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2024-10-10 x17 = 1 の代数的解法 ガウスの式の応用
問題 置換 y = x + 1/x を使って、16次方程式 x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 を解く。
「正17角形の作図可能性」(四則演算・平方根だけで 1 の17乗根を表現できること)は有名な話題だが、特別な予備知識がなくても理解できるような形で扱うことは、少々難しい。「正17角形は作図可能?」のアプローチでは、群論的考察も複素数も必要ない代わり、三角関数を湯水のように使った。
以下では別の方法として、 x17 = 1 を直接、4次方程式に帰着させる。4次方程式を導くところまでは、加減乗除の計算と平方根しか使わない(4次方程式の解法は一般的な知識とはいえないが、頑張れば普通に理解できるだろう)。
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2024-10-07 ガウスの式 4X = Y2 ∓ nZ2 の簡易的な導出(続き)
前回は n = 5, 7, 11 の場合を扱った。今回は n = 13 と n = 17 の場合を扱う。
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2024-10-06 ガウスの式 4X = Y2 ∓ nZ2 の簡易的な導出
4(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (2x2 + x + 2)2 − 5(x)2
4(x6 + x5 + ··· + x + 1) = (2x3 + x2 − x − 2)2 + 7(x2 + x)2
4(x10 + x9 + ··· + x + 1) = (2x5 + x4 − 2x3 + 2x2 − x − 2)2 + 11(x4 + x)2 等々
この種の恒等式(Gauß, DA 357)について、右辺を展開したものが左辺に等しいことは、機械的計算で確かめられる。一方、左辺が与えられたとき、それを右辺の形にすることは、一般にはやや難易度が高い。特定の場合に限って簡易計算法があるので、紹介したい。
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2024-09-28 x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = 0 教科書の方法との比較
このシリーズで紹介しているアイデアは、通常の方法より計算量的に約30%高速で見通しも良いが、4次式にしか通用しない。
文献に記されている定番の置換 y = x + 1/x は、この場合、少し遠回りになるけど、一般性が高い。両方のやり方を比較検討してみたい。
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2024-09-27 回文4次式・6次式についてのメモ
x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2 − 2x2 = 0 のような4次方程式の解法のショートカットから、いろいろな話題が派生する。特に「平方差への変形」は「円分多項式に関するガウスの公式」と関連している。 1 の原始7乗根を根とする6次式 x6 + x5 + ··· + x + 1 に対しても、同様のアイデアを適用できるであろう。
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2024-09-26 簡単な4次方程式 「色黒い」逆さに読んでも「いろくろい」
例題 x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = 0 を満たす x を求める。
等号の左側にある4次式。 x の4乗の係数~0乗の係数(定数)は、左から読んでも右から読んでも、順に 1, 6, 9, 6, 1。こういう「どっち向きに読んでも同じ」という状況を回文的と称する――日本語の音節で言えば、「色黒い」とか「田植え歌」のようなもの。
係数が回文的な x についての4次方程式は、 x2 で割って y = x + 1/x と置くと y についての2次方程式になり、機械的に解くことができる(同様のテクニックは、4次方程式以外でも使える)。けれど、そのやり方は必ずしも便利ではなく(比較)、一般の4次方程式(回文的とは限らない)への発展性にも乏しい。別の良いアイデアは、与式の3次の係数(例題では 6)の半分を ℓ として、 (x2 + ℓx + 1)2 を考えること(詳細は後述)。
x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2 − 2x2 = [x2 + (3 + √2)x + 1][x2 + (3 − √2)x + 1]
…と書けるので、次の2次方程式を解くことが、例題の4次方程式を解くことと同じ意味になる。
x2 + (3 + √2)x + 1 = 0 または x2 + (3 − √2)x + 1 = 0
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2024-09-24 「1 の5乗根」について (x2 + x/2 + 1)2 の利用
1 の5乗根とは、「5乗すると 1 になる数」つまり x5 = 1 の解。言い換えれば x5 − 1 = 0 の解。 x = 1 はもちろんその一つの解なので、 x5 − 1 は x − 1 で割り切れる。
x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
x = 1 はこの右辺の一つ目の丸かっこ内をゼロにする。二つ目の丸かっこ内をゼロにする数、つまり次の関係を満たす x は、何か?
x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 《あ》
教科書的には、両辺を x2 で割って y = x + 1/x と置くのだが、もっと直接的に下記のようにすることもできる。
(x2 + (1/2)x + 1)2 = x4 + x3 + (9/4)x2 + x + 1 という関係 †を利用。これは《あ》左辺より 5/4x2 過剰なので、次の式が成り立つ:
x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + (1/2)x + 1)2 − (√5/2x)2 《い》
恒等式 A2 − B2 = (A + B)(A − B) を使うと、《い》は…
= (x2 + [(1 + √5)/2]x + 1)(x2 + [(1 − √5)/2]x + 1)
…となるので、《あ》は次と同値:
x2 + [(1 + √5)/2]x + 1 = 0 《う》
または x2 + [(1 − √5)/2]x + 1 = 0 《え》
《う・え》は2次方程式なので、単純計算で機械的に解けるっ!
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2024-09-19 csc の倍角の公式(続き) 小さな貝殻
半角の公式から:
cot (θ/2) = csc θ + cot θ ❶
tan (θ/2) = csc θ − cot θ ❷
❶❷を縦に足し合わせれば:
cot (θ/2) + tan (θ/2) = 2 csc θ
(θ/2) を α と書くと(θ = 2α)、上の式はこうなる:
cot α + tan α = 2 csc 2α 従って csc 2α = (cot α + tan α)/2
倍角の csc が「tan と cot の平均」に等しい――という前回の観察は、こう考えると計算上はシンプル。イメージをつかむため、これを幾何学的に解釈してみたい。
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2024-09-17 ブータン 国民1人14億円のビットコイン
チェーン分析によると、ブータン政府は現在、約13,000 BTC の Bitcoin (BTC) を持っている。2024年9月16日に発表された。
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2024-09-16 csc の倍角の公式 tan と cot の平均
tan とその逆数 cot の平均は、倍角の csc に等しい:
(tan θ + cot θ)/2 = csc 2θ
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2024-09-12 tan の半角公式の「ひし形」解釈
tan の半角公式の csc 版と sec 版は、どちらも「ひし形」を使って同じようにイメージ可能。 cos と sin を使った基本形の半角公式についても、全く同様の「ひし形」解釈が成り立つ。
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2024-09-10 MetaGer 検索有料化 検索エンジンどこがいい?
ドイツの非営利組織 SUMA-EV が運営する検索エンジン MetaGer は、無料バージョンの継続を断念した。これまでも一部有料(トークンを購入するシステム)だったが、今後はトークン制のみ。
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チラ裏より
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
主な新着コンテンツ
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか?
初等的証明に成功! 世界初かも?
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも(ネットでは)世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
2024年2月7日 ゾクッとする式・きれいな式 tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33
2024年3月3日 一辺 1 の正五角形の面積 算数バージョン
2024年3月27日 五・六・十角形の恒等式 現代とは違う感覚
2024年4月11日 正17角形は作図可能? 複素数を使わない気軽な散策
2024年6月3日 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π 三角形の内心
2024年6月11日 Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年9月24日 「1 の5乗根」について (x2 + x/2 + 1)2 の利用
新着記事
- 時間を止めてイタズラできたら楽しいか (2024-04-21)
- 『逃げちゃおぜ、世界の中に』 第2話
- ハッピー・ハミルトン・デー☆4次元もこもこ180年記念 (2023-10-16)
- 発見の喜びのあまり、通りがかった石橋に、衝動的に「発見した式」を刻み込んでしまった…という伝説は史実
数学・プログラミング・コンピューター
- 妖精の森 ♌︎ ペル方程式の夏 (2020-12-27)
- x2 − 79y2 = 5 を満たす整数 (x, y) は存在しません。その証明は意外と難しく、しかも隠された深い意味を持っています。この種の問題を扱います。ハイライトは、2020年夏に発見されたばかりの「改良版コンラッドの不等式」。 〔v4: 2021年9月5日〕
- まあるい緑の単位円 (三角関数覚え歌) (2017-12-24)
- まあるい緑の単位円/半径 斜辺の三角形/「高さ」の「さ」の字はサインの「サ」/サインは 対辺 高さ
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- 「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーで。「アルファさんとベータさんが麦畑」でもOK。 〔最終更新: 2018年1月28日〕
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- 五角形を使った解法も優雅だが、代数的に… 〔最終更新: 2024年4月18日〕
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- 覚えやすさを重視した3次方程式の解法 (2018-02-11)
- 分数なくして、すっきり。語呂合わせ付き。 〔v8: 2019年3月17日〕
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- いろいろな判別式。Qiaochu Yuan による恐ろしくエレガントな解法。 〔v10: 2024年4月18日〕
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- 正攻法ではゴチャゴチャ長い計算になるが、この作図によると、見ただけで「そうなって当然!」と思える。
- 「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム (2016-03-27)
- 整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map
の長所、splice
より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
- [JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ (2016-05-08)
- JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
- [JS] メルセンヌ数の分類と分解 (2016-06-05)
- 数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
- 楕円曲線で因数分解 (2016-08-14)
- 楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
- 楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法 (2016-10-02)
- 元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
- アルカンの異性体の数の公式・第1回 小さなパズルと不思議な解 (2015-09-20)
- 異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。(全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい)
- 「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか? (2014-08-03)
- 数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか?」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか?」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
- 平方剰余の相互法則 (2003-03-26)
- 「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
- 楕円曲線暗号 (2003-11-28)
- 最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装? 実装はダサいが、内容(ロジック)は正しい。
- 触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04)
- 理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
- デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10)
- 真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。
- ばびっと数え歌 でかい数編 (2019-09-01)
- 37桁の 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000(=1澗)までの数え歌。日本語・英語・SI接頭辞・2進数付き。 〔v3: 2023年3月8日〕
- 【注意】SSDは使ってないと壊れやすい 用がなくても週に1度は電源を (2021-06-06)
- 「SSDは、アクセスが速く、回転部分がないので壊れにくい。従来のハードディスクより優れた新技術…」という一般的イメージを持たれている。一方、SSDには、特有の弱点があることも知られている。
天文・暦
- 13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03)
- 曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
- 「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い (2017-11-26)
- 「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解(公転最速理論?)、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2022年9月1日〕
- 公式不要の明快な曜日計算 (2016-10-23)
- 公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
- ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30)
- いいもん、いいもん! これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから! …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
- さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
- 海王星~海王星~。目蒲線はお乗り換えです。
- 第9惑星・追悼演説 (2019-03-24)
- 我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか? 否、始まりなのだ!
- ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ) (2018-01-14)
- 微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2023年4月13日〕
- ケプラー方程式・2 エロい感じの言葉 (2018-01-28)
- 「ケプラー方程式(微積・三角公式を使わないアプローチ)」の別解・発展。 〔最終更新: 2020年11月24日〕
シリア語・Unicode・詩
- 少年と雲 (シリア語の詩) (2017-12-24)
- 雲さん、どこから来たんだい?/背中に何をしょってるの?/そんなに顔を曇らせて/空から何を見ているの?
- ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14)
- キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
- 黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15)
- 「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
- シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01)
- カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
- ばびっと数え歌 シリア語編 (2014-02-09)
- 「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
- 孫子兵法「弱生於強」と 2 Cor 12:9 (2024-04-03)
- シリア語聖書に言及するメモ。
- ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16)
- 以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
- HTML5 の
bdi
要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)
- ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の
dir
属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi>
は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
ジョーク
- 未来の水 フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01)
- 宇宙旅行のお供に/非常時の備えに… 場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
- イヤ~な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01)
- 睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
- さよなら第9惑星・冥王星 カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
- 海王星~海王星~。目蒲線はお乗り換えです。
- 漢詩と唐代キリスト教 「日本の影響」説も (2019-04-01)
- 「客舍青青 柳色新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維(おうい)。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。(エイプリルフールのジョーク記事)
- 円周率は12個の2 スパコンで判明/ほか 3題 (2016-04-01)
- 三原則ロボットおちょくられて仕返し?/円周率は12個の2 スパコンで判明/人間を模倣する学習AI 学習し過ぎ?
- ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19)
- JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
- ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20)
- お花はとってもデリケート。
- 「確信犯」たちの「開発動機」 (2005-09-23)
- ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
- 「水からの伝言」の世界 (2006-08-21)
- 水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
- 脳内ディベート大会 (2009-07-31)
- 応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。
漫画・アニメ
- 大島弓子の漫画 (チラ裏3題) (2019-04-28)
- バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
- ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か? (2006-01-28)
- ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
- 勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22)
- 「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
- チラ裏
- アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。
字幕
- MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
- 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
- SSA入門 中級編 (2004-08-27)
- 二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
- [SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21)
- 単純な
fad()
は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
- ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009)
- 字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。
哲学・ファンタジー
- 60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24)
- ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
- 至るところ青山 (チラ裏3題) (2019-04-14)
- 3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
- 不死でないから星は輝く (チラ裏3題) (2019-04-14)
- 「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
- 猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか? (2014-11-23)
- 南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
- 神から見た「主の祈り」 (2004-10-04)
- 「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
- 「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04)
- 人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
- 妖精物語 3題 (2005-07-02)
- 王様の赤いばらと白いばら。
- 「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03)
- Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…
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