妖精現実

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2025-07-11　コーシー／ミリマノフ多項式（その9）　τ > −0.75

n ≥ 2 を整数とする。 P_n(x) = (x + 1)ⁿ + (−x)ⁿ + (−1)ⁿ は、因子 x² + x を 0 個または 1 個だけ持ち、因子 x² + x + 1 を 0 個・ 1 個または 2 個だけ持つ。それらを除外した余因子を E_n(x) とする。 w がその一つの根なら、 w と一定の関係にある6種類の根（w 自身を含む）は「根の六つ組」を成す。 Mirimanoff は1903年、それら六つの数を根とする6次式が、
　　ε(x) = x⁶ + 3x⁵ + τx⁴ + (2τ − 5)x³ + τx² + 3x + 1
という形を持つことを示した。ここで τ は六つ組 O_w に応じて定まる一つの実数。逆に言えば、たった一つの実数 τ によって O_w の六つの数の行方が決まる。責任重大なパラメーターだっ！

τ の値の具体例:
　　n = 6　⇒　τ = 15/2 = 7.5
　　n = 8　⇒　τ = 10
　　n = 9　⇒　τ = 19/3 ≈ 6.333
　　n = 10　⇒　τ = 27/2 = 13.5
　　n = 11　⇒　τ = 7
　　n = 12　⇒　τ ≈ 6.126　または　τ ≈ 17.873
　　n = 13　⇒　τ = 8
n = 7 の E₇(x) は0次式、0種類の τ を持つ（n = 2, 3, 4, 5 も同様）。 E₁₂(x) は12次式――二つの六つ組（計12個の根）を持ち、よって2種類の τ がある。以上の例を見る限りでは τ は約 6 以上のように思われるが…？

τ が取り得る値の範囲を検討することで、 E_n(x) の性質について何らかの洞察が得られるかもしれない。とりあえず「τ は −0.75 より大きく、かつ 5.5 でも 6 でもない」という範囲制限を得た。

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2025-07-09　コーシー／ミリマノフ多項式（その8）　新発見

（画像の説明については下記テキスト参照）
すごい発見をしたッ！　(x + 1)ⁿ + (−x)ⁿ + (−x)ⁿ の因子 E_n(x) のうち E₉ と E₁₀ は根の六つ組を一つ持ち、 E₁₂ は根の六つ組を二つ持つ（ε₁₂, ε′₁₂ とする）。各六つ組に属する根の偏角は ±θ, ±η の形の4種だが、次の六つの角度は極めて特徴的な形をしている:
　　E₉　⇒　θ ≈ 140.199915748°, η ≈ 109.9000421256°
　　E₁₀　⇒　θ ≈ 162.0000514913°, η ≈ 98.9999742543°
　　ε₁₂　⇒　θ ≈ 164.9999995217°, η ≈ 97.5000002391°
特に ε₁₂ の θ は 165° = 11π/12 とほぼ等しい。その結果、 E₁₂(x) の根のうち
　　−0.9659258241… ± i⋅0.2588190531…
の二つは 1 の原始24乗根 exp(πi⋅11/12) と exp(πi⋅13/12)、
　　−0.9659258262… ± i⋅0.2588190451…
に極めて近い（実部・虚部とも小数8桁程度まで一致）。

n = 6, 8, 11, 13, 14, 15 などではこの現象は起きないようだ。

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2025-07-08　コーシー／ミリマノフ多項式（その7）　回文多項式について

ƒ(x) が回文的な多項式のとき、 x = w が ƒ(x) の根なら x = 1/w も ƒ(x) の根（定理1）。この定理の「逆」も成り立つ。「定理」と呼ぶほどの大げさなことでもないけど、 Cauchy–Mirimanoff 多項式の研究の土台ともいえるので、明示的に証明しておく。

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2025-07-07　コーシー／ミリマノフ多項式（その6）　109.90004°

古人いわく、数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。女王は必要性ゆえにではなく、その美しさゆえに愛される。

優雅な恒等式
　　(x + 1)⁹ − x⁹ − 1 = 9(x² + x) × [(x² + x + 1)³ + (1/3)(x² + x)²]
　　(x + 1)¹¹ − x¹¹ − 1 = 11(x² + x)(x² + x + 1)
　　　　　　　　　　　　　　　× [(x² + x + 1)³ + (x² + x)²]
　　(x + 1)¹³ − x¹³ − 1 = 13(x² + x)(x² + x + 1)²
　　　　　　　　　　　　　　　× [(x² + x + 1)³ + 2(x² + x)²]

n = 9 の式は、あえて 9 をくくり出すのがチャームポイント？　←本質と関係ないｗ

いやぁ、なかなかきれいじゃありませんか。いえいえ、だからなんだというわけでも、これが何に役立つというわけでもないんですが。――といっても、たぶん多くの人は、このような「数式」を見ると「学校の勉強」とか「公式の暗記」とか「受験競争」とかを連想し、あまり愉快ではない気分になるのだろう。美しいものの美しさが無視され、むしろ苦痛を生むものとして受け止められている現状（教育のあり方・数学の扱われ方）は残念なことであり、美の女神に対する冒瀆（ぼうとく）ともいうべきであろう。

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2025-07-06　コーシー／ミリマノフ多項式（その5）　因子の個数

Cauchy の定理から、例えば (x + y)⁷ − x⁷ − y⁷ は因子 (x² + xy + y²)² を持つことが保証されている。つまり x² + xy + y² で（少なくとも）2 回割り切れる。
　　(x + y)¹³ − x¹³ − y¹³
　　(x + y)¹⁹ − x¹⁹ − y¹⁹
等々もまたしかり。では、このタイプの式が x² + xy + y² で 3 回以上、割り切れることは起こり得るか？
　　(x + y)⁶¹ − x⁶¹ − y⁶¹
みたいなものすごい指数の多項式が、ひょっとして (x² + xy + y²)³ で割り切れたとしても、まぁ「あり得ない」という感じはしない。60次くらいありゃぁ、ひょっとしてゴチャゴチャ因子もいっぱいあるかもね、と。だがしかし、この因子に関する限り「そんなことはあり得ない」と断言できるのであるっ！

（この形の多項式に Cauchy の定理が示す因子以外の因子が全くないのか？というのは、現在でも一般には未解決の難問らしい…）

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2025-07-05　コーシー／ミリマノフ多項式（その4）　6次式の形

Cauchy–Mirimanoff 多項式 E_n(x) というのは、
　　(x + 1)ⁿ − xⁿ − 1
を (x² + x)(x² + x + 1)^m で割ったとき（多項式として割り切れる）の商。ここで n は（とりあえず） 3 以上の奇数。 n を 3 で割った余りが 0, 1, 2 のどれになるかに応じて m = 0, 2, 1 とする。

話の前提として、例えば
　　(x + 1)¹¹ − x¹¹ − 1
は (x² + x)(x² + x + 1) で割り切れ（商 x⁶ + 3x⁵ + 7x⁴ + 9x³ + 7x² + 3x + 1 は Cauchy–Mirimanoff 多項式の例）、
　　(x + 1)¹³ − x¹³ − 1
は (x² + x)(x² + x + 1)² で割り切れる！　これはそれ自体としても特筆すべき事柄であり（Cauchy の定理）、 Wolstenholme のパズルなど、幾つかの美しい恒等式とも関連する。割り切れた後に残る商が、また面白い。ロシアで生まれ、後にスイスに移住したドミトリイ・ミリマノフ（Dmitry Mirimanoff, 1861–1945）によって、その研究が始まった。ミリマノフの先祖はジョージア（グルジア）に住んだが、アルメニア系の名家（めいか）で^†、曽祖父は有力者だったという^‡。本人が「アルメニア系」という民族意識を持っていたのかは不明。数学上の業績にもかかわらず、アルメニアでは知名度が低いという。

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2025-07-04　コーシー／ミリマノフ多項式（その3）　E(x) は実根を持たない

1839年、 Cauchy （コーシー）と Liouville （リューヴィル） は次の定理を記した^†。 x, y を変数とする多項式 (x + y)^p から x^p と y^p を引いたものは（p: 素数）、 pxy(x + y) で割り切れるだけでなく、 p > 3 なら x² + xy + y² でも割り切れる――特に p が 6 の倍数より 1 大きいときには、 (x² + xy + y²)² で割り切れる。この結果、
　　(x + y)⁵ − x⁵ − y⁵ = 5xy(x + y)(x² + xy + y²)
　　(x + y)⁷ − x⁷ − y⁷ = 7xy(x + y)(x² + xy + y²)²
　　(x + y)¹¹ − x¹¹ − y¹¹ = 11xy(x + y)(x² + xy + y²)⋅Q₁₁
　　(x + y)¹³ − x¹³ − y¹³ = 13xy(x + y)(x² + xy + y²)²⋅Q₁₃
　　　　︙
のような、美しい恒等式が成り立つ。 p = 5, 7 の場合、割り切れた結果の商は 1 だが、 p = 11, 13 の場合の商 Q₁₁, Q₁₃ は6次式で、幾つかの興味深い性質を持つ。 y = 1 として x についての多項式として見た Q₁₁, Q₁₃ が、どちらも実部 −1/2 の根を二つずつ持つ――という数値的観察（予想）を一つの手掛かりとして、あまり研究されていないであろうこのマイナーな野原で、もう少し遊んでみたい。

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2025-07-02　散歩の楽しさ

気持ちのいい静かな道を歩くのは、楽しい。森林に漂うかぐわしい香りは、心を落ち着かせてくれる（少し苦み走ったような針葉樹や、みずみずしく、かすかに甘酸っぱいような広葉樹）。峻厳で神々しい高山はもちろん、たとえ近郊の丘や低山でも…

土地によっては、日常の身近な背景に高い山が見えている。ただ景色の片隅に「見上げるような、雪を頂く山がある」というだけで、気持ちの上で何か良い影響があるようだ。

あしたはもう帰る日で、散歩に行けないかもしれない。だからこそ、今日の散歩は味わい深い。

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2025-07-01　コーシー／ミリマノフ多項式（その2）　根の実部 −1/2 について

Cauchy 型の分解 (x + 1)¹¹ − x¹¹ − 1 = 11x(x + 1)(x² + x + 1) E(x) において、
　　E(x) = x⁶ + 3x⁵ + 7x⁴ + 9x³ + 7x² + 3x + 1
の根のうち二つは −1/2 ± i⋅1.7023216604… つまり実部がちょうど −1/2。なぜ？

シンプルで基本的な事実のはずだが、どの文献にも記載がない。

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2025-06-25　二項係数の飛び石和（その3）　Ramus の恒等式

オフセットが 0 ではない場合も含めて、 Ramus の恒等式の一般形を導く。

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2025-06-22　二項係数の飛び石和（その2）　オフセット 0 の場合

二項係数の和 (n C s+t) + (n C 2s+t) + (n C 3s+t) + ··· は、刻み幅 s が 2, 3, 4 程度であれば、比較的簡単に求められる。一般の場合の扱い（Ramus の恒等式の導出）は、やや難易度が高い。このシリーズの前回のメモでは、 s = 1, 2, 3 のケースを扱った。今回はアルゴリズムを整理・拡張し、任意の s ≥ 1 を扱う。ただし t = 0 に話を限る。その制限を外した一般の 0 ≤ t < s の扱いについては、次回に。

二項係数を一定間隔 s で抜き出して足す――この単純な操作の裏に「1 の s 乗根」があるとは、誰が予想しただろう！

時計仕掛けのコサインたちが吐き出し、組み合わされる複雑な数。観客席から見える和は普通の整数なのに、背後のからくりは、壮大にしてうつろ。

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2025-06-19　Wolstenholme の問題113番　(a¹¹ + b¹¹ + c¹¹)/11

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12 の分子は 5² で割り切れる。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 147/60 = 49/20 の分子は 7² で割り切れる。

一般に 5 以上の素数 p の「一つ手前の数」まで同様に逆数を足すと、分子は p² で割り切れる！　昔この不思議な性質にたまたま気付いて強い印象を受け、やがてそれが Wolstenholme （ウォルステンホーム）の定理と呼ばれることを知った。――19世紀英国の Joseph Wolstenholme は、この種の興味深い関係をいろいろ記し、印象的な「パズル」も残している。その一つを紹介したい。

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2025-06-18　コーシー／ミリマノフ多項式　7乗を越えて

コーシーの恒等式で y = 1 と置いたもののうち、
　　(x + 1)⁵ − x⁵ − 1 = 5x(x + 1)(x² + x + 1)
　　(x + 1)⁷ − x⁷ − 1 = 7x(x + 1)(x² + x + 1)²
の二つは、全部の根が一目瞭然。本当の冒険は「11乗バージョン」から。このタイプの多項式は、「コーシーの定理が保証する因子」以外の因子を持たない――1903年に Mirimanoff （ミリマノフ）はそう予想した。一般の場合については、依然として未解決問題のようだ。

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2025-06-17　(x + y)ⁿ − xⁿ − yⁿ　コーシーの定理の別証明

(x + y)⁵ − x⁵ − y⁵ = 5xy(x + y)(x² + xy + y²) という分解や、その7乗バージョンは、独特の美しさを持つ。この分解は5乗と7乗のときだけの特殊現象ではなく、11乗・13乗等々の同様の式も、同様の因子を持つ。「二項係数の飛び石和」との関連性は、単純な観察だが面白い。

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2025-06-16　二項係数の飛び石和　パスカルの三角形

パスカル（Pascal）の三角形は 1 + 2 = 3 のような単純な足し算でできている。すなわち各数は、自分の「左上にある数」と「右上にある数」（空欄なら 0 と見なす）の和。

パスカルの三角形のてっぺんの「1 だけ」を第 0 行、次の「1, 1」を第 1 行、そのまた次の「1, 2, 1」を第 2 行、一般に「1, n」から始まる行を第 n 行と呼ぶことにしよう。ある一つの行について、次のような「飛び飛びの和」を考える。例えば、第 7 行
　　1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
から、数値を三つごと（二つ置き）の一定間隔で抜き出す――左端の 1 から始めた場合、 1 と 35 と 7 が同じ「三つごと」の系列（仮に「ア」とする）に属し、それらの和は 1 + 35 + 7 = 43。同様に、同じ行において、左端の一つ隣の 7 から始めた「イ」の和は 7 + 35 + 1 = 43 で、左端の二つ隣の 21 から始めた「ウ」の和は 21 + 21 = 42。

問題　パスカルの三角形の第 n 行について、このような「三つに一つの割合で飛び飛びに足し算」した和ア・イ・ウは、それぞれどんな式で表されるか？

上記の例では 43, 43, 42 となって、誤差 ±1 でア・イ・ウが一致するが、どの段でもそうなると言い切れるか？

より一般的に「s 個に一つの割合で飛び飛びに足した和」は？

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• コーシーの定理・ラームスの公式　そは空動なり（遊びの数論44）
  • 2025-06-13　(x + y)ⁿ − xⁿ − yⁿ　コーシーの定理の簡単化
  • 2025-06-17　(x + y)ⁿ − xⁿ − yⁿ　コーシーの定理の別証明
  • 2025-06-18　コーシー／ミリマノフ多項式　7乗を越えて
  • 2025-06-19　Wolstenholme の問題113番　(a¹¹ + b¹¹ + c¹¹)/11
  • 2025-06-16　二項係数の飛び石和　パスカルの三角形
  • 2025-06-22　二項係数の飛び石和（その2）　オフセット 0 の場合
  • 2025-06-25　二項係数の飛び石和（その3）　Ramus の恒等式
• 四次元サイコロ「目」は幾つ　アイのごとし（遊びの数論43）
  • 2025-05-31　四次元サイコロ「目」は幾つまで？
  • 2025-05-26　バーゼル問題のさらなる簡単化
  • 2025-05-22　csc² のある種の和について　バーゼル問題関連
  • 2025-05-24　sin (π/7) の根号表現　試算サンバ破産
  • 2025-05-25　sin (π/7) の根号表現（続き）
  • 2025-05-27　ラマヌジャンのパズルじゃん　生への執着・死への執着
  • 2025-05-29　ラマヌジャンのパズル（続き）　澗水（かんすい）湛（たた）えて藍の如し
  • 2025-06-01　ガウス周期を使わない円周13等分
  • 2025-06-08　1/27 = 0.037037… とその恋人
  • 2025-06-11　「ロシア公式」（Wolstenholme のパズル）について
• おまえはもう解けている　奇跡は誰にでも一度おきる（遊びの数論42）
  • 2025-05-06　実数解のない方程式を分解できるか？
  • 2025-05-08　4次方程式の解法　無限の夢幻
  • 2025-05-10　ゴールドバッハ、オイラーに賛成せず　真の友達は遠慮しない
  • 2025-05-13　オイラーの逆襲！　おまえはもう解けている
  • 2025-05-16　y⁴ + By² + D について
• べき和対称多項式　5乗和は5がいっぱい（遊びの数論41）
• バーゼルからゼータへ　とにかく一歩（遊びの数論40）
• ベルヌーイのべき和公式　円周率の２乗？（遊びの数論39）
• ソフィー・ジェルマンの冒険　リアル「ベルばら」（遊びの数論38）
• フォン・シュタウト＆クラウセンの定理　ベルヌーイ数の分母（遊びの数論37）
• べき和公式の因子　6次式の根（遊びの数論36）
• ガウス和の平方と相互法則　sin π/7 （遊びの数論35）
• 正七角形のいんちき作図法　√2 + √3 = 3.14…（遊びの数論34）
• ガウスの和　その優美さゆえに（遊びの数論33）
• x¹⁷ = 1 の代数的解法　係数 2,1,5,7,4（遊びの数論32）
• 半角のタンジェント　小さな貝殻（遊びの数論31）
• 3分の1の角度と3次方程式　怠け心は成功の母（遊びの数論30）
• tan の多倍角　方程式は解かずに使え（遊びの数論29）
• びっくり15乗和　その狂気には秩序がある（遊びの数論28）
• デザートからの3次方程式入門　（遊びの数論27）
• 円周13等分　ゼータ・サーティーン（遊びの数論26）
• 週末は17角形で！　他の道を行きましょう（遊びの数論25）
• 五・六・十角形の恒等式　正五角形の弓矢（遊びの数論24）
• かいじゅうペンタゴン　正五角形の冒険（遊びの数論23）
• はじめての4次方程式　ひとりでできるもん（遊びの数論22）
• 1 の原始根　ゾクッとする式（遊びの数論21）
• プライバシー　属人性のない「情報それ自体」の実存？
  • 2025-04-28　「自由の乱用」の甘受 vs. 「不自由」の甘受
  • 2025-04-18　暗号通貨でお買い物　美しい理念・複雑な現実
  • 2025-05-22　日本の債券市場の危機と除夜の鐘　煩悩のビットコイン108K
  • 2025-03-07　macOS からの Tails 導入について
  • 2025-03-05　「広告技術」進化し過ぎて「国防問題」？
  • 2025-02-19　BBC が Google の新規約を批判　フィンガープリンティング
  • 2025-02-09　被害者「1億9000万人」に　米国の医療情報盗難
  • 2024-09-10　MetaGer 検索有料化　検索エンジンどこがいい？
  • 2024-06-11　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ
  • 2023-12-08　Google で18年働いた人の述懐　最初は素晴らしい会社だった…
  • 2023-11-22　自由ソフトウェアとは？　公式の日本語訳があった
  • 2023-11-21　匿名フリーメール Cockmail 一般登録再開　冗談半分10周年
  • 2023-10-15　プライバシーは「表現の自由」　女神よ…
  • 2023-09-09　自由を奪われてる人は奪われてることに気付かない？
  • 2021-06-26　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
• その他いろいろ
  • 2024-11-27　手塚治虫の「まんが十訓」
  • 2024-08-30　MAT-LESS　北アフリカの地理
  • 2024-08-29　ジョジョの奇妙な修正　第3部・エジプトのモスク描写
  • 2024-06-10　「ナイルの城」橋　ジョジョ3部で DIO がやられた場所
  • 2024-03-25　あしたの嬢さん　泪橋を斜めに渡れ
  • 2023-10-08　今年は6年前と曜日が同じ…？　バースデイ・メッセージの定理
  • 2022-02-04　「信仰とは何なのか」という根源的な問い
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
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