ≡ 8 を使って gcd(r + i, p) = 3 + 2i から 32 + 22 = 13 が得られる。

***

これで大ざっぱな見通しは立ったが、まだ細部は穴だらけ。大前提となる「ガウス整数の世界でも最大公約数が存在して、互除法が通用する」ということも、メインの武器となる2平方の定理も、証明が必要。それらは後回しにして、とりあえず具体例で結果の確認。113 = 72 + 82 を上記のアルゴリズムで求めてみる。

b = 2 は、条件を満たさない: q ≡ 2112/2 ≡ 1 (mod 113)。

b = 3 は、条件を満たす: q ≡ 3112/2 ≡ −1 (mod 113)。このとき r ≡ 3112/4 ≡ 98。

<検算> r2 = 982 = 9604 = 85 × 113 − 1 ≡ −1 (mod 113)

あとは 98 + i と 113 の最大公約数を求めればいい:

  1. 113 を 98 + i で割る → 商は 1、余り 15 − i
  2. 98 + i を 15 − i で割る → 商は 6、余り 8 + 7i
  3. 15 − i を 8 + 7i で割る → 商は 1 − i で割り切れる

最後の余りが最大公約数 α = 8 + 7i なので、x = 8, y =7。これで 113 = 82 + 72 = 72 + 82 が得られた。ガウス整数の互除法は、決定論的ではない。例えば、こうしてもいい:

  1. 113 を 98 + i で割る → 商は 1、余り 15 − i
  2. 98 + i を 15 − i で割る → 商は 7、余り −7 + 8i [※注2]
  3. 15 − i を −7 + 8i で割る → 商は −1 − i で割り切れる

複素数の範囲で (98 + i) / (15 − i) = 6.5 + 0.5i なので、ガウス整数としての商(の近似値)は、実部が 6 or 7、虚部が 0 or 1 のどれでも、誤差は等しい。

[※注2] ここで得られた最大公約数 −7 + 8i は、最初に得られた 8 + 7i と少し異なるが、後者を i 倍すると前者、前者を −i 倍すると後者。つまり両者の違いは単数倍の違いにすぎず、どちらでも本質的に同じ。

***

チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。


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我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)(2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
空は青くて真白くて(2014-11-23)
「わたしの心は躍り上がる」(ワーズワース)/「空は青くて白くて」(フィンランド民謡)

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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