妖精現実

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2025-12-23　n が 4 の倍数のときのガウス和　ふたやふたやよ

次のような和 W を考える。

n = 4 の例。 1 の原始4乗根（§7）のうち偏角 90° のものを r とする、つまり r = √−1 = i と。
　　W = r⁰ + r¹ + r⁴ + r⁹
は何になるか（r の肩の指数は、四つの平方数 0², 1², 2², 3²）。 r⁴ = 1 に留意して、指数を簡約（4 で割った余りで置き換える）:
　　W = r⁰ + r¹ + r⁰ + r¹ = 2(r⁰ + r¹)
4項の和のうち、前半2項と後半2項が同じ値の反復。もちろん = 2(1 + i) = 2 + 2i、あえて書けば √4 + i√4 だ。

n = 8 の例。 1 の原始8乗根のうち偏角 45° のものを r とする、つまり r = √i = √2/2 + i√2/2 と^†。
　　W = r⁰ + r¹ + r⁴ + r⁹ + r¹⁶ + r²⁵ + r³⁶ + r⁴⁹
は何になるか（指数は八つの平方数 0², 1², 2², ···, 7²）。 r⁸ = 1 に留意して指数を簡約（8 で割った余りで置換）:
　　W = r⁰ + r¹ + r⁴ + r¹ + r⁰ + r¹ + r⁴ + r¹ = 2(r⁰ + r¹ + r⁴ + r¹)
8項の和のうち、前半4項と後半4項は、同じ値の反復。

で、 r⁴ = (r²)² = ((√i)²)² = (i)² = −1 なんで:
　　W = 2(1 + r + (−1) + r) = 2(2r) = 4r = 4(√2/2 + i⋅√2/2)
　　 = 2√2 + 2i√2 = √8 + i√8

同様の計算をすると n = 12 なら W = √12 + i√12 になり、 n = 16 なら W = √16 + i√16 になる（= 4 + 4i）。要するに n が 4 の倍数なら W = √n + i√n になる、ってことは予想がつく。こんなきれいで単純なパターン、簡単に証明できそうに思える。大数学者ガウスも、このパターンを発見したとき、自信たっぷりにそう考えたに違いない。

ところで √2 = 1.41421356…（ひとよ・ひとよに・ひとみごろ）ってのは有名。 √8 はその 2 倍なので 2.82842712…（ふたや・ふたやよ・ふたナイフ）。「ひとよ・ひとよに・ひと」は各桁 4 以下なので、 2 倍は、繰り上がりなしで「ふたや・ふたやよ・ふた」。

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2025-12-20　第二の恒等式　n が偶数の場合のガウス和

n が奇数のときの「1 の原始 n 乗根に対応するガウス和」について一通りの紹介が済んだので、今度は n が偶数の場合を検討してみたい。

n が奇数・偶数両方の場合を俯瞰（ふかん）した全体像は、印象深い。複雑な数値たちの間に、神秘的な規則性が潜んでいる…。ガウスはそれを「極めてエレガント」と形容し、日記では「極めてビーナス的」（美の女神のように愛らしい）とも記している。

現代の教科書では「重要でない・必要ない・そんなことやってる暇はない」と偶数ケースを無視し、 n が奇数（特に素数）の場合だけを扱うのが通例かもしれない。われわれは有用性や効率によってではなく、美しさによって道を選ぶ！

例えば、
　　(6, 2) = [(1 − x⁶)(1 − x⁵)]/[(1 − x)(1 − x²)]
のようなガウスの (m, μ) 記号と、「6 個の物から 2 個の物を選ぶ」ときの選択肢の数…
　　₆C₂　　「6 choose 2」
　　すなわち二項係数　(6 C 2) = (6⋅5)/(1⋅2)
…は、それぞれの指す値（計算結果）は無関係でも、計算の形式が似ている。ガウスの記号に関連する恒等式と、二項係数に関連する恒等式にも、ある種の平行性が感じられる。

(m, μ) 記号が表すものは、現代では「q-二項係数」（q-binomial coefficient^†）――別名「ガウス二項係数」――と呼ばれる（「係数」といっても「数」ではなく多項式）。より広い概念「q-類似」（q-analog, q-analogue）――別名「q-拡張」（q-extension）――の一種とされる。ガウスの1811年の論文は、「二項係数についての恒等式の q-類似」をツールとした論考だ。

そんな現代的認識とは関係なく、ガウスはインスピレーションに導かれて (m, μ) に関連する公式を巧妙に使い、「1 の原始 n 乗根に対応するガウス和の符号決定」という難事業を達成。「さすがは天才！」――と言いたいところだが、ガウスは（現象そのものについては予想できたものの）なぜそうなるのか、なかなか証明できなかった。4年3カ月の試行錯誤、大変な苦労、数え切れないほどの挫折と再試行の繰り返しの末、ようやくこの細道を発見、そこからさらに丸3年を費やして「細道」を整理・整備して、分かりやすい形にまとめたのだった。「才能」の90%は「努力」なのかもしれない。

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2025-12-18　ガウス和の符号・後編

n が任意の正の奇数のときの「ガウス和の平方」（§10）と、基本ケース（特定の r が選択される）における「ガウス和そのもの」（ガウス和の符号）を決定した（§11）。

しめくくりとして、一般のガウス和（r の選択を特定の一つに限らない）について検討する。便宜上 n が 3 以上の素数の場合に話を限定する（最も重要なケース）。結果として生じる和の値は「基本ケースと同じか、その −1 倍」で、特に複雑な話でもない。この考察の副産物として、「ガウス和のもう一つの形式」とも自然に話がつながる。

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2025-12-16　ガウス和の符号・中編

前回、「ガウス和」を求めるためのツールとなる公式（ガウス自身が使ったもの）を導いた。ここまで来たら、その先は易しい。

結論もシンプル: n が正の奇数のとき、基本の「ガウス和」は +√(n) または +i√(n) に等しい（奇数 n が 4 の倍数より 1 大きいときは前者、 4 の倍数より 3 大きいときは後者）。

どういうこと？

n = 5 の具体例で図解してから、一般の場合について、ガウスによる証明の続きの部分を紹介したい。

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2025-12-12　ガウス和の符号・前編　名画・名曲・名証明

名画や名曲を鑑賞する活動があるのなら、名証明を鑑賞する活動があってもいい。ゆったりと美しさを味わい、楽しむための数論。

前回、準備として ƒ(x, m) という不思議なコンセプトを紹介した。 m が正の偶数のとき、
　　1 − (1 − x^m)/(1 − x) + [(1 − x^m)(1 − x^m−1)]/[(1 − x)(1 − x²)] − [(1 − x^m)(1 − x^m−1)(1 − x^m−2)]/[(1 − x)(1 − x²)(1 − x³)] + ···
という m+1 項の式が、
　　(1 − x¹)(1 − x³)(1 − x⁵)···(1 − x^m−1)
という積に等しい、という恒等式。ガウスはこの関係をどう使ったのか、という核心部を紹介したい。

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2025-12-09　ガウス和に関連する不思議な恒等式

1811年^†のガウスの論文「ある種の特別な数列の和」では、
　　[(1 − x^m)(1 − x^m−1)···(1 − x^m−μ+1)]/[(1 − x)(1 − x²)···(1 − x^μ)]
という多項式の商が、簡略な記号 (m, μ) で表されている。例えば:
　　(6, 2) = [(1 − x⁶)(1 − x⁵)]/[(1 − x)(1 − x²)]
　　(6, 3) = [(1 − x⁶)(1 − x⁵)(1 − x⁴)]/[(1 − x)(1 − x²)(1 − x³)]

これらは一見「意味不明」な分数だが、 1 − x^k の形の因子たちの指数 k だけを見ると、
　　(6⋅5)/(1⋅2)　や　(6⋅5⋅4)/(1⋅2⋅3)
のようになっている。形式的には「意外と単純」、コンセプト的・感覚的には「二項係数の仲間」といえるだろう（実際、割り切れて、整係数の多項式になる）。――これらの分数は、ある種の足し算・引き算に対して、非常に不思議な反応を示す。

ガウスは、次の関係（恒等式）を証明した。いわく、 m が任意の正の偶数のとき、
　　1 − (m, 1) + (m, 2) − ··· ± (m, m)
は、積 (1 − x^m−1)(1 − x^m−3)···(1 − x³)(1 − x) に等しい。例えば:
　　1 − (6, 1) + (6, 2) − (6, 3) + (6, 4) − (6, 5) + (6, 6) = (1 − x⁵)(1 − x³)(1 − x)

左辺の謎めいた「足し算・引き算」と、右辺のシンプルな「掛け算」が等しいというのは、奇妙な現象だ！　証明自体は平易で、（技巧的ではあるが）初等的な操作の組み合わせ。証明できるからといって、「不思議さ」のもやが晴れるわけではないのだが…

ガウスは、この恒等式を鍵として、「ガウス和の符号決定」（天才ガウスをして何年も悩ましめた難問題）をついに――そして鮮やかに――解決した。その前段階に当たる上記「不思議な恒等式」の証明について、順を追って紹介したい。

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2025-12-06　1³, 2³, 3³, ··· を割った余り

1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 を 5 で割った余りは、それぞれ 1, 3, 2, 4（例えば 3³ = 27 を 5 で割ると 2 余る）。つまり、3次合同式
　　x³ ≡ a (mod 5)
は、任意の a について解を持つ（a ≡ 1, 2, 3, 4）。言い換えると、集合 {1, 2, 3, 4} の各数を立方して 5 で割った余りたちの集合は、再び {1, 2, 3, 4} になる！

「割る数」の 5 を 11 や 17 などに変えても同様のことが成り立つ。しかし「割る数」が 7 や 13 などだと、そうならない。例えば 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 を 7 で割った余りは、順に 1, 1, 6, 1 だし 5³ = 125, 6³ = 216 を 7 で割った余りはそれぞれ 6, 6 なので、 {1, 2, 3, 4, 5, 6} の各数を立方して 7 で割った場合には {1, 6} しか作れない。

一般に p を 5 以上の素数（1 と自分自身でしか割り切れない数）としよう（p = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ···）。 p は素数なので 3 では割り切れず、 3 で割ると 1 余るか、または 2 余る。言い換えると p は 3 の倍数より 1 大きいか、 2 大きい。便宜上、 3 の倍数より 1 大きい素数をミント素数、 3 の倍数より 2 大きい素数をワッフル素数と呼ぶことにする（これは正式用語ではなく、勝手に作った用語）。 a を 1 以上 p 未満の任意の整数とするとき、もし p がワッフル素数なら、
　　「3乗して p で割ったとき、 a 余るような整数はあるか？」
という問いの答えはいつでも yes だが、もし p がミント素数なら、同じ問いの答えは（一部の特定の a に対してのみ yes になるけど）一般には no だ。式で書くと、
　　x³ ≡ a (mod p)
は p がワッフルならどんな a に対しても解を持つが、 p がミントだとそうならない。

立方剰余（立方して p で割ったときの余り）のこの性質（p がミントかワッフルかで挙動が激変する）は、通常の整数の世界の中でも、ある程度、解明可能。しかし、アイゼンシュタイン整数の世界で考えることで、その真相が見えてくるかもしれない。

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2025-12-02　ω の立方性: t³ ≡ ω に解があるか

3 の倍数より 2 大きい素数は、次の三つのタイプに分けられる:
　　【ア】 9 の倍数より 2 大きいもの:　2, 11, 29, 47, 83, ···
　　【イ】 9 の倍数より 5 大きいもの:　5, 23, 41, 59, ···
　　【ウ】 9 の倍数より 8 大きいもの:　17, 53, 71, 89, ···

定理7によると、 p がアまたはイの素数なら、 t³ ≡ ω (mod p) を満たすアイゼンシュタイン整数 t は存在しない（その結果として x³ + y³ = pz³ は非自明な整数解を持たない）。

では p がウの素数だったら…？　p がア・イ・ウのどれかの数のとき、 t³ ≡ ω (mod p) が解を持つためには p がウの型であることが必要だよ――と定理7は言っているが、それは必要十分条件だろうか。

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2025-12-01　x³ + y³ = 5z³ や x³ + y³ = 11z³ など

3² + 4² = 5² とか 5² + 12² = 13² とか 11² + 2² = 5³ とか 10³ + 9³ = 12³ + 1³ とか 3³ + 4³ + 5³ = 6³ のような等式を眺めていると、
　　x³ + y³ = z³
を満たす正の整数 x, y, z もあるのでは、と感じられるかもしれない。「実際にはそんな整数の組み合わせはない」というのが、「フェルマーの最終定理の指数 3 の場合」という有名問題であり、問題の意味は分かりやすいが、証明は意外と難しい。「なぜどこがどう難しいか」を理解すること自体、難しいかもしれない。

われわれはとにかくこの定理を一応証明し、ついでに、
　　x³ + y³ = 2z³
を満たすような x, y, z も（z = 0 の場合と x = y の場合を別にすると）存在しないこと、
　　x³ + y³ = 3z³
　　x³ + y³ = 4z³
を満たすような x, y, z も（z = 0 の場合を別にすると）存在しないことを証明した。一方、
　　x³ + y³ = 6z³
　　x³ + y³ = 7z³
　　x³ + y³ = 9z³
を満たすような x, y, z は、存在する。
　　x³ + y³ = 8z³
については Z = 2z と置けば右辺は (2z)³ = Z³ なので、オリジナルのフェルマーの問題と実質同じ。それでは、
　　x³ + y³ = 5z³
はどうか？

この最後の不定方程式は、それ単体では x³ + y³ = 4z³ の場合とほとんど変わらず、それ自体としては特に新鮮味もない。けれど、より一般的な命題について、フルヴィッツ（Hurwitz フアヴィツ）はエレガントで味わい深い証明を記している。フェルマーの小定理のアイゼンシュタイン整数版や、立方剰余の理論のような重要な話題とも関連していて、研究の価値がありそうだ。

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• フェルマーの最終定理の拡張　x³ + y³ = kz³（遊びの数論51）
  • 2025-11-01　x³ + y³ = 3z³　フェルマーの最終定理の拡張
  • 2025-11-04　x³ + y³ = 2z³　虫食いパズル
  • 2025-11-16　x³ + y³ = 4z³
  • 2025-12-01　x³ + y³ = 5z³ や x³ + y³ = 11z³ など
  • 2025-12-02　ω の立方性: t³ ≡ ω に解があるか
  • 2025-12-06　1³, 2³, 3³, ··· を割った余り
• フェルマーの最終定理 n = 3　3 には約数が三つある？（遊びの数論50）
  • 2025-10-14　フェルマーの最終定理（n = 3）　入門編　3 には約数が三つある？
  • 2025-10-14　フェルマーの最終定理（n = 3）　証明編
  • 2025-10-14　フェルマーの最終定理（n = 3）　完結編
  • 2025-10-16　フェルマーの最終定理（n = 3）　付録
  • 2025-10-22　フェルマーの最終定理（n = 3）　高木バージョン
  • 2025-10-06　「ニュートンの式」の実践的活用　フェルマーの最終定理に
  • 2025-10-19　二項展開を覚えるこつ + ちょっとマニアックな話題
• フェルマーの最終定理 n = 7　ジェノッキの秘密の花園（遊びの数論49）
  • 2025-09-26　フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（前編）　イタリアでの研究
  • 2025-09-27　フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（中編）　アクロバット
  • 2025-09-29　フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（後編）　無限降下
  • 2025-10-03　Genocchi の定理（解説 ＆ Nagell 版）　スウェーデンでの研究
  • 2025-10-05　Genocchi の定理（Nagell 版・続き）　t が偶数の場合
  • 2025-10-07　Genocchi の定理の解明（Elkies 版）　米国での研究
  • 2025-10-10　Genocchi の定理の解明（続き）　その理想は玲瓏にして
• ミリマノフ多項式・第4部　それ自体が目的地（遊びの数論48）
• ミリマノフ多項式・第3部　さめない夢みたいに（遊びの数論47）
• ミリマノフ多項式・第2部　捨ててこそ（遊びの数論46）
• ミリマノフ多項式　Curious Roots of Cauchy–Mirimanoff Polynomials （遊びの数論45）
• コーシーの定理・ラームスの公式　二項係数の飛び石和（遊びの数論44）
• 四次元サイコロ「目」は幾つ　アイのごとし（遊びの数論43）
• おまえはもう解けている　奇跡は誰にでも一度おきる（遊びの数論42）
• べき和対称多項式　5乗和は5がいっぱい（遊びの数論41）
• バーゼルからゼータへ　とにかく一歩（遊びの数論40）
• ベルヌーイのべき和公式　円周率の２乗？（遊びの数論39）
• ソフィー・ジェルマンの冒険　リアル「ベルばら」（遊びの数論38）
• フォン・シュタウト＆クラウセンの定理　ベルヌーイ数の分母（遊びの数論37）
• べき和公式の因子　6次式の根（遊びの数論36）
• ガウス和の平方と相互法則　sin π/7 （遊びの数論35）
• 正七角形のいんちき作図法　√2 + √3 = 3.14…（遊びの数論34）
• ガウスの和　その優美さゆえに（遊びの数論33）
• x¹⁷ = 1 の代数的解法　係数 2,1,5,7,4（遊びの数論32）
• 半角のタンジェント　小さな貝殻（遊びの数論31）
• 3分の1の角度と3次方程式　怠け心は成功の母（遊びの数論30）
• tan の多倍角　方程式は解かずに使え（遊びの数論29）
• びっくり15乗和　その狂気には秩序がある（遊びの数論28）
• デザートからの3次方程式入門　（遊びの数論27）
• 円周13等分　ゼータ・サーティーン（遊びの数論26）
• 週末は17角形で！　他の道を行きましょう（遊びの数論25）
• 五・六・十角形の恒等式　正五角形の弓矢（遊びの数論24）
• かいじゅうペンタゴン　正五角形の冒険（遊びの数論23）
• はじめての4次方程式　ひとりでできるもん（遊びの数論22）
• 1 の原始根　ゾクッとする式（遊びの数論21）
• プライバシー　属人性のない「情報それ自体」の実存？
  • 2025-04-28　「自由の乱用」の甘受 vs. 「不自由」の甘受
  • 2025-04-18　暗号通貨でお買い物　美しい理念・複雑な現実
  • 2025-05-22　日本の債券市場の危機と除夜の鐘　煩悩のビットコイン108K
  • 2025-03-07　macOS からの Tails 導入について
  • 2025-03-05　「広告技術」進化し過ぎて「国防問題」？
  • 2025-02-19　BBC が Google の新規約を批判　フィンガープリンティング
  • 2025-02-09　被害者「1億9000万人」に　米国の医療情報盗難
  • 2024-09-10　MetaGer 検索有料化　検索エンジンどこがいい？
  • 2024-06-11　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ
  • 2023-12-08　Google で18年働いた人の述懐　最初は素晴らしい会社だった…
  • 2023-11-22　自由ソフトウェアとは？　公式の日本語訳があった
  • 2023-11-21　匿名フリーメール Cockmail 一般登録再開　冗談半分10周年
  • 2023-10-15　プライバシーは「表現の自由」　女神よ…
  • 2023-09-09　自由を奪われてる人は奪われてることに気付かない？
  • 2021-06-26　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
• その他いろいろ
  • 2024-11-27　手塚治虫の「まんが十訓」
  • 2024-08-30　MAT-LESS　北アフリカの地理
  • 2024-08-29　ジョジョの奇妙な修正　第3部・エジプトのモスク描写
  • 2024-06-10　「ナイルの城」橋　ジョジョ3部で DIO がやられた場所
  • 2024-03-25　あしたの嬢さん　泪橋を斜めに渡れ
  • 2023-10-08　今年は6年前と曜日が同じ…？　バースデイ・メッセージの定理
  • 2022-02-04　「信仰とは何なのか」という根源的な問い
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
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