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2025-01-23 12 + 22 + 32 + 42 = 30 を平方すると 「3、5、5」の法則
13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 のような「3乗和」。それが、対応する1乗和（1 + 2 + 3 + 4 = 10）の平方に等しいことは、印象的だ。
実はこの、
(1乗和)2 = (3乗和)
という関係には「マニアックな続編」があって、
(3乗和)2 = (5乗和 + 7乗和)/2
が成り立つ。素朴な疑問として、
(2乗和)2
についても、この種の恒等式があるだろうか？
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2025-01-22 お知らせ 訂正・おわび
三つのメモについて。
①「なぜ 3 + 5 は 23 に等しいか？」の最後の部分の計算（別証明）に書き間違いがあり、結果は正しいものの、つじつまが合わなくなっていたので、訂正しました。「12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数 v. シュタウトの定理」の中にも、微妙な不備が複数あったので、とりあえず気が付いた部分は全部修正しました。
②「なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ 簡単なようで深遠」と③「12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数 v. シュタウトの定理」の二つのメモは、前編・後編のような関係です。前編だけでも、独立した軽い読み切り。前編・後編セットだと「フォン・シュタウト＆クラウセンの定理」の証明になってます。
証明法は既存のもの（Rado による）と本質的に同じですけれど、数値例・具体例を挙げながら、なだらかに分かりやすく進んでいます。その点は良いのですが、「そもそもなぜ累乗の和がベルヌーイのあの形になるのか」という出発点が依然として天下り的。フェルマーの小定理などが必要なので、全くの予備知識ゼロで…というわけにも、いきません。でも比較で言えば、既存の教科書より分かりやすいかも。
それはともかく、ファイルサイズの都合で（詰め込み過ぎてページ『36』がでかくなり過ぎてた）、メモ②③を、①があるのと同じ新しいページ『37』に移動しました。リンクも更新したつもりですが、ページのキャッシュとかの関係で、リンク切れが発生するかもしれません。おわびしておきます。
/articles/1/01/ に「チラ裏」として雑然と入っている「メモ」たちは、好奇心の赴くまま思い付きでダーッと書いてるものが多く、それ以外のディレクトリにある「記事」と違いあまり推敲などしていないため、誤字脱字、不備、書き間違いが結構多いです。書き間違いに気付いたら随時修正するので、最終的にはそう大きくは間違ってないとは思われますが、多少の不備については、ご容赦ください。
2025-01-20 なぜ 3 + 5 は 23 に等しいか？
奇数を次のように順々に足すと、立方数になる。
①初めの1個 1 = 1 = 13
②次の2個 3 + 5 = 8 = 23
③次の3個 7 + 9 + 11 = 27 = 33
④次の4個 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43
···
従って、例えば:
①+② = 1 + (3 + 5) = 1 + 8 = 13 + 23
①+②+③ = 1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) = 1 + 8 + 27 = 13 + 23 + 33
①+② は初めの 1+2 = 3 個の奇数の和。 ①+②+③ は初めの 1+2+3 = 6 個の奇数の和。 ①+②+③+④ は初めの 1+2+3+4 = 10 個の奇数の和。一般に、次のようになると予想される。
予想 1 から始めて最初の 1 + 2 + ··· + n 個の奇数を足した和は、 13 + 23 + ··· + n3 に等しい。
この予想は正しいか？ 本当だとしたらすてきだけど、簡単に証明できるだろうか？
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2025-01-19 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数 v. シュタウトの定理
12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 は 5 の倍数。より一般的に A = 1m + 2m + 3m + 4m は大抵、5 の倍数。例外として、 m が 4 の倍数のときに限って、和 A は 5 の倍数より 1 小さい数になる。
もう一つ先の数まで足して B = 1m + 2m + 3m + 4m + 5m を考えても、この性質は変わらない。 5m はもちろん 5 の倍数なので、 A が 5 の倍数なら当然 B も 5 の倍数になるし、例外ケースとして A が 5 の倍数でないなら、 B も 5 の倍数ではない。例えば、
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 30 + 25 = 55
は 5 の倍数だが、
14 + 24 + 34 + 44 = 1 + 8 + 81 + 256 = 354
14 + 24 + 34 + 44 + 54 = 354 + 625 = 979
は、どちらも 5 の倍数より 1 小さい。
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2025-01-16 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ 簡単なようで深遠
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 という和をご存じの方は多いだろう。
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 も = 55 だっ！
結果が同じ 55 になるのは「偶然」だが、もう少し足し算すると:
1 + 2 + ··· + 10 + 11 + 12 + 13 = 55 + 11 + 12 + 13 = 91
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 55 + 36 = 91
また一致したっっ！
これも「単なる偶然」なのだが、好奇心を刺激する。「偶然ではない隠れた性質」もある。最初の例で、「11」の手前の 10 まで足した和 55 は「11」の倍数。二番目の例で、「7」の手前の 6 まで平方して足した和 91 は「7」の倍数。一般に p が素数のとき、 m 乗和 1m + 2m + ··· + (p − 1)m は p の倍数になることが多い（55 の例では p = 11, m = 1。 91 の例では p = 7, m = 2）。なぜ？
A = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 としよう。 B = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 は A2 に等しい。
一方 C = 15 + 25 + 35 + 45 = 1 + 32 + 243 + 1024 = 1300 と D = 17 + 27 + 37 + 47 = 1 + 128 + 2187 + 16384 = 18700 を足し合わせると、ちょうど 20000。つまり C + D は B2 の2倍に等しい:
(15 + 25 + 35 + 45) + (17 + 27 + 37 + 47)
= 2(13 + 23 + 33 + 43)2
= 2(1 + 2 + 3 + 4)4
このちょっと神秘的で美しい等式は「偶然」ではなく、一般に 1 から n までの1乗和・3乗和・5乗和・7乗和は、同様の関係を満たす。
「素数の倍数」との関連では、 1m + 2m + 3m + 4m は p = 5 のケースなので、和は 5 の倍数になる可能性が高い。事実 A, B, C, D は、どれも 5 の倍数だ。ところが m = 4 のときの 14 + 24 + 34 + 44 = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 は 5 の倍数ではない。一体、どういう仕組みで、何が起きてるのだろうか？
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2025-01-14 べき和公式の因子（その7） 11乗和（別の方法）
S11(n) の8次の因子を「奇数次の項のない8次式」（x についての）に変換し、 x2 についての4次方程式に帰着させる。
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2025-01-12 べき和公式の因子（その6） 11乗和
S11(n) は、根をぎりぎり初等的に扱える最後のべき和だ。余因子は既約の8次式だが、4次方程式に帰着可能。理論的に、4次方程式は必ず解ける――とはいうものの、この場合、最も厄介なパターンになる（関連する3次方程式が、いわゆる簡約不可能形式）。
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2025-01-11 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
19世紀フランスの詩人 Verlaine は、日本語では「ヴェルレーヌ」と呼ばれる。「秋のうた」は代表作の一つで、世界の名詩に数えられる。意味的には「秋のバイオリンの長いすすり泣きが、僕の心を傷つける。モノトーンなけだるさの…」と始まる。
上田敏による日本語訳は、それ自体として貴重な文化遺産だが、原詩とはかなりニュアンスが異なる。その影響で、「ある秋の日の昼下がり、誰かがバイオリンを弾いていた。そのため息のようなフレーズは何とも物悲しく、僕の心の琴線に触れた」みたいな、センチメンタルで鋭敏な感受性の作品――と思い込んでる方も多いのでは。実際には、原詩の冒頭は「バイオリンの軽いため息」ではなく、「バイオリンたち（複数）の長いすすり泣き（複数）」という薄気味悪い描写。
既存の日本語版は「げに我はうらぶれて飛び散らう落ち葉かな」といった「斜陽の悲哀」のようなエンディングだったが、原詩はもっと逝っちゃってて、「息が止まった僕は、不吉な風に吹き飛ばされ、枯れ葉のように（あの世へ）旅立つ」みたいな…
さて、本作の魅力の半分は、ストーリーの内容そのものではなく、語りの形式美にある。音楽的要素を言葉で説明しても伝わりにくいので、以下では独自の試訳を提示する。さいわい著作権が切れてるので、原詩も転載して簡単に解説。
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2025-01-09 べき和公式の因子（その5） 10乗和
S10(n) は Bernoulli ご自慢の式だ。それを使って 110 + 210 + ··· + 100010 を7分半で計算したという。この和は、 9140 9924 から始まる32桁の数で、公式がことの外シンプルな形をしていることもあって、桁の並びには「24」が何度も現れる（機械的に反復されるわけではない）。日本の
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2025-01-04 べき和公式の因子（その4） 9乗和・10乗和の特異性
S9(n) = ∑ { from k=1 to n } k9 から因子 n2(n + 1)2 を分離したときの6次の余因子、
(n6 + 3n5 + (1/2)n4 − 4n3 + (1/2)n2 + 3n − 3/2)/10
は、有理係数の範囲で既約でない（2次と4次の因子に分解される）。この現象、および同様の現象は、 m = 9, 10 の場合（9乗和・10乗和）に限って起きるようだ。
この6次式（および10乗和で生じる同様の8次式）を分解する簡単な方法があるか？ 事実としては n2 + n − 1 が因子なので、天下り的に割り算することはできるが、どうやって n2 + n − 1 が因子だと突き止めるのか？
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2025-01-02 べき和公式の因子（その3） 別の方法（続き）
∑ k7 の4次の因子、 ∑ k8 の6次の因子について、奇数次の項のない4次式・6次式を経由して根を求める。
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2025-01-01 べき和公式の因子（その2） 別の方法
∑ { from k=1 to n } k6 の因子 n4 + 2n3 − n + 1/3 の根を求める別の方法。
n = x − 1/2 と置くと x4 − (2/3)x2 + 31/48 になり、それを x2 についての2次式として扱うことができる。
前回述べたように、4次の因子 n4 + 2n3 − n + 1/3 の係数は 1, 2 と始まり、2次の係数（0）は1次の係数（−1）より 1 大きい。
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2024-12-31 べき和公式の因子 4次・6次の因子の根
複素数の範囲で、
(x2 + x + a)(x2 + x + b)
=
x4 + 2x3 + (a + b + 1)x2 + (a + b)x + ab
と分解される4次式は、係数が 1, 2 と始まり、2次の係数が1次の係数より 1 大きい。例えば、6乗和の公式、
∑ { from k=1 to n } k6
=
(1/7)n(n + 1)(n + 1/2)(n4 + 2n3 − n + 1/3)
の4次の因子はこの性質を持ち、そのことを利用すると、4次式の根を簡単に求められる。同様の手法は（8乗和などの）6次の因子、（10乗和などの）8次の因子にも応用可能。
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2024-12-20 √2 + √3 = 3.14… 円周率？！
√2 というのは x2 = 2 の解で 1.41 台。同様に √3 は x2 = 3 の解で 1.73 台。
√2 + √3 は 3.14 台で、円周率 π とほぼ等しい。これは偶然だろうか？
√2 も √3 も π も「整数÷整数」の形では表せない（無理数）。なぜだろうか。 √2 + √3 もそうなのか。そうだとして、これらの数を「同じ無理数の仲間」とひとくくりにしていいか？
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2024-11-13 優しいおじいさんゲーマーのアドバイス こうかは ばつぐんだ！
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
置換 y = x + 1/x を使って16次方程式 x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 を解く
三重根号の簡約
√(10 + 2√) + √(5 + 2√) = √(25 + 10√)
tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33
複々素数の不思議な割り算 乗除の奇妙な冒険
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
2024年2月7日 ゾクッとする式・きれいな式 tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33
2024年3月3日 一辺 1 の正五角形の面積 算数バージョン
2024年3月27日 五・六・十角形の恒等式 現代とは違う感覚
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年6月3日 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π 三角形の内心
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年9月24日 「1 の5乗根」について (x2 + x/2 + 1)2 の利用
2024年10月10日 x17 = 1 の代数的解法 ガウスの式の応用
2024年11月9日 ガウス和・別証明 クロネッカー博士の異常な足し算 または 私はいかにして心配するのをやめ三重和を愛するようになったか
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.9 & 1.8.0.31: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0 (archive)
75C0 706B 3CD0 B5D0]