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2025-09-14 (x + 1)n − xn − 1 の因子
多項式 ƒn(x) = (x + 1)n − xn − 1 の因子について。
ƒ3(x) = (x + 1)3 − x3 − 1 = 3x(x + 1) は x2 + x + 1 で割り切れない。
ƒ5(x) = (x + 1)5 − x5 − 1 = 5x(x + 1)(x2 + x + 1) は x2 + x + 1 で割り切れるが、商 5x(x + 1) は x2 + x + 1 で割り切れない。
ƒ7(x) = (x + 1)7 − x7 − 1 = 7x(x + 1)(x2 + x + 1)2 は x2 + x + 1 で割り切れ、商 7x(x + 1)(x2 + x + 1) は x2 + x + 1 でもう一度割り切れるが、そのまた商 7x(x + 1) は x2 + x + 1 で割り切れない。
つまり n = 3, 5, 7 のとき ƒn(x) は、それぞれ因子 x2 + x + 1 をちょうど 0 個, 1 個, 2 個持つ。では例えば n = 9 ならどうなるか。より一般的に、任意の整数 n ≥ 1 について、 ƒn(x) は因子 x2 + x + 1 を何個持つか。
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2025-09-11 コーシー／ミリマノフ多項式（その24） 「重根なし」の簡単化
Ēn(x) は重根を持たないという事実についての、前回の証明のショートカット。
n ≥ 3 を奇数とする。もし ƒ(x) = (x + 1)n − xn − 1 = 0 を満たす x が重根なら:
ƒ′(x) = n(x + 1)n−1 − nxn−1 = 0
両辺を n で割って:
(x + 1)n−1 − xn−1 = 0
移項すると:
xn−1 = (x + 1)n−1 = [x⋅(1 + 1/x)]n−1
= xn−1⋅(1 + 1/x)n−1 （✽）
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2025-09-10 コーシー／ミリマノフ多項式（その23） 実根も重根もない
例えば多項式 (x + 1)17 − x17 − 1 は
17x(x + 1)(x2 + x + 1) Ē17(x)
と分解される。
ここで Ē17(x) は12次式で、具体的には次の形を持つ。
x12 +
6x11 +
26x10 +
75x9 +
156x8 +
240x7
+
277x6
+ 240x5
+ 156x4
+ 75x3
+ 26x2 + 6x + 1
係数が回文的（1, 6, 26, 75, ··· と始まり ···, 75, 26, 6, 1 と終わる）。
12次式 Ē17 は根を12個も持つのに、その中に実数の根は一つもない。重根もない。一般に、同様に定義（詳細は後述）される任意の Ēn(x) は、実根も重根も持たない。
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2025-08-24 サイト訪問時のスプラッシュ（Tor Browser）
サイトによっては、ページを開こうとしたとき、数秒間「スプラッシュ」――「準備中」のような画面――が出てから、本来のコンテンツに遷移する場合があります（多くの方が、いろいろな場所で、当たり前のようにこれを経験しているでしょう）。このサイト（妖精現実）でも、2025年8月20日ごろから、場合によって、次の画像のようなスプラッシュが出ることがあります。
多分、大半のユーザーはこのスプラッシュを見ることはないか、あるとしてもまれだと思われますが、 Tor 経由でアクセスするとこれが出ます。一瞬スプラッシュが出ても、通常、うっとうしいだけで、これといって実害はないので、とりあえず気にする必要ないのですが、 Tor Browser で、かつ JavaScript を無効にしている場合、スプラッシュの画面でフリーズしてしまい先に進めないという、困った事態になってしまうのです。
JavaScript を無効にしてるユーザーなら、この手の問題は日常茶飯事で切り抜けられるでしょうが、念のため、解決策を図解しておきます。この「フリーズ」が起きた場合、ツールバーの NoScript ボタンをクリックして Temp. TRUSTED にするだけ。数秒で解決（スプラッシュを通過したら、 Temp. TRUSTED をデフォに戻しても問題なし）。
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2025-08-24 コーシー／ミリマノフ多項式（その22） 18次式の場合
回文的な18次式、
2⋅Ē18(x) = (x + 1)18 + x18 + 1
= 2x18 + 18x17 + 153x16 + 816x15 + 3060x14 + 8568x13 + 18564x12
+ 31824x11 + 43758x10 + 48620x9 + 43758x8 + ··· + 153x2 + 18x + 2
は、有理係数の範囲では既約。しかし係数の範囲を拡大すれば、 Ē18(x) はミリマノフ型の三つの6次式の積に分解される。
Cauchy の多項式の一つ、
(x + 1)23 − x23 − 1 = 23(x2 + x)(x2 + x + 1)
× (x18 + 9x17 + 57x16 + 252x15 + 836x14 + 2156x13 + 4423x12 + ···)
の18次の因子についても同様。
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「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
2025年4月6日 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6 の別証明
2025年1月16／19日 なぜ 1 + 2 + 3 + 4 は 5 の倍数か？ ／ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 も 5 の倍数
フォン・シュタウト＆クラウセンの定理
2025年1月11日 Verlaine の「秋のうた」 日本語訳3種＋原文解説
2024年6月11日 
Linux の Live OS 気軽にいろいろ試せるよ
2024年4月11日 正17角形は作図可能？ 複素数を使わない気軽な散策
2024年1月12日 十六元数の零因子 君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！ 世界初かも？
2024年1月17日 Moufang 恒等式の同値性 初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。
〘→ 最近のメモは「遊びの数論」に〙
![2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]](/image/2016/2016-28.png)
Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。Tor Browser
プライバシー志向のブラウザ。監視・追跡されずにウェブページを閲覧。「個人情報を登録したサイト」にこれでログインしてはいけない。
BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.10 (March, 2025) & 1.8.0.39: Per-Process CPU Limiter (archive)
a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0-20250511 (archive)
75C0 706B 3CD0 B5D0]