妖精現実

⚠魔法使い出没注意
最新記事　時間を止めてイタズラできたら楽しいか (2024-04-21)

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2024-11-04　ガウス和の平方（その3）　S の二つの値

p−1 個の原始 p 乗根のどれを基準にしても S2 の値は変わらないが、 Gauß 和 S の符号は変わり得る。

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2024-11-02　ガウス和の平方（その2）　証明の本体

3 以上の素数 p に対する Gauß 和の平方が ±p に等しいこと。

代数的整数論の入り口辺りのいろいろな話題は、簡単過ぎず、難し過ぎず、少し不思議で美しい。具体例を構成し、現象を観察し、好奇心の赴くままに数値実験をする。受験やら何やらの俗世の利害関係とはほとんど無縁の話題なので、純粋にそれ自体を楽しむことができる…。「遊びの数論」としては、最もすてきな散策エリアの一つだろう！

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2024-11-01　正七角形のいんちき作図法（その3）　解明

正七角形の画像2（再掲）

原点 S を中心とする半径 1 の円。「点 Q (−0.9, 0) を通る垂直線と円が交わる点 D, E は、正七角形 ABCDEFG の頂点なんだぜぇ～」という、やぶから棒の主張。

今日という今日は、何が何でも、このいんちき作図を論破しなければなるまいっ！

直角三角形 QSD に三平方の定理（ピタゴラスの定理）を適用すると:
　　|QS|2 + |QD|2 = |DS|2
|DS| は円の半径だから 1 で、その平方は 1。長さ |QS| が 0.9 つまり 9/10 だとしたら:
　　(9/10)2 + |QD|2 = 1
　　つまり　81/100 + |QD|2 = 1

っつーことは |QD|2 = 1 − 81/100 = 19/100 なんで、結局 QD の長さ、つまり D の縦座標は…

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2024-10-31　ガウス和の平方　その優美さゆえに

1 の原始 p 乗根†を任意に一つ選んで z とする（p は 3 以上の素数）。ガウス（の）和 S とは:
　　S = ±z1 ± z2 ± z3 ± ··· ± zp−1
ただし複号については、各項の z の指数 1, 2, 3, ···に応じて、それが mod p の平方剰余なら + とし、非剰余なら − とする。

この和には、秘められている――若かりし頃の Gauß が「これらの定理は、その優美さゆえに強く心を打つ」と記した‡魅惑的性質が。正17角形の研究とも関連。

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2024-10-28　正七角形のいんちき作図法（その2）　ヒント

正七角形の画像2

この「いんちき作図」、少々惑わすような記述もあれど、要するに PQ:QS = 1:9 と言っている。

PS の長さを 1 としよう。すると QS の長さは 0.9。

…おいおい、そりゃーおかしくねーかぁ？

だってさぁ、直角三角形 QSD を考えると SD = 1 じゃん、円の半径だから。ってことは、作図が正しけりゃ cos (π/7) = 0.9 になっちまうぞ！

コサイン（cos）ってのは、 45° とかの「きっかりした角度」を入れても、出力は √2/2 = 0.7071… とかの無理数だぜ、普通？

ましてや π/7 = 180°/7 = 25.714…° みてーな「割り切れねぇ角度」のコサインが、きっかり 0.9 = 9/10 になるわけねーだろ、感覚的に言って！

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直観的にはそう思える。でも、どうやってそれを証明しましょう？

作図がおかしいのなら、何でちゃんと正七角形になってるように見えるんだろう。正七角形が「作図不可能」なら、なぜ現実に正七角形の物体が存在するのだろう…？


あなたは正七角形の存在を信じますか

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2024-10-27　正七角形のいんちき作図法　だまされないぞ！

問題　下記の作図は、どこが間違っているか。

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正七角形の画像

任意の線分 PQ を延長します。その直線上の P の反対側で PQ:QR = 1:3 になるような場所に印を付け（コンパスを使って）、点 R と呼びましょう。さらに QR:RS = 1:2 になるような点 S に印を付けます。

S を中心に半径 PS の円を描き、円 S と呼びます。円 S が直線 PS と交わる新しい点を A とします。

Q を通り PS と直交する直線が、円 S と交わる点を D, E とします。

D を中心に半径 DE の円を描き、それが円 S と交わる新しい点を C とします。

同様に、コンパスの幅を DE に固定して、円 S 上に等間隔の点 A, B, C, D, E, F, G を次々と取り、線で結べば、正七角形 ABCDEFG の出来上がり♪

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2024-10-25　正17角形の正道を求めて　ガウス周期とガウス和

正17角形（ないし 1 の17乗根）の研究は、原始根を使うと「魔法のように」うまくいく。そのこと自体は比較的よく知られているが、往々にして「なぜそれでうまくいくのか」が不明瞭。「魔法」の正体を探る。

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2024-10-22　x17 = 1 の代数的解法／まとめ　補足・反省・展望

①　x17 = 1 の 1 を移項して (x − 1)(x16 + x15 + ··· + x + 1) = 0 と書ける。右側の丸かっこ内 = 0 を解きたい。

②　次の恒等式を利用。
　　4(x16 + x15 + ··· + x + 1) = (2x8 + x7 + 5x6 + 7x5 + 4x4 + 7x3 + 5x2 + x + 2)2 − 17(x7 + x6 + x5 + 2x4 + x3 + x2 + x)2

③　すると x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 の左辺は、二つの8次式の積に分解。

④　y = x + 1/x と置くと、二つの4次式になる。

⑤　4次式は、二つの2次式の積に分解。2次方程式の解は、機械的に求まる。

⑥　第一の4次式に対応する解、第二の4次式に対応する解。計 8 個の解 y は全て実数で、③ の解 x の実部の 2 倍（実際には、便宜上 z = 2y と置いた: z は x の実部の 4 倍）。 ③ の 16 個の解の実部（2 個ずつ等しい）が全て判明。

⑦　±√[(1 − C)/2] が解 x の虚部。ここで C は、③ の解のうち x から見て「偏角が 2 倍の数」の実部。

群論的考察も三角関数も不使用。真に良い解法ではないが、それなりに面白い。

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2024-10-20　x17 = 1 の代数的解法（その4）　草に酔う

x17 = 1 の非実数解は 16 個。全部、求める。

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2024-10-18　x17 = 1 の代数的解法（その3）

x17 = 1 の解は x = 1 の他、次の形式の 16 個の複素数:
　　u1 ± v1i, u2 ± v2i, ···, u8 ± v8i

「その2」では、上記 8 種の実部 u1, u2, ···, u8 のうち四つについて、明示的な根号表現を得た――4次方程式を二つの2次方程式として解くことによって。対になるもう一つの4次方程式から、残りの四つの実部にもアプローチできる。

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2024-10-16　夢ノ角ゴ　ウェブ・フォントの長所と短所

ご覧のこのサイト（妖精現実）では、3カ月前（2024年7月）から、ページの日本語テキストのフォントについて試行錯誤している。 Dream Han Sans というフォント†を使って（思源黑体、日本語名「夢ノ角ゴ」）。大半の環境では、ここ数カ月（今現在も）、このフォントで文字が表示されているだろう。

† https://github.com/Pal3love/dream-han-cjk

従来のフォントでは、文字の太さは 400（レギュラー）と 700（ボールド）の二つ。多くても 100, 200, …, 900 の九つだったが、 Dream Han は27通りもの font-weight をレガシー形式で提供している。

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2024-10-12　1 の原始13乗根12種・きれいな根号表現　ω なし

θ = (π/13), (2π/13), (3π/13), ··· に対する cos θ の根号表現は、比較的易しい。対応する sin は次のような形式で表現可能。
　　sin θ = {√[78 ± 6√13 ± 6A]}/12　もしくは　{√[78 + 6√13 ± 6A − 6B]}/12
ここで A, B は 3√[±104 ± 20√13 + 12√−39] とその共役の和。各複号の選択は θ による。

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2024-10-11　x17 = 1 の代数的解法（その2）

前回、二つの2次方程式を導いた。それらを実際に解いてみたい。

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2024-10-10　x17 = 1 の代数的解法　ガウスの式の応用

問題　置換 y = x + 1/x を使って、16次方程式 x16 + x15 + ··· + x + 1 = 0 を解く。

「正17角形の作図可能性」（四則演算・平方根だけで 1 の17乗根を表現できること）は有名な話題だが、特別な予備知識がなくても理解できるような形で扱うことは、少々難しい。「正17角形は作図可能？」のアプローチでは、群論的考察も複素数も必要ない代わり、三角関数を湯水のように使った。

以下では別の方法として、 x17 = 1 を直接、4次方程式に帰着させる。4次方程式を導くところまでは、加減乗除の計算と平方根しか使わない（4次方程式の解法は一般的な知識とはいえないが、頑張れば普通に理解できるだろう）。

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チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…

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主な新着コンテンツ

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初等的証明に成功！　世界初かも？

2024年1月17日　Moufang 恒等式の同値性　初等的証明
これも（ネットでは）世界初かも。教科書的には autotopism を使うのだが、そんなややこしい概念は必要ない。

2024年2月7日　ゾクッとする式・きれいな式　tan2 20° + tan2 40° + tan2 80° = 33

2024年3月3日　一辺 1 の正五角形の面積　算数バージョン

2024年3月27日　五・六・十角形の恒等式　現代とは違う感覚

2024年4月11日　正17角形は作図可能？　複素数を使わない気軽な散策

2024年6月3日　arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π　三角形の内心

2024年6月11日　　Linux の Live OS　気軽にいろいろ試せるよ

2024年9月24日　「1 の5乗根」について　(x2 + x/2 + 1)2 の利用

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時間を止めてイタズラできたら楽しいか (2024-04-21)
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数学・プログラミング・コンピューター

妖精の森　♌︎　ペル方程式の夏 (2020-12-27)
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「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーで。「アルファさんとベータさんが麦畑」でもOK。 〔最終更新: 2018年1月28日〕
cos 36°　魔法のにおい (2018-01-14)
五角形を使った解法も優雅だが、代数的に… 〔最終更新: 2024年4月18日〕
cos π/7　正七角形の七不思議 (2018-01-28)
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覚えやすさを重視した3次方程式の解法 (2018-02-11)
分数なくして、すっきり。語呂合わせ付き。 〔v9: 2024年10月13日〕
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3次方程式の判別式 (2018-03-18)
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3次方程式と双曲線関数 ☆ 複素関数いじっちゃお (2019-02-17)
定義から始めてのんびり進むので、双曲線関数の予備知識は不要。3次方程式も別記事で初歩から解説。三角・指数関数なら知ってるという探検気分のあなたへ。複素関数プチ体験。 〔v7: 2021年2月19日〕
曇りなきオイラーの公式　微分を使わない直接証明 (2019-02-17)
exp ix = cos x + i sin x のこんな証明。目からうろこが落ちまくる！ 〔v11: 2020年12月23日〕
−1 の 3/2 乗？　オイラーの公式（その2） (2019-03-03)
(−1)3/2 って ((−1)3)1/2 = (−1)1/2 = i なのか、((−1)1/2)3 = i3 = −i なのか、それとも…？　exp z と ez が同じという根拠は？ 〔v7: 2021年1月24日〕
(za)b = zab の成立条件 (2019-06-09)
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フェルマーのクリスマス定理で遊ばせて！ (2018-12-23)
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すてきな証明・すてきな作図　tan ((α + β)/2) = ? (2021-10-09)
正攻法ではゴチャゴチャ長い計算になるが、この作図によると、見ただけで「そうなって当然！」と思える。
「西暦・平成パズル」を解くアルゴリズム (2016-03-27)
整数28と四則演算で2016を作るには、最小でも9個の28が必要。
2016 = (28+28+28)×[28−(28+28+28+28)/28]
一見全数検索は大変そうだが、50行程度の平易なスクリプトで高速に解決される。ES6 の Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2023年4月1日〕
[JS] 100行のプチ任意精度ライブラリ (2016-05-08)
JavaScript 用に最小構成的な「任意精度整数演算」ライブラリを作ってみた。 〔最終更新: 2019年6月23日〕
[JS] メルセンヌ数の分類と分解 (2016-06-05)
数千万桁のメルセンヌ素数が脚光を浴びるが、その裏では、たった数百桁のメルセンヌ合成数が分解できない。 〔v6: 2019年5月5日〕
楕円曲線で因数分解 (2016-08-14)
楕円曲線を使って、巨大整数に含まれる数十桁の因数を検出できる。計算は、曲線上の勝手な点を選んで整数倍するだけ。ステージ1、モンゴメリー形式、標準版ステージ2、素数ペアリングについて整理した。 〔最終更新: 2021年11月14日〕
楕円曲線の位数: 点の擬位数に基づく計算法 (2016-10-02)
元の位数を考えると群の位数計算が高速化されるが、それには高速な素因数分解が必要。「擬位数」はどの教科書にも載ってないような概念だが、ハンガリー人数学者 Babai László によって研究された。 〔最終更新: 2016年10月23日〕
「マイナス×マイナス=プラス」は証明できるか？ (2014-08-03)
数学的に正しい質問は、「なぜマイナス×マイナス=プラスか？」ではなく「いつマイナス×マイナス=プラスか？」 〔最終更新: 2019年9月29日〕
平方剰余の相互法則 (2003-03-26)
「バニラ素数とチョコレート素数」という例えを用いた「お菓子な」説明。
楕円曲線暗号 (2003-11-28)
最初歩から具体例で。書き手も手探りというライブ感あふれる記事6本。手探りだからエレガントではないが、JavaScriptでは世界初の実装？　実装はダサいが、内容（ロジック）は正しい。
触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04)
理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10)
真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。
ばびっと数え歌　でかい数編 (2019-09-01)
37桁の 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000（＝1澗）までの数え歌。日本語・英語・SI接頭辞・2進数付き。 〔v3: 2023年3月8日〕
【注意】SSDは使ってないと壊れやすい　用がなくても週に1度は電源を (2021-06-06)
「SSDは、アクセスが速く、回転部分がないので壊れにくい。従来のハードディスクより優れた新技術…」という一般的イメージを持たれている。一方、SSDには、特有の弱点があることも知られている。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03)
曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
「春夏秋冬」は「夏秋冬春」より長い (2017-11-26)
「春分→夏→秋→冬→春分」と「夏至→秋→冬→春→夏至」は、どっちも春・夏・秋・冬1回ずつなのに、前者の方が長い。素朴な図解（公転最速理論？）、簡易計算、そして精密な解析解。春分間隔から春分年へ… 〔最終更新: 2022年9月1日〕
＜PNG画像: 春分年・夏至年・秋分年・冬至年の長さの変動は、位相がずれたサインカーブのような曲線を描く＞
公式不要の明快な曜日計算 (2016-10-23)
公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30)
いいもん、いいもん！ これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから！ …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。 〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説 (2019-03-24)
我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか？　否、始まりなのだ！
ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ） (2018-01-14)
微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。 〔最終更新: 2023年4月13日〕
ケプラー方程式・2　エロい感じの言葉 (2018-01-28)
「ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ）」の別解・発展。 〔最終更新: 2020年11月24日〕

シリア語・Unicode・詩

少年と雲　（シリア語の詩） (2017-12-24)
雲さん、どこから来たんだい？／背中に何をしょってるの？／そんなに顔を曇らせて／空から何を見ているの？
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14)
キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況を正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。 〔最終更新: 2018年11月4日〕
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15)
「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。 〔最終更新: 2018年5月6日〕
シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01)
カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌　シリア語編 (2014-02-09)
「シリア語の数詞の1～10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
孫子兵法「弱生於強」と 2 Cor 12:9 (2024-04-03)
シリア語聖書に言及するメモ。
ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16)
以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。 〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)
ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕

ジョーク

未来の水　フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01)
宇宙旅行のお供に／非常時の備えに…　場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ～な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01)
睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24)
海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教　「日本の影響」説も (2019-04-01)
「客舍（かくしゃ）青青（せいせい）　柳色（りゅうしょく）新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維（おうい）。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。（エイプリルフールのジョーク記事）
円周率は12個の2　スパコンで判明／ほか　3題 (2016-04-01)
三原則ロボットおちょくられて仕返し？／円周率は12個の2　スパコンで判明／人間を模倣する学習AI　学習し過ぎ？
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」 (2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界 (2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会 (2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画　（チラ裏3題） (2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか？」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国（わたくに）は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か？ (2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ！」　お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門　中級編 (2004-08-27)
二つの入門編（音声タイミング・基本スタイリング）に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009)
字幕と音声のずらし方／縁ワイプ／字幕のリップシンク／縦カラオケ／他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ？ 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山　（チラ裏3題） (2019-04-14)
3丁目が見えない理由（先行きの不安）は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死でないから星は輝く　（チラ裏3題） (2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか？ (2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」 (2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」　神「はい？」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語　3題 (2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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Syriac Language

BES, Battle Encoder Shirasé 1.7.9 & 1.8.0.31: Per-Process CPU Limiter (archive)

a3r (ASS_Help3r): ASS timing/typesetting v0.2.0.0 (archive)

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