妖精現実

⚠魔法使い出没注意
最新記事　時間を止めてイタズラできたら楽しいか (2024-04-21)

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2024-10-12　1 の原始13乗根12種・きれいな根号表現　ω なし

θ = (π/13), (2π/13), (3π/13), ··· に対する cos θ の根号表現は、比較的易しい。対応する sin は次のような形式で表現可能。
　　sin θ = {√[78 ± 6√13 ± 6X]}/12　もしくは　{√[78 + 6√13 ± 6X − 6Y]}/12
ここで X, Y は 3√[±104 ± 20√13 + 12√−39] とその共役の和。各複号の選択は θ による。

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2024-10-11　x17 = 1 の代数的解法（その2）

前回、二つの2次方程式を導いた。それらを実際に解いてみたい。

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2024-10-10　x17 = 1 の代数的解法　ガウスの式の応用

問題　置換 y = x + 1/x を使って、16次方程式 x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 を解く。

「正17角形の作図可能性」（四則演算・平方根だけで 1 の17乗根を表現できること）は有名な話題だが、特別な予備知識がなくても理解できるような形で扱うことは、少々難しい。「正17角形は作図可能？」のアプローチでは、群論的考察も複素数も必要ない代わり、三角関数を湯水のように使った。

以下では別の方法として、 x17 = 1 を直接、4次方程式に帰着させる。4次方程式を導くところまでは、加減乗除の計算と平方根しか使わない（4次方程式の解法は一般的な知識とはいえないが、頑張れば普通に理解できるだろう）。

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2024-10-07　ガウスの式 4X = Y2 ∓ nZ2 の簡易的な導出（続き）

前回は n = 5, 7, 11 の場合を扱った。今回は n = 13 と n = 17 の場合を扱う。

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2024-10-06　ガウスの式 4X = Y2 ∓ nZ2 の簡易的な導出

4(x4 + x3 + x2 + x + 1) = (2x2 + x + 2)2 − 5(x)2

4(x6 + x5 + ··· + x + 1) = (2x3 + x2 − x − 2)2 + 7(x2 + x)2

4(x10 + x9 + ··· + x + 1) = (2x5 + x4 − 2x3 + 2x2 − x − 2)2 + 11(x4 + x)2　等々

この種の恒等式について、右辺を展開したものが左辺に等しいことは、機械的計算で確かめられる。一方、左辺が与えられたとき、それを右辺の形にすることは、一般にはやや難易度が高い。次数が低い場合に限っては、初等的な計算法がある。

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2024-09-28　x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = 0　教科書の方法との比較

このシリーズで紹介しているアイデアは、通常の方法より計算量的に約30%高速で見通しも良いが、4次式にしか通用しない。

文献に記されている定番の置換 y = x + 1/x は、この場合、少し遠回りになるけど、一般性が高い。両方のやり方を比較検討してみたい。

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2024-09-27　回文4次式・6次式についてのメモ

x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2 − 2x2 = 0 のような4次方程式の解法のショートカットから、いろいろな話題が派生する。特に「平方差への変形」は「円分多項式に関するガウスの公式」と関連している。 1 の原始7乗根を根とする6次式 x6 + x5 + ··· + x + 1 に対しても、同様のアイデアを適用できるであろう。

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2024-09-26　簡単な4次方程式　「色黒い」逆さに読んでも「いろくろい」

例題　x4 + 6x3 + 9x2 + 6x + 1 = 0 を満たす x を求める。

等号の左側にある4次式。 x の4乗の係数～0乗の係数（定数）は、左から読んでも右から読んでも、順に 1, 6, 9, 6, 1。こういう「どっち向きに読んでも同じ」という状況を回文的と称する――日本語の音節で言えば、「色黒い」とか「田植え歌」のようなもの。

係数が回文的な x についての4次方程式は、 x2 で割って y = x + 1/x と置くと y についての2次方程式になり、機械的に解くことができる（同様のテクニックは、4次方程式以外でも使える）。けれど、そのやり方は必ずしも便利ではなく、一般の4次方程式への発展性にも乏しい。

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2024-09-24　「1 の5乗根」について　(x2 + x/2 + 1)2 の利用

1 の5乗根とは、「5乗すると 1 になる数」つまり x5 = 1 の解。言い換えれば x5 − 1 = 0 の解。 x = 1 はもちろんその一つの解なので、 x5 − 1 は x − 1 で割り切れる。
　　x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
x = 1 はこの右辺の一つ目の丸かっこ内をゼロにする。二つ目の丸かっこ内をゼロにする数、つまり次の関係を満たす x は、何か？
　　x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0　　《あ》

教科書的には、両辺を x2 で割って y = x + 1/x と置くのだが、もっと直接的に下記のようにすることもできる。

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2024-09-19　csc の倍角の公式（続き）　小さな貝殻

半角の公式から:
　　cot (θ/2) = csc θ + cot θ　　❶
　　tan (θ/2) = csc θ − cot θ　　❷
❶❷を縦に足し合わせれば:
　　cot (θ/2) + tan (θ/2) = 2 csc θ
(θ/2) を α と書くと（θ = 2α）、上の式はこうなる:
　　cot α + tan α = 2 csc 2α　従って　csc 2α = (cot α + tan α)/2

倍角の csc が「tan と cot の平均」に等しい――という前回の観察は、こう考えると計算上はシンプル。イメージをつかむため、これを幾何学的に解釈してみたい。

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2024-09-17　ブータン　国民1人14億円のビットコイン

チェーン分析によると、ブータン政府は現在、約13,000 BTC の Bitcoin (BTC) を持っている。2024年9月16日に発表された。

Bhutan Government's $750M BTC Now on Arkham
https://www.arkhamintelligence.com/announcements/bhutan-governments-750m-btc-now-on-arkham

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2024-09-16　csc の倍角の公式　tan と cot の平均

tan とその逆数 cot の平均は、倍角の csc に等しい:
　　(tan θ + cot θ)/2 = csc 2θ

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

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主な新着コンテンツ

2024年1月12日　十六元数の零因子　君は 0 を割ることができるか？
初等的証明に成功！　世界初かも？

2024年1月17日　Moufang 恒等式の同値性　初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。

2024年2月7日　ゾクッとする式・きれいな式　tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33

2024年3月3日　一辺 1 の正五角形の面積　算数バージョン

2024年3月27日　五・六・十角形の恒等式　現代とは違う感覚

2024年4月11日　正17角形は作図可能？　複素数を使わない気軽な散策

2024年6月3日　arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π　三角形の内心

2024年6月11日　　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ

2024年9月24日　「1 の5乗根」について　(x2 + x/2 + 1)2 の利用

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新着記事

時間を止めてイタズラできたら楽しいか (2024-04-21)
『逃げちゃおぜ、世界の中に』　第2話
ハッピー・ハミルトン・デー☆4次元もこもこ180年記念 (2023-10-16)
発見の喜びのあまり、通りがかった石橋に、衝動的に「発見した式」を刻み込んでしまった…という伝説は史実

数学・プログラミング・コンピューター

妖精の森　♌︎　ペル方程式の夏 (2020-12-27)
x2 − 79y2 = 5 を満たす整数 (x, y) は存在しません。その証明は意外と難しく、しかも隠された深い意味を持っています。この種の問題を扱います。ハイライトは、2020年夏に発見されたばかりの「改良版コンラッドの不等式」。 〔v4: 2021年9月5日〕
まあるい緑の単位円　（三角関数覚え歌） (2017-12-24)
まあるい緑の単位円／半径　斜辺の三角形／「高さ」の「さ」の字はサインの「サ」／サインは　対辺　高さ
アルファとベータが角引いた　（加法定理・図解の歌） (2017-12-24)
「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーで。「アルファさんとベータさんが麦畑」でもOK。 〔最終更新: 2018年1月28日〕
cos 36°　魔法のにおい (2018-01-14)
五角形を使った解法も優雅だが、代数的に… 〔最終更新: 2024年4月18日〕
cos π/7　正七角形の七不思議 (2018-01-28)
日頃めったに見掛けない正七角形。その作図不可能性は、有名な「角の3等分問題」に帰着する。コンパス・定規・「角度3等分」器があれば、360° を7等分できる！ 〔最終更新: 2024年5月18日〕
覚えやすさを重視した3次方程式の解法 (2018-02-11)
分数なくして、すっきり。語呂合わせ付き。 〔v8: 2019年3月17日〕
3次方程式の奥 (2018-03-04)
3次方程式は奥が深い。「判別式の図形的解釈」は1990年代の新発見だという。 〔v15: 2022年2月23日〕
3次方程式の判別式 (2018-03-18)
いろいろな判別式。Qiaochu Yuan による恐ろしくエレガントな解法。 〔v10: 2024年4月18日〕
3次方程式と双曲線関数 ☆ 複素関数いじっちゃお (2019-02-17)
定義から始めてのんびり進むので、双曲線関数の予備知識は不要。3次方程式も別記事で初歩から解説。三角・指数関数なら知ってるという探検気分のあなたへ。複素関数プチ体験。 〔v7: 2021年2月19日〕
cos i = ?
曇りなきオイラーの公式　微分を使わない直接証明 (2019-02-17)
exp ix = cos x + i sin x のこんな証明。目からうろこが落ちまくる！ 〔v11: 2020年12月23日〕
−1 の 3/2 乗？　オイラーの公式（その2） (2019-03-03)
(−1)3/2 って ((−1)3)1/2 = (−1)1/2 = i なのか、((−1)1/2)3 = i3 = −i なのか、それとも…？　exp z と ez が同じという根拠は？ 〔v7: 2021年1月24日〕
(za)b = zab の成立条件 (2019-06-09)
(za)b = zab は一般には不成立。ではどういう条件で、この等式が成り立つか。(za)b と zab は、どういう関係にあるのか。「巻き戻しの数」（unwinding number）は、この種のモヤモヤをすっきりさせるための便利なコンセプト。 〔v6: 2022年10月25日〕
フェルマーのクリスマス定理で遊ばせて！ (2018-12-23)
1640年のクリスマスの日、フェルマーはメルセンヌに宛てた手紙の中で、こう言った。「4の倍数より1大きい全ての素数は、ただ一通りの方法で、2個の平方数の和となります」 〔v6: 2023年7月16日〕
すてきな証明・すてきな作図　tan ((α + β)/2) = ? (2021-10-09)
正攻法ではゴチャゴチャ長い計算になるが、この作図によると、見ただけで「そうなって当然！」と思える。
「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム (2016-03-27)
整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
[JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ (2016-05-08)
JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
[JS] メルセンヌ数の分類と分解 (2016-06-05)
数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
楕円曲線で因数分解 (2016-08-14)
楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法 (2016-10-02)
元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
アルカンの異性体の数の公式・第1回　小さなパズルと不思議な解 (2015-09-20)
異性体の数は難しいが、炭素数12くらいまでなら素朴な計算ができる。中学数学くらいの予備知識で気軽に取り組めて、めちゃくちゃ奥が深い。（全9回予定だが第6回の途中で止まっている。そのうち気が向いたら完結させたい）
「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか？ (2014-08-03)
数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか？」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか？」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
平方剰余の相互法則 (2003-03-26)
「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
楕円曲線暗号 (2003-11-28)
最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装？　実装はダサいが、内容（ロジック）は正しい。
触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04)
理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10)
真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。
ばびっと数え歌　でかい数編 (2019-09-01)
37桁の 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000（＝1澗）までの数え歌。日本語・英語・SI接頭辞・2進数付き。 〔v3: 2023年3月8日〕
【注意】SSDは使ってないと壊れやすい　用がなくても週に1度は電源を (2021-06-06)
「SSDは、アクセスが速く、回転部分がないので壊れにくい。従来のハードディスクより優れた新技術…」という一般的イメージを持たれている。一方、SSDには、特有の弱点があることも知られている。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03)
曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い (2017-11-26)
「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解（公転最速理論？）、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2022年9月1日〕
＜PNG画像: 春分年・夏至年・秋分年・冬至年の長さの変動は、位相がずれたサインカーブのような曲線を描く＞
公式不要の明快な曜日計算 (2016-10-23)
公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30)
いいもん、いいもん！ これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから！ …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説 (2019-03-24)
我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか？　否、始まりなのだ！
ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ） (2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2023年4月13日〕
ケプラー方程式・2　エロい感じの言葉 (2018-01-28)
「ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ）」の別解・発展。 〔最終更新: 2020年11月24日〕

シリア語・Unicode・詩

少年と雲　（シリア語の詩） (2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい？／背中に何をしょってるの？／そんなに顔を曇らせて／空から何を見ているの？
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌　シリア語編 (2014-02-09)
「シリア語の数詞の1～10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
孫子兵法「弱生於強」と 2 Cor 12:9 (2024-04-03)
シリア語聖書に言及するメモ。
ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕

ジョーク

未来の水　フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01)
宇宙旅行のお供に／非常時の備えに…　場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ～な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教　「日本の影響」説も (2019-04-01)
「客舍（かくしゃ）青青（せいせい）　柳色（りゅうしょく）新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維（おうい）。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。（エイプリルフールのジョーク記事）
円周率は12個の2　スパコンで判明／ほか　3題 (2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し？／円周率は12個の2　スパコンで判明／人間を模倣する学習AI　学習し過ぎ？
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」 (2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界 (2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会 (2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画　（チラ裏3題） (2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか？」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国（わたくに）は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か？ (2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ！」　お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門　中級編 (2004-08-27)
二つの入門編（音声タイミング・基本スタイリング）に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009)
字幕と音声のずらし方／縁ワイプ／字幕のリップシンク／縦カラオケ／他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ？ 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山　（チラ裏3題） (2019-04-14)
3丁目が見えない理由（先行きの不安）は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く　（チラ裏3題） (2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか？ (2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」 (2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」　神「はい？」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語　3題 (2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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