[ 新着コンテンツ
| 数学・プログラミング
| 天文・暦
| シリア語・Unicode・詩
| ジョーク
| 漫画・アニメ
| 字幕
| 哲学・ファンタジー
| 全記事 ]
チラ裏
「チラ裏」はメモ。誤字・誤記・脱線が多いです！
2023-10-01 4次元世界の探検！ 2種類のワープ航法
一つの複素数を「2個の実数（実部・虚部）のペア」と捉えることができるように、「2個の複素数のペア」を「4次元的な数」と捉えることができる。
「複素数」というだけで拒否反応を起こす人もいるかもしれないが、普通の数の世界に「i × i = −1 という性質を持つ i という数」を追加して、普通に足し算・掛け算などを行うだけ。
四平方の定理を考える上で「このような4次元的な数を使って整理し直すと、全てを透明に見渡せる」というのは予定調和的な結末だが、どの文献・資料を見ても、説明の仕方が天下り的でいまいち分かりにくい。「なぜマイナスかけるマイナスはプラス？」のようなノリで、「なぜ ij = k なのに ji = −k なの？」といった素朴な疑問をスッキリさせ、順を追って検討してみたい。
→ 続きを読む
2023-09-29 3円で4セントが買えた時代もあった… 「漢字」のせいで日本沈没？
アイスクリーム月餅 「月餅の新しい形」として香港で売り出したらヒット。
アイスクリームの中にフルーツピューレ、ドライフルーツ、ナッツ類が入っている。
1円が1.33…セントの価値だったこともあった（らしい）。0.66…は半額。逆数でいえば1.5円払って、ようやく1セント、100ドルなら1万5千円…ちょっと前は1万2千円くらいだったのに…。外貨を稼ぐ海外支店と、日本からグッズを取り寄せるアニオタにとっては良いニュースかもしれないが、それ以外の人にとっては「25%増税」のような、嫌なニュースといえよう。
どこまで落ちるJPY。今回は介入しなさそうだし、しても駄目だし、お手上げ♪
→ 続きを読む
2023-09-25 複素数を使わない二平方の定理の証明 おっとりと
4 の倍数 4, 8, 12, 16, 20 … より 1 小さい数。
3, 7, 11, 15, 19, …
それは「4 の倍数より 3 大きい数」ともいえる。このタイプの数は、どれも
整数2 + 整数2
の形では表せない。偶数の平方は 4 の倍数だし、奇数の平方は 4 の倍数より 1 大きいので:
偶数2 + 偶数2 = 4 の倍数 + 4 の倍数 = 4 の倍数
偶数2 + 奇数2 = 4 の倍数 + (4 の倍数 + 1) = 4 の倍数 + 1
奇数2 + 奇数2 = (4 の倍数 + 1) + (4 の倍数 + 1) = 4 の倍数 + 2
どの組み合わせでも「4 の倍数 + 3」は作れない！
上記の「偶数の平方」についての主張は常識的に分かる。偶数ってのは 2 の倍数なので 2a と書ける（a: 整数）。その平方は:
(2a)2 = 2a × 2a = 4a2 = 4 × 整数 なぜなら a2 は整数
「奇数の平方」についての主張は、どうだろうか。奇数ってのは 2 の倍数より 1 でかいので 2a + 1 と書ける。その平方は:
(2a + 1)2 = (2a)2 + 2 × 2a × 1 + 12 ← (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
= 4a2 + 4a + 1 = 4(a2 + a) + 1 = 4 の倍数 + 1 なぜなら a2 + a は整数
実はもっと強いことが言える。
→ 続きを読む
2023-09-21 102+112+122 = 132+142 = 365 きれいな和
1年の日数 365 = 73 × 5 を平方数「2個」の和で表す方法は、本質的に2通りある:
132 + 142 = 169 + 196 = 365
192 + 22 = 361 + 4 = 365
今回のメモとは関係ないが、次の「3個」の和の表現も、ひどく好奇心を刺激する:
102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365
2種類の「2個の和」の表現は、古典的な方法で――あるいはガウス整数を使って――説明される。四平方のときの命題1…
「任意の素数 p について、その p のどれかの倍数は x2 + y2 + 1 の形を持つ」
…や Fermat の「降下法」を一部、再利用できる。天下り的にも思えた「命題1」は、意外と深い意味を持つのかもしれない。
→ 続きを読む
2023-09-16 Tails OS の日本語対応 まほうのえ
USBメモリーから起動できること、普通に使うツールは最初から入っていて全部 Tor ベースに設定されていること、再起動するとほぼクリーンインストール状態に戻ることを別にすれば、中身は Debian と同じだろう。
「メニューなどを日本語で表示できないのがどうしても嫌！」というコダワリがなければ、日本語自体は普通に使える。変換精度には、多少ムラがある。「どうだんつ」だけで「満天星」（どうだんつつじ）が候補になったり、「まほうのぷ」でミンキーモモが出たり、「はなのま」でマリーベルがでたり、間違った漢字で書かれることが多い「本多知恵子」が一発変換できたりする半面、「かかんかん」が一発で「可換環」にならない。
Tails は「USBメモリーから起動」なのでディスク上の既存 OS に影響せず、Win/Mac ユーザーに「試してみたら？」と勧めやすい（注: Mac M1/M2 とは非互換）。「影響しない」どころか、既存の HD/SSD に一切アクセスせず、純粋にメモリー上で動く。管理者権限を使えば既存ディスク上のファイルも読み書きできるけど、普通は全てが RAM 上なので、意図的に保存しない限り、電源を切ると全て（ユーザー設定、作成したファイルなど）は揮発し、ディスク上に痕跡も残らない（たとえ特殊なツールを使っても復元できない）。いわゆる健忘症 OS。ユーザー名も Amnesia（健忘症）。もっとも Persistent という暗号化フォルダを作って、そこに入れると、ファイルは持続する。
この「はかなさ」が、文化的には日本人好みのような気もするが、いかがでしょう？
Tails のデスクトップの一部
ネットは Tor ベースなので、生IPは隠され、アクセスはランダムな国の exit node 経由に。匿名サービスはこれでいいのだが、いわゆる「普通」のサイト（金融機関など）にこれでログインしてはいけない（間違ってやってしまって怪しまれた場合、素人のふりをして「ハッカーにアカウントを乗っ取られたのかもしれません…」などと言えば大丈夫だろうけど、余計なトラブルは避けるべし）。
この OS、本来の主目的は、家庭内暴力の被害者（ネット使用まで見張られてる）・抑圧政権下の人・重大な内部告発をしたい人などが、ポータブルで安全にネットを使えるようにすること（そのため、仕様は概して初心者向け）。昨今の大企業の横暴（WEIとか）のあおりで、プライバシーを守りたい一般ユーザーも増えているようだ。世の中には「匿名や暗号化は怪しい・危険」という偏見もある。でも性的被害者・暴力被害者に「全ての相談は実名でしろ」と押し付けたり、パスワード認証・クレジットカード番号の入力・プライベートなやりとりを「暗号化しない」で行ったりする方が、よっぽど危険だろう。「プライバシー」がどうこうでなく、国や状況によっては、まじで命に関わる。
Tails を試したい方へ | その2（Tails OS の導入手順）
2023-09-15 四平方の定理（その4） 星と月の意味
「任意の素数 p のどれかの倍数 kp は x2 + y2 + 1 の形を持つ」という命題1は、四平方の定理の古典的証明の出発点だが、若干、天下り的にも感じられる。証明しろといわれればできるが、そもそもどこからこんな命題が出てくるのか？
次のように考えると、この命題は、結構自然に感じられる。
mod p において −1 は平方剰余か非剰余かのどちらか――簡単に言えば x2 ≡ −1 は解を持つか、持たないかのどちらか。
もし解を持つなら x2 ≡ −1 を満たす x があるのだから、右辺を移項して x2 + 1 ≡ 0 つまり:
x2 + 1 は p の倍数
言い換えれば x2 + 1 = kp と書ける。これは次のようにも書けるので、命題1が成り立つ。
x2 + 02 + 1 = kp
→ 続きを読む
2023-09-14 20年前のお値段です！ 変てこ画像・懐かし画像
たまたまのぞいた昔のフォルダーから、変な画像がいっぱい出てきた。Firefox を純粋に応援できた古き良き時代…
→ 続きを読む
2023-09-09 自由を奪われてる人は奪われてることに気付かない？
戦争が何十年も続く国で生まれた子どもは、無理もないことだが「戦争が終わる」「平和」というのが実際にはどういう意味なのか、あまり実感できないのだろう。これまで一度も経験したことがないのだから…
生まれたときから自由のない生活を続けてきた世代は、それが「当たり前」「現実の姿」と思ってしまう。「自由」の意味を実感できない。「自由なんてなくても、今のままで困らない」とさえ考えてしまう。
戦火の中の子どもたちが「平和なんていう難しい概念は、自分には関係ない。生きるために一番大切なのは、カラシニコフを持った人の命令には従わなければいけない、ってことだ」と感じてしまうような、不幸せなことだろう。
人生の喜びの基盤は、自分のやりたい研究や制作や活動を思う存分できるということ（基盤は出発点）。極力、余計な制約のない状態が望ましい。自由は、情熱と愛。愛は、分かち合っても少しも減らず、与えれば与えるほど増えてしまう不思議な贈り物。
その正反対の状態もある――。内側から湧き出る興味ではなく（自分が本当は何を好きなのか自分でもよく分からず）、外部から、直接・間接に何かを押し付けられること。コンピューターが勝手に再起動したり、誰かが利己的に決めたルールによって「それは禁止です」と言われたりすること。自分が自分の人生の主人公ではなく、誰かの利益のために振り回されてしまうこと。
――それは不幸せなことだろう。
→ 続きを読む
2023-09-06 星々の祝福がありますように ポエムのようなこと
知らないうちにポエムのようなことを書いていた。たまたま目にした誰かの投稿が
こんな言葉があるんですって…
自分自身、自分の心は、良い友にも最悪の敵にもなり得ます。自分自身を自分の最良の友としましょう。自分の心に耳を傾け、今正しいと思うことをしましょう――果実を渇望することなく、結果について心配することなく、未来の成功と失敗を平等視して。正しいと感じて実行したのなら、決して後悔しないことです。たとえ結果が悪くても。正しいことをしたのだから。
あなたの心はあなたの光、あなたの星。星々の祝福がありますように。
ギーターの引用だが（最後の部分は仏教の自灯明）、日本語にすると何か説教くせぇな。
→ 続きを読む
2023-08-28 13の倍数の曜日計算への利用 Zeller の公式の変種
#数論 #曜日計算
曜日・ユリウス日などのカレンダー計算では、3月1日から数えた月日の経過が基本となる。日常の感覚だと「1月1日から数えた日数」の方が分かりやいようだが、そのアプローチだと（平年・うるう年で日数が変わる「2月」が、計算期間の間に挟まるため）処理が面倒に…
「公式不要の明快な曜日計算」の後半では、月初めの曜日を次のように決定した:
3月1日の曜日を基準に、経過月数の 3 倍、曜日を前進させる。
ただし小の月（4・6・9・11月）が挟まったら、挟まった回数（1～4）を前進量から引き算。
けれど「公式のようなもので、もっと機械的に処理したい」という要望もあるだろう。
→ 続きを読む
2023-08-22 四平方の定理（その3） 直接証明の完成
四平方の定理の古典的証明では「正の整数 k をだんだん小さくできるので、いつかは k = 1 になる」というロジックを使う。「降下法」と呼ばれる間接証明…。あまり楽しくない。前回紹介した Alfred Brauer たちの方法を使うと、直ちに「k = 1, 2, 3 のどれか」と断定できる。素晴らしい！
だが k = 2, 3 の場合どうやって k = 1 に持ち込めばいいのだろう…。結局「降下法」で k を小さくするのでは、別証明の意味がない。「2n または 3n が四つの平方数の和で表されるなら n も四つの平方数の和で表される」ということを直接的に証明したい。
→ 続きを読む
2023-08-21 四平方の定理（その2） 気持ちのいい直接証明
四平方の定理の古典的証明は、三つの命題に基づく。第一に、「4平方和」と「4平方和」の積は、再び「4平方和」で表されること。第二に、任意の素数 p について、p の倍数 kp の中には
整数2 + 整数2 + 1 = kp
の形を持つものが存在すること。第三に、3 以上の素数 p と 2 以上の整数 k について、
（ケ） 整数2 + 整数2 + 整数2 + 整数2 = kp
と書くことが可能なら、別の整数 j を使って、
（コ） 整数2 + 整数2 + 整数2 + 整数2 = jp
と書くことも可能――ということ。ここで j は 1 以上だが k より小さい。
（ケ）から（コ）への変形を必要なだけ繰り返せば、p の係数はだんだん減少して、いつかは 1 になる（係数が 1 になれば p そのものが4平方和で表されたことになり、証明完了）。
この方法は、ある意味、省力的でエレガントだが、できることなら、もっと直接的に k の値を決定・操作したい。 Alfred Brauer たちの方法では、（ケ）から（コ）への変形は不要。（ケ）の段階で k = 1 or 2 or 3 と確定し k は 4 以上にならない。 k = 1 なら証明は終わり、k = 2, 3 なら両辺を 2, 3 で割ることで、直接 k = 1 に帰着する。
「必要なだけループして、だんだん係数を減らす」という回りくどい論法は、本来、必要なかったのである。気持ちのいい知見だ！
→ 続きを読む
2023-08-17 四平方の定理 回りくどいが平易な証明
前半では、四平方の定理の意味を記し、その証明の出発点となる命題を導入する。後半では、証明を完成させる。この証明法は回りくどいが、結局、最初はこのやり方で進めるのが一番分かりやすいようだ（次回以降、回りくどくない直接証明を紹介）。
→ 続きを読む
2023-08-15 四平方のごちゃごちゃを解きほぐす 分かりやすさ優先コース
「どんな自然数も、平方数4個の和で書ける」ってのは有名な性質で、証明の本体は易しい。でも、その前提の「四平方の等式」がくせもの:
(A2 + B2 + C2 + D2)(a2 + b2 + c2 + d2)
= (Aa + Bb + Cc + Dd)2 ←ここまでは、まぁいい
+ (Ab − Ba + Cd − Dc)2 ←ごちゃごちゃしてきた
+ (Ac − Ca + Db − Bd)2 ←何じゃこりゃぁ？
+ (Ad − Da + Bc − Cb)2
原理的には左辺と右辺を全部展開して比較すればいいだけだが、まともにやったら計算地獄になりそう…
さりとてエレガントにやろうとすると準備が大変で、むしろ険しい道に…。こうなったら、強行突破もやむなし！
「深さ」より「分かりやすさ」を優先し、愚直な方法でうまく証明できないか試してみたい。
→ 続きを読む
2023-08-13 悪魔の暗算法 13 と 4 の不吉な関係
悪魔の23ダース 13 × 23 = 299 が 300 より 1 小さい結果として、次の奇妙な性質が生じる。
「悪魔の魔法」 ある数が 13 または 23 で割り切れるかどうかは、「下2桁の3倍を残りの桁に足した数」が 13 または 23 で割り切れるかどうかで決まる。
【例1】 611 → 下2桁の3倍 33 を残りの桁 6 に足すと 39。これは 13 の倍数だが 23 の倍数ではない。だから 611 も 13 の倍数だが 23 の倍数ではない。
【例2】 2507 → 下2桁の3倍 21 を残りの桁 25 に足すと 46。これは 13 の倍数ではないが 23 の倍数。だから 2507 も 13 の倍数ではないが 23 の倍数。
【例3】 1001 → 下2桁の3倍 3 を残りの桁 10 に足すと 13。つまり 1001 は 13 の倍数だが 23 の倍数ではない。
実用性はともかく、なかなか面白い性質だ。なぜそうなるのだろう？
300 = 299 + 1 = 13 の倍数 + 1
つまり 300 ≡ 1 (mod 13) ‥‥①
これは「13 で割った余りでいえば 300 も 1 も同じだよっ」という意味。
→ 続きを読む
2023-08-07 悪魔の23ダース 2グロス11
1ダースは 12 個で、「1グロス」は12ダースつまり 144 個。「2グロス」は 288 個。
「2グロス1」つまり 289 は 172 に等しい（図解）。この平方数は、次のように2個の平方数の和で表される:
172 = 289 = 225 + 64 = 152 + 82
このうち 225 の部分は、再び2平方数の和として表現可能:
152 = 225 = 144 + 81 = 122 + 92
従って:
172 = 122 + 92 + 82
→ 続きを読む
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2023年2月22日 メルセンヌ数と「LLT」のメモを完結させた（前編 中編 後編）。
2023年3月16日 14+24+34+…+104 のような和 累乗和とベルヌーイ数
2023年3月24日 完全数と忍者数 偶数の完全数の定理の証明
2023年4月20日 しげちーの1円玉集め 具体例でじっくり研究 √a mod p
2023年5月2日 Tonelli のアルゴリズム モジュラー平方根入門
2023年6月1日 Dirichlet の美しい証明 x4 ≡ 2 が解を持つ条件
2023年7月9日 Shanks のアルゴリズム 導入 Tonelli から Shanks へ
2023年8月15日 四平方のごちゃごちゃを解きほぐす 分かりやすさ優先コース
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。forum.doom9.org / videolan.org
Tor Project | Anonymity Online / 
Tor Browser
The SeaMonkey® Project
LibreWolf Browser