[ 新着記事
| 数学・プログラミング
| 天文・暦
| シリア語・Unicode・詩
| ジョーク
| 漫画・アニメ
| 字幕
| 哲学・ファンタジー
| 全記事
| チラ裏 ]
チラ裏
「チラ裏」は適当な走り書き。誤字・誤記・脱線が多いです！
2022-07-03 プライバシー＆セキュリティー 北半球の初夏
CTemplar サービス終了
アイスランドのプライバシー志向メールプロバイダーが、2022年4月26日付けで「1カ月後の終了」を発表。明確な理由は公表されていないが、「規制圧力に屈するくらいなら終了する」という考え方だと思われる。
アイスランドっていってもペーパーカンパニーじゃないの？みたいな気はしてたけど…。アイスランドの規制強化もあって .is 神話は時代遅れ。
規制圧力・個人の尊厳の軽視は、残念ならがら、世界的にひどくなる傾向がある。支配力のある大企業やら権力者はずる賢く既得権益を確保し、格差が拡大する…みたいな感じ？
どさくさに紛れて、一部の国で遺伝子治療の全員強制が行われたのは、人道に対する大きな生傷となった（サウジアラビアの人からは直接話を聞く機会があった…）。最先端の遺伝子治療を受けたい人が受けるのは、全くもって本人の自由だけど、個人によっては宗教的なこととかもあるだろうし、なんか本人が嫌だといっても強制的にブスッてのは、ナチスとはいわないまでも傷害罪みたいなもんじゃね？ インフォームドコンセントで納得してという建前なんだろうけど…。生殖機能の一時的低下の件とか、ちゃんとインフォームドというか、事後的にフィードバックされてるのだろうか。人口が増え過ぎてるので、かえって結果オーライ？ｗ まー結局あまり実害はなさそうだけど、実害ないから意思に反して強制してもいいっていう考え方は、おかしいよね。最先端の遺伝子治療を（医学的には快挙だろうけど）ワクチンと言い換えるのも、うさんくさいし。
遺伝子治療自体に対する反対派では全くないんだけど、自分が賛成しているかどうかと無関係に「嫌がっている人に強制すること」には反対なんだよ。
MiCA はまだ未定とはいえ、オランダでは、既にCEXから自己管理ウォレットへのクリプト引き出しのとき、さまざまなプライバシー情報を尋ねられるようになってしまった（CEXのせいというより、法律上の義務化だが…）。
Proton（旧 ProtonMail）
プロトンについての頭痛のタネは、まず日付・時間が単純に 2022-07-03 12:34 みたいにISO標準フォーマットで表現できなくなったこと。「○曜日」「○日前」「○時間前」みたいな相対的表現だと（一般の人はそれでもいいのかもしれないが）、タイムゾーンがごちゃごちゃしているとき、前後関係が分からなくなる（例＝現地・水曜1時、コンピューター上・UTC火曜23時、北米火曜夕方みたいなとき 2 days ago って、いつ？）。それは特殊な問題かもしれないけど、Plain Text 表示ができなくなり HTML メールなので、セキュリティー的に怖い。そして .onion のくせに、クリアネットでCAPTCHA解かせるバカバカしさは、まじ嫌になる。
スクリプトが肥大化して遅くて、Proton のログインが完了する待ち時間にバックグラウンドで3カ所くらいログインできちゃうｗ
一方、潜在的に良いニュースとして、プライバシーコミュニティーのグル的な人が個人的に、プロトンにMonero対応を要請していて、very promising との感触を得ているとのこと。金融に関しては、腐ってもスイスか…。「銀行が顧客のプライバシーを漏らすのは刑法上の重罪」って伝統があるので、文化的にはプライバシーコインと相性はいいはず。しかーし、それもいつまで持つことか…。大国が「資金洗浄」「テロ資金」など、一般庶民の日常生活と無関係な口実で、ごり押ししてくるのは時間の問題。ぶっちゃけ、金融何ちゃら組織、昔はなかったし、別になくてもいいんだけど、できちまった利権はつぶせない。TSAと同じ「規制利権」。実効性のあまりない筋違いな規制について話し合い、毎年改訂を行い、それで給料をもらうお役人の生活がかかっているのだ！
Proton も TutaNota も CTemplar も、もともとあまり信用してなかったが、必ずしもそれらの会社が駄目というより、それを規制する政治的環境の問題もある。
EU内は、少し息苦しいかも…。ログ強制化については、サービスがTorフレンドリーである限り無問題だが、Tor網自体にも悪意のノードがあるので、別の意味で注意を要する。
2022年7月16日に予定されていた Monero のハードフォーク（HF）は、ソフト開発の遅れで、8月13日に延期された。
https://monero.observer/monero-hard-fork-rescheduled-13-august-2022/
6月16日にリリース予定だった v0.18 "Fluorine Fermi" は、まだリリースされていない。
少なくとも、メールプロバを通す限り「完全なプライバシーのあるメール」というコンセプトは、むずい。なるべく中央を通さないように、メール以外で何か考える方がいいかも…。
チラ裏のらくがきメモなので、ちょいとアレだが、直感的に何かやばくてね？いろんな意味で。
変形Trolley problem（思考実験）: 暴走している「何か」があって、このままだと地球上の多数の種が絶滅して生態系がやばくなります。このレバーを引くとそれを防げますが、代わりに、別の種が一つ犠牲になるかもしれません（たった一つといっても、何十億もの個体が生存している種です）。レバーを引くのは正しいでしょうか？
2022-07-03 4k+1型素数の無限 Hardy & Wrightバージョン
【1】 4k+1型の素数、つまり4で割って1余る素数（5, 13, 17 など）をバニラ素数と呼ぶことにする。バニラ素数が「有限種類しかない」と仮定して、矛盾を導く。この仮定上では、最大のバニラ素数 V が存在する。今 V 以下の全奇素数の積を t とする:
t = 3 × 5 × 7 × 11 × … × V
そして t2 + 4 を W とする:
《ま》 W = (3 × 5 × 7 × 11 × … × V)2 + 22
この数は、奇数の平方に 4 を足したものなので奇数: 2で割り切れない。5 以上 V 以下のどの素数で割っても 4 余って割り切れないし、3 で割ると 1 余って割り切れない。つまり W は V 以下の素数では割り切れず、W の素因数は、どれも V より大きい（W 自身が素数である可能性も含まれる）。ここで Hardy & Wright は、次の補題を使う。
補題（H&W13） x と y が互いに素なら、x2 + y2 の奇数の素因数は、バニラ素数に限られる。
この補題によると、上記 W の素因数はバニラ素数。つまり V より大きいバニラ素数が存在し、バニラ素数が「有限個しかない」という仮定は正しくない。□
高木の補題「x2 + 1 は4k+3型素数で割り切れない」（＝第一補充法則）は H&W13 の特別な場合に当たる。
上記の証明だけでは、あまり収穫がない（もっと簡単に同じ結論を導ける）。ところが――
【2】 奇数 1, 3, 5, 7, … の平方 1, 9, 25, 49, … は、どれも8で割ると1余る（つまり8k+1型の奇数）。
〔証明〕 任意の偶数は「2の倍数」なので、2a の形を持つ（a は、とある整数）。奇数は「偶数プラス1」なので、2a+1 の形を持つ。その平方は:
(2a+1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 4 × a(a+1) + 1
a と a+1 の一方は奇数、他方は偶数なので、a(a+1) は奇数と偶数の積で、偶数: 2k の形を持つ（k は、とある整数）。だから:
(2a+1)2 = 4 × a(a+1) + 1 = 4 × 2k + 1 = 8k+1
となる。□
(3 × 5 × 7 × 11 × … × V)2 も「奇数の平方」なので、8k+1の形を持つ。従って、それに4を足した《ま》は、8k+5型の奇数。
「4で割って1余る自然数」を小さい順に並べると、
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, … 「4k+1型」（1から始めて4ずつ増える）
となり、当たり前のことだが「8で割ると1余る数」と「8で割ると5余る数」が交互に現れる:
1, 9, 17, 25, … 「8k+1型」（1から始めて8ずつ増える）
5, 13, 21, … 「8k+5型」（5から始めて8ずつ増える）
つまり、4k+1型の数は、8k+1型と8k+5型の2種類に分類可能。
さて、《ま》の素因数が4k+1型に限られることは【1】の通りだが、それらは果たして、8k+1型だろうか、それとも8k+5型だろうか？
8k+1型の数同士を掛け合わせても、再び8k+1型にしかならないことに注意しよう。
〔例〕 9 × 17 = 153 = 8⋅19 + 1
〔証明〕 任意の2個の8k+1型の数、8a+1 と 8b+1 を選ぶ。それらの積は:
(8a+1)(8b+1) = 8a × 8b + 8a + 8b + 1 = 8(a × 8b + a + b) + 1
これは、8の倍数プラス1。□
〔別証明〕 A ≡ 1, B ≡ 1 の積は AB ≡ 1 (mod 8)。□
従って、もしも《ま》の W の素因数が「全部8k+1型」なら、それらの積 W は再び8k+1型になるが、実際には W は8k+5型なのだから、その素因数が「全部8k+1型」ということは、あり得ない。つまり W の素因数の少なくとも一つは8k+5型（そして、W のどの素因数も V より大きい）。このことは「どんな大きな V を選んでも、V より大きい8k+5型素数が存在すること」を意味する。要するに、8k+5型素数も際限なく存在する。新しい事実が判明した！
〔例1〕 バニラ素数が {5, 13} だけと仮定。W = (3⋅5⋅7⋅11⋅13)2 + 4 = 225450229 は8k+5型素数。
〔例2〕 バニラ素数が {5, 13, 17} だけと仮定。W = (3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17)2 + 4 = 65155115029 は8k+5型。その素因数分解は 53 × 3821 × 321733 で、どの因数も8k+5型で V より大。
〔例3〕 バニラ素数が {5, 13, 17, 29} だけと仮定。W = (3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17⋅19⋅23⋅29)2 + 4 = 10464232622576958229 は8k+5型。その素因数分解は 4229 × 59753 × 41410453417。3個の素因数のうち、4229 は8k+5型、残り2個は4k+1型（8k+5型の2数の積は8k+1型なので、W の素因数分解には、8k+5型素数が奇数個含まれる）。
【3】 証明を完成させるためには、補題（H&W13）を示す必要がある。4k+3型素数をチョコレート素数と呼ぶことにする。
証明 x2 + y2 = n と置いて、n の素因数を考える。ガウス整数を使って書き直すと:
(x + yi)(x − yi) = n
G = x + yi, H = x − yi と置くと GH = n
ガウス整数の範囲で、G が s 個のガウス素数の積に分解されるとしよう:
G = P1P2…Ps
このとき G と共役の H も、s 個のガウス素数の積に分解される:
H = Q1Q2…Qs （対応する因子 P○ と Q○ もそれぞれ共役）
普通の素数との関係において、ガウス素数は、「普通の素数2を二つに砕いたもの（ramified）」「バニラ素数を二つに砕いたもの（split）」「チョコレート素数そのもの（inert）」の3種類に分類される（単数倍の違いは無視）。
G の因子 P○ のどれかが「2を砕いたもの」（例えば 1 + i）だったとすると、対応する Q○ はその共役 1 − i なので、GH = n は P○Q○ = 2 で割り切れる。この場合、n は素因数 2 を持つ（偶数の素因数）。
一方、P○ のどれかが「バニラ素数 v を砕いたもの」（例えば 2 + i）だったとすると、対応する Q○ はその共役なので、GH = n は P○Q○ = v で割り切れる。この場合、n はバニラ素数の因数 v を持つ（奇数の素因数）。
最後に、P○ のどれかがチョコレート素数 c（例えば 7）という可能性はあるだろうか？ もしあったとすると、G = x + iy が P○ によって――つまり普通の整数 c によって――割り切れるのだから、x も y も c で割り切れる。これは「x と y は互いに素」という仮定に反するので、あり得ない。
従って、n の奇数の素因数は、バニラ素数に限られる。□
この補題の証明は、入門書の第1章で扱うには、適さないだろう。Hardy & Wright もそれを第20章（定理366）まで先延ばしにしているが、そこで4種類もの証明を与えている。しかも、それは4平方和の定理（定理369）という、もっと大きな文脈の中での話であり、4平方和の定理自身にも、全く趣の違う3種類の証明が与えられている。一つ目は古典的だが、二つ目は四元数を使うもの（！）、三つ目は楕円関数に関連する Ramanujan 的アプローチ（！！）。Hardy & Wright の醍醐味といえよう…。ありふれたフランス料理をアイルランド風や、インド風にアレンジする天才シェフのようだ。
論理的には、同じことを別の方法で3度も4度も証明し直す必要はないんだけど、やっぱり「楽しいから！」なんだろう。「四元数」なんて意表を突くアプローチは、何ともマニアックで好奇心を刺激される。
かくして、4k+1型素数（バニラ素数）が無限に存在することだけでなく、8k+5型素数も無限に存在することが証明された。事実として 8k+1, 8k+3, 8k+5, 8k+7 型素数は、それぞれ無限にあるのだが、そのことを普通に証明しようとすると、平方剰余の繊細な議論になる（Sierpiński: Elementary Theory of Numbers, Chap. IX）。8k+5型のショートカットは、ちょっぴりいい気分…。
2022-07-01 Hardy & Wright の古典的名著 その魅力と短所
数論の名著と言えば、異論の余地なく高木の『初等整数論講義』だろう。細かく見ればいろいろ欠点もあるだろうが、世界で最も美しい本の一つだと思われる。
さて、日本語圏では若干その陰に隠れる形になっているが、Hardy & Wright の An Introduction to the Theory of Numbers も古典的名著だろう。
一般的な教科書と違い、厳密性や論理構造を第一目標にせず、面白さを優先している。著者自身が、心から楽しんでいる（高木の本もそうだが）。他のどの本にも載っていないような結果がどしどし紹介される一方、公理論的扱いは回避され、環は登場せず、イデアルも主役にならない。初版の序文にはこうある。
We have often allowed our personal interests to decide our programme, and have selected subjects less because of their importance [...] than because we found them congenial and because other writers have left us something to say.
講義内容を決めるに当たっては、自分たちの興味を優先させ、重要性にはあまりこだわっていません。個人的に心に響くと感じること、他の著者があまり書いていないことを積極的に取り上げています。
Our first aim has been to write an interesting book, and one unlike other books. We may have succeeded at the price of too much eccentricity, or we may have failed; but we can hardly have failed completely, the subject-matter being so attractive that only extravagant incompetence could make it dull.
第一目標は、面白い本、他とは違う本を書くこと。成功したかもしれませんが、その代わり、ひどくエキセントリックな本になってしまったかもしれません。あるいは失敗したかもしれません。でも完全な失敗ということもないでしょう――素材そのものが魅力的なので、よほど間抜けな料理人でもない限り、誰がどう料理しても、そうまずくはならないというわけです。
「エキセントリック」を象徴する例は、ラマヌジャン…。Hardy はラマヌジャンの「発見者」ということもあって、入門書なのに、やたらとラマヌジャンの（奇妙な）研究が紹介される。特別な予備知識は、ほとんど何も要求されない。ベクトルも行列も必要ない。それでいて、代数的数論はもとより、解析的数論に踏み込むことがある。フェルマーの最終定理を証明した Wiles も、子どもの頃、本書で数論の幅広さを知り、それが全ての出発点になったという。
Curios! でおなじみの PrimePages には、この本について次のような趣旨のコメントがある。
「著者たち自身、内容に大きなギャップがあること、深みに欠けることを認めている。それなのに、なぜ本書は、これほどまでに高く評価される古典となったのだろうか。初版の序文を読むと、理由が分かる気がする」
https://primes.utm.edu/notes/hw_index.html
高木の序言のキーワードは「玲瓏にして…」だろう。論理的に完全な証明ができても、トリッキーで見通しが悪いと、高木は不満そうに「不透明」と評する。隅々まですっきり見通せる視点に到達すると、満足そうに「透明」と表現する。高木の講義は、透明なる高みへの明確な方向性を持つ。当時はまだ新奇だったイデアル論。「その意義を分かりやすく、順を追って解説したい」という強いモチベーションが感じられる。
一方、Hardy & Wright のキーワードは congenial（琴線に触れる）かもしれない。「重要かどうか」「どの方向に進みたいか」など、あまり気にしない。それ自体が好奇心を刺激すれば、それでいい。「興味深い話題を広く浅く」「あくまで出発点」というスタンス。
そんな楽しい H-W だが、短所としては、意外とミスプリントが多い。入門者の立場だと、ささいな誤植のせいでひどく混乱することがある…。さいわい最新版については正誤表が公開されているが、第4版ではなかった誤植が第6版で増えていたりして、訳が分からない。
https://www1.maths.ox.ac.uk/groups/number-theory/misprints-hardy-wright-and-titchmarsh
5, 13, 17 のような「4で割って1余る素数」は無限に存在する。前回それを紹介したとき「高木の証明の方が美しい」というようなことを書いて H-W の証明法には触れなかった。
H-W の方法は、確かに4k+1型に関する限り非効率なのだが、4k+1型を8k+5型の特別な場合として扱う。8k+5型は、まともにやると平方剰余の議論になって少し深い。H-W は、それを割と初等的に、第1章でやってしまう（といってもギャップのある証明で、後からガウス整数を経由してギャップを埋めるのだが）。
Hardy & Wright は、今普通に買うと、1～2万円くらいするかも（めちゃくちゃなドル高）。物理的に手に入れたい方は、図書館で借りるのが最も現実的かもしれない。「ポンド払いで英国の古本屋さんから送ってもらう」という方法もあり、探せば数千円で入手できるかもしれない。裏技としては、中国版という手も（哈代数论英文版）。かつて日本語訳が発行されたこともあるのだが、これは残念な品質だった: まれに見る機械的な直訳。訳した人は立派な数学者なのだろうけど、語学・翻訳に関しては経験が浅かったらしい。文の流れが分からなくて1語1語無理やり訳しているような箇所や、結果として意味が正反対になっている箇所が目立った。
一般に A, B が互いに素のとき、Ak+B型の素数が無限にあることは Dirichlet の定理であり、その証明は長くて難しい（厳密志向の高木は付録としてこれを証明しているが、楽しさ志向の H-W は証明しない）。
実は「無限に存在すること」を証明しなくても「少なくとも一つ存在すること」を証明できれば十分。ポーランドの数学者 Sierpiński が丁寧に解説している。
Sierpiński: Elementary Theory of Numbers
https://eudml.org/doc/219306
Ak+B の一般論は難しくても、いろいろな具体的な A と B の値については（例えば 4k+1 のような特別な場合は）、直接証明できる。この件は、もう少し研究してみる価値がありそうだ！ （続く）
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。forum.doom9.org / videolan.org
Tor Project | Anonymity Online / 
Tor Browser
The SeaMonkey® Project
LibreWolf Browser