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最新記事 すてきな証明・すてきな作図 tan ((α + β)/2) = ?(2021-10-09)

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チラ裏

「チラ裏」は適当な走り書き。誤字、誤記、脱線が多いです!

2022-01-26 げんしこん(その7) 異議ありっ! 矛盾です!

…というわけで、教科書のやり方は、それなりにエレガントだし有益だが、「もうちょっと分かりやすくできないの?」という感じもする。非構成的なくせに、原始根のレシピを細かく記述してるところが、回りくどい。

【1】 直線的に、いきなり核心を否定して「もしも原始根がなかったら…」と考えてみよう。つまり p を3以上のとある素数として、mod p において、最大の位数は p−1 より小さいと仮定する。位数は p−1 の約数(補助定理1.1)…それが最大でも p−1 未満ってことは…。その世界では、位数は最大でも (p−1)/2、下手すりゃ (p−1)/3 や (p−1)/4 かもしれない…。こう考えた瞬間、反射的に
  異議ありっ! 矛盾です!
と思わないだろうか。例えば、もし仮に何でもかんでも (p−1)/2 乗で ≡ 1 になってしまうとすると、それは x = 1, 2, 3, …, p−1 の p−1 種類の元が
  x(p−1)/2 ≡ 1
を満たすということ。上記は (p−1)/2 次方程式なので、解の種類は (p−1)/2 個以下のはずであり、「そんなわけない」という強い直感が働く。

【2】 このスピード感を実際の証明とするには、次のテクニカルなハードルをクリアする必要がある。

テクニカル命題 mod p において、全種類の元の位数を調べたら、一番でかい位数は d だった…とする(位数 d の元の一つを a とする)。この世界において、任意の元 b(0 と合同でないとする)の位数 e は、d の約数。

解説 実際には、既に d = p−1 であること(=原始根の存在)を証明済みだし、任意の位数は p−1 の約数であることも、補助定理1.1の段階で分かっている。よって、この命題はもっと具体的な形で証明済みなのだが、そのことを一時的に少し忘れて、d の値がまだ分からないふりをしよう。ひょっとしたら d = (p−1)/2 などかもしれない…。それでも上の命題が成り立つとすれば: 最大位数が d なら任意の位数は d の約数(例えば d/2 や d/3)ということになり、上述の「異議ありっ」の論証が成立する。変数名 d は (ichiban) dekai isū から。

《例》 mod 19 の最大位数が、実際の値 18 ではなく、その半分の 9 だったとしよう。この仮想世界において、上のテクニカル命題によれば、任意の元(≢ 0)の位数が 1, 3, 9 のどれかになる。ある元 b の位数が 9 なら、もちろん b9 ≡ 1。別の元 c の位数が 3 なら、c3 ≡ 1 だが、その両辺を3乗することで、やはり c9 ≡ 1。位数 1 の場合も同様。結局、0 と不合同な元を 9 乗すれば常に ≡ 1 になるが、それは「mod 19 において、9次方程式が18種類の解を持つ」という、とんでもない主張であり、解の個数に関する根本法則に反している。別の角度から言えば「x9 ≡ 1 の解はちょうど 9 種類」という補助定理2とも、矛盾する。

このテクニカル命題は「これを指摘することで、大々的に矛盾が発生する」という「秘孔」に当たる。「原始根など存在しない!」という敵の主張は、この一点だけで粉々になり、背理法によって、原始根の存在が確定する。おまえはもう、矛盾している…。

【3】 この秘孔を突くには(つまりテクニカル命題を証明するには)、「b の位数 e が d の約数ではない」ということの不可能性、すなわち「d が e で割り切れない」ということの不可能性を示せばいい。

そもそも「d が e で割り切れない」とは、どういう場合か?

例えば d = qrs と、3個の素数の積に分解されるとしよう。e = qr などなら、d/e は(約分が成立して)割り切れる。一方、分母 e の因子として q, r, s のどれとも違う素数 w が含まれていたら、約分は成立せず(分母の w を分子でキャンセルできず)、この分数は割り切れない。

ここで d = qrs などの数は、位数(要するに指数)の計算に関するものであり、普通の整数の世界の話。mod p の世界における 1/w のような計算とは、関係ない。変数名 w は wake no wakaran sosū から。

仮に e = qw としてみる。その想定が実は無理であることは、次のように示される。
  仮定により be = bqw = (bq)w ≡ 1
   だから (bq) の位数は w
  d = qrs と w は互いに素なので、補助定理3により a(bq) の位数は dw

位数 dw の元の存在は「a の位数 d が一番でかい」という仮定に反し、不合理。つまり e = qw と考えると、矛盾が生じる。

【4】 より一般的に、d の因数分解も素数 w を含む…という可能性も考慮しよう、d = qrsw2 のように。その場合でも、e がさらに多くの個数の w を含んでいれば(例: e = qw3)、d/e は割り切れない。すなわち、ある素数 w について、d の素因数分解に含まれる w のべきを V = wj として、e の素因数分解に含まれる w のべきを W = wk としたとき、j < k であれば(つまり V < W であれば)、d/e は割り切れない。…素数 w のべき以外にも、分母には割り切れない原因が二重・三重にあるかもしれないが、いずれにしても少なくとも一つの素数べきについて「分母の方が指数が大きい」ということが、「割り切れない」という状況の必要十分条件。【3】では、その特別な場合として、j = 0, k = 1(つまり V = 1, W = w)のケースを考察したのだった。

対応する全部の素数べきについて、分子側の指数が分母側の指数以上なら、その分数は割り切れる。
例えば (p3q1r5) / (p3q0r2) = q1r3 のように。

今、仮に a の位数 d = qrsV が「一番でかい位数」だとしよう(実際には qrs の部分は、w を含んでいなければ何でもいい)。そして b の位数 e = qW が「d の約数ではない位数」の例だとしよう(実際には q の部分は、w を含んでいなければ何でもいい)。この場合、次のようにして、容易に位数 qrsW の元を構成でき、それは「d = qrsV が一番でかい位数」という前提と矛盾する。
  仮定により ad = aqrsV = (aV)qrs ≡ 1
   だから (aV) の位数は qrs
  仮定により be = bqW = (bq)W ≡ 1
   だから (bq) の位数は W
  qrs と W は互いに素なので、(aV)(bq) の位数は qrsW

要するに「位数 e(それは d の約数ではない)の元が存在し得る」という仮定は無理であり、前記のテクニカル命題を受け入れざるを得ない。すなわち、原始根の存在が再び示された。□

【5】 次のタイプの議論についての補足。
  「仮定により be = bqw = (bq)w ≡ 1
   だから (bq) の位数は w」

この場合、(bq) を w 乗すれば ≡ 1 なのは明白として、もっと小さい指数で ≡ 1 になる可能性はないか?
  例えば (bq)v ≡ 1, v < w  ‥‥「?!」
という事態になれば、(bq) の位数は w より小さい。その可能性を考慮しなくていいのか?

実は「?!」の場合には、bqv ≡ 1 となるから、b の位数も qv 以下となり、e = qw より小さい。「b の位数は e」が議論の前提であり、その前提に反する「?!」の想定は、論理的に許されない。

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チラ裏より

チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…


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「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
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妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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