妖精現実

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2026-01-17　i の平方根・そのまた平方根　1 の原始8乗根・原始16乗根

問題　y² = −1 を満たすような数 y について、 x² = y を満たすような x を求める。三角関数・複素関数を使うのは反則、作図による解法も反則とする。

−1 の平方根 √−1 を i とする――という話を聞いたとき「そのまた平方根 √i は？」ってのは、素朴な疑問だろう。「純粋に代数的に x² = i を解け」というのは、意外とトリッキーな問題だ。

三角関数を使えば一発だが、それが禁じられた場合、一つの方法は、4次方程式の問題として解くこと。最速の解法ではないにせよ、4次方程式なら、やれば一応、必ず解ける。別の方法として、「二重根号処理」の考え方を使い、直接 i の平方根を求めると、高速に同じ結論に至る。

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2026-01-15　n が奇素数の累乗のときのガウス和（後編）

「前編」では n が《奇素数の偶数乗》の場合を扱った。続いて《奇素数の奇数乗》の場合について。

n が《素数の累乗》のときのガウス和についての議論では、「二重の指数」を操作すると同時に、「ある種の部分和たちの総計」という「二重の総和」を考えることになる。どうしても記号的には少しゴチャゴチャするが、内容的に難しいわけではなく、結論もシンプル。

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2026-01-13　ガウス和・付録／Hua バージョン

1985年、東京での講演の終わりにホワ（华罗庚, Hua Loo-Keng）は心臓発作を起こして演壇で倒れ、そのまま亡くなったという。エルデシュ（Erdős, エルドゥーシュ）の語った「理想の死に方」を連想させる…

オイラーのように去りたいね。講演中に、重要な証明を黒板に書き終える。聴衆の誰かが声を上げる。「一般の場合には、どうなりますか」

ぼくは聴衆の方を振り返って、ほほ笑む。「それは、次の世代にお任せします」

そう言って、ぶっ倒れるんだ。

ホワは1940年台に米国に滞在し、イリノイ大学で教えているので、エルデシュと接点があった。「接点があった」どころか、1954年、エルデシュがオランダでの学術会議に出席したとき、米国への再入国ビザの発行を拒否された理由の一つは、ホワと手紙をやり取りしたことだという^†。何でもかんでも「スパイ容疑」にされてしまった、マッカーシー時代の疑心暗鬼…

ホワは、正式な高等教育を受けたわけではないが、独学で数論を学び、国際的に活躍した。ハーディーが1910年代にインドのラマヌジャンを「発見」して英国に呼んだのは有名な話だけど、1930年代には中国のホワを英国に招いている。ラマヌジャンとのロマンチックな出会いと別れのせいで、才能を発掘する使命を感じていたのかもしれない。

ともあれ n が《素数べき》の場合のガウス和について、ホワによる整理はピリッとして面白い。そのアイデアを紹介。

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2026-01-11　n が奇素数の累乗のときのガウス和（前編）

正九角形のマイナーな性質…

図のように半径 1 の円に内接させたとき、頂点 1, 2, 4 それぞれの横座標の積は −1/8 に等しい。それらの横座標は、作図から 0.75^†, 0.15, −0.95 くらい、 0.75 × 0.15 × (−0.95) = 約 −0.11 だが、正確に計算するとちょうど −0.125 = −1/8 に。この積は、モリーの法則（Morrie’s law）――ノーベル物理学者ファインマンのお気に入りだった数式――と呼ばれるものの一種。

一方、正九角形の頂点を「三つごとに一つ」（二つ置き）の割合で選ぶと、各頂点の横座標の和も、縦座標の和も 0。例えば頂点 1, 4, 7 の横座標の和は 0.75 + (−0.95) + 0.15 = −0.05 くらいだが（頂点 7 の座標は、頂点 2 の座標と横が同じで縦が −1 倍）、正確に計算すると 0、縦座標の和は 0.65 + 0.35 + (−1.0) = 0 くらいだが、これも実は正確に 0。

正25角形や正27角形など、《奇数の平方》角形、《奇数の立方》角形などの頂点は、多かれ少なかれ同様の性質を持つ。一般に、この種のことは三角関数の問題として扱われることが多いが、ガウスはそれを「指数の整数演算」で軽妙に扱った。「三段重ねの親亀・小亀・孫亀」のような「指数の肩のプチ指数」の繊細な操作。結論はともかく、手法は結構面白い。

†　頂点 1 は、 1 の原始立方根 ω = (−1 + i√3)/2 のそのまた立方根 ³√ω = 0.76604 44431… + i⋅0.64278 76096… に当たる。つまり 1 の9乗根。その横座標「難路無理多し」は 4 が四つ続くのが印象的。縦座標は「虫に菜っ葉」。

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2026-01-09　n が合成数のときのガウス和（後編）

中編では、 n が「互いに素な二つの因子の積」である場合のガウス和について検討した。得られた成果を応用すると、 n が三つ以上の（互いに素な）因子から成る合成数の場合についても、容易に扱える。これによって、原理的には、任意のガウス和の値を決定できる！

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2026-01-07　n が合成数のときのガウス和（中編）

n が「互いに素な整数の積」に分解されるとき、それに対応して、ガウス和も「ガウス和の積」に分解される。

前編では、 n = 15 = 3⋅5 の具体例について、（1 の原始15乗根に関連する）ガウス和を一応検討した。今回はより一般的に、合成数 n が「互いに素な因子 p, q の積」に分解される場合の（1 の原始 n 乗根に関連する）ガウス和について、その「分解」の原理を解明したい。

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2026-01-06　「1 の原始 n 乗根」とその性質

「1 の原始 n 乗根」の意味と、その基本性質について。

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2026-01-05　n が合成数のときのガウス和（前編）　駅を飛ばす各駅停車

「駅が15個ある環状線」の電車。

駅の名前を r⁰, r¹, r², ···, r¹⁴ として基点を r⁰ とするとき、 r¹ → r² → r³ → ··· の順で進むオーソドックスな各駅停車に乗れば、もちろんどの駅にも行ける。

r³ → r⁶ → r⁹ → r¹² → r⁰ の順でグルグルする快速電車（3駅ごとに停車して、間の2駅を飛ばす）に乗った場合、当然ながら、何周しても《指数が 3 の倍数》の駅にしか行けない。 r⁵ → r¹⁰ → r⁰ → r⁵ → r¹⁰ → r⁰ を繰り返す環状線の急行に乗った場合も、同様に《指数が 5 の倍数》の駅にしか行けない。

「全駅に止まる」のが「原始15乗根」のイメージ。いわば純正な「良い」15乗根。「何周しても止まらない駅がある」のは「非原始15乗根」のイメージ。いわば粗雑な「不良」15乗根。

r だけが「良い」とは限らない――「駅を飛ばす」快速が、各駅に止まることもある。

r² → r⁴ → r⁶ → ··· と駅を一つずつ飛ばす電車は、最初《指数が偶数》の駅にしか止まらないけど、 r¹⁴ の次の停車駅は r¹ なので、2周目には《指数が奇数》の駅に止まり、結局、全駅に止まる（例えば r¹ を r¹⁶ として訪れ、 r³ を r¹⁸ として訪れるが、 r¹⁵ は r⁰ の別名、 r³ は r¹⁸ の別名、等々）。 r² も、その整数乗 (r²)^N = r^2N が「各駅停車」になるという意味で、 r¹ 同様、「純正」な15乗根――群論の言葉でいえば「生成元」――だ。

r⁷ → r¹⁴ → r²¹ (= r⁶) → ··· の「7倍快速」も、またしかり。「7倍快速」は超速そうで、事実 r⁷ にいる人が r¹⁴ に行きたい場合、ノンストップで目的の駅に行ける。けど r⁷ にいる人が隣の r⁸ に行きたい場合、「7倍快速」に乗るとひどい目に遭う――どんだけグルグルするんだ、というほど何周もさせられてしまう（隣の駅に行きたいだけなのに）。それでも各駅停車には違いないので、乗ってれば、そのうち r⁸ にも（どの駅にも）ちゃんと止まってくれる。

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2026-01-03　n が「4 の倍数 + 2」のときのガウス和と「ビーナス定理」

《ガウス和の符号》シリーズ。第1部では n が奇数のときのガウス和（特にその符号）について検討し、「基本のガウス和」に関しては問題を解決、 n が素数の場合については「一般のガウス和」に関しても問題を解決した。続編に当たる第2部では、これまでのところ n が 4 の倍数のときのガウス和について検討し、「基本のガウス和」については問題を解決した。「基本のガウス和」以外の「一般のガウス和」に関しては道半ばだけれど、それは「符号が未確定」というだけで、符号以外の（実部ないし虚部の）絶対値は確定済み。

ただし n が「4 の倍数 + 2」のケース（n = 2, 6, 10, 14, ···）に関しては、これまで全く扱わなかった。第2部を完結させるに当たって、このケースを片付けておきたい。

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2025-12-30　n が 4 の倍数のときのガウス和（後編）　みずよろしい

問題1　「ひし形は、対角線によって、二つの合同な三角形に分割される」ことを証明せよ。

たわいもない小学生の算数だが、これがガウス和（n が 4 の倍数の場合）の符号決定の重要な鍵となる。

解　ひし形 OPQR の対角線 OQ を考える。ひし形は、この対角線によって △OPQ （以下「黄色三角」と呼ぶ）と △ORQ （「水色三角」）に分割される。黄色三角と水色三角は、どちらも OQ を底辺とする二等辺三角形（なぜなら、ひし形の四辺は長さが等しい）。よって、黄色三角・水色三角は、対応する三つの辺がそれぞれ等しいから、合同。∎

△OPQ と △ORQ は合同なので、対応する ∠POQ と ∠ROQ は大きさが等しい。言い換えると、 ∠POR は ∠POQ と ∠QOR に二等分される。

問題2　一辺の長さ 1 のひし形 OPQR の内角 ∠O を θ とする。対角線 OQ の長さを求めよ。

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2025-12-23　n が 4 の倍数のときのガウス和（前編）　ふたやふたやよ

次のような和 W を考える。

n = 4 の例。 1 の原始4乗根（§7）のうち偏角 90° のものを r とする、つまり r = √−1 = i と。
　　W = r⁰ + r¹ + r⁴ + r⁹
は何になるか（r の肩の指数は、四つの平方数 0², 1², 2², 3²）。 r⁴ = 1 に留意して、指数を簡約（4 で割った余りで置き換える）:
　　W = r⁰ + r¹ + r⁰ + r¹ = 2(r⁰ + r¹)
4項の和のうち、前半2項と後半2項が同じ値の反復。もちろん = 2(1 + i) = 2 + 2i、あえて書けば √4 + i√4 だ。

同様の計算をすると n = 12 なら W = √12 + i√12 になり、 n = 16 なら W = √16 + i√16 になる（= 4 + 4i）。要するに n が 4 の倍数なら W = √n + i√n になる、ってことは予想がつく。こんなきれいで単純なパターン、簡単に証明できそうに思える。大数学者ガウスも、このパターンを発見したとき、自信たっぷりにそう考えたに違いない。

ところで √2 = 1.41421356…（一夜（ひとよ）ひとよに・ひと見頃）ってのは有名。 √8 はその 2 倍なので 2.82842712…（二夜（ふたや）ふたやよ・ふたナイフ）。「ひとよ・ひとよに・ひと」は各桁 4 以下なので、 2 倍は、繰り上がりなしで「ふたや・ふたやよ・ふた」。

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2025-12-20　第二の恒等式　n が偶数の場合のガウス和

n が奇数のときの「1 の原始 n 乗根に対応するガウス和」について一通りの紹介が済んだので、今度は n が偶数の場合を検討してみたい。

n が奇数・偶数両方の場合を俯瞰（ふかん）した全体像は、印象深い。複雑な数値たちの間に、神秘的な規則性が潜んでいる…。ガウスはそれを「極めてエレガント」と形容し、日記では「極めてビーナス的」（美の女神のように愛らしい）とも記している。

現代の教科書では「重要でない・必要ない・そんなことやってる暇はない」と偶数ケースを無視し、 n が奇数（特に素数）の場合だけを扱うのが通例かもしれない。われわれは有用性や効率によってではなく、美しさによって道を選ぶ！

ガウスはインスピレーションに導かれて (m, μ) に関連する公式を巧妙に使い、「1 の原始 n 乗根に対応するガウス和の符号決定」という難事業を達成。「さすがは天才！」――と言いたいところだが、ガウスは（現象そのものについては予想できたものの）なぜそうなるのか、なかなか証明できなかった。4年3カ月の試行錯誤、大変な苦労、数え切れないほどの挫折と再試行の繰り返しの末、ようやくこの細道を発見、そこからさらに丸3年を費やして「細道」を整理・整備して、分かりやすい形にまとめたのだった。「才能」の90%は「努力」なのかもしれない。

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

• n が偶数のときのガウス和　駅を飛ばす各駅停車（遊びの数論53）
  • 2025-12-23　n が 4 の倍数のときのガウス和（前編）　ふたやふたやよ
  • 2025-12-30　n が 4 の倍数のときのガウス和（後編）　みずよろしい
  • 2026-01-03　n が「4 の倍数 + 2」のときのガウス和と「ビーナス定理」
  • 2026-01-05　n が合成数のときのガウス和（前編）　駅を飛ばす各駅停車
  • 2026-01-06　「1 の原始 n 乗根」とその性質
  • 2026-01-07　n が合成数のときのガウス和（中編）
• ガウス和の符号　名画・名曲・名証明（遊びの数論52）
  • 2025-12-09　ガウス和に関連する不思議な恒等式
  • 2025-12-12　ガウス和の符号・前編　名画・名曲・名証明
  • 2025-12-16　ガウス和の符号・中編
  • 2025-12-18　ガウス和の符号・後編
  • 2025-12-20　第二の恒等式　n が偶数の場合のガウス和
• フェルマーの最終定理の拡張　x³ + y³ = kz³（遊びの数論51）
  • 2025-11-01　x³ + y³ = 3z³　フェルマーの最終定理の拡張
  • 2025-11-04　x³ + y³ = 2z³　虫食いパズル
  • 2025-11-16　x³ + y³ = 4z³
  • 2025-12-01　x³ + y³ = 5z³ や x³ + y³ = 11z³ など
  • 2025-12-02　ω の立方性: t³ ≡ ω に解があるか
  • 2025-12-06　1³, 2³, 3³, ··· を割った余り
• フェルマーの最終定理 n = 3　3 には約数が三つある？（遊びの数論50）
• フェルマーの最終定理 n = 7　ジェノッキの秘密の花園（遊びの数論49）
• ミリマノフ多項式・第4部　それ自体が目的地（遊びの数論48）
• ミリマノフ多項式・第3部　さめない夢みたいに（遊びの数論47）
• ミリマノフ多項式・第2部　捨ててこそ（遊びの数論46）
• ミリマノフ多項式　Curious Roots of Cauchy–Mirimanoff Polynomials （遊びの数論45）
• コーシーの定理・ラームスの公式　二項係数の飛び石和（遊びの数論44）
• 四次元サイコロ「目」は幾つ　アイのごとし（遊びの数論43）
• おまえはもう解けている　奇跡は誰にでも一度おきる（遊びの数論42）
• べき和対称多項式　5乗和は5がいっぱい（遊びの数論41）
• バーゼルからゼータへ　とにかく一歩（遊びの数論40）
• ベルヌーイのべき和公式　円周率の２乗？（遊びの数論39）
• ソフィー・ジェルマンの冒険　リアル「ベルばら」（遊びの数論38）
• フォン・シュタウト＆クラウセンの定理　ベルヌーイ数の分母（遊びの数論37）
• べき和公式の因子　6次式の根（遊びの数論36）
• ガウス和の平方と相互法則　sin π/7 （遊びの数論35）
• 正七角形のいんちき作図法　√2 + √3 = 3.14…（遊びの数論34）
• ガウスの和　その優美さゆえに（遊びの数論33）
• x¹⁷ = 1 の代数的解法　係数 2,1,5,7,4（遊びの数論32）
• 半角のタンジェント　小さな貝殻（遊びの数論31）
• 3分の1の角度と3次方程式　怠け心は成功の母（遊びの数論30）
• tan の多倍角　方程式は解かずに使え（遊びの数論29）
• びっくり15乗和　その狂気には秩序がある（遊びの数論28）
• デザートからの3次方程式入門　（遊びの数論27）
• 円周13等分　ゼータ・サーティーン（遊びの数論26）
• 週末は17角形で！　他の道を行きましょう（遊びの数論25）
• 五・六・十角形の恒等式　正五角形の弓矢（遊びの数論24）
• かいじゅうペンタゴン　正五角形の冒険（遊びの数論23）
• はじめての4次方程式　ひとりでできるもん（遊びの数論22）
• 1 の原始根　ゾクッとする式（遊びの数論21）
• プライバシー　属人性のない「情報それ自体」の実存？
  • 2025-04-28　「自由の乱用」の甘受 vs. 「不自由」の甘受
  • 2025-04-18　暗号通貨でお買い物　美しい理念・複雑な現実
  • 2025-05-22　日本の債券市場の危機と除夜の鐘　煩悩のビットコイン108K
  • 2025-03-07　macOS からの Tails 導入について
  • 2025-03-05　「広告技術」進化し過ぎて「国防問題」？
  • 2025-02-19　BBC が Google の新規約を批判　フィンガープリンティング
  • 2025-02-09　被害者「1億9000万人」に　米国の医療情報盗難
  • 2024-09-10　MetaGer 検索有料化　検索エンジンどこがいい？
  • 2024-06-11　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ
  • 2023-12-08　Google で18年働いた人の述懐　最初は素晴らしい会社だった…
  • 2023-11-22　自由ソフトウェアとは？　公式の日本語訳があった
  • 2023-11-21　匿名フリーメール Cockmail 一般登録再開　冗談半分10周年
  • 2023-10-15　プライバシーは「表現の自由」　女神よ…
  • 2023-09-09　自由を奪われてる人は奪われてることに気付かない？
  • 2021-06-26　ProtonMail からの乗り換え先　プライバシー重視のウェブメール
• その他いろいろ
  • 2024-11-27　手塚治虫の「まんが十訓」
  • 2024-08-30　MAT-LESS　北アフリカの地理
  • 2024-08-29　ジョジョの奇妙な修正　第3部・エジプトのモスク描写
  • 2024-06-10　「ナイルの城」橋　ジョジョ3部で DIO がやられた場所
  • 2024-03-25　あしたの嬢さん　泪橋を斜めに渡れ
  • 2023-10-08　今年は6年前と曜日が同じ…？　バースデイ・メッセージの定理
  • 2022-02-04　「信仰とは何なのか」という根源的な問い
  • 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
  • 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
  • 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
  • 2021-03-01　∫sec x dx　グーデルマン関数とか
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