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2025-10-22 フェルマーの最終定理（n = 3） 高木バージョン
x3 + y3 = z3 を満たすような 0 でない整数 x, y, z はない――というフェルマーの最終定理（n = 3）の証明は、高木
「フェルマーの最終定理」の証明については実質 Landau 版そのままとはいえ、高木バージョン独特の工夫が若干あって、入り口の部分の説明に関しては、ある意味、最も分かりやすい。半面、証明の後半部は、ある意味、最も分かりにくい書き方になっている。
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2025-10-19 二項展開を覚えるこつ + ちょっとマニアックな話題
二項式 x + y の累乗 (x + y)n の展開、例えば、
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
のような恒等式は、基本公式として当たり前のように使われる。ややもすれば「丸暗記して機械的に使う」ってことになってしまうのだが、意味も分からず丸暗記するより、内容をちゃんと理解した方が気分もいいし、応用も利く。
丸暗記するにしても、こつがある。1文字ずつベタに記憶するのではなく、シンプルな
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
の形で考えた方が、覚えやすい。つまり y = 1 としたわけ。「y が = 1 じゃなかったら、どーすんの？」っていうと、次のように、指数の和が 3 になるように y を復活させればいい:
(x + y)3 = x3⋅y0 + 3x2⋅y1 + 3x⋅y2 + 1⋅y3
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2025-10-16 フェルマーの最終定理（n = 3） 付録
「フェルマーの最終定理 n = 3 の場合」（入門編・証明編・完結編）では、5種類の文献を参考にしつつ、標準的と思われる証明法（Landau 版）をなるべく平明にアレンジした。でも、どの方法が分かりやすいかは人それぞれ。幾つかの部分について別証明・補足を記す。
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2025-10-14 フェルマーの最終定理（n = 3） 入門編 3 には約数が三つある？
a3 + b3 = c3 を満たすような、 0 でない整数 a, b, c は、存在しない――超有名なフェルマーの最終定理の、指数 n = 3 の場合だ。
33 + 43 + 53 = 63 のような関係（美しいっ！）なら存在する。しかしフェルマーの最終定理は、（四つではなく）三つの立方数についてのもの。
このケースは「新しい数論」が活躍する場面の一例として、定番の話題といえる。
「新しい数論」（もはやそれほど新しくもないけど）とは？
もしもあなたの友達が、ある日突然「この世界では 3 には約数が三つある」とか「3 は素数の平方で割り切れる」とか言い出したら、どう思うか。「おいおい、頭、大丈夫か」と心配になるかもしれない。しかし、その友達が無造作に「この世界」と呼んだ世界は実在する――そこでは 3 は 1 と自分自身で割り切れるだけでなく、とある別の数でも割り切れる。そんなシュールな世界観が「新しい数論」の一例。不思議なようだが、それがフェルマーの最終定理（n = 3 の場合）の証明にも役立つ。
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2025-10-14 フェルマーの最終定理（n = 3） 証明編
入門編の続き。以下の証明手順の出典は、 Edmund Landau の整数論†・第3巻（1927）。少々技巧的であまり平明ではなく、最初はピンとこないかもしれないが、真意が分かってくると、精緻で味わい深い。近代的な標準的証明法だと思われる（高木の整数論にも Hardy & Wright の整数論にも収録されている）。
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2025-10-14 フェルマーの最終定理（n = 3） 完結編
証明編の続き。証明の第二段階。
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2025-10-10 Genocchi の定理の解明（続き） その理想は玲瓏にして
ジェノッキの定理の証明について。有理数 q に関連して (q2 − q + 1)2 − 4/7 が有理数の平方に等しくなければならない――という条件を導くところまでは、自然に進めると判明した。問題はその先。この条件が決して満たされないことを示せば証明が完了するのだが、単純に「この数は有理数の平方」とか「q は有理数」という仮定を使わず、「q が有理数だから 2q − 1 も有理数なんで…」と言い出すところが、第一印象、唐突に思われる。「q が有理数なら 2q − 1 も有理数」という主張自体はもちろん正しいけど、この 2q − 1 という式は一体どこから出てきたのか。
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2025-10-07 Genocchi の定理の解明（Elkies 版） 米国での研究
19世紀イタリアのジェノッキは、フェルマーの最終定理の n = 7 の場合について、不思議な証明法を記している。いろいろな疑問が生じる。
(1) n = 3 や n = 5 のケースよりむしろ平易に感じられる。なぜ高次の n = 7 が簡単なのか？
(2) フェルマーの定理に関連するさまざまな事柄は超有名なのに、なぜこんな面白い証明が、ほとんど知られてないのか？
(3) 初等的とはいえ、ジェノッキの証明にはトリッキーな部分が複数ある。もっと自然にできないものか…？
エルキース†の著作が、疑問の大部分を解決してくれた！ フェルマーの定理の n = 7 の場合の特殊性については、楕円曲線の問題として考えるとき、その核心に迫ることができる。証明自体は古典数論の範囲で実行可能。今回は楕円曲線の観点には立ち入らないが、エルキースのアイデアを使い、ジェノッキの定理の証明の入り口の部分を簡単化する。
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2025-10-06 「ニュートンの式」の実践的活用 フェルマーの最終定理に
解のべき和に関するニュートンのメタ公式。見掛けは簡単だが、証明は意外と面倒…
「ニュートンの式・軽妙な入門」では、それをうまく導入する方法（ライヒシュテインによる）を紹介した。でも証明が中心で、実際にその式をどう活用するのか？という、実践面が充実していなかった。「n 次方程式の n 個の解の m 乗和を求める」――そんな例題は「問題のための問題」のようなもんで、「それが何の役に立つの？」という展望に欠ける。
「フェルマーの最終定理の n = 7 の場合」のジェノッキによる巧妙な証明では、3次方程式の3解の7乗和の公式が一つの土台となる。「フェルマーの最終定理」は超有名問題だし、ジェノッキの証明法は平易で面白い。いい機会なので、そこで必要になる「7乗和の公式」を「ニュートンの式」から導出してみたい。「説明用の無味乾燥な例」ではなく「有名問題の解決に役立つ実例」。
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2025-10-05 Genocchi の定理（Nagell 版・続き） t が偶数の場合
x7 + y7 = z7 ――あるいは同じことだが x7 + y7 + z7 = 0 ――を満たすような三つの整数 x, y, z はない（ただし x, y, z はどれも 0 でないとする）。これが Fermat の最終定理の n = 7 の場合だ。 Lamé によって最初に証明（1839年）されたので Lamé の定理とも呼ばれる。
Lamé と同時代の Cauchy や Lebesgue は証明の簡単化に取り組み、特に Lebesgue は新しい証明を完成させた（1840年ごろ）。1860年代から1880年代、イタリアの Genocchi は Lamé の定理を拡張しつつさらに簡単化―― Fermat の定理の n = 7 の場合の、初等的で平明な証明を公開した。
Nagell は、この Genocchi の定理の証明をコンパクトな形にまとめている。 Nagell 版の証明の前半（t が奇数の場合）について、前回一応紹介した。 t が偶数の場合の Nagell の扱いを記し、 Nagell 版の証明を完結させておく。
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2025-10-03 Genocchi の定理（解説 ＆ Nagell 版） スウェーデンでの研究
x2 + y2 = z2 を満たす整数って、何となくすてき。
〔例1〕 32 + 42 = 52 ← 左辺は 9 + 16 = 25、右辺も 25
〔例2〕 122 + 52 = 132 ← 左辺は 144 + 25 = 169、右辺も 169
では x3 + y3 = z3 を満たす三つの整数は、あるだろうか。 x4 + y4 = z4 はどうか。一般に n が 3 以上のとき、
xn + yn = zn
を満たす整数 x, y, z は存在するか？
03 + 03 = 03 とか 53 + 03 = 53 とか 23 + (−2)3 = 03 のような「0 を含む解」は存在する。当たり前でつまらない。「x, y, z がどれも 0 ではない場合」に話を限ろう。
「そんな整数はない！」という主張が、有名なフェルマーの最終定理。フェルマーは、ある本のページの隅に「スゲェいかす証明発見。けどこの余白、狭過ぎて、ここには書かれへん、ギャハハハハ」という趣旨のメモを走り書きしたという（単なる自分用のメモで人に見せるつもりはなかったようだが、遺稿として出版された）。
そんな落書きのようなメモが「最終定理」なんて名前を与えられ、数世紀にわたる大問題になるとはねぇ…
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2025-09-29 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（後編） 無限降下
前節（§8）では、s が偶数で t が奇数の可能性を検討し、「その可能性はない」という結論に達した。残された可能性は、s が奇数で t が偶数のケース。「その可能性もない」ことを示せば、フェルマーの最終定理の n = 7 の場合の証明が完了する。なかなか一筋縄ではいかず、前回とは別のアプローチを使う。
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2025-09-27 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（中編） アクロバット
前回の粗筋 s4 + 6s2t2 − (1/7)t4 = u2 という等式⑩を満たす整数 s, t, u が存在しないことを証明できれば、最終定理の n = 7 の場合は解決する！ 導出には少々厄介な点もあったものの、「ここまで来れば、何とかなりそう」というレベルの簡単な式が得られ、一安心。ここで t は 7 の倍数、従って (1/7)t4 は整数。そして s, t, u は、どの二つも互いに素。さて s, t が両方奇数の場合には、等式⑩は成り立たない――その証明を完了したわれわれは、「あとは s, t の一方が偶数、他方が奇数のケースを片付けるだけだ」と、前進のモチベーションを高めるのであった。だがこの先は、一体どうなっているのか。ほとんど誰も通らない雑草ぼうぼうの細道に、踏み込んでいく。ちょっぴり不安だけど、ワクワク、ドキドキ…
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2025-09-26 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合（前編） イタリアでの研究
最終定理の n = 7 の場合とは、
x7 + y7 = z7
を満たすような整数 x, y, z は存在しない――という命題。問題の条件として、 x, y, z の中に 0 に等しいものがあっては駄目、と約束する。 z の符号を逆にして、
x7 + y7 + z7 = 0 （☆）
を満たすような整数 x, y, z は存在しない――と言い換えることもできる（以下、こっちの形式を使う）。この定理を証明したい。
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年9月26日 フェルマーの最終定理 n = 7 の場合
2025年5月31日 四次元サイコロ「目」は幾つまで？
2025年4月14日 「ニュートンの式」軽妙な入門 ライヒシュテインによる
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明 ☆総和記号不使用☆
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト＆クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20250511 (archive)
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