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2025-12-12 ガウス和の符号 名画・名曲・名証明
名画や名曲を鑑賞する活動があるのなら、名証明を鑑賞する活動があってもいい。ゆったりと美しさを味わい、楽しむための数論。
前回、準備として ƒ(x, m) という不思議なコンセプトを紹介した。 m が正の偶数のとき、
1 − (1 − xm)/(1 − x)
+ [(1 − xm)(1 − xm−1)]/[(1 − x)(1 − x2)]
− [(1 − xm)(1 − xm−1)(1 − xm−2)]/[(1 − x)(1 − x2)(1 − x3)]
+ ···
という m+1 項の式が、
(1 − x1)(1 − x3)(1 − x5)···(1 − xm−1)
という積に等しい、という恒等式。ガウスはこの関係をどう使ったのか、という核心部を紹介したい。
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2025-12-09 ガウス和に関連する不思議な恒等式
1811年†のガウスの論文「ある種の特別な数列の和」では、
[(1 − xm)(1 − xm−1)···(1 − xm−μ+1)]/[(1 − x)(1 − x2)···(1 − xμ)]
という多項式の商が、簡略な記号 (m, μ) で表されている。例えば:
(6, 2) = [(1 − x6)(1 − x5)]/[(1 − x)(1 − x2)]
(6, 3) = [(1 − x6)(1 − x5)(1 − x4)]/[(1 − x)(1 − x2)(1 − x3)]
これらは一見「意味不明」な分数だが、 1 − xk の形の因子たちの指数 k だけを見ると、
(6⋅5)/(1⋅2) や (6⋅5⋅4)/(1⋅2⋅3)
のようになっている。形式的には「意外と単純」、コンセプト的・感覚的には「二項係数の仲間」といえるだろう（実際、割り切れて、整係数の多項式になる）。――これらの分数は、ある種の足し算・引き算に対して、非常に不思議な反応を示す。
ガウスは、次の関係（恒等式）を証明した。いわく、 m が任意の正の偶数のとき、
1 − (m, 1) + (m, 2) − ··· ± (m, m)
は、積 (1 − xm−1)(1 − xm−3)···(1 − x3)(1 − x) に等しい。例えば:
1 − (6, 1) + (6, 2) − (6, 3) + (6, 4) − (6, 5) + (6, 6) = (1 − x5)(1 − x3)(1 − x)
左辺の謎めいた「足し算・引き算」と、右辺のシンプルな「掛け算」が等しいというのは、奇妙な現象だ！ 証明自体は平易で、（技巧的ではあるが）初等的な操作の組み合わせ。証明できるからといって、「不思議さ」のもやが晴れるわけではないのだが…
ガウスは、この恒等式を鍵として、「ガウス和の符号決定」（天才ガウスをして何年も悩ましめた難問題）をついに――そして鮮やかに――解決した。その前段階に当たる上記「不思議な恒等式」の証明について、順を追って紹介したい。
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2025-12-06 13, 23, 33, ··· を割った余り
13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64 を 5 で割った余りは、それぞれ 1, 3, 2, 4（例えば 33 = 27 を 5 で割ると 2 余る）。つまり、3次合同式
x3 ≡ a (mod 5)
は、任意の a について解を持つ（a ≡ 1, 2, 3, 4）。言い換えると、集合 {1, 2, 3, 4} の各数を立方して 5 で割った余りたちの集合は、再び {1, 2, 3, 4} になる！
「割る数」の 5 を 11 や 17 などに変えても同様のことが成り立つ。しかし「割る数」が 7 や 13 などだと、そうならない。例えば 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64 を 7 で割った余りは、順に 1, 1, 6, 1 だし 53 = 125, 63 = 216 を 7 で割った余りはそれぞれ 6, 6 なので、 {1, 2, 3, 4, 5, 6} の各数を立方して 7 で割った場合には {1, 6} しか作れない。
一般に p を 5 以上の素数（1 と自分自身でしか割り切れない数）としよう（p = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ···）。 p は素数なので 3 では割り切れず、 3 で割ると 1 余るか、または 2 余る。言い換えると p は 3 の倍数より 1 大きいか、 2 大きい。便宜上、 3 の倍数より 1 大きい素数をミント素数、 3 の倍数より 2 大きい素数をワッフル素数と呼ぶことにする（これは正式用語ではなく、勝手に作った用語）。 a を 1 以上 p 未満の任意の整数とするとき、もし p がワッフル素数なら、
「3乗して p で割ったとき、 a 余るような整数はあるか？」
という問いの答えはいつでも yes だが、もし p がミント素数なら、同じ問いの答えは（一部の特定の a に対してのみ yes になるけど）一般には no だ。式で書くと、
x3 ≡ a (mod p)
は p がワッフルならどんな a に対しても解を持つが、 p がミントだとそうならない。
立方剰余（立方して p で割ったときの余り）のこの性質（p がミントかワッフルかで挙動が激変する）は、通常の整数の世界の中でも、ある程度、解明可能。しかし、アイゼンシュタイン整数の世界で考えることで、その真相が見えてくるかもしれない。
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2025-12-02 ω の立方性: t3 ≡ ω に解があるか
3 の倍数より 2 大きい素数は、次の三つのタイプに分けられる:
【ア】 9 の倍数より 2 大きいもの: 2, 11, 29, 47, 83, ···
【イ】 9 の倍数より 5 大きいもの: 5, 23, 41, 59, ···
【ウ】 9 の倍数より 8 大きいもの: 17, 53, 71, 89, ···
定理7によると、 p がアまたはイの素数なら、 t3 ≡ ω (mod p) を満たすアイゼンシュタイン整数 t は存在しない（その結果として x3 + y3 = pz3 は非自明な整数解を持たない）。
では p がウの素数だったら…？ p がア・イ・ウのどれかの数のとき、 t3 ≡ ω (mod p) が解を持つためには p がウの型であることが必要だよ――と定理7は言っているが、それは必要十分条件だろうか。
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2025-12-01 x3 + y3 = 5z3 や x3 + y3 = 11z3 など
32 + 42 = 52 とか
52 + 122 = 132 とか
112 + 22 = 53 とか
103 + 93 = 123 + 13 とか
33 + 43 + 53 = 63
のような等式を眺めていると、
x3 + y3 = z3
を満たす正の整数 x, y, z もあるのでは、と感じられるかもしれない。「実際にはそんな整数の組み合わせはない」というのが、「フェルマーの最終定理の指数 3 の場合」という有名問題であり、問題の意味は分かりやすいが、証明は意外と難しい。「なぜどこがどう難しいか」を理解すること自体、難しいかもしれない。
われわれはとにかくこの定理を一応証明し、ついでに、
x3 + y3 = 3z3
x3 + y3 = 4z3
を満たすような x, y, z も（z = 0 の場合を別にすると）存在しないこと、
x3 + y3 = 2z3
を満たすような x, y, z も（z = 0 の場合と x = y の場合を別にすると）存在しないことを証明した。一方、
x3 + y3 = 6z3
x3 + y3 = 7z3
x3 + y3 = 9z3
を満たすような x, y, z は、存在する。
x3 + y3 = 8z3
については Z = 2z と置けば右辺は (2z)3 = Z3 なので、オリジナルのフェルマーの問題と実質同じ。それでは、
x3 + y3 = 5z3
はどうか？
この最後の不定方程式は、それ単体では x3 + y3 = 4z3 の場合とほとんど変わらず、それ自体としては特に新鮮味もない。けれど、より一般的な命題について、フルヴィッツ（Hurwitz フアヴィツ）はエレガントで味わい深い証明を記している。フェルマーの小定理のアイゼンシュタイン整数版や、立方剰余の理論のような重要な話題とも関連していて、研究の価値がありそうだ。
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2025-11-16 x3 + y3 = 4z3
x3 + y3 = z3 を満たすような、どれも 0 でない整数 x, y, z は存在しない――というフェルマーの定理。
その拡張として x3 + y3 = kz3 の解を考えてみたい。ここで k は一定の整数で、 k = 1 の場合が、オリジナルのフェルマーの定理だ。
第一に k = 3 の場合。 x3 + y3 = 3z3 にも、 0 でない整数解はない（定理4）。
第二に k = 2 の場合。 x3 + y3 = 2z3 についても、結論はほぼ同様（定理5）。ただし、この場合に限っては x = y = z のような別の種類の自明解が存在する。自明解を度外視して、「それ以外の解（非自明解）が存在しないこと」が、証明されるべき事柄となる。自明解が 2 パターンあるせいで、第一の拡張と比べると、技術的に少しややこしい（自明なものを除外するだけなので、本質的に難しいわけではないが）。そのため k = 1, 2, 3, ··· の順序に従わず k = 3 を先に扱った。
この k = 2 の場合の簡単な応用として、今回は k = 4 の場合にも（つまり x3 + y3 = 4z3 にも）、非自明な整数解がないことを証明する。この場合、自明解が 1 パターンに戻るので証明は簡潔になり、新たな補助命題も必要なく、一服できる。
要するに x3 + y3 = kz3 には、非自明な解がないのだろう――と予想したくなるかもしれないが、そうではなく、例えば k = 7 の場合の
x3 + y3 = 7z3
には、（暗算可能な範囲に）きれいな非自明解がある:
43 + 53 = 7⋅33
実際、左辺は 64 + 125 = 189、右辺も 7⋅27 = 189。
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
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2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
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