妖精現実

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チラ裏

2021-12-04　整域の素数は分解不可能　小難しい？　当たり前？

40.　普通の整数の世界において、素数（例えば 7 や 11）は、真の約数を持たない。つまり分解不可能。表面的には
　　7 = 7 × 1　とか　7 = (−1) × (−7)
のように積の形で書けるけど、それは本当の意味での分解とはいえない。これが例えば 8 や 9 なら
　　8 = 2 × 4　とか　9 = 3 × 3
のように分解できるので、素数は「特別な性質を持つ数」であることが感じられる。

「素数は分解できない」という主張は、感覚的には当たり前かもしれないが、大事の前の小事、ちゃんと証明しておこう。

足し算・引き算・掛け算が普通にできる世界 W を考える。ここで「普通にできる」という意味は…。結合法則のような常識的なことに加えて、次の条件を付けておく:
　　（整域の条件）　W の 2要素 a, b について、もし ab = 0 ならば、必ず a = 0 または b = 0

この（一見どうでもいいような）条件によって、結果的に「時計ワールド」は考察対象外となる。この条件が必要な理由は、下記の通り…。

W の要素 p が素数だったとしよう。「素数」と「分解不可能」は別々の概念なので、p = AB のような分解ができるかもしれないし、できないかもしれない。仮に p = AB という積の形で書けたとすると、素数の定義から、p は A を割り切るか、または B を割り切る。もし A を割り切るなら、それでいいとしよう。もし B を割り切るなら、A と B という変数名を入れ替えることにしよう。この約束の下で、p は必ず A を割り切る。

「割り切る」という言葉の定義から、世界 W には A = kp を満たす k が存在する。このとき:
　　p = AB = (kp)B
両辺から kpB を引き算すると:
　　p − kpB = 0
　　交換法則・結合法則から　p − p(kB) = 0
　　分配法則から　p(1 − kB) = 0

ここで整域の条件が利いてくる！　p と (1 − kB) の積が 0 なのだから、p = 0 または (1 − kB) = 0 でなければならない。p は素数なので、定義上 0 ではない。必然的に:
　　1 − kB = 0
両辺に kB を足して:
　　1 = kB
従って（単数の定義によって）k と B は、どちらも単数。

…以上をまとめると、勝手に選んだ素数 p について、p = AB と分解できたとすると、必ず A と B の少なくとも一方は、単数になるしかない。これは「分解不可能」の定義そのものなので、素数は分解不可能。ただし「その世界が整域ならば」という条件が付く。「整域」という条件がないと、上記の証明は成り立たない。

面白いのは、逆が成り立たない点: 素数は分解不可能だけど、分解不可能だからといって素数とは限らない。「少し不思議　パラレルワールド」では、いくつか具体例を挙げたが、深くは検証しなかった。この方向にもう少し進んでみたい。

2021-12-02　決済取引量でPaypalを超えたBitcoinだが…　良いこと・悪いこと

2021年、オンライン決済の手段として、Bitcoin は従来型サービス Paypal を超えた。数年で Mastercard / Visa などのクレジットカードも超えて、世界の決済手段ナンバーワンになるのではという予想さえある（少なくとも取引金額の合計という意味では）。

確かに暗号通貨には、未来的な良い面もある。「自分が銀行」なので、自分で送金手数料を設定できる。送り手・受け手のどちらも、ばか高い手数料を払う必要がない。通貨単位が世界共通の BTC なので、外貨両替の手数料も取られない。一応、脱中心ネットワークなので、Paypal のような「一極独占支配による弊害」もない。要するに「中抜き」で、みんなハッピー（中間搾取で儲けてきた企業以外は）。

けれど、暗号通貨には悪い面も多い。世界共通といっても、国・地域による「温度差」が大きい。地域によっては、暗号通貨そのものが禁止・規制されている。昔の（古き良き時代の）ペイパル感覚で、ネット友達にちょっとコーヒー代程度を送っただけで、ひょっとして（相手の国によっては）法律問題があるのかもしれない。

しかも暗号通貨は、実用上の決済手段として使われるだけでない。投資家という人々が（実際にはコインを使わないのに）投機の対象としていて、そのせいで相場が極端に動く。同じコインなのに、短期間で250ユーロが200ユーロになったり、50ドル以下だったものが急に67ドルになったり、また55ドルになったり…といったことが日常茶飯事で、価値の安定性に乏しい。何もしないで勝手に価値が10倍になったりすれば、うれしいけど、その逆も起こり得るわけで…

追記　くしくも、そう書いた次の日に、ものすごい規模でそういうことが起きた。何週間も57K前後を行ったり来たりしていたBTC/USDが、55.5を破ったとたん、52くらいまで落ちた。ここまでは、まぁ時々ある展開だろうが、それで終わらず、土曜の未明、一瞬で52Kから42Kに1万ドルの急降下。他のコインも大荒れになったらしい。これがリアル通貨だったら、2021年12月4日に世界経済は崩壊してたかも…？

クレジットカードなら、少なくとも、自分の買い物は一般公開されないけど、Bitcoin 系だと「誰がいつ、どこにいくら送ったか」が永久保存され、ウェブ上で誰でも簡単に閲覧できるので、潜在的にプライバシー上の懸念もある。

では Monero ならいいのか…というと、原理的には Bitcoin より良いのだが、まだ一般ユーザーにはお勧めできない。Monero の公式GUIを使うと、送金のとき（その瞬間の Mining fees の相場を確認する目的だと思われるが）、生IPの接続をしようとする。つまりコイン自体の仕様は Bitcoin よりプライバシー志向でも、そのコインを使うためのウォレットの完成度に難がある。

BTCアドレスが1～しかなかった大昔から、技術的興味で少しだけ試してみたけれど…（当時はBTCの入手は簡単だった）。中央に管理されないというもともとの理念は民主的で素晴らしいとはいえ、現実の運用において、「邪悪」なKYCが強化され、その理念が崩れてしまった。KYCは確かに「誘拐の身代金の受け渡し」のような犯罪行為を防ぐ意味があるのかもしれない。でも、99.999%のユーザーは、単に「手数料が安く、不必要な個人情報を収拾されない手段があれば、決済に使いたい」というだけで、誘拐だのランサムウェアだのテロ資金（？）だのマネーロンダリングだのといった事は「漫画の中の話」、日常生活とは全く無関係。国内に過激なテロリストが一人でもいるのか、あるいは100人いるのか知らないけど、宝くじ的な低い確率の現象に対応するために、全員の取引が世界中に丸見えにされてしまうのは、やり過ぎだし、コスト的に無駄だと思われる。オンライン送金を規制しようがしまいが、いかれた犯罪を防げるわけでもないし…

「公共の福祉」という口実があるが…。毎日のように「暗号通貨を使ったテロ事件」が起きているのならまだしも、そんな事件は全然起きていないのだから、あまり説得力がない。…別にややこしい暗号通貨のランサムウェアを使わなくても、現在のでたらめなセキュリティー（OS自体、ブラウザ自体、巨大企業や政府機関が平然とプライバシー情報を収集している）においては、フィッシングやらオンライン詐欺やらアカウント乗っ取りはやりたい放題。実際、こっちの被害は日常的。むしろ「暗号通貨で身代金を払え！」などとやっても、被害者に「要求に応じる技術力がない」というオチだろう。

脱中心の「中抜き」で余計な手数料を省けるのは歓迎するし、アトミック・スワップのような「互いに相手を信用していない状態での安全な取引」は有用な技術だが、技術の運用に絡んでくる政治的な「規制」については、的外れなことが少なくない。プライベートな生活（私的な買い物の内容）をいちいち記録され、ひも付けられ、永久に保存され、ウェブで誰でも閲覧できるようにすることは、一種ディストピアとさえ思える。著作権関係のこともそうだが、政治家は「新しい技術」と相性が悪いようだ。今に始まったことではないが…。

今の世代の人はびっくりするだろうけど、昔のネスケ（ブラウザ）などは、国際版の暗号強度がわざと制限されていた。簡単に言うと…米国外の通信は、メールはもちろん、パスワードだろうがカード番号だろうが、米国内では解読・盗聴が自由自在な仕様だった。「RSAは軍事技術であり、兵器であり、輸出の規制を受ける」みたいなスタンスだった。数学的な命題・定理・アルゴリズムは単なる「事実」であり、人が独占・所有できるような性質のものではないはずなのだが、それが「わが国の兵器」として扱われていた（数学やFLOSSのコミュニティーから、批判があったことは言うまでもない）。ことほどさように、政治と技術は相性がいまいちなのである。

2021-12-01　とっても奇妙　時計ワールド　23 + 2 = 1

38.　前回「少し不思議　パラレルワールド」では 1 + 2¿ （1足す2ハテナ）のような変な数を考え、この種の数に潜む「悪」を垣間見た…「悪」というのは言葉のあやで、要するに「問題点」。

悪の組織「AB=42」団の例えからも分かるように、「素数の定義を厳重にしないと、悪と闘えない」。少々回りくどい定義だが、内容は別に難解でもなかった:

悪と闘う正義の定義　その世界において「どのような積 AB を考えても、もし AB が c で割り切れるなら、必ず A が c で割り切れるか、または B が c で割り切れる」という性質を持つ c を素数と呼ぶ。ただし 0 と単数は、素数と認めない。

「単数」の意味については後回しにして、ここで、奇妙な「時計ワールド」を観察してみたい。時計ワールドは24時間方式の「時」に対応し、例えば、23時の1時間後は0時:
　　23 + 1 = 0
あるいは、0時を起点に、5時間後に1回目のメールチェックをして、そのまた5時間後に2回目のメールチェックをして…と反復する場合、3回目のメールチェックの時刻は
　　5 × 3 = 15
だし、5回目のメールチェックの時刻は
　　5 × 5 = 1
となる。普通の計算と全く同じだが、ただし、結果が0未満や24以上になったら、24を加減して、0以上23以下の範囲の整数になるように調整してる。似たことは、日常、多くの人が無意識にやってるだろう。

時計ワールドの奇妙さは、もっと根本的なところにある。悪と闘う正義の定義に照らすと、時計ワールドにおいて c = 2 は素数。なぜかというと、この世界の任意の積 AB について、それが c = 2 で割り切れること（つまり偶数だということ）は、A または B の少なくとも一方が偶数だというのと、同じ意味（だって、もし両方奇数だったら、積は偶数にならないもの）。よし、2 は厳密な定義に照らして、素数と認定された。めでたし、めでたし…

…ちょっと待った！

時計ワールドでは
　　2 = 13 × 2　　（★）
が成り立つ。つまり 2 は素数の認定を受けておきながら、13 と 2 の積に分解されてしまう。「2 は素数だけど、1 と自分自身以外の約数 13 を持つ」…え～、そんなの、あり～？

ていうか、（★）が成り立つということは、（★）に（★）自身を代入すると、
　　2 = 13 × 2 = 13 × (13 × 2) = …
となって「因数分解が終わらない」。

「時計ワールド」は、見掛け以上に変てこ。

「時計ワールド」の存在によって一般論を乱されないように、概念の隅々までよく考える必要がある。悪と闘う正義の定義には「単数は素数と認めない」というただし書きがある。「2は単数なので、実は素数じゃないんだよ」という可能性は、あるだろうか？

39.　以下、内容的には当たり前のようなことばかりだけど、形式的な確認をしてみる…

定義1　a, b をある世界 W に属する要素とする。a が b の約数であるということは、その世界に ac = b を満たす c が存在すること。

例1.1　普通の整数の世界で、a = −5 は b = 30 の約数。なぜなら −5c = 30 を満たす c が、同じ世界に存在する（c = −6）。

この状況を「a は b を割る」「a は b を割り切る」「b は a で割り切れる」「b は a の倍数」とも表現する。

例1.2　「時計ワールド」で、a = 13 は b = 2 の約数。なぜなら 13c = 2 を満たす c が、同じ世界に存在する（c = 2）。

定義2　ある世界 W において、1 の約数は、単数と呼ばれる。「a が単数だということ」は、「ac = 1 を満たす c が存在すること」と同じ意味。このような c は a の逆数 と呼ばれ、a⁻¹ と表記される。時には 1/a とも表記される。

例2.1　普通の整数の世界で、a = −1 は b = 1 の約数だから、単数。b = 1 自身も 1 の約数だから、単数。

例2.2　ガウス整数の世界で、1, −1, i, −i の4個の数は単数。

例2.3　「時計ワールド」で、a = 5 は単数の一例。なぜなら 5c = 1 を満たす c が、同じ世界に存在する（c = 5）。一方、a = 2 は単数ではない。なぜなら 2c = 1 を満たす c が、同じ世界に存在しない（c は0～23の整数。一つずつ試すと、どれも 2c = 1 を満たさない）。

結局「2は単数なので、実は素数じゃないんだよ」という主張は、成り立たない。

どんな数でも、1 などの単数では割り切れる（もちろん「単数で割った商」でも、割り切れる）。けれど、それ以外の数で割り切れるかどうかは、ケースバイケース。

定義3　ある世界 W において、0 でも単数でもない要素 q があったとする。このとき…
　　「q = AB が成り立つときには、必ず A または B が単数になるしかない」
…という状況が起こり得る。この状況を「q は分解不可能だ」と言い表すことにする。

例3.1　普通の整数の世界で、q = −5 は分解不可能。q = 1 × (−5) つまり A = 1, B = −5 とか、q = (−1) × 5 つまり A = −1, B = 5 といった見掛け上の「分解」は考えられる。もちろん、その逆順、例えば q = (−5) × 1 つまり A = −5, B = 1 も成り立つ。けれど、どのパターンでも、A または B が単数になってしまう。…イメージ的には、この世界において −5 は「真の約数」を持たない。

例3.2　ガウス整数の世界では、q = −5 は分解不可能ではない（つまり分解可能）。例えば A = 2 + i, B = −2 + i とすると、q = AB が成り立つ。そして A も B も単数ではない。

定義4（再掲）　ある世界 W において、0 でも単数でもない要素 q が、次の性質を持つ場合を考えよう。
　　性質「任意の積 AB について、もし q が AB の約数なら、必ず q は A の約数であるか、または q は B の約数」
そのような q は素数と呼ばれる。

ちょっと抽象的で分かりにくいが、悪と闘う正義の定義と同内容。

参考　「分解不可能」という用語は、正式には既約（きやく）と表現される。「既に約されている＝真の約数を持たない＝これ以上は分解できない」という意味。

普通の整数の世界では、実は「分解不可能」と「素数」は同じ意味であり、「何でわざわざ話をややこしくするんだ」という感じもする。一方、前回観察したように、いろいろなパラレルワールドを考えた場合、「分解不可能」と「素数」が同じ意味になるとは限らない。このゴチャゴチャした状況をある程度スッキリさせるのが目標。特に、具体例として「ガウス整数の世界ではどうなのか」ということについて、白黒ハッキリさせたい。

新たなる伏兵は「時計ワールド」の存在。上記のようにかなりきっちり定義してみても、「時計ワールド」の奇妙さは、少しも説明がつかない。…実は、全ての議論の背景となる「ある世界」という部分に、問題が潜んでいる。「世界」とは何か。そこに属する要素を考えるのだから「集合」だろう。足し算やら掛け算やらを考えるのだから「代数構造を持つ集合」だろう。「時計ワールド」の代数構造は、「普通の整数の世界」のそれと、それほど変わらない。足し算・引き算・掛け算はちゃんと定義されるし、計算結果は少し変だけど、結合法則・分配法則・交換法則も成り立ちそうだ。もちろん基本となる要素 0 と 1 も含まれている。難しい言葉で言えば「可換環」（かかんかん）。実は、整数の仲間である「整域」（せいいき）も「可換環」の一種なのだが（ガウス整数やそのパラレルワールドは「整域」の例）、ただの「可換環」ではなく、それに加えて一つの条件をクリアしている。

その条件は、一見つまらないようなことで、形式的には、定義1～4と似た雰囲気を持つ:
　　整域の条件「その世界において、積 AB が 0 に等しいときは、必ず A または B が 0 に等しい」

当たり前の主張のようにも思える。AB = 0 なら A = 0 または B = 0 なんて、常識じゃん？　でも時計ワールドでは
　　12 × 2 = 0
のような現象が起きて、上記の常識が破られている。このほころびは「少し不思議」といった、ほろ酔い気分では済まされず、手に負えない悪影響をもたらす。それこそが「時計ワールド」の謎の正体だったのだ！

こら「時計ワールド」、おまえは、そもそも整域じゃないのだから、この議論に加わる資格はないのだっ。かわいそうだが、帰ってもらおう！

話を混乱させる「時計ワールド」を追い出して、話を整域に限定すると…。「整域においては、素数は分解不可能。その逆は、必ずしも成り立たない。つまり、分解不可能だからといって、素数とは限らない」…いかにも数学っぽい命題が出てきた。このくらいなら、頑張れば証明できそう。ゴールが見えてきた。

「整域」という限定（積が0なら、どっちかが0）が、なぜ必要なのか。その理由も、証明に必要な仮定として、自然と明らかになるだろう。

チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• 脱線だらけの数論入門　平明な言葉でピンとくる直観を
  • 2021-10-04　ピタゴラス・トリオで遊んじゃえっ　勉強だって遊んじゃえっ
  • 2021-10-05　フェルマーの最終定理: n=4 の場合　ピタゴラス・トリオで遊んじゃえっ
  • 2021-10-13　「ゴルゴ13」分解計画　　565+13i
  • 2021-11-03　ガウス整数から見た 3² + 4² = 5²　本当とは思えないほど美しい
  • 2021-11-13　バシェ／ベズの定理
  • 2021-11-17　直観的に分かる「第一補充法則」　かえって疑問が増えるけどｗ
  • 2021-11-23　ガウス整数から見た 3² + 4² = 5²　（その3）
  • 2021-11-27　少し不思議　パラレルワールド　1 + 2¿　（1足す2ハテナ）
• プライバシー　属人性のない「情報それ自体」の実存？
  • 2021-06-29　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
  • 2021-09-01　メール・プロバイダの安全性　あなたのメアドは何点？　定量的分析の一例
  • 2021-10-27　検索エンジン MetaGer　Webのプライバシーあれこれ
  • 2021-11-20　オンラインショッピング　Gmailで登録すると…　全店の詳細購入履歴が永久保存
  • 2021-11-28　Thunderbird 91 はひどい　バージョンアップ前にバックアップ推奨
• その他いろいろ
  • 2021-11-21　【150法】コンウェイの秘技【3～4桁の数を暗算で因数分解】
  • 2021-08-22　思い出の漫画（1）　岡田あーみん「ルナティック雑技団」
  • 2021-08-23　思い出の漫画（2）　岩館真理子「街も星もきみも」
  • 2021-09-05　思い出の漫画（3）　篠有紀子「パラレル」
  • 2021-05-29　動画注意報: madVRの色スケールがTV（16-235）になってしまう
  • 2021-05-08　log (1 + i) とか　複素関数って値の変数名がwで草
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-14　ω 乗
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
  • 2021-03-29　【動画作成】注意報　Vorbis/Opus音声はリスキー　直してほしいVLCのバグ
  • 2021-02-12　2項定理　ばかばかしいけど分かりやすい（？）説明
  • 2021-02-07　「シェルバトフの名著」とは
  • 2021-01-10　フィボナッチ数列の一般項の公式　一番簡単な方法？
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