[ 遊びの数論 ]
[ 数学・プログラミング ]
[ チラ裏（雑記） ]
[ 天文・暦 ]
[ シリア語・Unicode・詩 ]
[ ジョーク ]
[ 漫画・アニメ ]
[ 字幕 ]
[ 哲学・ファンタジー ]
[ 主な新着コンテンツ ]
2026-02-10 sin, cos などの「差→積」の公式
sin A − sin B のような「三角関数の引き算」を「三角関数の掛け算」の形に変換したいこと（そうすると都合がいいケース）がある。例えば sin x や cos x などの導関数を（定義に従って）求めるとき、
[sin (x + h) − sin x]/h
のような値（の h→0 における極限値）を評価する必要があり、この分子を処理するのに「差→積」の変換が役立つ。別の例として、 Hua によるガウス和の符号決定では、
sin (π(x2 + x)/(2p)) − sin (π(x2 − x)/(2p))
のような引き算の整理に、同様の変換が利用される。
tan の「和→積」「差→積」は比較的マイナーだけど、中身は単純。それを利用して tan x の導関数を（商の微分法に依存せず、直接定義から）求めることもできる。
→ 続きを読む
2026-02-07 ガウス和の符号の決定（Hua 版）
ガウス和の符号の決定は難しいといわれる。ガウス自身による証明は平明で味わい深いけれど、「なぜこの方法でうまくいくのか」という仕組みが不透明で、その意味では謎めいている。このメモでは、フワ・ルオケン（华罗庚 [華羅庚], Hua Loo-Keng）の著書 [3] にある短い別証明を記す。非常に手際が良く、流れるように進む。「どこが難しいの？」と言わんばかりの清澄さ。
ガウス版だと、証明の準備だけで何節も必要。その点、この別バージョンは簡潔だ。
→ 続きを読む
2026-02-02 複素数の平方根 i はお金では買えない
√(3 + 4i) = 2 + i のような「複素数の平方根」の計算は、「二重根号外し」と同じアルゴリズムによって実行可能。 √(3 + 4i) ってのは
√(3 + 4√)
を略したもんなんで、二重根号の処理になるのは不思議じゃないし。
上の例の場合、根号下の二つの数の平方差 d を求めると:
d = 32 − (4i)2 = 9 − 16(i2) = 9 − 16(−1) = 9 + 16 = 25
根号下の一つ目の数 A = 3 と √d = 5 の平均 u を求めると:
u = (3 + 5)/2 = 4
A の平均 u からのずれ v を求めると（A は平均より小さい）:
v = 3 − 4 = −1
よって求める平方根は:
√u + √v = √4 + √−1 = 2 + i
（これでうまくいく理由については後述。）
→ 続きを読む
2026-01-22 二重根号なんて怖くない！ √(5 − 2√) = √3 − √2
√(5 − 2√) = √3 − √2 のような「二重根号外し」は、素朴に眺めると謎めいている。なにそれ、 √(5 − 2) = √3 ってこと？ 入れ子になってる √6 は、どこ行ったの…？
仕組みが分かってみると、実は簡単。上記の例なんかは、一瞬で暗算できる。多重根号簡約の一般論は難しいけど、簡単な「二重根号外し」程度なら、さくっと。
多重根号が簡約できるケースは、比較的まれ。でも同じアルゴリズムが、結構いろんなことに役立つ（複素数の平方根、複素係数の2次方程式、ある種の4次方程式など）。
→ 続きを読む
2026-01-21 二重根号の外し方 五角形は侮れない
問題1 一辺の長さ 2 の正五角形の、対角線の長さが 1 + √5 であることを示したい。
問題2 一辺の長さが 2 の正五角形の、高さ（頂点と反対側の辺の中点を結ぶ垂線の長さ）を求めたい。
問題1の記述が正しいとすれば、問題2は、三平方の定理を使って機械的に解ける。
問題2の解 直角三角形の底辺が 1、高さが ？、斜辺が 1 + √5 なので:
12 + ？2 = (1 + √5)2
∴ ？2 = (1 + √5)2 − 12 = (6 + 2√5) − 1 = 5 + 2√5
∴ ？ = √(5 + 2√) ∎
二重根号が発生。正五角形関連は、トリッキーな根号処理が絡むことも多く、油断できない。
逆に、正五角形の高さが √(5 + 2√) であることと一辺の長さが 2 であることが、先に与えられたとすると…。三平方の定理から、対角線の長さを求めるのは同じ手間のようだが、単純計算では:
(対角線)2 = (√(5 + 2√))2 + 12 = (5 + 2√5) + 1 = 6 + 2√5
∴ 対角線 = √(6 + 2√)
答えは間違ってないけど、対角線の長さは 1 + √5 のはずなので、
√(6 + 2√) = 1 + √5
という変形が可能なはず。 √(A + √) のような形の「二重根号」を簡約するテクニックは、こういうシチュエーションで役立つ。任意の複素数 a + bi は = a + b√−1 なので、複素数 a + bi の平方根 √(a + bi) を求めることも、
√(A + √)
の形の二重根号処理だと捉えることができる。平方根はありふれた計算だし、複素数の平方根を考えなければならないこともある。「二重根号処理なんて、まれなこと」という感じもするけど、案外そうでもなく、応用範囲が広い。「i の平方根」なんかも、二重根号の問題として考えると簡単便利だし。
→ 続きを読む
2026-01-20 ガウス和: 素数べきについて／素数べきを含む実例
n = pt のときのガウス和について、「困難は分割せよ」とばかりに p が奇数か偶数か、 t が奇数か偶数かで場合分けして、全てのケースを無事解決した。しかし、この場合分けのせいで全体像がぼやけてしまい、かえって見通しが悪くなった面もある。
数論であるからには、やはりその理想は八面
→ 続きを読む
2026-01-18 n が 2 の累乗のときのガウス和
n が素数の場合のガウス和の性質は既知。 a, b, c などが互いに素のとき、合成数 n = ab, n = abc などのガウス和を求める方法も準備完了。わずかに残された問題は、合成数の成分 a, b, c などの中に「素数の累乗」がある場合。
簡単なんだけど、結構、苦労したよ～
指数が二重になってるこういうゴチャゴチャした式は、真意をつかむのに多少時間がかかるし、ロジックは分かっても、なかなかすっきり見通せない。ガウスの時代に、この論文を手動で活字にした印刷屋さんも、苦労したのでは…（笑）
奇素数の偶数乗、奇素数の奇数乗を終わらせ、後は 2 の偶数乗と 2 の奇数乗だけ。
t が 4 以上の整数の場合、 n = 2t のときのガウス和の符号決定は、 t が偶数か奇数かに応じて、 n = 22 ないし 23 のときのガウス和の符号決定問題に帰着。指数が偶数・奇数両方のケースをまとめて扱う方が、全体像が分かりやすい。
→ 続きを読む
2026-01-17 i の平方根・そのまた平方根 1 の原始8乗根・原始16乗根
問題 y2 = −1 を満たすような数 y について、 x2 = y を満たすような x を求める。三角関数・複素関数を使うのは反則、作図による解法も反則とする。
−1 の平方根 √−1 を i とする――という話を聞いたとき「そのまた平方根 √i は？」ってのは、素朴な疑問だろう。「純粋に代数的に x2 = i を解け」というのは、意外とトリッキーな問題だ。
三角関数を使えば一発だが、それが禁じられた場合、一つの方法は、4次方程式の問題として解くこと。最速の解法ではないにせよ、4次方程式なら、やれば一応、必ず解ける。別の方法として、「二重根号処理」の考え方を使い、直接 i の平方根を求めると、高速に同じ結論に至る。
→ 続きを読む
2026-01-15 n が奇素数の累乗のときのガウス和（後編）
「前編」では n が《奇素数の偶数乗》の場合を扱った。続いて《奇素数の奇数乗》の場合について。
n が《素数の累乗》のときのガウス和についての議論では、「二重の指数」を操作すると同時に、「ある種の部分和たちの総計」という「二重の総和」を考えることになる。どうしても記号的には少しゴチャゴチャするが、内容的に難しいわけではなく、結論もシンプル。
→ 続きを読む
2026-01-13 ガウス和・付録／Hua バージョン
東京大学。1985年6月12日、現地時間午後5時半ごろ。「皆さま全員に、大変感謝します！」予定時間を延長しての熱心な講演を締めくくり、盛大な拍手の中、演壇で大きな花束を受け取っているとき、フワ・ルオケン（华罗庚 [華羅庚], Hua Loo-Keng）は車椅子から崩れ落ち、そのまま亡くなったという。エルデシュ（Erdős, エルドゥーシュ）の語った「理想の死に方」を連想させる…
オイラーのように去りたいね。講演中に、重要な証明を黒板に書き終える。聴衆の誰かが声を上げる。「一般の場合には、どうなりますか」
ぼくは聴衆の方を振り返って、ほほ笑む。「それは、次の世代にお任せします」
そう言って、ぶっ倒れるんだ。
ともあれ n が《素数べき》の場合のガウス和について、フワによる整理はピリッとして面白い。そのアイデアを紹介。
→ 続きを読む
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
2025年4月14日 「ニュートンの式」軽妙な入門 ライヒシュテインによる
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明 ☆総和記号不使用☆
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト＆クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20250511 (archive)
75C0 706B 3CD0 B5D0]