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最新記事 すてきな証明・すてきな作図 tan ((α + β)/2) = ?(2021-10-09)

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チラ裏

2021-11-25 ガウス整数 1 + 13i の因数分解 実例研究その2

33. いきなり α = 1 + 13i を分解しろと言われても、どこから手を付けていいのか分からない感じだが…。ガウス整数が分解されるときには、対応するノルムも、普通の整数の範囲で分解されるのだった。とりあえずノルムを調べてみよう:
  norm(α) = norm(1 + 13i) = 12 + 132 = 170 = 2 × 85

85 はさらに 5 で割れるが、今は 2 の方に集中する。状況を再確認:
  α = βγ なら norm(α) = norm(β) norm(γ)
  ここでは α = 1 + 13i で norm(α) = 170, norm(β) = 2, norm(γ) = 85。

要するに、ノルムが 2 のガウス整数 β を見つければ、α = βγ のような分解が成り立つ可能性がある。具体的に α/β が割り切れれば、α/β = γ と置いて α = βγ となる。注意点として
  α = βγ なら norm(α) = norm(β) norm(γ)
というのは確かだが、逆が成り立つ保証はない。つまり、
  norm(α) = norm(β) norm(γ) だからといって α = βγ とは限らない。
言い換えると α/β が割り切れる保証はない。保証はなくても可能性はあるので、試すだけ試してみたい。

問題 norm(β) = 2 を満たすガウス整数 β は何か?

先に感覚的なアプローチ、後からきっちりしたアプローチを…。感覚的には、「普通の整数をガウス整数の範囲でさらに分解したいなら、2平方数の和で書けばいい」:
  2 = 12 + 12 = 12 − i2 = (1 + i)(1 − i)
従って β = 1 + i または β = 1 − i という可能性がある。

試しに α = 1 + 13i を第一候補 β = 1 + i で割ってみると(割り算の仕方は13.参照):
  α / β = (1 × 1 + 13 × 1) / 2 + [(13 × 1 − 1 × 1) / 2]i  【ア】
  = 14 / 2 + (12 / 2)i = 7 + 6i

イェーイ、割り切れた! 【ア】実部の分子は「実実・虚虚の和」、【ア】虚部の分子は「内内マイナス外外」、【ア】の分母は β のノルム(16.参照)。やり方を無理に丸暗記しなくても、13.のように普通に計算すれば同じ結果が得られる。とりあえず…

α = 1 + 13i = (1 + i)(7 + 6i)  【イ】

…ここまでは分解できた。石橋をたたく心構えで【イ】の右辺を展開してみる:
  (7 + 6i) + (7 + 6i)i = (7 + 6i) + (7i − 6) = 1 + 13i
うん、ちゃんと【イ】の左辺と等しい。

34. 【イ】右辺の第1因数 1 + i は、そのノルムが2(普通の意味での素数)なので、これ以上、分解できない。第2因数 7 + 6i については、そのノルムが 49 + 36 = 85 = 5 × 17 なので、ノルム 5 のガウス整数で割り切れる可能性がある。ノルム 5 のガウス整数(仮に ζ と名付ける)を作るため、5 を2平方数の和として表現する:
  5 = 22 + 12 = 22 − i2 = (2 + i)(2 − i)
ζ = 2 + i または ζ = 2 − i は、ノルム5を持つ。

試しに ζ = 2 + i で割ってみる:
  (7 + 6i) / (2 + i) = (14 + 6) / 5 + [(12 − 7) / 5]i = 4 + i
割り切れた! 商のノルムは17(普通の意味での素数)なので、これ以上の分解はできず、これにて分解完了:
  1 + 13i = (1 + i)(7 + 6i) = (1 + i)(2 + i)(4 + i)

他方の選択肢 ζ = 2 − i を試すと何が起きるのか。
  (7 + 6i) / (2 − i) = (14 − 6) / 5 + [(12 + 7) / 5]i = 8/5 + (19/5)i
こっちだと、割り切れない。つまり、こっちは正しい因数ではない。「ノルム5」というのは大きな手掛かりだが、因数をピンポイントで確定させるほどの「決定的な情報」でもない。最終的には、地道に「試し割り」するしかなさそうだ。

35. 話を少し戻して、33. の β の導出をもう少しきっちり考えてみたい。β = x + yi とすると(x, y は普通の整数)、
  norm(β) = norm(x + yi) = x2 + y2
…が 2 に等しいというのが条件なので:
  x2 + y2 = 2  【ウ】

x2 と y2 は、どちらも 0 以上の整数なので、【ウ】が成り立つとすれば、一方が 2 で他方が 0 になるか、または、両方とも 1 になる必要がある。「一方が 2」というパターンは無理(x2 = 2 のようなものは、整数の範囲で解けない)。従って、正解は x2 = y2 = 1 つまり x = ±1, y = ±1(符号の選択は自由):
  β = 1 ± i または −1 ± i  【エ】
選択肢がいっぱいあって扱いにくそうだが、複素平面上において、これらは全部「座標軸の2本の対角線」の上にあり、原点からの距離が一定。言い換えると、ベクトル (1, 1) を90°刻みで回転させたものに他ならない(回転方向は反時計回り)。(1, 1) はもちろん 1 + i に対応する点。さて、あるベクトルの180°の回転(つまり、原点から伸びる正反対の矢印)が、もともとのベクトルの −1 倍に対応することは、明らかだろう。90°の回転とは「2回繰り返すと180°の回転(つまり −1 倍)に対応する操作」なので、i 倍に当たる(i 倍したものをもう一度 i 倍すれば、最初の −1 倍になる)。

【エ】の4個の選択肢は、β = 1 + i を基準にすると (i)β, (i2)β = (−1)β, (i3)β = (−i)β に当たり、どの二つも互いに単数倍なので、通常の因数分解の観点からは、区別する必要ない。特に、
  2 = (1 + i) × (1 − i) の第2因子 (1 − i) について
  (1 − i) = −i(1 + i)
が成り立つので:
  2 = (1 + i) × [−i(1 + i)] = −i(1 + i)2
普通の意味での素数が、ガウス整数の範囲でさらに分解されるのは、よくあること。けれど 2 という数は、ガウス整数の世界で、何とも興味深い形で分解される…。一種の「平方数」、正確に言えば「平方数の単数倍」。イメージ的には、1 + i は偏角45°、絶対値 √2 のベクトルなので、自乗すると、結果は偏角90°、絶対値 2:
  2i = (1 + i)2
90° の回転を打ち消して実数に戻すため、−i を掛け算すると:
  2 = (1 + i)2 × (−i)

最後に、ノルム5の因子についても同様に考えると、【ウ】に当たるものは
  x2 + y2 = 5
…上記 β と同様に考えると、x2, y2 の一方が 4、他方が 1 になる必要があり、【エ】に当たるものは:
  ζ = 2 ± i または −2 ± i または 1 ± 2i または −1 ± 2i
ガウス整数の世界には単数が4種類しかないので、これら8パターンが全部「互いに単数倍」というのは不可能。第1グループとして、ζ = 2 + i とその単数倍(自分自身=1倍を含む)計4種は、本質的に同じ因子。第2グループとして、ζ = 2 − i とその単数倍・計4種は、本質的に同じ因子だが、第1グループとは異なる。実際、34. で見たように、一方では割り切れても、他方では割り切れないことがある。

β の例は特別で、虚部の符号を変えた相棒(正式名称: 共役)が互いに単数倍(正式名称: 同伴)になっていた。一般には ζ の例のように、虚部の符号を変えた相棒は「同伴」ではなく、友達以上・恋人未満…。「ノルムが同じ・絶対値も同じ・実部も同じで虚部の符号だけが正反対」という特別な関係ではあるけれど、「おれに割れる数なら、おまえにも割れる。おまえに割れる数なら、おれにも割れる」というほどの、一心同体の関係ではない。

⁂

2021-11-24 ガウス整数 13i の因数分解 実例研究その1

当面の目標は「ガウス整数の世界でも一意的な素因数分解ができる」という命題だけど、実際の証明の前に実例をいくらかいじって、感覚をつかんでおきたい。ユークリッド整域なので「既約」と「素数」の違いを隠したまま話を進めることもでき、その方がお手軽だが…。その二つが異なる概念であること(分解不可能だけど素数でない例。逆に素数なのに分解できる例)が、核心だろう。ある時点で、思い切りカメラを引いて「整域」を外側から眺めることが必要になる。まぁ適当にやってみたい…。

32. 13 はバニラ素数なので、2平方数の和。42 = 16 は大き過ぎるから、12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 の範囲で和を考える。簡単な試行錯誤の結果(総当たりでも数パターンしかない):
  13 = 22 + 32 = (2 + 3i)(2 − 3i)
  つまり 13i = (2 + 3i)(2 − 3i)i = (2 + 3i)(2i + 3)  (*)

出てきた因子の A = 2 + 3i などは、もうこれ以上分解できないのだろうか?

ここでクリティカルな役割を果たすのが「ノルム」(15.参照)。0でないガウス整数 A が、2個のガウス整数の積 PQ に分解されたとしよう。つまり
  A = PQ
が成り立ったとしよう。上の式の両辺のノルムを考えると:
  norm(A) = norm(PQ) = norm(P) norm(Q)
A = 2 + 3i の場合、norm(A) = 13 は普通の意味での素数なので、これ以上意味のある分解はできない。強いて言えば norm(P), norm(Q) の一方が13、他方が1で 13 = 13 × 1 という分解が考えられるが、ノルム1の数は ±1, ±i に限られ、これらは真の約数ではない(普通の素因数分解で、因子 1 が無視されるのと同じ)。要するに、ノルムが素数なら、もうそれ以上、分解できない

この場合、2 と 3 の順序を入れ替えて次のように書いても、最終的な結論は同じ:
  13 = 32 + 22 = (3 + 2i)(3 − 2i)
  つまり 13i = (3 + 2i)(3 − 2i)i = (3 + 2i)(3i + 2)  (*)と同じ

⁂

2021-11-23 ガウス整数から見た 3² + 4² = 5² (その3)

30. ガウス整数の範囲では x2 + y2 = (x + yi)(x − yi) だが、ピタゴラス・トリオ (x, y, z) の場合、このように分解した因子の x + yi が再び平方数 (A + Bi)2 になる。他方の因子 x − yi も同様の平方数 (A − Bi)2 になる(21.参照)。理由が分かれば「当たり前」かもしれないが、
  32 + 42 = 52 ⇒ (3 + 4i)(3 − 4i) = (2 + i)2(2 − i)2 = (22 + 12)2
  52 + 122 = 132 ⇒ (5 + 12i)(5 − 12i) = (3 + 2i)2(3 − 2i)2 = (32 + 22)2
といった構造は、本当とは思えないほど美しい。素直に感動!

もっとも x + yi の形…例えば 3 + 4i…を (A + Bi)2 の形…例えば (2 + i)2…に変換する魔法は、まだ修得していない。要するに「ガウス整数の世界の素因数分解」だが、その研究は後のお楽しみ!

呪文でホラ変身よ> 3 + 4i パリエルレムリン・スイートミント、ガウス素数になぁれ~ = (2 + i)2

逆方向の変換法は、既に分かっている。例えば (2 + i)2 つまり A = 2, B = 1 を x + yi の形にするには、2乗の部分を展開するだけ。一般に、こうなる(「その222.):
  x = A2 − B2
  y = 2AB
  z = A2 + B2
分解されているものを掛け合わせるのは簡単だが、掛け合わされているものを分解するのは難しい…。「自分は数学が得意だから、そんなの全然難しくないよ」と考える人もいるかもしれないが、「計算量的に本当に難しい」というのが多くの専門家の予想であり、実際この予想が、日常、インターネット上で使われるRSA系の暗号システムの基礎となっている。

とはいえ最近…大ざっぱに2010年くらいから…「難しいといっても、原理的にはやればできるし」「パスワードとかクラックされたら、セキュリティー的にやばいし」というムードが強まって、「RSAでも桁数をさらにでかくしよう」「RSA系自体が不安だから、楕円曲線暗号に移行しよう」という流れになっている。楕円なら安全? それもまた、誰にも分からない未解決問題。数論の世界には、未知がいっぱい。教科書に書いてあることを覚えればいい、なんていう、甘い話じゃない。ある意味「ロマン」だが、難しくて途方に暮れてしまう。

31. ピタゴラス・トリオについては、上記の A, B の性質がよく分かっているので、次の例のように、いくらでも機械的に生成できる(「その2」付録)。

[  1 ] A= 2, B= 1 ::: (3,4,5)
[  2 ] A= 3, B= 2 ::: (5,12,13)
[  3 ] A= 4, B= 1 ::: (15,8,17)
[  4 ] A= 4, B= 3 ::: (7,24,25)
[  5 ] A= 5, B= 2 ::: (21,20,29)
[  6 ] A= 5, B= 4 ::: (9,40,41)
[  7 ] A= 6, B= 1 ::: (35,12,37)
[  8 ] A= 6, B= 5 ::: (11,60,61)
[  9 ] A= 7, B= 2 ::: (45,28,53)
[ 10 ] A= 7, B= 4 ::: (33,56,65)

これをじっと眺めると、トリオの最後の数 z に素数が多いことが目に付く: 5, 13, 17, 29 など…。これらの素数は、どれも「4で割ると1余る素数」(愛称: バニラ素数)のようだ。それは実は当たり前。だってさぁ、
  z = A2 + B2
って、2個の平方数の和じゃん? しかも、AとBって、一方が偶数、他方が奇数(22.参照)。偶数の2乗は、4の倍数(★)。奇数の2乗は、4の倍数プラス1(☆)。それらの和(★プラス☆)も、4の倍数プラス1。だから z は、素数であっても素数でなくても、必ず「4で割ると1余る数」。

(★) どんな偶数も、2の倍数なので 2n の形を持つ(n は整数: 例えば、偶数6は 2×3)。その2乗は: (2n)2 = 4n2。これは「4 の n2倍」なので、4の倍数。

(☆) どんな奇数も、2の倍数より1大きいので 2n+1 の形を持つ(n は整数: 例えば、奇数7は 2×3+1)。その2乗は: (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4(n2 + n) + 1 = 4の倍数 + 1。

具体例を眺めると、逆にどのバニラ素数も、必ずピタゴラスの z となるように思える(この予想は実は正しい)。けれど今は、別の部分に注目したい。

z が全部素数になるなら「ありがちな展開」かもしれないけど、なんか 5 の倍数が交じってるよ? 上の例では 25 と 65。何だ、この連中? そっちの方が気になる。

暫定的に「ピタゴラストリオの z は、バニラ素数または5の倍数になる」という予想が浮かぶ。ところが、上記の「付録」をよーく見ると、この予想は正しくない:

[ 29 ] A=12, B= 5 ::: (119,120,169)

この z = 169 は 132 であり、素数でも5の倍数でもない。予想に合わない「反例」ってやつ。素早く予想を修正して「素数でない z は、5の倍数または平方数」と言いたい気もするが、本当だろうか?

話がちょっと戻るが、まだ導入してない x + yi の素因数分解の技術。やり方はともかく、結果としては…
  [1] 3 + 4i = (2 + i)2
  [2] 5 + 12i = (3 + 2i)2
  [3] 15 + 8i = (4 + i)2
  [4] 7 + 24i = −(1 + 2i)4
  [5] 21 + 20i = (5 + 2i)2
  [6] 9 + 40i = (5 + 4i)2
…だいたいは、前述の通り、そのまんま「何かの2乗」の形になってるが、4番だけ、妙な形になっている。4乗なので、これも「何かの2乗」の形に書き直すことができ(20. & 21.参照)、上記 30. の主張に間違いはないのだが…。「ピタゴラストリオの式の左辺を(ガウス整数として)分解した因子」という同じ性質のものなのに、なぜ一つだけ他と違う形なのだろう?

「素数でない z は、どういう数か?」という疑問。そしてこの、釈然としない現象。

実は、この二つのもやもやは関連していて、全てをすっきり透明に見通せる観点が存在している。…それは分かってしまえば簡単なことで、客観的には当たり前のことなので、いちいち教科書には記されてないだろうけど、主観的には意外と面白い。どんな小さな命題だって、自力で独立に発見した事柄は、キラキラ心に残るだろう。

24.では「バシェ/ベズの定理」を導入して、懸案の「ガウス整数の一意分解」を攻略する伏線を張った。教科書的には「一意分解ができること」を証明してから、具体例を挙げるのが正しいだろうけど、「一意分解」という抽象的性質を考える前に、「分解の具体例」を体験して感覚をつかむ方が、たぶん分かりやすい…。記事にまとめるとき、余計な脱線を削除して、説明が抜けてるところを補い、整理したい。

⁂

2021-11-21 【150法】コンウェイの秘技【3~4桁の数を暗算で因数分解】

2の倍数・3の倍数・5の倍数は明らか。7の倍数以降の判別法もあるにはあるけど(それ自体としては面白いけど)、実用上は「実際に割ってみた方が手っ取り早い」という感じがする。ところが…

Conway は、7の倍数~19の倍数を一気に検出するすごい裏技を編み出していた!

【1】 説明のための例として、x = 209 を分解してみよう。

まず150のN倍で x を近似する。この場合、N=1、つまり150自体で近似すると、誤差は59。

手のひらを広げて「1回引いたら深呼吸」と言いながら、59からNを引く。手のひらの上に58をイメージする。

「親、行く」と言いながら、親指を見て、またNを引いた57をイメージする。親指を折り曲げる。

「ひどいな」と言いながら、人差し指を見て、またNを引いた56をイメージする。

「仲いいな」と言いながら、中指を見て、またNを引いた55をイメージする。中指を半分折り曲げる。

「くっさい」と言いながら、薬指を見て、またNを引いた54をイメージする。

最後に「恋さ」と言いながら、小指を見て、またNを引いた53をイメージする。

親指が曲がって、中指が半分曲がっている。これで 209 が 19 と 11 で割れることが判明。実際 209 = 19 × 11。

何をやってるのかというと…。「親、行く」は「親指イク=19」。57が19で割れるか考える。商3で割り切れるので、イエス。記録として、親指を折り曲げておく。

「ひどいな」は「人差し指イナ=17」。このステップでは、56が17で割れるか考える。ノー。

「仲いいな」は「中指イイ・ナ=11と7」。このステップでは、55が11または7で割れるか考える。イエス、11で割れる。記録として、中指を半分折り曲げておく。

「くっさい」は「薬指サイ=31」。このステップでは、54が31で割れるかチェック。ノー。

「恋さ」は「小指イサ=13」。このステップでは、53が13で割れるかチェック。ノー。

この方法で、7~19の素因数は、漏れなく検出される(31も検出される)。

【2】 別の例、x = 533。

N=3 とする。450を引いて83。以下、繰り返しNを引く。

1回引いたら深呼吸 → 手のひらの上に80がある。

親)いく → 77÷19。割り切れない。

ひど)いな → 74÷17。割り切れない。

仲)いいな → 71÷11 と 71÷7 を考える。割り切れない。

くっ)さい → 68÷31。割り切れない。

こ)いさ → 65÷13。商5で割り切れる。小指を曲げておく。

結論として 533 は 13 で割り切れる。暗算で割り算すると、商41。この商は明らかに素数なので、533 = 13 × 41 と分解できる。

【3】 逆方向に、足しながらやってもいい。x = 1023。N=7 として、1050 に切り上げた方が誤差が小さい。差は27。(この x は一目で3の倍数だが、説明の例として、構わず進める。)

1回足したら深呼吸 → 手のひらの上に34がある。今度はNを繰り返し足す。

親)いく → 41÷19。割り切れない。

ひど)いな → 48÷17。割り切れない。

仲)いいな → 55÷11 と 55÷7 を考える。11で割り切れるので、中指を半分曲げておく。

くっ)さい → 62÷31。これも割り切れるので、薬指を曲げておく。

こ)いさ → 69÷13。割り切れない。

結論として x = 1023 は 11 と 31 で割り切れる。31 × 11 = 310 + 31 = 341。x が 3 で割れることは最初から分かってるので 1023 = 3 × 11 × 31 となる。

参考として、最初と同じ引き算方向でやると N = 6。900を引いて差は123。

1回引いたら深呼吸 → 117。

親)いく → 111÷19。割り切れない。

ひど)いな → 105÷17。割り切れない。

仲)いいな → 99÷11 と 99÷7 を考える。11で割り切れるので、中指を半分曲げておく。

くっ)さい → 93÷31。これも割り切れるので、薬指を曲げておく。

こ)いさ → 87÷13。割り切れない。

ちゃんと同じ結論になった!

【4】 この方法でなぜうまくいくのかの説明、さらに拡張する方法については、次の文献をごらんください。
Arthur T. Benjamin: Factoring Numbers with Conway’s 150 Method (PDF)
https://math.hmc.edu/benjamin/wp-content/uploads/sites/5/2019/06/Factoring-Numbers-with-Conway%E2%80%99s-150-Method.pdf
参考リンク:
Quick Divisibility Test for Primes up to 67
https://numbertheoryguy.com/2020/05/23/quick-divisibility-test-for-primes-up-to-67/

この方法の注意点として、因数が見つからないことの方が多いです。例題では、説明のため因数があるケースを取り上げましたが、整数が7で割れる確率は単純計算で1/7、11で割れる確率は1/11等々なので、大ざっぱに因数が見つかるケースは1~2割で、5回に4回くらいは7~19の因数が出ないでしょう。ヒットしなくてもがっかりせず、「それで当たり前」「その範囲の因数がないことを確定判定できた!」と肯定的に考える心構えが重要かと。順次引き算または足し算する数 N は、状況によって変わるので、単純な計算ミスに注意すること。指との「同期」がずれると正しく判定できないので、落ち着いて「1回引いたら(足したら)深呼吸」をやること。中指は 7 と 11 の2種類の因数に対応するので、混乱しないように、7 だったら軽く曲げ、11 だったら半分曲げ、7 × 11 だったら思い切り曲げるといいかも。

この方法は、Conway が1996年にイベントで披露したものだそうです。Benjamin は直接それを見聞きして、2018年に上記の記事を書いたようです。The author thanks the referee for many helpful suggestions, and especially wishes to thank John Conway for his permission to share his algorithm... まではよくある普通の結びですが、続けて ...and for being such a large prime factor in the mathematics community. としゃれたことを…。Benjamin の書いた文章のことは、インドの RESONANCE 2021年5月号で知りました。Arvind Ayyer と B. Sury の「John Horton Conway: The Magical Genius Who Loved Games」(PDF)の末尾でチラッと言及されていたのです。雰囲気的には、楕円曲線法で分解を試みるときの Baby Steps に似てる。こういうことを知るたび、世の中にはすごいことを考える人がいるもんだな~とびっくり! 理解できないような難しい研究をする学者がいるのは普通に分かるけど、簡単な算数みたいなことでも、すごいことができるんだなぁ…

(コメント) 検索エンジンで「素因数分解の技法」のようなキーワードを使っても、ベンジャミンの論文は出てこないだろう。巨大検索エンジンからは見えないことが、小さな趣味のサイトからはピンポイントでリンクできる。この現象は、脱中心の重要性を示唆しているのではないか?

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覚えやすさを重視した3次方程式の解法(2018-02-11)
分数なくして、すっきり。語呂合わせ付き。 〔v8: 2019年3月17日〕
3次方程式の奥(2018-03-04)
3次方程式は奥が深い。「判別式の図形的解釈」は1990年代の新発見だという。 〔v14: 2021年1月12日〕
3次方程式の判別式(2018-03-18)
いろいろな判別式。Qiaochu Yuan による恐ろしくエレガントな解法。 〔最終更新: 2018年12月30日〕
3次方程式と双曲線関数 ☆ 複素関数いじっちゃお(2019-02-17)
定義から始めてのんびり進むので、双曲線関数の予備知識は不要。3次方程式も別記事で初歩から解説。三角・指数関数なら知ってるという探検気分のあなたへ。複素関数プチ体験。 〔v7: 2021年2月19日〕
cos i = ?
曇りなきオイラーの公式 微分を使わない直接証明(2019-02-17)
exp ix = cos xi sin x のこんな証明。目からうろこが落ちまくる! 〔v11: 2020年12月23日〕
−1 の 3/2 乗? オイラーの公式(その2)(2019-03-03)
(−1)3/2 って ((−1)3)1/2 = (−1)1/2 = i なのか、((−1)1/2)3 = i3 = −i なのか、それとも…? exp zez が同じという根拠は? 〔最終更新=v7: 2021年1月24日〕
(za)b = zab の成立条件(2019-06-09)
(za)b = zab は一般には不成立。ではどういう条件で、この等式が成り立つか。(za)bzab は、どういう関係にあるのか。「巻き戻しの数」(unwinding number)は、この種のモヤモヤをすっきりさせるための便利なコンセプト。 〔最終更新=v5: 2021年1月24日〕
フェルマーのクリスマス定理で遊ばせて!(2018-12-23)
1640年のクリスマスの日、フェルマーはメルセンヌに宛てた手紙の中で、こう言った。「4の倍数より1大きい全ての素数は、ただ一通りの方法で、2個の平方数の和となります」 〔v5: 2020年12月27日〕
「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム(2016-03-27)
整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕
[JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ(2016-05-08)
JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
[JS] メルセンヌ数の分類と分解(2016-06-05)
数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
楕円曲線で因数分解(2016-08-14)
楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法(2016-10-02)
元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
アルカンの異性体の数の公式・第1回 小さなパズルと不思議な解(2015-09-20)
異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。(全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい)
「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか?(2014-08-03)
数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか?」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか?」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
平方剰余の相互法則(2003-03-26)
「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
楕円曲線暗号(2003-11-28)
最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装? 実装はダサいが、内容(ロジック)は正しい。
触って分かる公開鍵暗号RSA(2004-02-04)
理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル(2006-04-10)
真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい(2017-09-03)
曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い(2017-11-26)
「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解(公転最速理論?)、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2018年12月30日〕
公式不要の明快な曜日計算(2016-10-23)
公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星(2013-09-30)
いいもん、いいもん! これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから! …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説(2019-03-24)
我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)(2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉(2018-01-28)
「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解(2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌 シリア語編(2014-02-09)
「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について(2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲 (シリア語の詩)(2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界(2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音(2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム(2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
空は青くて真白くて(2014-11-23)
「わたしの心は躍り上がる」(ワーズワース)/「空は青くて白くて」(フィンランド民謡)

ジョーク

未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水(2012-04-01)
宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機(2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅(2019-03-24)
海王星~海王星~。目蒲めかま線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も(2019-04-01)
客舍かくしゃ青青せいせい 柳色りゅうしょく新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題(2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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