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2025-01-12 べき和公式の因子（その6） 11乗和
S11(n) は、根をぎりぎり初等的に扱える最後のべき和だ。余因子は既約の8次式だが、4次方程式に帰着可能。理論的に、4次方程式は必ず解ける――とはいうものの、この場合、最も厄介なパターンになる（関連する3次方程式が、いわゆる簡約不可能形式）。
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2025-01-11 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
19世紀フランスの詩人 Verlaine は、日本語では「ヴェルレーヌ」と呼ばれる。「秋のうた」は代表作の一つで、世界の名詩に数えられる。意味的には「秋のバイオリンの長いすすり泣きが、僕の心を傷つける。モノトーンなけだるさの…」と始まる。
上田敏による日本語訳は、それ自体として貴重な文化遺産だが、原詩とはかなりニュアンスが異なる。その影響で、「ある秋の日の昼下がり、誰かがバイオリンを弾いていた。そのため息のようなフレーズは何とも物悲しく、僕の心の琴線に触れた」みたいな、センチメンタルで鋭敏な感受性の作品――と思い込んでる方も多いのでは。それは独自の脚色。原詩の冒頭は「バイオリンの軽いため息」ではなく、「バイオリンたち（複数）の長いすすり泣き（複数）」という薄気味悪い描写。
既存の日本語版は「げに我はうらぶれて飛び散らう落ち葉かな」といった「斜陽の悲哀」のようなエンディングだったが、原詩はもっと逝っちゃってて、「息が止まった僕は、不吉な風に吹き飛ばされ、枯れ葉のように（あの世へ）旅立つ」みたいな…
さて、本作の魅力の半分は、ストーリーの内容そのものではなく、語りの形式美にある。音楽的要素を言葉で説明しても伝わりにくいので、以下では独自の試訳を提示する。さいわい著作権が切れてるので、原詩も転載して簡単に解説。
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2025-01-09 べき和公式の因子（その5） 10乗和
S10(n) は Bernoulli ご自慢の式だ。それを使って 110 + 210 + ··· + 100010 を7分半で計算したという。この和は、 9140 9924 から始まる32桁の数で、公式がことの外シンプルな形をしていることもあって、桁の並びには「24」が何度も現れる（機械的に反復されるわけではない）。日本の
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2025-01-04 べき和公式の因子（その4） 9乗和・10乗和の特異性
S9(n) = ∑ { from k=1 to n } k9 から因子 n2(n + 1)2 を分離したときの6次の余因子、
(n6 + 3n5 + (1/2)n4 − 4n3 + (1/2)n2 + 3n − 3/2)/10
は、有理係数の範囲で既約でない（2次と4次の因子に分解される）。この現象、および同様の現象は、 m = 9, 10 の場合（9乗和・10乗和）に限って起きるようだ。
この6次式（および10乗和で生じる同様の8次式）を分解する簡単な方法があるか？ 事実としては n2 + n − 1 が因子なので、天下り的に割り算することはできるが、どうやって n2 + n − 1 が因子だと突き止めるのか？
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2025-01-02 べき和公式の因子（その3） 別の方法（続き）
∑ k7 の4次の因子、 ∑ k8 の6次の因子について、奇数次の項のない4次式・6次式を経由して根を求める。
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2025-01-01 べき和公式の因子（その2） 別の方法
∑ { from k=1 to n } k6 の因子 n4 + 2n3 − n + 1/3 の根を求める別の方法。
n = x − 1/2 と置くと x4 − (2/3)x2 + 31/48 になり、それを x2 についての2次式として扱うことができる。
前回述べたように、4次の因子 n4 + 2n3 − n + 1/3 の係数は 1, 2 と始まり、2次の係数（0）は1次の係数（−1）より 1 大きい。
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2024-12-31 べき和公式の因子 4次・6次の因子の根
複素数の範囲で、
(x2 + x + a)(x2 + x + b)
=
x4 + 2x3 + (a + b + 1)x2 + (a + b)x + ab
と分解される4次式は、係数が 1, 2 と始まり、2次の係数が1次の係数より 1 大きい。例えば、6乗和の公式、
∑ { from k=1 to n } k6
=
(1/7)n(n + 1)(n + 1/2)(n4 + 2n3 − n + 1/3)
の4次の因子はこの性質を持ち、そのことを利用すると、4次式の根を簡単に求められる。同様の手法は（8乗和などの）6次の因子、（10乗和などの）8次の因子にも応用可能。
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2024-12-25 第一・第二・第三…補充法則 代数的整数の観点から
第一補充法則とは、 p ≡ ±1 (mod 4) の符号に応じて (−1/p) ≡ (−1)(p−1)/2 ≡ ±1 (mod p) というもの。判定基準の (−1) を i2 で置き換えて ip−1 = ±1 とし、両辺を i 倍して、
ip = ±i
と書くこともできる。同様に、第二補充法則は、
(√2)p = (γ1 + γ−1)p ≡ γp + γ−p = ±√2 (mod p)
から導かれる。ここで γ = √2/2 + i√2/2 は 1 の原始8乗根。 p ≡ ±1 or ±5 (mod 8) に応じて γ1 + γ−1 = γ−7 + γ7 = √2 またはその γ4 = γ−4 = −1 倍に帰着する。
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2024-12-20 √2 + √3 = 3.14… 円周率？！
√2 というのは x2 = 2 の解で 1.41 台。同様に √3 は x2 = 3 の解で 1.73 台。
√2 + √3 は 3.14 台で、円周率 π とほぼ等しい。これは偶然だろうか？
√2 も √3 も π も「整数÷整数」の形では表せない（無理数）。なぜだろうか。 √2 + √3 もそうなのか。そうだとして、これらの数を「同じ無理数の仲間」とひとくくりにしていいか？
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2024-12-17 28乗根（28角形）を巡る幾つかの話題
π/3, π/4, π/5, π/6 などに対する三角関数の値の根号表現を知った後、では π/7 や π/14 などに対する cos や sin 等の値は？と興味を持つのは、素朴な好奇心だろう。
sin (π/7) = −√7/6 + (6√7)/12⋅(3√(52 + 12√) + 3√(52 − 12√))
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2024-12-12 正12角形と 3√ i 12月12日にちなんで
−1 の平方根（2乗すると −1 になる数）は i と −i の二つ。
i の平方根（2乗すると i になる数）は (√2 + i√2)/2 とその −1 倍の二つ。
では i の立方根（3乗すると i になる数）は何でしょう？
この問題は、意外と奥が深い。数論との関連では、「第三補充法則」のチャーミングな証明につながる。
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2024-12-08 行列方程式で遊んじゃえっ （おまけ）
前回、小学生の算数だけを使って、
12 + 22 + ··· + n2 = n3/3
+ n2/2
+ n/6
を求めた。消去法を使って連立方程式をどーたらこーたらという、ありふれた解法だった。ただの算数じゃ退屈かもしれないので、同様のことをファンシーに、行列方程式で。
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2024-12-07 「2乗和・3乗和・4乗和の公式」の簡単な導出法
このメモでは、簡易的な方法で、
12 + 22 + ··· + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
13 + 23 + ··· + n3 = n2(n + 1)2/4
14 + 24 + ··· + n4
= n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)/30
の三つの基本公式と、対応するベルヌーイ形式を導く。
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2024-12-06 1, 3, 7, 9 の 3 倍を 20 で割った余りは 1, 3, 7, 9
{1, 3, 7, 9} をそれぞれ 3 倍すると 3, 9, 21, 27 だが、それを 20 で割ると、余りは再び {1, 3, 7, 9} だ。順序は変わるけど。
{1, 3, 7, 9} を 7 倍した 7, 21, 49, 63 についても同じことが成り立つ！
9 倍した 9, 27, 63, 81 についてもっ！！
この一見たわいもない現象を利用して r2 ≡ −5 の解の有無を直接的に（相互法則を経由せず）、簡潔に、確定できる。この法則の直接証明は、さすがのガウスも、3節も費やして複雑な場合分けを行い、技巧的にやったものなのだ。
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2024-12-05 Bitcoin $100K, Monero $200
2024年11月に BTC/USD が 95K を超え、この勢いで 100K は時間の問題とも思われたが、今日とうとう 100K を突破。ビットコインそのものは、さほど匿名的でもないが、匿名の（正体不明の）開発者が作ったものが、ここまで広まったということは、興味深い。 100K とは 1 BTC = $100,000、言い換えれば 1 mBTC = $100 の水準。数年前からいわば Bitcoiner の「夢」とされ、俗に moon と呼ばれていた（月ロケットのような急上昇というほどの意味）。
一方、同時にプライバシーコインの Monero (XMR) も急騰、2年ぶりに 1 XMR = $200 を超えた。 Tornado Cash 事件で開発者側に有利な判決が出たことが、プライバシーコインに間接的に影響しているのかもしれない。
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2024-12-03 完全数と「奇数の3乗和」 13 + 33 + 53 + 73 などについて
28 を割り切る自然数は何か？ 28 自身ももちろん 28 を割り切るが（商 1）、自分自身を別にすると 1, 2, 4, 7, 14 の五つの数が 28 を割り切る。この五つの数の和、
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
は 28 に戻る！ こういう性質を持つ数は、完全数と呼ばれる。他の小さい数で幾つか試してみると、 6 も同じ性質を持つが、
10 → 1 + 2 + 5 = 8 ちょっと不足
11 → 1 全然不足
12 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 過剰
···などとなって、それ以外の例はなかなか見つからない。「ちょうど自分自身に戻る」ってのは、かなり珍しい性質らしい。
ところで奇数 1, 3, 5, 7, ··· を小さい順に幾つか、それぞれ立方して足し合わせると、完全数になることがある。 28 の例では:
13 + 33 = 1 + 27 = 28
28 に続く完全数は 496 だが（本文参照）、これも:
13 + 33 + 53 + 73 = 1 + 27 + 125 + 343 = 153 + 343 = 496
「奇数を 3 乗して足し合わせる」ってことと「約数の和が自分自身に等しくなる」ってこと――まるで無関係に思えるその二つが、深く結び付いている（らしい）。この現象は、ちょっと不思議で、好奇心を刺激する。
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2024-11-28 アイゼンシュタインの第二証明と第二補充法則
1 の 8 乗根を利用した第二補充法則の証明については、既に現代的に整理したが（予想の 45° 斜め上をいく √ i の活用！）、あえて19世紀のアイゼンシュタインの第二証明を読む。この古風な証明は、クロネッカー記号について、ある種の洞察を与えてくれる。
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2024-11-27 手塚治虫の「まんが十訓」
手塚治虫は、一般的には子ども向けの「健全」で「ヒューマニスト」な漫画家として有名ですが、実際には大人向けの作品もたくさん描いていますし、性的描写はもちろんのこと、どぎついもの、変てこなもの、実験的な作品も少なくないのです。
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2024-11-22 ガウス和の平方（その2の続き） 証明の完成
1 の p 乗根 z についてのガウス和を S とすると、 S2 は p または −p に等しい（p は 3 以上の素数）。
この定理について、「素朴な観点からの証明」があと一歩で完成……というところで話がそれ、先に風変わりな別証明を紹介し、さらに別の「神の証明」（定理2参照）を紹介した。素朴な観点に立ち返り、 S2 を展開して指数ごとに項を数える、という単純な発想からの証明も完結させておく。
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2024-11-13 優しいおじいさんゲーマーのアドバイス こうかは ばつぐんだ！
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
置換 y = x + 1/x を使って16次方程式 x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 を解く
三重根号の簡約
√(10 + 2√) + √(5 + 2√) = √(25 + 10√)
tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33
複々素数の不思議な割り算 乗除の奇妙な冒険
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
2024年2月7日 ゾクッとする式・きれいな式 tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33
2024年3月3日 一辺 1 の正五角形の面積 算数バージョン
2024年3月27日 五・六・十角形の恒等式 現代とは違う感覚
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年6月3日 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π 三角形の内心
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年9月24日 「1 の5乗根」について (x2 + x/2 + 1)2 の利用
2024年10月10日 x17 = 1 の代数的解法 ガウスの式の応用
2024年11月9日 ガウス和・別証明 クロネッカー博士の異常な足し算 または 私はいかにして心配するのをやめ三重和を愛するようになったか
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.9 & 1.8.0.31: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0 (archive)
75C0 706B 3CD0 B5D0]