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2026-09-16 ありきたりの問題とその応用 52! = 8065不可思議…
10! = 1 × 2 × 3 × ··· × 10 = 3628800
この整数（3628800）の末尾には 0 が 2 個ある。では整数 100! の末尾には 0 が何個あるか。 200! ならどうか。
これ自体は、ありきたりの問題「N! は素因子 p を何個持つか」の一種であり、簡単な割り算と足し算によってあっさり解決する。同様の発想をスターリング数の研究に応用できる。
ありきたりの部分の具体例。トランプの52種（13 × 4枚）のカードの積み重ね方（デッキ）には、何種類のパターンがあるか？
一番下のカードには、52種の選択肢がある。下から2枚目のカードには、51種の選択肢がある（残りの51枚から選ぶから）。同様に、下から3枚目・4枚目··· のカードには50種類・49種類···の選択肢があって、一番上のカードには、1種類の選択肢しかない。だから:
52! = 52 × 51 × 50 × 49 × ··· × 1 =
8065不可思議 8175
6403澗 7669溝 7528穣 9505𥝱 4408垓 8327京 7824兆 0000億 0000万 0000
［参考リンク: 大きな数詞］
このように実際に掛け算してみて、結果の末尾の 0 の個数を数える――というのは、原理的には最も素直な解法。しかし「実際に掛け算してみる」という方法は、単に「面倒」というだけでなく、一般には「物理的に不可能」。というのも N が大きくなるにつれて整数 N! は急激に増大する。例えば W = 10100 自体は「1 の後ろに 0 が 100 個付いた、たった 101 桁の数」だが、整数 W! は、桁数が長過ぎて、たとえ全宇宙の全原子を総動員してひも状に並べ、一つ一つの原子に一桁ずつ数を刻んだとしても、数値を書き終わる前に書く場所が足りなくなってしまう†。つまり整数 W! は宇宙に入り切らないくらいでかく（桁数が長く）、①その数を実際に書く → ②末尾の 0 の個数を数える、という方針では、①の部分が実行不可能。
さりながら、問題は N! の数値そのものではなく、その数値の「末尾の 0 の個数」。 10 の倍数なら末尾に 0 があり、 102 = 100 の倍数なら末尾に 00 があり、 103 = 1000 の倍数なら末尾に 000 があり、等々。そして末尾が 0 の数を 1 回 10 で割るごとに、末尾の 0 が一つ減ることは明らかだから、「N! を実際に計算」する必要はなく、単に「N! は 10 で何回割り切れるか？」を考えれば十分。それは易しい。すなわち…
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2026-08-03 ウォルステンホームの第2命題・再訪 ちょっと目からうろこ
ウォルステンホームの定理といえば、 n が 5 以上の素数のとき
1/1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/(n − 1)
の分子は n2 で割り切れる、という命題を指すことが多い。有名な美しい定理ではあるが、本来これは3部構成の命題の一つ目。第2命題は、同じ条件において、
1/12 + 1/22 + 1/32 + ··· + 1/(n − 1)2
の分子が n で割り切れる、というもの。標準的なアプローチでは、第1命題の証明のとき、とある整数 A, B がどちらも n の倍数であることが示される。「だったら A2 − 2BC も n の倍数だよね」（n の倍数と n の倍数の差なのだから）、というロジックで、第1命題のついでのように、第2命題は証明される。最後の第3命題は、第1命題ほどではないにせよ、それなりに有名（こっちも「ウォルステンホームの定理」と呼ばれる）。3部構成のうち、真ん中の第2命題だけは「おまけ」扱いというか、軽視されている。
理由は「第1命題が証明されると、連動的に証明されてしまい、パズル的な面白さが低い」ということかもしれないし、「第1命題の分母に《2乗》が付いただけで、二番煎じの類似品。 n2 で割り切れるという第1命題と比べ、単に n で割り切れるというだけでは地味」ということかもしれない。
ところが、この不人気の第2命題に、一般には知られていない「意外な事実」が隠されていた！ 第2命題は、次の定理と同値なのだが………
定理 q が 5 以上の素数のとき、 q − 1 個の平方数 12, 22, ···, (q − 1)2 の「q − 2 個ずつの積」の和は、 q の倍数。
………この定理、実は q が素数でなくても、奇数の合成数であっても、成立する！ ウォルステンホームの定理では、「n が 5 以上の素数なら」という枕詞がお約束。でも、第2命題に関しては、もし仮に分数の足し算結果を約分しないのであれば、「n が 5 以上の素数なら」というお約束をぶち破って門戸を広げ、「n が 5 以上の奇数ならオッケー。素数でない子も一緒に遊ぼっ。 9, 15, 21, ··· みんな、おいでよ☆」とできる！
なんて心温まる話（？）でしょう。っつーか、第2命題がいかに「おまけ扱い」され、深く研究されずに適当にあしらわれてきたかを如実に物語るエピソード、といえるかもしれない。
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2026-07-29 フェラーズの定理とその拡張
フェラーズ（Ferrers）の定理 p ≥ 5 を任意の素数、 h をその半分（端数切り捨て）とする。このとき、 h 種類の平方数
12, 22, 32, ···, h2
の「t 個ずつの積」の和は、 p で割り切れる。ここで t は h 未満の任意の正整数。
グレイシャー（Glaisher）によるその拡張 p ≥ 5 を任意の素数とする。このとき、 p − 1 種類の平方数
12, 22, 32, ···, (p − 1)2
の「t 個ずつの積」の和は、 p で割り切れる。ここで t は p − 1 未満の任意の正整数。ただし t = (p − 1)/2 の場合だけは例外で、そのとき、和は p の倍数より 2 大きいか 2 小さい。
「t 個ずつの積」の和 例えば a, b, c, d の「2 個ずつの積」の和というのは、
ab + ac + ad + bc + bd + cd
のこと。「3 個ずつの積」の和というのは、
abc + abd + acd + bcd
のこと。「1 個ずつの積」の和は単に a + b + c + d のことで、「4 個ずつの積の和」は単に abcd のこと。
フェラーズの定理については、既に定理の意味を示す具体例とともに、一つの証明を記した。以下では、拡張版につながる別証明を記す。これらの定理が、フェルマーの小定理、ウィルソンの定理、ウォルステンホームの定理などの「優美な古典数論」の系譜に属することは明白だが、出発点が古典的であっても、拡張を続けると、あまり研究されていない領域に踏み込むことになる。
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2026-07-24 スターリング数を二項係数で表すこと
三角数 [n S n − 1] = (n C 2) は基本的。もちろん (n C n − 2) とも一致。
[n S n − 2] = (n C 3) (3n − 1)/4 と [n S n − 3] = (n C 2) (n C 4) も有用で、後者はきれいな式だ。
前回、調子に乗って [n S n − 4] について、同様の「二項係数表現」を求めた。結果は3次の因子を含み、あまり実用性はなさそうだけど、好奇心は満たされた！ 例えば m = 1, 2, 3 のときの式が公式集に載ってるとき、 m = 4 だとどうなるのか、知りたくなる。「参考までに」とか「研究」とかいえば一見ポジティブだが、その実態は「興味本位」というか「遊び」というか、ひどくなると「先延ばし」だったりして…（急ぎの仕事の締め切りが迫っているときに限って、無関係の別のことをやりたくなる！）
今回、さらに調子に乗って [n S n − 5] にチャレンジ。ますますゴチャゴチャするかと思いきや、結論は予想外にきれい。何行もあるような長い分数の計算が、簡潔な形に集約されるところにカタルシスがある。
古人いわく、「面白きこともなき世を面白く、住みなすものは心なりけり」。遊びと思えば、計算地獄もまた涼し？
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2026-07-22 法 p で見たスターリング数（続き）
スターリング数を奇素数 p で割った余りは基本的な意味を持ち、 p2 で割った余りは、面白い結果とつながることがある（Wolstenholme の定理はその代表例）。法 p での剰余と法 p2 での剰余は別次元の問題で、単純なアプローチでは――前者については、かなり見通しが利くのだが――、後者については部分的な結論しか得られない。
具体的に n = p, 2p の場合、半数のスターリング数については法 p2 の下での剰余を比較的簡単に決定できる。同じことは n = p + 1, 2p + 1 の場合についてもいえる。半数（下側インデックスが偶数か奇数かのどちらか）についてしか扱えないところがもどかしく、「残りの半分の秘密も解きたい」という好奇心をかき立てるけど、ここでは、とりあえず半分だけでも結論を出しておく。
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2026-07-20 法 p で見たスターリング数
n = 4 のときのスターリング数 6, 11, 6, 1 をそれぞれ 5 で割ると、余りは 1, 1, 1, 1（【表3】参照）。 n = 5 のときのスターリング数を 5 で割ると、余りは 4, 0, 0, 0, 1。同様に n = 6 のとき 0, 4, 0, 0, 0, 1。 n = 7 のとき 0, 4, 4, 0, 0, 1, 1。
| k = | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n = 4 | 6 | 11 | 6 | 1 | |||
| n = 5 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 | ||
| n = 6 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 | |
| n = 7 | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |
一般に、スターリング数 [n S k] を奇素数 p で割った余りは、一定の（しばしば単純で特徴的な）パターンを持つ。
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2026年2月28日 おばあちゃんが教えてくれた公式
2026年2月7日 ガウス和の符号の決定〔Hua 版〕
2025年12月9日 ガウス和の符号
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
2025年4月14日 「ニュートンの式」軽妙な入門 ライヒシュテインによる
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明 ☆総和記号不使用☆
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト゠クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20260405 (archive)
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