（遊びの数論50）

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2025-10-06　「ニュートンの式」の実践的活用　フェルマーの最終定理に

#遊びの数論　#ジラルの公式　#FLT

解のべき和に関するニュートンのメタ公式。見掛けは簡単だが、証明は意外と面倒…

「ニュートンの式・軽妙な入門」では、それをうまく導入する方法（ライヒシュテインによる）を紹介した。でも証明が中心で、実際にその式をどう活用するのか？という、実践面が充実していなかった。「n 次方程式の n 個の解の m 乗和を求める」――そんな例題は「問題のための問題」のようなもんで、「それが何の役に立つの？」という展望に欠ける。

「フェルマーの最終定理の n = 7 の場合」のジェノッキによる巧妙な証明では、3次方程式の3解の7乗和の公式が一つの土台となる。「フェルマーの最終定理」は超有名問題だし、ジェノッキの証明法は平易で面白い。いい機会なので、そこで必要になる「7乗和の公式」を「ニュートンの式」から導出してみたい。「説明用の無味乾燥な例」ではなく「有名問題の解決に役立つ実例」。

「公式を再帰的に使うだけ」と言ってしまえばそれまでだが、この計算では符号ミスをしやすい。符号ミスを防ぐ工夫なども検討したい。

大文字の A, B, C, ··· で、次のように方程式の係数（定数項を含む）を表すことにする（最高次の係数は 1 とする）。

例　4次方程式なら、
　　x⁴ − Ax³ + Bx² − Cx + D
5次方程式なら、
　　x⁵ − Ax⁴ + Bx³ − Cx² + Dx − E
6次方程式なら、
　　x⁶ − Ax⁵ + Bx⁴ − Cx³ + Dx² − Ex + F
等々。 m 次式の m−1 次の係数は A、 m−2 次の係数は B、·· ·。係数の文字の符号設定はマイナスとプラスが交互。

〔注〕　「係数の具体的な数値として、負の数・正の数が交互に現れる」という意味ではない。例えば、係数の具体的数値が 5, −2, −3, ··· なら A = −5, B = −2, C = +3, ··· となり、係数の具体的数値が −5, 2, 3, ··· なら A = +5, B = +2, C = −3, ··· となる。（要するに、奇数番目の係数は、符号を変えたものが A, C 等に格納され、偶数番目の係数は、そのまま B, D 等に格納される。）

「m 次方程式の m 個の解の m 乗和」を考える。具体的には…

1次方程式 x − A = 0 の解（その解を x = a とする）の1乗和（和といっても、とりあえず1項しかないが）を
　　ƒ₁ = a¹
とし、2次方程式 x² − Ax + B = 0 の2解 x = a, b の2乗和を
　　ƒ₂ = a² + b²
としよう。3次方程式 x³ − Ax² + Bx − C = 0 の3解 x = a, b, c の3乗和を
　　ƒ₃ = a³ + b³ + c³
とし、4次方程式 x⁴ − Ax³ + Bx² − Cx +D = 0 の4解 x = a, b, c, d の4乗和を
　　ƒ₄ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴
としよう。以下同様に進めて、一般に m 次方程式
　　x^m − Ax^m−1 + Bx^m−2 − ··· 
の m 個の解 a, b, c, ···  の m 乗和を
　　ƒ_m = a^m + b^m + c^m + ··· + (m 個目の解)^m
とする。

このとき、次の関係が成り立つ（Newton の恒等式たちの一つの書き方。導出については後述）。
　　ƒ₁ = Aƒ₀
　　ƒ₂ = Aƒ₁ − Bƒ₀
　　ƒ₃ = Aƒ₂ − Bƒ₁ + Cƒ₀
　　ƒ₄ = Aƒ₃ − Bƒ₂ + Cƒ₁ − Dƒ₀
　　ƒ₅ = Aƒ₄ − Bƒ₃ + Cƒ₂ − Dƒ₁ + Eƒ₀
　　　︙
　　ƒ_m = Aƒ_m − Bƒ_m−1 + Cƒ_m−2 − ···

上記の関係は「m 次方程式の m 個の解の m 乗和」に限らず、一般に「任意の n 次方程式の n 個の解の m 乗和」についても、同様の等式が成り立つ（方程式の次数 n は、 m より小さくても、 m に等しくても、 m より大きくてもいい）。ただし、方程式の次数 n つまり解の個数 n とは無関係に、解の m 乗和 ƒ_m を考える場合には ƒ₀ = m と約束する。そのような ƒ₀ を使って求めた ƒ₁, ƒ₂, ···  は、どれも m の値と無関係に有効。

(1)　ƒ₁ については ƒ₀ = 1 なので、上の式から、 ƒ₁ = Aƒ₀ = A⋅1 = A。以下では、いつでも ƒ₁ に A を代入することができる。

(2)　従って、
　　ƒ₂ = Aƒ₁ − Bƒ₀ = A⋅A − B⋅2 = A² − 2B
となる（前記のように、 ƒ₂ を求めるときには ƒ₀ = 2 であることに注意）。以下では、いつでも ƒ₂ に A² − 2B を代入することができる。

(3)　得られた ƒ₁, ƒ₂ の式を ƒ₃ についての式に代入すると:
　　ƒ₃ = Aƒ₂ − Bƒ₁ + Cƒ₀
　　 = A⋅(A² − 2B) − B⋅A + C⋅3 = A³ − 3AB + 3C

(4)　ƒ₄ = Aƒ₃ − Bƒ₂ + Cƒ₁ − Dƒ₀
　　 = A⋅(A³ − 3AB + 3C) − B⋅(A² − 2B) + C⋅A − D⋅4
　　 = A⁴ − 4A²B + 4AC − 4D + 2B²

ジラルの4乗和公式が得られた。参考までに、もう一段階進めてみる。

(5)　ƒ₅ = Aƒ₄ − Bƒ₃ + Cƒ₂ − Dƒ₁ + Eƒ₀
　　 = A⋅(A⁴ − 4A²B + 4AC − 4D + 2B²) − B⋅(A³ − 3AB + 3C) + C⋅(A² − 2B) − D⋅A + E⋅5
　　 = (A⁵ − 4A³B_ア + 4A²C_イ − 4AD_ウ + 2AB²) − (A³B_ア − 3AB² + 3BC) + (A²C_イ − 2BC) − AD_ウ + 5E_エ
　　 = A⁵ − 5A³B_ア + 5A²C_イ − 5AD_ウ + 5E_エ + 5AB² − 5BC

これらの公式は、見た目ほど複雑ではない。第一に、 m が何であれ、根の m 乗和の公式は、
　　ƒ_m = A^m − mA^m−2B + mB^m−3 − ·· · 
という「単純部分」を含んでいる。例えば m = 5 なら、まず A⁵ と書いて、その後ろに、指数を 2 減らした項から順々に
　　A³, A², A¹, A⁰ (=1)
の項を書き、それぞれに B, C, D, E を掛けて全部 (m =) 5 倍すればいい。この型のべき和公式における符号については、アルファベット順で奇数番目の文字 A, C, E, ·· · はプラス、 B, D, F, ·· · はマイナス（偶数個あればプラス）に決まっているので、個々の公式の各項ごとに個別に記憶する必要もない。問題は「非単純部分」だが、 ƒ₃ までの式には「単純部分」しかなく、 ƒ₄ には 2B² が一つあるだけ、 ƒ₅ には 5AB² と BC の二つがあるだけなので（それらの項の符号も今述べた同じ規則に従う）、 ƒ₅ の公式の係数は A⁵ 以外は全部 ±5 という事実と考え合わせると、覚えることは意外と少ない。

例題1　3次方程式 x³ + 3x² + 9x + 14 = 0 の解を a, b, c とする。 ƒ₂ = a² + b² + c² と ƒ₃ = a³ + b³ + c³ を求める。

〔解〕　与えられた式について x³ − Ax² + Bx + C に当てはめると A = −3, B = 9, C = −14。よって:
　　ƒ₂ = A² − 2B = (−3)² − 2⋅9 = 9 − 18 = −9
　　ƒ₃ = A³ − 3AB + 3C = (−3)³ − 3⋅(−3)⋅9 + 3⋅(−14)
　　 = −3 × (9 − 27 + 14) = (−3) × (−4) = 12

〔注〕　与式 x³ + 3x² + 9x + 14 = (x + 2)(x² + x + 7) の根は x = −2, (−1 ± 3√−3)/2。この三つの数を a, b, c として a² + b² + c² を直接計算してもいいが、少し面倒。 a³ + b³ + c³ の直接計算はさらに面倒。解と係数の関係を使う方が手っ取り早い。

根の m 乗和の公式は、方程式の次数 n と無関係に同じ式が有効。その際、もし n が m より大きければ、余った係数は無視すればいい。

例題2　5次式 x⁵ − x⁴ − 10x³ + 10x² + 16x + 12 の五つの根を a, b, c, d, e とする。それらの3乗和 ƒ₃ = a³ + b³ + c³ + d³ + e³ を求める。

〔解〕　A = +1, B = −10, C = −10, D = +16, E = −12 に当たるが（奇数番目の文字 A, C, E の値は、方程式の係数とは符号を反転させることに注意）、根の3乗和の公式
　　ƒ₃ = A³ − 3AB + 3C
では D 以下は不要。 A = 1, B = −10, C = −10 だけを使って:
　　ƒ₃ = 1³ − 3⋅1⋅(−10) + 3⋅(−10) = 1 + 30 − 30 = 1

〔参考〕　与えられた5次式 = (x + 3)(x⁴ − 4x³ + 2 x² + 4x + 4) の一つの根は a = −3 だが、余因子 x⁴ − 4x³ + 2 x² + 4x + 4 の根
　　b = 1 + √(2 + √−3), c = 1 − √(2 + √−3), d = 1 + √(2 − √−3), e = 1 − √(2 − √−3)
を求めることは、ちょっと面倒。まして、これらの数値を使って a³ + b³ + c³ + d³ + e³ を直接計算するのは大変。根のべき乗和の公式を使えば、上記のように簡単な処理で済む。

一方、もし方程式の次数 n が m より小さければ、根の m 乗和の公式の「過剰な文字」については、値 0 と見なして無視すればいい。例えば、3次方程式の係数データは A, B, C の三つだけで D, E はない。この場合、もし D, E の値が必要なら D = 0, E = 0 と見なす。

例題3　例題1と同じ3次方程式 x³ + 3x² + 9x + 14 = 0 の3解 a, b, c について、 ƒ₄ = a⁴ + b⁴ + c⁴ と ƒ₅ = a⁵ + b⁵ + c⁵ を求める。

〔解〕　A = −3, B = 9, C = −14。ジラルの4乗和公式
　　ƒ₄ = A⁴ − 4A²B + 4AC − 4D + 2B²
において −4D の項を（D = 0 と見なして）無視すると:
　　ƒ₄ = (−3)⁴ − 4⋅(−3)²⋅9 + 4⋅(−3)⋅(−14) − 4⋅0 + 2⋅9²
　　 = 81 − 4⋅81 + 4⋅42 + 2⋅81 = (−1)⋅81 + 168 = 87
同様に、5乗和の公式
　　ƒ₅ = A⁵ − 5A³B + 5A²C − 5AD + 5E + 5AB² − 5BC
において D, E を含む項を無視すると（3⁵ = 3³⋅9 = 3 × 9² = 243 に留意）:
　　ƒ₅ = (−3)⁵ − 5⋅(−3)³⋅9 + 5⋅(−3)²⋅(−14) − 0 + 0 + 5⋅(−3)⋅9² − 5⋅9⋅(−14)
　　 = −243 + 5⋅243 + 5⋅(−126) + 5⋅(−243) + 5⋅126 = −243

仮に話を「3次方程式」に限って解の4乗和・5乗和・6乗和などを考えるなら、どうせ解の m 乗和の公式の D, E, F などは無視されるのだから、最初から――公式を生成する段階から―― D, E, F などを無視してもいいことになる。つまり、汎用バージョンの
　　ƒ₄ = Aƒ₃ − Bƒ₂ + Cƒ₁ − Dƒ₀
　　ƒ₅ = Aƒ₄ − Bƒ₃ + Cƒ₂ − Dƒ₁ + Eƒ₀
　　　︙
の代わりに、3次方程式限定なら、
　　ƒ₄ = Aƒ₃ − Bƒ₂ + Cƒ₁
　　ƒ₅ = Aƒ₄ − Bƒ₃ + Cƒ₂
　　ƒ₆ = Aƒ₅ − Bƒ₄ + Cƒ₃
　　ƒ₇ = Aƒ₆ − Bƒ₅ + Cƒ₄
だけでも足りる。

具体的には（ƒ₃ = A³ − 3AB + 3C と ƒ₂ = A² − 2B については既に知っているとすると）:
　　ƒ₄ = Aƒ₃ − Bƒ₂ + Cƒ₁
　　 = A⋅(A³ − 3AB + 3C) − B⋅(A² − 2B) + C⋅A
　　 = A⁴ − 4A²B + 4AC + 2B²
さらに、この3次方程式限定の ƒ₄ を使って3次方程式限定の ƒ₅ を生成すると:
　　ƒ₅ = Aƒ₄ − Bƒ₃ + Cƒ₂
　　 = A⋅(A⁴ − 4A²B + 4AC + 2B²) − B⋅(A³ − 3AB + 3C) + C⋅(A² − 2B)
　　 = A⁵ − 5A³B + 5A²C + 5AB² − 5BC

例題3の計算内容を考えると、最初から「限定バージョン」の ƒ₄, ƒ₅ を使っても良かった。同様に進めると:
　　ƒ₆ = Aƒ₅ − Bƒ₄ + Cƒ₃
　　 = A⋅(A⁵ − 5A³B + 5A²C + 5AB² − 5BC) − B⋅(A⁴ − 4A²B + 4AC + 2B²) + C⋅(A³ − 3AB + 3C)
　　 = A⁶ − 6A⁴B + 6A³C + 9A²B² − 12ABC − 2B³ + 3C²
そして:
　　ƒ₇ = Aƒ₆ − Bƒ₅ + Cƒ₄
　　 = A⋅(A⁶ − 6A⁴B + 6A³C + 9A²B² − 12ABC − 2B³ + 3C²)
　　 − B⋅(A⁵ − 5A³B + 5A²C + 5AB² − 5BC)
　　 + C⋅(A⁴ − 4A²B + 4AC + 2B²)
　　 = A⁷ − 7A⁵B + 7A⁴C + 14A³B² − 21A²BC − 7AB³ + 7AC² + 7B²C

3次方程式の解の7乗和の公式が得られた！　フェルマーの最終定理の n = 7 の場合の研究に役立つ。

実際には、もちろん変数を表す文字は x とは限らず、係数を表す文字は A, B, C などとは限らない。例えば、もともとの3次方程式を
　　U³ − pU² + qU − r = 0
としよう。その場合 A = p, B = q, C = r なので^†、解の7乗和は:
　　ƒ₇ = p⁷ − 7p⁵q + 7p⁴r + 14p³q² − 21p²qr − 7pq³ + 7pr² + 7q²r

U³ − pU² + qU − r = 0 の3解を a, b, c の代わりに x, y, z と呼ぶなら、それらの7乗和 x⁷ + y⁷ + z⁷ が上記 ƒ₇ に当たる。

†　奇数番目の大文字 A, C の値は、方程式の対応する係数とは符号が逆になることに注意。2次の係数 −q から A = +q、定数項（0次の係数）の −r から C = +r だ。早い話、その下の p⁷ から始まる式は、 A⁷ から始まる公式の A, B, C をそれぞれ p, q, r に置き換えただけ。

この導出の理論的根拠となる「ニュートンの式」との関係は、次の通り。

ニュートンの恒等式たちは、表記のバリエーションが豊富だけど、例えば次のような形を持つ（詳細・証明については「ニュートンの式・軽妙な入門」参照）。
　　p₁ + S₁⋅1 = 0
　　p₂ + S₁⋅p₁ + S₂⋅2 = 0
　　p₃ + S₁⋅p₂ + S₂⋅p₁ + S₃⋅3 = 0
　　p₄ + S₁⋅p₃ + S₂⋅p₂ + S₃⋅p₁ + S₄⋅4 = 0
　　p₅ + S₁⋅p₄ + S₂⋅p₃ + S₃⋅p₂ + S₄⋅p₁ + S₅⋅5 = 0

ここで p₁, p₂ などは ƒ₁, ƒ₂ などと同じ意味（単に別の文字を使っただけ）。 S₁, S₂, S₃ などは、与えられた方程式の係数をそのまま（奇数番目の値の符号を変えずに）使ったもの。前記 A, B, C などは、奇数番目の係数については、係数の値と符号を逆に設定するので、アルファベット順で奇数番目の大文字は、
　　A = −S₁, C = −S₃, E = −S₅, ···
のように、符号が逆になる。偶数番目の大文字は、次のようにどちらの表記でも（符号も値も）等しい。
　　B = S₂, D = S₄, F = S₆, ···

上の形式のニュートンの式をそのまま使う場合、まず p₁ + S₁⋅1 = 0 なので、
　　p₁ = −S₁
となる。次に p₂ + S₁⋅p₁ + S₂⋅2 = 0 なので、移項して上記の等式を代入すると、
　　p₂ = −S₁⋅p₁ − 2S₂ = (−S₁)⋅(−S₁) − 2S₂ = (−S₁)² − 2S₂
となる。ここでもちろん (−S₁)² は (S₁)² に等しいが、説明の便宜上、マイナスの2乗をマイナスの2乗のままで表記しておく。

同様に進めると:
　　p₃ = −S₁⋅p₂ − S₂⋅p₁ − 3S₃
　　 = (−S₁)⋅[(−S₁)² − 2S₂] − S₂⋅(−S₁) + 3(−S₃)
　　 = [(−S₁)³ − 2(−S₁)⋅S₂] − (−S₁)⋅S₂ + 3(−S₃)
　　 = (−S₁)³ − 3(−S₁)⋅S₂ + 3(−S₃)
となり、さらに、
　　p₄ = −S₁⋅p₃ − S₂⋅p₂ − S₃⋅p₁ − 4S₄
　　 = (−S₁)⋅[(−S₁)³ − 3(−S₁)⋅S₂ + 3(−S₃)] − S₂⋅[(−S₁)² − 2S₂] − S₃⋅(−S₁) − 4S₄
　　 = [(−S₁)⁴ − 3(−S₁)²⋅S₂ + 3(−S₁)(−S₃)] − (−S₁)²⋅S₂ + 2(S₂)² + (−S₁)(−S₃) − 4S₄
　　 = (−S₁)⁴ − 4(−S₁)²⋅S₂ + 4(−S₁)(−S₃) − 4S₄ + 2(S₂)²
となる。この最後の例は、ジラルの4乗和公式
　　A⁴ − 4A²B + 4AC − 4D + 2B²
と全く同じ意味だが、内容は同じでも符号がゴチャゴチャして、実用上扱いにくい。

ニュートンの恒等式たちを
　　p₁ + S₁⋅1 = 0
　　p₂ + S₁⋅p₁ + S₂⋅2 = 0
　　p₃ + S₁⋅p₂ + S₂⋅p₁ + S₃⋅3 = 0
　　　︙
のように書くのは、導出（恒等式の証明）の仕方や目的によっては便利かもしれないけど、ジラルの公式のような実践的文脈では、
　　S₁ = −A, S₂ = B, S₃ = −C, S₄ = D, ···
と置いて、次のように書き換えた方が都合がいい。
　　p₁ − A⋅1 = 0
　　p₂ − A⋅p₁ + B⋅2 = 0
　　p₃ − A⋅p₂ + B⋅p₁ − C⋅3 = 0
　　　︙
移項すると:
　　p₁ = A⋅1
　　p₂ = Ap₁ − B⋅2
　　p₃ = Ap₂ − Bp₁ + C⋅3
　　　︙

このメモの前半では、この形式で p の代わりに ƒ を使い、さらに「ƒ_m の計算においては ƒƒ₀ は整数 m を表す」と約束することで、表記を簡潔化した。実質は「普通のニュートンの式」全く同じ。変数名や符号の設定を変えたり、移項したりしただけなので…

S₁, S₂, S₃, ··· の表記では、多項式の係数を（符号を変えずに）そのまま扱うことができる。方程式の研究などでは理論上、便利なことがある。他方、奇数番目の符号を変えたものは「解についての基本対称多項式」に等しく、別の文脈ではそっちの符号設定の方が便利。

そんなわけで「解と係数の関係」では、場合によって符号の設定の仕方が異なり、紛らわしい。その上、もともとの方程式も、
　　x⁵ + a₁x⁴ + a₂x³ + a₃x² + a₄x + a₅ = 0
の代わりに、しばしば「奇数番目の係数の符号」をマイナスにして、
　　x⁵ − a₁x⁴ + a₂x³ − a₃x² + a₄x − a₅ = 0
のような形式で記される。（その特定の文脈での）変数の符号設定を便利にするための措置だが、そのせいで、かえってますます符号の扱いに混乱が生じることも…。元祖ニュートン自身のノートの記述にも符号ミスや計算ミスがあったほどで、誰がやっても間違いやすい。

実践上、符号の混乱を避け余計な労力を省くため、この場合 A, B, C 形式を基本にするのが便利だと思われる。「奇数番目の文字 A, C 等はプラス属性、偶数番目の文字 B, D 等はマイナス属性」――と考えると、公式ごとに細かく符号を覚える必要がなくなる（この件については「忘れられた偉人ヒルシュ」参照）。最初に A, B, C 等の値を設定するときだけ、多項式の奇数番目の係数（A, C など）は符号を逆にして読み取ることに留意。このアプローチなら、符号の扱いの苦労からほぼ解放されるだろう。

例えば、
　　x⁷ + y⁷ + z⁷ = p⁷ − 7p⁵q + 7p⁴r + 14p³q² − 21p²qr − 7pq³ + 7pr² + 7q²r
の右辺は、プラスの項とマイナスの項が複雑に入り乱れているように見える。ところが次の見方をすると、プラスかマイナスかは直ちに明白になる。すなわち p, q, r はそれぞれ A, B, C であり、上述のことから p, r はプラス属性なので、符号に関係しない。マイナスの原因になるのは、マイナス属性の q だけ。「因子 q を奇数個含む項」はマイナスになり、それ以外の項は全部プラスになる。