遊びの数論55　ガウス和の符号〔華羅庚〕

他のメモへのリンク集。リンク集を飛ばして、このページの前書きへ。本文の目次へ。21、22などの数字は、メモの番号です。

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遊びの数論54の続き。誤字脱字・間違いがあるかも。

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• 目次。約7の項目があります。2026などの数字は、メモの日付です。
• 2026-01-21　二重根号の外し方　五角形は侮れない
• 2026-01-22　二重根号なんて怖くない！　√(5 − 2√6) = √3 − √2
• 2026-02-02　複素数の平方根　i はお金では買えない
• 2026-02-07　ガウス和の符号の決定〔Hua 版〕
• 2026-02-10　sin, cos などの「差→積」の公式
• 2026-02-14　三角不等式とコーシーの不等式
• 2026-02-19　三角不等式・逆三角不等式（実践バージョン）
• 目次の終わり。このページの最初の項目が続きます。

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2026-01-21　二重根号の外し方　五角形は侮れない

#遊びの数論　#正五角形

問題1　一辺の長さ 2 の正五角形の、対角線の長さが 1 + √5 であることを示したい。

問題2　一辺の長さが 2 の正五角形の、高さ（頂点と反対側の辺の中点を結ぶ垂線の長さ）を求めたい。

問題1の記述が正しいとすれば、問題2は、三平方の定理を使って機械的に解ける。

問題2の解　直角三角形の底辺が 1、高さが ？、斜辺が 1 + √5 なので:
　　1² + ？² = (1 + √5)²
　　∴　？² = (1 + √5)² − 1² = (6 + 2√5) − 1 = 5 + 2√5
　　∴　？ = √(5 + 2√5)　∎

二重根号が発生。正五角形関連は、トリッキーな根号処理が絡むことも多く、油断できない。

逆に、正五角形の高さが √(5 + 2√5) であることと一辺の長さが 2 であることが、先に与えられたとすると…。三平方の定理から、対角線の長さを求めるのは同じ手間のようだが、単純計算では:
　　(対角線)² = (√(5 + 2√5))² + 1² = (5 + 2√5) + 1 = 6 + 2√5
　　∴　対角線 = √(6 + 2√5)
答えは間違ってないけど、対角線の長さは 1 + √5 のはずなので、
　　√(6 + 2√5) = 1 + √5
という変形が可能なはず。 √(A + √B) のような形の「二重根号」を簡約するテクニックは、こういうシチュエーションで役立つ。任意の複素数 a + bi は = a + b√−1 なので、複素数 a + bi の平方根 √(a + bi) を求めることも、
　　√(A + √−B)
の形の二重根号処理だと捉えることができる。平方根はありふれた計算だし、複素数の平方根を考えなければならないこともある。「二重根号処理なんて、まれなこと」という感じもするけど、案外そうでもなく、応用範囲が広い。「i の平方根」なんかも、二重根号の問題として考えると簡単便利だし。

一辺 2 の正五角形の対角線の長さは、いろんな方法で求めることができる。「一辺 2」ってのは、便宜上の設定。「一辺 1」の方が良ければ、単に「一辺 2」の場合の答えを半分にしてもいい。

問題1の解　正五角形 ABCDE があるとして、（どの対角線でも長さは同じだけど）仮に対角線 BE の長さを求めるとしよう。対角線 AD と対角線 BE の交点を P とすると PB と DC は平行、 PD と BC も平行なので――そして BC = CD は正五角形の辺なので――、 PBCD はひし形。

従って DP は、正五角形の一辺 DE と長さが同じ。よって △EDP は二等辺。 △DBE も、もちろん二等辺。これら二つの二等辺三角形は、底角 E を共有するので、「等しい底角」の大きさが一致。必然的に残りのもう一つの（対応する）角も一致し、二つの三角形は相似。

さて PE の長さを x とすると BE の長さは 2 + x だ（なぜならBP は前記ひし形の一辺で、五角形の一辺と長さが等しい）。相似な二つの三角形について、
　　△EDP の底辺と斜辺の比　と　△DBE の底辺と斜辺の比
は一致する。
　　x ∶ 2 = 2 ∶ 2 + x
　　∴　x(2 + x) = 4　つまり　x² + 2x − 4 = 0

これを解くと x = −1 ± √5。 x は線分の長さなので、正の値
　　x = −1 + √5
が題意に適する。結局、求める対角線 BE の長さは:
　　2 + x = 2 + (−1 + √5) = 1 + √5　∎

√5 = 2.23606 79774… なので（富士山麓オウム鳴く）:
　　1 + √5 = 3.23606 79774…
もし一辺の長さが半分の 1 だったら、対角線の長さも半分になって:
　　(1 + √5)/2 = 1.61803 39887…
この数値は「黄金比」と呼ばれる。 1.6 は「富士 + 1」の半分、 18 と 03 はそれぞれ「山麓」と「オウム」の半分、等々。

一辺 2 の正五角形の対角線の長さが約 3.2 であることは、作図からも確かめられる。対角線で結ばれた一方の頂点を中心に、半径 2 の円を描き（半径 = 辺の長さ）、他方の頂点を中心に半径 1 の円を描くと（半径 = 辺の長さの半分）、二つの円は交わらず、目分量で約 1/4 の隙間が生じる。対角線の長さは、ざっと 3.25 くらい、と。

いまやこの正五角形の高さは明らか。最初に書いたように:
　　√(5 + 2√5)
5 + 2√5 = 5 + 4.472… = 9.472… なので、その平方根は明らかに 3 よりは大きいが 3.1 よりは小さい（31² = 961 であり、 3.1² = 9.61 は 9.472… と比べ過大）。

実際、再び半径 2 の円と半径 1 の円を描くと、正五角形の高さは 3 よりほんのわずかだけ（目分量で 0.1 程度）大きいことが見て取れる。正確な値は:
　　√(5 + 2√5) = 3.07768 35371…

この数の二重根号を簡約することは、できない。

他方、正五角形の高さ（上記）を元に対角線の長さを求めると、最初に書いたように二重根号が生じる:
　　対角線 = √(6 + 2√5)

この二重根号は、計算済みの対角線の長さ 1 + √5 と同じ数値のはずだ。

一般に √(A ± B) の形の A, B の一方または両方がそれ自身、平方根号を含んでいるとしよう。そのような多重根号に対処するとき、根号下の数たのたちの平方差が――つまり、二つの数それぞれを平方して引き算した A² − B² の値が――重要な役割を果たす。

√(6 + 2√5) の例では、根号下の数たちの平方差は:
　　6² − (2√5)² = 36 − 20 = 16
これは平方数 4² に等しい！

√(5 + 2√5) は、数の形は似てるけど、対応する平方差は:
　　5² − (2√5)² = 25 − 20 = 5
この 5 という数は、平方数ではない！

これが平方数になれば、根号を簡約できる。平方数にならない場合、普通の意味では簡約できない。

具体的なアルゴリズムは次の通り。 √(A ± B) が与えられたとき、上記の平方差 d がもし平方数なら、 A と √d の平均（足して 2 で割ったもの）を u として、 A の平均からのずれ A − u を v とすると、
　　√(A ± B) = √u ± √v
が成り立つ。右辺の ± では、 A ± B の ± と同じ符号を選択。

例1　√(6 + 2√5) の場合、平方差 d = 16（上記）。
　　A = 6 と √d = 4 の平均　u = (6 + 4)/2 = 5
　　A = 6 の平均 u からのずれ　v = 6 − 5 = 1
従って √(6 + 2√5) は、
　　√u + √v = √5 + √1 = √5 + 1
に簡約可能！

例2　√(11 + 6√2) の場合、平方差は:
　　d = 11² − 6²⋅2 = 121 − 72 = 49
これも平方数！
　　A = 11 と √d = 7 の平均　u = (11 + 7)/2 = 9
　　A = 11 の平均 u からのずれ　v = 11 − 9 = 2
従って √(11 + 6√2) は、
　　√u + √v = √9 + √2 = 3 + √2
に簡約可能。

例3　√(2 + √3) の場合、平方差は:
　　d = 2² − 3 = 1
これも平方数だ！
　　A = 2 と √d = 1 の平均　u = (2 + 1)/2 = 3/2
　　A = 2 の平均 u からのずれ　v = 2 − 3/2 = 1/2
従って √(2 + √3) は、
　　√u + √v = √(3/2) + √(1/2) = (√3)/√2 + (√1)/√2
　　= (√3 + 1)/√2 = (√6 + √2)/2
に簡約可能。

上記のような計算法（二重根号外し）は、特に難しい計算ではない。なぜこれでうまくいくのか検討してから（次回）、同じアルゴリズムを「複素数の平方根」などに応用してみたい。（続く）

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2026-01-22　二重根号なんて怖くない！　√(5 − 2√6) = √3 − √2

#遊びの数論

√(5 − 2√6) = √3 − √2 のような「二重根号外し」は、素朴に眺めると謎めいている。なにそれ、 √(5 − 2) = √3 ってこと？　入れ子になってる √6 は、どこ行ったの…？

仕組みが分かってみると、実は簡単。上記の例なんかは、一瞬で暗算できる。多重根号簡約の一般論は難しいけど、簡単な「二重根号外し」程度なら、さくっと。

多重根号が簡約できるケースは、比較的まれ。でも同じアルゴリズムが、結構いろんなことに役立つ（複素数の平方根、複素係数の2次方程式、ある種の4次方程式など）。

前回、正五角形の対角線の長さに関連して、二重根号簡約の具体例を挙げた。「二重根号外し」の仕組みの説明。

√(A + ℓ√m) の形の数（A, ℓ は正）を考える。例えば √(6 + 2√5)。

ℓ√m = √(ℓ²m) のように、平方根の倍数については、一つの平方根にまとめることも可能（例えば 2√5 = √20）。 B = ℓ²m と置くなら、シンプルに
　　√(A + √B)　　（✽）
の形だけを考えれば十分、ってことになる。

（✽）の形の二重根号を変形して = √u + √v の形にできたとしよう。つまり、
　　√(A + √B) = √u + √v　　ア
が成り立った、と。そんな等式が、実際に成り立ち得るのか？　A, B は与えられた定数、 u, v は未知数なので、前者を使って u, v を表現できれば理想だけど、直観的には「未知数が二つあるのに式が一つしかないんだから、情報不足。解けるわけねぇ」「そもそも左辺は複雑な二重根号。シンプルな右辺と等しくなるなんて、そんなうまい話、あるもんか」という気が、するかもしれない…。けどまぁ、とりあえず、外側の根号を外すため、アの両辺を平方して:
　　A + √B = u + v + 2√(uv)　　イ

〔注〕　イ右辺は (√u + √v)² = (√u)² + 2(√u)(√v) + (√v)² = u + 2√u√v + v による。

仮に A が整数（あるいは一般に有理数）、 √B が無理数だとすると――それが典型的なシチュエーションだ――、イ左辺は「有理数と無理数の和」で無理数。それに等しいイ右辺も、当然、無理数。今 u, v がどちらも有理数と仮定すると、イ右辺の u + v は、有理数同士の和なので有理数。イ右辺に無理数成分があるとすれば、平方根 √(uv) だけ（ただし無理数の 2 倍も無理数なので、 2√(uv) も無理数）。

イ左辺の「有理数の部分」と「それ以外」、イ左辺の「有理数の部分」と「それ以外」は、それぞれ等しくなるはず:
　　A = u + v　　ウ
　　√B = 2√(uv)　　エ
エの両辺を平方すると:
　　B = 4uv　　オ
つまり uv = B/4 となり、ウと組み合わせると未知数 u, v の和と積が（A, B の式として）分かるので、 u, v を解とする2次方程式を作ることができる（そうしたければ）。それを解けば、未知数 u, v を「与えられた A, B の式」として表現でき、アの変形が可能になる！

〔付記〕　「未知数が二つあるのに、それを決定するための式（情報）が一つしかない」とも思えたけど、その一つの式に「有理数成分」「無理数成分」の二つの情報が含まれていることから、結局、ウ・エの連立方程式となった。

具体的な u, v の決定法。「2次方程式を解く必要がないシンプルなやり方」から。ウの両辺を平方すると:
　　A² = u² + 2uv + v²　　カ
カからオを（辺ごとに）引き算すると:
　　A² − B = u² − 2uv + v² = (u − v)²　　キ

等式キが鍵。与えられた二重根号 √(A + √B) の根号下にある二つの数 A, √B について、平方差 d ――つまり、それぞれ平方して引き算した
　　d = A² − B
――を考えよう。 r = √d と置くと、その両辺の平方から d = r² なので、キから、
　　d = r² = (u − v)²　つまり^†　r = u − v　　ク
となる。

†　r² = (u − v)² は ±r = u − v を含意するが、便宜上、ここでは ± のうち + を選択する（平方差 d が 0 以上の実数の場合、この選択は、 u ≥ v だと決め付けることに当たる）。ア右辺の √u + √v は、二つの数 {u, v} が一定なら一定の値。二つの数のどっちを u とするか勝手に選んでも、結論に影響しない。

ウとクを辺ごとに足し算して:
　　A + r = 2u　つまり　u = (A + r)/2
ウからクを辺ごとに引き算して:
　　A − r = 2v　つまり　v = (A − r)/2

r = √d であることに留意すると、次の結論に至る。

命題1（一応のまとめ）　√(A + √B) を √u + √v の形に変形できる（A は正）。ここで d は、
　　平方差　A² − B
であり、 u = (A + √d)/2, v = (A − √d)/2。ここで A 自身は、根号を含まない数だとしよう。すると、もし d が有理数の平方に等しいなら r = √d は有理数で、 u も v も根号を含まない。そのケースでは B の二重根号が外れて、一重根号だけの式に簡約される。

実践的には、次のように整理できる。

二重根号外しの基本アルゴリズム
　入力　√(A + ℓ√m)
　　①　根号下の数たちの平方差 A² − ℓ²m を d とする
　　　◇　d が平方数か判定
　　　　Yes ⇒ 二重根号を外せる（②へ）　　No ⇒ 外せない（あきらめて終了）
　　②　A と √d の平均を u とする
　　③　A の平均からのずれ A − u を v とする（典型的には A は「平均」より大きい）
　出力　√u + √v

②の u は、 A と √d を足して 2 で割ったものだから、命題1の u と同じ意味。従って③は、
　　A − u = A − (A + √d)/2 = 2A/2 − (A + √d)/2 = (A − √d)/2
の計算に当たり、命題1の v と同じ意味。「A と √d の平均」「A の平均からのずれ」というのが、かえって分かりにくければ、命題1にあるように、
　　u = (A + √d)/2, v = (A − √d)/2
と考えてもいい（用途によって、どちらの考え方も役立つ）。

別解　上記では、ウの u + v とオの 4uv から、カ・キ経由でクの u − v を作り、ウとクの辺々の和・差から u, v を抽出した。もし2次方程式を解く気があれば、オの段階で既に u, v 自体の和・差が分かるので、直ちに u, v を求めることも可能。すなわち、
　　u + v = A, uv = B/4
なので、解と係数の関係から、 u, v は
　　x² − Ax + B/4 = 0
の解。これを解いて:
　　u, v = [A ± √(A² − B)]/2
d = A² − B と置けば、最初に得た結論と同じ。∎

例題1　可能なら √(11 + 4√6) を簡約したい。

解　11² = 121 そして (4√6)² = 16⋅6 = 96 なので、平方差は:
　　d = 121 − 96 = 25
25 = 5² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 11, √d = 5）。

命題1の方法をそのまま使うと:
　　u = (11 + √25)/2 = 8, v = (11 − √25)/2 = 3

あるいは、実践的アルゴリズムから:
　　A と √d の平均　u = (11 + 5)/2 = 8
　　A の平均からのずれ　v = 11 − 8 = 3

いずれにしても、
　　√(11 + 4√6) = √8 + √3
となる（お好みで 2√2 + √3 と書いてもいい）。∎

〔別解〕　二重根号外しに使えるアルゴリズムは、複数の種類ある。扱う数が小さいときは、 √(a + 2√b) の形に変形して、和が a で積が b の2数 u, v を探してもいい。例題1の場合、
　　√(11 + 4√6) = √(11 + 2√24)
であり、「足すと 11 で掛けると 24 になる二つの数」を考えると 8, 3 が見つかる。実際、
　　√(a + 2√b) = √u + √v
が成り立つとすれば、その両辺を平方すると a + 2√b = (u + v) + 2√(uv) なので、この形の二重根号に限っていえば、《和が a で積が b になるような二つの数 u, v》を探せばいい。

例題2　可能なら √(7 + 3√5) を簡約したい。

解　7² = 49 そして (3√5) = 9⋅5 = 45 なので、平方差は:
　　d = 49 − 45 = 4
4 = 2² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 7, √d = 2）。
　　u = (7 + 2)/2 = 9/2, v = 7 − 9/2 = 5/2
よって:
　　√(7 + 3√5) = √(9/2) + √(5/2) = 3/√2 + (√5)/(√2) = (3 + √5)/(√2)
分母を有理化するため、分子分母を √2 倍すると:
　　 = (3√2 + √10)/2　∎

〔付記〕　例題1の「別解」の方法（和と積を考える）は、場合によっては便利だが、汎用性が低い。例題2に適用するのは、（可能だが）あまり便利ではない。

処理したい二重根号は √(A + ℓ√m) の形とは限らず（A, ℓ は正）、 √(A − ℓ√m) の形かもしれない。ア・イでは、
　　√(A + √B) = √u + √v
と置き、両辺を平方して、
　　A + √B = u + v + 2√(uv)
を得たが、もし内側の根号の前の符号が負なら、
　　√(A − √B) = √u − √v
と置いて、
　　A − √B = u + v − 2√(uv)
とすればいい。すると
　　A = u + v　そして　√B = 2√(uv)
となり、この条件は + の場合と共通（ウ・エ）なので、以降の処理は全く同じ。最後に u, v が求まったとき、
　　√u + √v　の代わりに　√u − √v
とするだけ。

〔補足〕　+ のケースでは、「二つの数 {u, v} のどちらを u としても √u + √v の値は変わらない」ということから、便宜上、 u, v の選択法を固定した（u, v が 0 以上の実数なら u ≥ v）。 − のケースでは、変数名 u, v を入れ替えると √u − √v の値が変わってしまうので、どちらを u とするのか、必ずしも自由に選択できない。とはいえ、二重根号下の数が 0 以上の実数なら（それが実用上、最も重要なケース）、その根号は 0 以上の実数を表す。それに等しい √u − √v も、当然 0 以上の実数。よって u ≥ v という仮定は引き続き妥当。

例題3　可能なら √(5 − 2√6) を簡約したい。

冒頭で挙げた例…。「和が 5 で積が 6」と考えると u = 3, v = 2 であることは明白だが、一応、一般のアルゴリズム通りにやってみる。

解　5² = 25 そして (2√6)² = 4⋅6 = 24 なので、平方差は:
　　d = 25 − 24 = 1
1 = 1² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 5, √d = 1）。
　　u = (5 + 1)/2 = 3, v = 5 − 3 = 2
　　∴　√(5 − 2√6) = √3 − √2　∎

〔注〕　真ん中の符号が + の場合、 √(5 + 2√6) の簡約結果を √3 + √2 と書こうが √2 + √3 と書こうが同じことだが、 √(5 − 2√6) の場合には、簡約結果は √3 − √2 であり √2 − √3 とすることはできない。実際、後者の引き算結果は、明らかに負の数。ところが
　　√6 = 2.44948 97427… （煮よ良く弱く）
の 2 倍 = 4.898… を 5 から引いたものは正の数。その平方根 √(5 − 2√6) も、もちろん正の数。

√6 と √7 は煮魚
√6 ≈ 2.44949 （煮よ良く良く）
ロングバージョン　√6 = 2.44948 97427 83178… （煮よ良く弱く・梨フナ野菜）
弱火でじっくり煮込むのはいいが、梨とフナは合うのだろうか？
√7 ≈ 2.64575 （煮蒸しコウナゴ）
ロングバージョン　√7 = 2.64575 1311… （煮蒸しコウナゴ・一味いい）

実用上のヒント。 √(A ± ℓ√m) の A, ℓ が公約数を持つときは、原則として、それをくくり出してから処理する方が効率的。例えば、
　　√(20 − 5√7)
を直接処理すると d = 20² − 5²⋅7 = 400 − 175 = 225 となり、それは 15² なので:
　　u = (20 + 15)/2 = 35/2, v = 20 − 35/2 = 5/2
となる（以下略）。そのやり方でも全く問題ないけど、代わりに
　　√(20 − 5√7) = √5 × √(4 − √7)
と変形してから、二重根号の部分を処理すると d = 4² − 7 = 16 − 7 = 9 = 3² なので、1～2桁の簡単な計算で済む:
　　u = (4 + 3)/2 = 7/2, v = 4 − 7/2 = 1/2
　　∴　√u − √v = (√7 − 1)/√2 = (√14 − √2)/2
求めるものは、その √5 倍なので:
　　(√70 − √10)/2

特に A, ℓ の公約数が大きい場合（例えば3桁）、それをくくり出せば、かなり計算量を節減できるだろう。

二重根号外しの例題なので、簡約できる例ばかり取り上げた。現実には、簡約可能な多重根号はまれな存在。だって d が平方数にならないと簡約できないわけで、例えば 1 から 1000 までの整数だけを考えると、平方数は 1, 4, 9, 16, ···, 961 の 31 個しかない。その範囲の d について根号外しができる確率は、単純計算で 31/1000 つまり 30 回に 1 回未満。

上記アルゴリズムでは、 d が平方数かどうかの判定が必要。 100 以下の平方数については、ほぼ誰でも瞬時に認識できるだろうけど、数論では、もう少し広い範囲の（特に 400 以下の）平方数が常用される。例えば √(19 ± 6√2) を処理したいとして、平方差 d を作る途中計算で 19² = 361 が必要だし、 d = 361 − 36⋅2 = 289 が求まった瞬間、その 289 が平方数 17² であること（図解）を認識できないと、話が前へ進まない。

その点、もし √(19 ± 6√2) = √(19 ± 2√18) と変形して「和が 19 で積が 18」の数を考えるなら、一瞬で u = 18, v = 1 が見つかる。このように、個々のケースでは、別のやり方の方が速いかも…

でも、このメモで記したアルゴリズムは汎用的で、どんな場合にも、二重根号簡約の可否を確実に判定（可能なら簡約）できる。しかも、このアルゴリズムは、他の場面でも活躍する。（続く）

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2026-02-02　複素数の平方根　i はお金では買えない

#遊びの数論

√(3 + 4i) = 2 + i のような「複素数の平方根」の計算は、「二重根号外し」と同じアルゴリズムによって実行可能。 √(3 + 4i) ってのは
　　√(3 + 4√−1)
を略したもんなんで、二重根号の処理になるのは不思議じゃないし。

上の例の場合、根号下の二つの数の平方差 d を求めると:
　　d = 3² − (4i)² = 9 − 16(i²) = 9 − 16(−1) = 9 + 16 = 25
根号下の一つ目の数 A = 3 と √d = 5 の平均 u を求めると:
　　u = (3 + 5)/2 = 4
A の平均 u からのずれ v を求めると（A は平均より小さい）:
　　v = 3 − 4 = −1
よって求める平方根は:
　　√u + √v = √4 + √−1 = 2 + i
（これでうまくいく理由については後述。）

アルゴリズムの中身は「二重根号外し」と全く同じだが、一応「複素数の平方根」というスタイルで再導出しておく。

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任意の複素数 a + bi が与えられたとして（a, b は実数）、その平方根を求めたい。仮に未知の実数 x, y があって、
　　√(a + bi) = x + yi
が成り立ったとする。両辺を平方すると:
　　a + bi = x² + 2xyi + (yi)² = (x² − y²) + 2xyi　　ア
実部と虚部の比較から:
　　a = x² − y²　　‥‥①
　　b = 2xy　　‥‥②

①の平方
　　a² = x⁴ − 2x²y² + y⁴　　イ
と、②の平方
　　b² = 4x²y²
を足すと:
　　a² + b² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)²　　ウ
a, b, x, y は（仮定により）実数なので、この両辺は 0 以上の実数。両辺の平方根を考えると:
　　√(a² + b²) = x² + y²　　‥‥③

③と①を足すと:
　　√(a² + b²) + a = 2x²
　　∴　x² = [√(a² + b²) + a]/2　　‥‥④

③から①を引くと:
　　√(a² + b²) − a = 2y²
　　∴　y² = [√(a² + b²) − a]/2　　‥‥⑤

与えられた実数 a, b が何であれ、④⑤それぞれの平方根から未知数 x, y を確定できる。 a, b が正でも正でなくても、
　　√(a² + b²) ≥ √(a²) = |a|
なので、④⑤の分子は負ではなく、従って x, y は仮定通り実数！　簡潔化のため r = √(a² + b²) と置くと:
　　x² = (r + a)/2, y² = (r − a)/2
　　つまり　x = ±√[(r + a)/2], y = ±√[(r − a)/2]

結局、与えられた複素数 a + bi の平方根は、
　　x + yi = ±√[(r + a)/2] ± i√[(r − a)/2]　　（✽）
のような形になる。符号の選択は次の通り。 a + bi の平方根には、
　　+√(a + bi)　つまり　√(a + bi)
で表される数と、その −1 倍に当たる
　　−√(a + bi)
の二つがある（a = b = 0 の場合を除き、上記二つの数は異なるが、どちらも平方すれば a + bi に等しい）。約束として、《+ の平方根》は「実部が負でない」とする（なんとなく当たり前だが…）。つまり √(a + bi) を考えるなら、（✽）の一つ目の ± は + だよっ、と。そしてその場合、（✽）の二つ目の ± は b が負なら − で、 b が負でなければ + になる。
　　√(5 + 2√6) = √3 + √2
　　√(5 − 2√6) = √3 − √2
のような二重根号外しと同じパターンで、まぁ、別に不自然な規約でもないかと。符号の意味を明確にするため、「b は 0 以上」として整理すると…

複素数の平方根　a, b が実数で b が 0 以上のとき:
　　√(a + bi) = √[(r + a)/2] + i√[(r − a)/2]　　(b ≥ 0)
　　√(a − bi) = √[(r + a)/2] − i√[(r − a)/2]　　(−b < 0)
　　ここで　r = √(a² + b²)

〔注〕　−√(a + bi) と −√(a − bi) は、当然、上記と符号が正反対になる:
　　−√(a + bi) = −√[(r + a)/2] − i√[(r − a)/2]
　　−√(a − bi) = −√[(r + a)/2] + i√[(r − a)/2]

例1　√(3 + 4i) を求めたい。

解　a = 3, b = 4 なので r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。従って:
　　√(3 + 4i) = √[(5 + 3)/2] + i√[(5 − 3)/2] = √4 + i√1 = 2 + i　∎

検算　√(3 + 4i) は、平方すると 3 + 4i になるような数のうち、実部が負でないもの。 2 + i は、確かに実部が負でない。そして平方すると、
　　(2 + i)² = 2² + 2⋅2⋅i + i² = 4 + 4i + (−1) = 3 + 4i
なので、確かに条件を満たす！

r は、 √(A + ℓ√m) の二重根号外しでいえば、平方差 d = A² − ℓ²m の平方根 √d に他ならない。実際、
　　√(3 + 4i) = √(3 + 4√−1)
なので d = 3² − 4²(−1) = 9 − (−16) = 25。ただし平方「差」といっても、（平方の中に i² = −1 があるせいで）負の数を引き算する。事実上、平方「和」だ。

二重根号外しの場合、この d が平方数になることが重大で、さもなければ「二重根号外し」という目的を達成できない（簡約できない二重根号）。一方、複素数の平方根の場合、アルゴリズムは同じでも、 d が平方数になることは必ずしも重要ではない。次の例では d = 20 に当たり、 d は平方数にならない。

例2　√(2 + 4i) を求めたい。

解　a = 2, b = 4 なので r = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5。従って:
　　√(2 + 4i) = √[(2√5 + 2)/2] + i√[(2√5 − 2)/2] = √(√5 + 1) + i√(√5 − 1)　∎

この解は、「簡約」という意味では、逆効果とも思える。 √(√5 + 1) + i√(√5 − 1) という長い表現より、もともとの √(2 + 4i) の方が簡潔ですっきりしている。けれど、「実部と虚部が分離されている方が良い」という状況も多い。 √(2 + 4i) のままだと、一体どんな数なのか分かりにくいし、数値的に扱おうとしても、複素数に対応できない計算機では全く処理できない。
　　√(√5 + 1) + i√(√5 − 1)
の形なら、
　　実部が √5 + 1 = 3.2360679… の平方根
　　虚部が √5 − 1 = 1.2360679… の平方根
ということが一目瞭然で、数値的に扱いやすい。式がかえって複雑になるとしても、実部と虚部の分離には、場合によって大きなメリットがある！

検算　恒等式 (A + B)(A − B) = A² − B² から、
　　(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4
なので:
　　√(√5 + 1) √(√5 − 1) = √[(√5 + 1)(√5 − 1)] = √4 = 2
よって:
　　(√(√5 + 1) + i√(√5 − 1))²
　　 = (√5 + 1) + 2i⋅√(√5 + 1) √(√5 − 1) + (−1)(√5 − 1)
　　 = √5 + 1 + 2i⋅2 − √5 + 1 = 2 + 4i

複素数の平方根とくれば √i ――つまり i = √−1 のそのまた平方根――を求めてみるのがお約束。三角関数を使えば cos 45° + i sin 45° で一瞬だが、複素数の平方根の問題と見ると、上記の書き方で a = 0, b = 1 のケースに当たる。よって r = √(0² + 1²) = 1 で:
　　√i = √((1 + 0)/2) + i√((1 − 0)/2) = √(2/4) + i√(2/4)
　　 = √2/√4 + i√2/√4 = √2/2 + i√2/2

この数だって、コンセプト的には √i と書いた方が簡潔だけど、上記の表記の方が「具体的な感じ」がする。

√i のそのまた平方根、つまり √√i を求めてみる。その場合 a = b = √2/2 なので a² = b² = 2/4 = 1/2、従って r は再び = √(1/2 + 1/2) = 1。よって √√i は、
　　実部が (1 + √2/2)/2 の平方根
　　虚部が (1 − √2/2)/2 の平方根
であり、それぞれ 2 + √2/4 と 2 − √2/4 の平方根なので:
　　√√i = [√(2 + √2)]/2 + [i√(2 − √2)]/2

意外とシンプルでかわいい。この値は x¹⁶ = 1 の解（1 の原始16乗根）の一つで、16乗すると = 1 になる。関連する他の解については「i の平方根・そのまた平方根」参照。

−1 の平方根 i、すなわち 1 の原始4乗根。その i の平方根、すなわち 1 の原始8乗根。そして、そのまた平方根、すなわち 1 の原始16乗根…。望むなら、この連鎖はいくらでも続けることができる（1 の原始32乗根、64乗根、等々）。それらの実部・虚部の代数的表現は、似たような形で根号のネストが機械的に深まるだけで（r = 1 に固定されているので）、一般的な文脈では、さほど面白いものでもない。

余興として x¹⁶ = 1 つまり x¹⁶ − 1 = (x⁸ + 1)(x⁸ − 1) = 0 を代数的に解いてみる。結果は既に出てるけど、あえて普通と違うやり方で。16個の解のうち、 x⁸ − 1 = 0 の解（計8個）は 1 の8乗根。この8次方程式は、
　　(x⁴ + 1)(x² + 1)(x² − 1) = 0
と分解され、別の場所では x⁴ + 1 の根を代数的に（4次方程式を解いて）求めた（それ以外の根は自明）。ここでは、もう一つの8次方程式 x⁸ + 1 = 0 の解（計8個）に興味がある。その両辺を x⁴ で割ると:
　　x⁴ + 1/x⁴ = 0　　‥‥⑥

t = x + 1/x と置くと:
　　t² = x² + 2 + 1/x²　つまり　x² + 1/x² = t² − 2
両辺を平方して:
　　x⁴ + 2 + 1/x⁴ = t⁴ − 4t² + 4
　　∴　x⁴ + 1/x⁴ = t⁴ − 4t² + 2
従って、⑥を解く代わりに t⁴ − 4t² + 2 = 0 を解けばいい。 u = t² と置くと:
　　u² − 4u + 2 = 0
　　∴　u = 2 ± √2
　　∴　t = ±√(2 ± √2)　符号の組み合わせは四通り

純粋に代数的にやるなら、ここで変数の置換を元に戻して t = x + 1/x = ±√(2 ± √2) とし、分母を払って四つの2次方程式を得る:
　　x² − √(2 + √2) x + 1 = 0　　㋐
　　x² − √(2 − √2) x + 1 = 0　　㋑
　　x² + √(2 + √2) x + 1 = 0　　㋒
　　x² + √(2 − √2) x + 1 = 0　　㋓
㋐㋒の判別式は負:
　　(2 + √2) − 4 = −(2 − √2)
従って㋐㋒の解は:
　　x = [±√(2 + √2) ± i√(2 − √2)]/2　符号は四通り
同様に、㋑㋓の解は:
　　x = [±√(2 − √2) ± i√(2 + √2)]/2　符号は四通り

あるいは、多少の「幾何学的」観点を利用するなら…。 x が 1 の原始16乗根なら x⁻¹ もそうだから（そして前者と後者は偏角の符号だけが異なるので）、 t = x + x⁻¹ は共役複素数同士の和で、「1 の原始16乗根のどれか」の実部の 2 倍に等しい。仮に「1 の原始16乗根」のうち偏角が 22.5° のものを ζ とするなら:
　　ζ と ζ⁻¹ の実部は　[√(2 + √2)]/2　　㋕
　　ζ³ と ζ⁻³ の実部は　[√(2 − √2)]/2　　㋖
　　ζ⁵ と ζ⁻⁵ の実部は　[−√(2 − √2)]/2　　㋗
　　ζ⁷ と ζ⁻⁷ の実部は　[−√(2 + √2)]/2　　㋘

㋕㋘の（計四つの解の）虚部の平方は:
　　1 − (2 + √2]/4 = (2 − √2]/4
従って ζ, ζ⁷ の虚部は [√(2 − √2)]/2 で ζ⁻¹, ζ⁻⁷ の虚部はその −1 倍。同様に、残りの四つの解の虚部は [±√(2 + √2)]/2 だ。この考え方だと、x についての2次方程式㋐㋑㋒㋓を解く必要がなく、 t = x + 1/x の値が求まった時点で、答えがほぼ確定する。

既にやったように「i の平方根の平方根」を直接的に求める方が、軽やかで手っ取り早い。この問題でわざわざ4次方程式を使うのは、興味本位のお遊び。

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2026-02-07　ガウス和の符号の決定〔Hua 版〕

#遊びの数論　#ガウス和（n 偶数 | n 合成数 | 平方 | 第六証明）

ガウス和の符号の決定は難しいといわれる。ガウス自身による証明は平明で味わい深いけれど、「なぜこの方法でうまくいくのか」という仕組みが不透明で、その意味では謎めいている。このメモでは、フワ・ルォーケン（Hua Loo-Keng, 华罗庚 [華羅庚]）の著書 [3] にある短い別証明を記す。非常に手際が良く、流れるように進む。「どこが難しいの？」と言わんばかりの清澄さ。

ガウス版だと、証明の準備だけで何節も必要。その点、この別バージョンは簡潔だ。

p を任意の奇素数として、 1 の原始 p 乗根 r = exp (2πi/p) に関連する「基本」のガウス和
　　σ = ∑{x=0 to p−1} exp (2πix²/p)
を考える。 p が mod 4 で ≡ 1 か ≡ 3 かに応じて、 σ = ±√p ないし ±i√p であること（比較的容易に示される）を既知として、
　　σ = +√p ないし +i√p
を示したい。 p ≡ 1 (mod 4) なら (1 + i^p)(1 − i)/2 = 1, p ≡ 3 (mod 4) なら (1 + i^p)(1 − i)/2 = −i なので、証明すべき事柄は、
　　(1 + i^p)(1 − i)/2⋅σ = √p
と一本化される。この左辺を L としよう。

証明の概要は、次の通り（詳細については後述）。 L は = √p or −√p のどちらかだから、「実は L = √p だ」と結論するためには、 L > −√p を示せば十分。シンプルだが巧妙な議論によって、 L が
　　L′ = (1 − i) ∑{x=1 to p−1} exp (πix²/(2p))
の実部以上であることが示される。ここで右辺の総和を二つの和に分ける―― √p の整数部分を q = ⌊√p⌋ として、
　　Y = ∑{x=1 to q} exp (πix²/(2p)),　　Z = ∑{x=q+1 to p−1} exp (πix²/(2p))
と置くと、
　　Re L′ = Re {(1 − i)(Y + Z)} ≥ Re {(1 − i)Y} − √2 | Z | ≥ 1/2√p − √2 | Z |
が成り立ち（Re a は複素数 a の実部を表す）、従って L ≥ Re L′ > −√p の証明は、
　　√2 | Z | < 3/2√p
の証明に帰する。

p が奇素数（あるいは、より一般的に 3 以上の奇数）のとき、任意の関数 ƒ(x) について、
　　∑{x=1 to (p−1)/2} ƒ(x) + ∑{x=1 to (p−1)/2} ƒ(p/2 − x) = ∑{x=1 to p−1} ƒ(x/2)　　‥‥①
が成り立つ。実際、①の左辺で x が動く範囲を N = {1, 2, 3, ···, (p−1)/2} とし、それら各数が 2 倍された偶数たちを E = {2, 4, 6, ···, p−1} とすると、①の左辺は
　　∑{x∈N} ƒ(x) + ∑{x∈N} ƒ(p/2 − x) = ∑{y∈E} ƒ(y/2) + ∑{y∈E} ƒ((p − y)/2)
に等しい。上記右辺において、第1項〚第2項〛の分子は、 1 以上 p−1 以下の各偶数〚各奇数〛の値をちょうど一度ずつ取るので、二つの項の和は、①の右辺と同じ和を表す。

さて、
　　σ − 1 = ∑{x=1 to p−1} exp (2πix²/p)
　　 = ∑{x=1 to (p−1)/2} [exp (2πix²/p) + exp (2πi(p − x)²/p)] = 2∑{x=1 to (p−1)/2} exp (2πix²/p)　　‥‥②
の総和の半分を、①の左辺第1項としたい――つまり ƒ(x) = exp (2πix²/p) と置く。すると、
　　∑{x=1 to (p−1)/2} ƒ(x) = ∑{x=1 to (p−1)/2} exp (2πix²/p) = (σ − 1)/2 = σ/2 − 1/2
であり（二つ目の等号は②による）、
　　ƒ(p/2 − x) = exp (2πi(p/2 − x)²/p) = exp (2πi(p²/4 − px + x²)/p)
　　 = exp (2πip/4) exp (2πix²/p) = i^p exp (2πix²/p)
　　∴　∑{x=1 to (p−1)/2} ƒ(p/2 − x) = i^p ∑{x=1 to (p−1)/2} exp (2πix²/p) = i^p(σ/2 − 1/2)
なので^†、①は次の等式を含意する:
　　σ/2 − 1/2 + i^p(σ/2 − 1/2) = ∑{x=1 to p−1} exp (2πi(x/2)²/p)
　　∴　[σ(1 + i^p)]/2 − [1 + i^p]/2 = ∑{x=1 to p−1} exp (2πix²/(4p))

†　e^2πip/4 は p ≡ 1 or ≡ 3 (mod 4) に応じて i or −i に等しく、どちらの場合も i^p に等しい。因子 e^{2πi(−px)/p} = e^2πi(−x) = 1 は積に影響しない。

両辺を 1 − i 倍すると:
　　[(1 + i^p)(1 − i)]/2⋅σ − [(1 + i^p)(1 − i)]/2 = (1 − i) ∑{x=1 to p−1} exp (πix²/(2p))　　‥‥③

前述のように、③の左辺第1項 L = [(1 + i^p)(1 − i)]/2⋅σ は、基本のガウス和 σ に対応する実数（σ が実数なら σ そのもの、 σ が純虚数ならその虚部の値）であり、左辺第2項で引き算される分数は 1 or −i に等しい。すなわち、 p が mod 4 で ≡ 1 か ≡ 3 かに応じて、③の右辺は L − 1 ないし L + i に等しい。どちらの場合でも、③の右辺の実部を考え、それを③の左辺第1項（つまり実数 L）と比較するなら、
　　L ≥ Re {(1 − i) ∑{x=1 to p−1} exp (πix²/(2p))}　　‥‥④
が成り立つ。

この L が −√p より大きいことを示すのが、目標だ。L の定義は、ガウス和の定義とほとんど同じだが（ガウス和が純虚数のとき、その虚部を抽出する操作を除けば）、④右辺に含まれる総和も、ガウス和と酷似しており（x = 0 からではなく x = 1 から足し始めることと、指数関数の引数が通常の 1/4 になっていることを別にすれば）、事実 { } 内は L − 1 ないし L + i に等しい（③参照）。そのため④は、「L − 1 も L も L 以下だ」という、自明な（正しいけど役立たない）主張のようにも感じられる。ところが面白いことに、 x = 1 から p−1 までの範囲の総和を「1 から q まで」と「q+1 から p−1 まで」の二つの総和に分割することで（q は √p の整数部分）、道が開ける。すなわち、
　　Y = ∑{x=1 to q} exp (πix²/(2p)),　　Z = ∑{x=q+1 to p−1} exp (πix²/(2p))
と置くと、④はこうなる:
　　L ≥ Re {(1 − i)(Y + Z)} = Re {(1 − i)Y} + Re {(1 − i)Z}
　　 ≥ Re {(1 − i)Y} − | (1 − i)Z | = Re {(1 − i)Y} − √2 | Z |　　‥‥⑤

〔注〕　和の実部は実部の和。 Re a の絶対値は最大でも |a|。よって Re a は、どんなに小さくても −|a| 以上。積の絶対値は絶対値の積: |(1 − i)Z| = |1 − i|⋅|Z|。

⑤の右端の第1項について。 1 から q までの各整数 x に対して、 (1 − i) exp (πix²/(2p)) = (1 − i)[cos (πx²/(2p)) + i sin (πx²/(2p))] の実部は cos (πx²/(2p)) + sin (πx²/(2p)) なので:
　　Re {(1 − i)Y} = Re ∑{x=1 to q} [(1 − i) exp (πix²/(2p))] = ∑{x=1 to q} [cos (πx²/(2p)) + sin (πx²/(2p))]
q は √p 以下だから、 1 ≤ x ≤ q のとき 0 < x²/p ≤ q²/p ≤ p/p ≤ 1 だ。一般に 0 ≤ θ ≤ π/2 なら cos θ + sin θ ≥ 1 なので（｛証明｝）、上記の等式は、
　　Re {(1 − i)Y} ≥ ∑{x=1 to ⌊√p⌋} 1 = ⌊√p⌋ > √p − 1 > √p − √p/2 > √p/2
を含意し（∵ p ≥ 3）、従って⑤は次の不等式を含意する:
　　L > √p/2 − √2 | Z |　　‥‥⑥

結局、 L > −√p の証明は、⑥で引き算される実数 √2 | Z | があまり大きくないこと――具体的には
　　√2 | Z | < 3√p/2　すなわち　| Z | < (√18/4)⋅√p　　‥‥⑦
が成り立つこと――の証明に帰する。実は、より強い不等式 | Z | < √p が成り立つことが示され、証明が完成する。その手順は以下の通り。

k を変数として v_k = exp [πik(k+1)/(2p)] と置くと:
　　v_x − v_x−1 = [cos (πx(x + 1)/(2p)) + i sin (πx(x + 1)/(2p))] − [cos (π(x − 1)x/(2p)) + i sin (π(x − 1)x/(2p))]
　　 = [cos (π(x² + x)/(2p)) − cos (π(x² − x)/(2p))] + i [sin (π(x² + x)/(2p)) − sin (π(x² − x)/(2p))]
　　 = [−2 sin (πx²/(2p)) sin (πx/(2p))] + i [2 cos (πx²/(2p)) sin (πx/(2p))]

〔注〕　最後の等号は、余弦・正弦の「差→積」の公式による。すなわち:
　　cos A − cos B = −2 sin [(A + B)/2] sin [(A − B)/2]
　　sin A − sin B = 2 cos [(A + B)/2] sin [(A − B)/2]

w_k = csc [πk/(2p)] つまり w_k = (sin [πk/(2p)])⁻¹ と置くと:
　　(v_x − v_x−1) w_x = −2 sin (πx²/(2p)) + 2i cos (πx²/(2p))
　　 = 2i [cos (πx²/(2p)) + i sin (πx²/(2p))] = 2i exp (πix²/(2p))

仮定 Z = ∑{x=q+1 to p−1} exp (πix²/(2p)) と、上記の等式を組み合わせると:
　　2i Z = ∑{x=q+1 to p−1} 2i exp (πix²/(2p)) = ∑{x=q+1 to p−1} (v_x − v_x−1) w_x　　‥‥⑧

今、⑧右辺の総和を S₁ として、微妙に違う総和 S₂ = ∑{x=q+1 to p−1} v_x (w_x − w_x+1) と S₁ を比べると、 S₁ には x が最小（= q+1）のときの −v_x−1w_x が含まれるが S₂ にはその項がなく、 S₂ には x が最大（= p−1）のときの −v_xw_x+1 が含まれるが S₁ にはその項がない。それらを別にすれば S₁ と S₂ は全く同じ項を含むので、
　　2i Z = S₁ = S₂ − v_qw_q+1 + v_p−1w_p = {∑{x=q+1 to p−1} v_x (w_x − w_x+1) } − v_qw_q+1 + v_p−1w_p
が成り立つ。この左辺の絶対値は 2 | Z | に等しい。一方、右辺の絶対値は、
　　 ≤ {∑{x=q+1 to p−1} | v_x (w_x − w_x+1) | } + | v_qw_q+1 | + | v_p−1w_p |
を満たすが（三角不等式^†）、各因子 v_k は（定義により絶対値 1 なので）積の絶対値に影響しない。 k が区間 [1, p] にあるとき、 w_k = csc πk/(2p) は正の^‡実数値を取りつつ単調に減少するので、上記の式に含まれる w_x − w_x+1, w_q+1, w_p はどれも正の実数。これらのことから:
　　|2i Z| = 2 |Z| ≤ {∑{x=q+1 to p−1} | w_x − w_x+1 | } + | w_q+1 | + | w_p |
　　 = {∑{x=q+1 to p−1} (w_x − w_x+1) } + w_q+1 + w_p = 2w_q+1
　　∴　| Z | ≤ w_q+1 = csc π(q + 1)/(2p)　　‥‥⑨

θ の絶対値が小さいとき sin θ ≈ θ だ。今 θ を小さい正の角度とすると、正弦 sin θ は対応する弧の長さ θ より小さいが、両者は近似的に等しいのだから、二つの値の比は一定範囲に保たれる。実際、 0 < θ ≤ π/2 なら (2/π)⋅θ ≤ sin θ < θ であることが｛証明可能｝。従って（逆数を考えると）、同じ範囲の θ について π/(2θ) ≥ csc θ > 1/θ が成り立つ。 π(q + 1)/(2p) を α とすると、それは上記範囲内の角度だから、
　　csc α ≤ π/(2α) = π/2⋅2p/[π(q + 1)] = p/(q + 1) < p/√p = √p
だ^¶。これを⑨と組み合わせて、
　　| Z | ≤ csc α < √p < (√18/4)⋅√p
を得る。⑦が示された。∎

†　|a ± b ± c ± ···| は |a| + |b| + |c| + ··· を超えない（証明。例題1参照）。

‡　ここでは「csc の値が正」というだけで十分だが、より精密には +1 以上。なぜなら k/p は正で 1 以下なので、 π/2 × k/p の sin も正で 1 以下。 csc はその逆数。

¶　√p の小数部分を f とすると q = √p − f かつ 0 ≤ f < 1、ゆえに q + 1 = √p + 1 − f > √p。分子・分母が正なら、分母が小さいほど分数の値は大きい。

⑧は巧妙だが、どう進めればいいのか自明ではない。よく似た別の総和との微妙な違いを考えることで、鮮やかに道が開ける。項たちがうまく打ち消し合って 2w_q+1 だけが残るところが、優美。

+√p という値を評価するのに「−√p より大きければ十分」という全体的発想も、⑨などの不等式も、直観的にはずいぶん大ざっぱで「余裕を見過ぎ」とも思える。それでいて手法は繊細で、意外とぎりぎりのところで不等号が成り立つ。「粗雑な評価」と甘く見て、下界 2θ/π ≤ sin θ を θ/2 < sin θ あたりで済まそうとすると、うまくいかない――「1.57… 分の θ」より「2 分の θ」の方が簡便だけど、第一印象ほど不等号に余裕がない。

関連リンク　n が素数べきのときのガウス和〔Hua 版〕

付録A　複素数（あるいは実数）の「積の絶対値」と「絶対値の積」は等しい。

証明　a, b, c, d を実数として、任意の複素数 x = a + bi, y = c + di を考えると:
　　|x| = √(a² + b²), |y| = √(c² + d²)
　　∴　|x|⋅|y| = √[(a² + b²)(c² + d²)]　　‥‥⑩

一方、 xy = (ac − bd) + (ad + bc)i なので:
　　|xy| = √[(ac − bd)² + (ad + bc)²]　　‥‥⑪
⑪の根号下を展開すると:
　　(ac)² − 2(ac)(bd) + (bd)² + (ad)² + 2(ad)(bc) + (bc)²
　　 = (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)²
これは⑩の根号下の式を展開したものと一致。すなわち⑩と⑪は等しい。∎

⑩の平方と⑪の平方も等しいので、副産物として、次の恒等式を得る:
　　(a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)²　　‥‥⑫

任意の複素数 w について norm(w) = ww^* = |w|² と定義すると、⑫は次の関係に当たる:
　　(norm x)(norm y) = norm (xy)

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2026-02-10　sin, cos などの「差→積」の公式

#遊びの数論

sin A − sin B のような「三角関数の引き算」を「三角関数の掛け算」の形に変換したいこと（そうすると都合がいいケース）がある。例えば sin x や cos x などの導関数を（定義に従って）求めるとき、
　　[sin (x + h) − sin x]/h
のような値（の h→0 における極限値）を評価する必要があり、この分子を処理するのに「差→積」の変換が役立つ。別の例として、 Hua によるガウス和の符号決定では、
　　sin (π(x² + x)/(2p)) − sin (π(x² − x)/(2p))
のような引き算の整理に、同様の変換が利用される。

tan の「和→積」「差→積」は比較的マイナーだけど、中身は単純。それを利用して tan x の導関数を（商の微分法に依存せず、直接定義から）求めることもできる。

sin, cos の「積→和」「積→差」も、その逆の「和→積」「差→積」も、加法定理から容易に派生する。例えば、
　　ア　sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
　　イ　sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β
の二つの等式を縦に足し算すると:
　　ウ　sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β
あるいはアからイを引くと:
　　エ　sin (α + β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β

ウ〚エ〛の両辺を 2 で割って右辺から左辺を見れば、 sin と cos の積を sin の和〚差〛に変換する式となる。逆に、「和」や「差」を「積」の形にするには、
　　カ　α + β = A
　　キ　α − β = B
と置けばいい。カとキを足すと 2α = A + B なので
　　ク　α = (A + B)/2
となる。カからキを引くと 2β = A − B なので
　　ケ　β = (A − B)/2
となる。

カ・キ・ク・ケをウに代入すると:
　　サ　sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A − B)/2]
これが sin の「和→積」の公式だ。同様に、カ・キ・ク・ケをエに代入して:
　　シ　sin A − sin B = 2 cos [(A + B)/2] sin [(A − B)/2]
これが今回のテーマ、 sin の「差→積」の公式。

サ・シは、次のように一つの式で表現されることもある（シ右辺の掛け算の順序を逆にして）:
　　sin A ± sin B = 2 sin [(A ± B)/2] cos [(A ∓ B)/2]

二つの式をコンパクトに要約できることはメリットだが、実用上、シのままの順序の方が分かりやすいかも。

余弦の加法定理を出発点として、同様のことをやってみる。
　　タ　cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
　　チ　cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
タとチを足すと:
　　ツ　cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β
タからチを引くと:
　　テ　cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β

ツの両辺を 2 で割って〚テの両辺を −2 で割って〛整理すれば、 cos 同士〚sin 同士〛の「積」を cos の和〚差〛で表す式を得る。一方、変数 α, β をカ・キ・ク・ケによって変数 A, B に置き換えると、ツは
　　ナ　cos A + cos B = 2 cos [(A + B)/2] cos [(A − B)/2]
となり（「和→積」）、テは、
　　ニ　cos A − cos B = −2 sin [(A + B)/2] sin [(A − B)/2]
となる（「差→積」）。

サ・シ・ナ・ニなどの公式を一つ一つ丸暗記しようとすると、符号や三角関数の種別が少々紛らわしい。加法定理（ア・イ・タ・チ）さえ知っていれば導出は容易なので、このような公式については、無理に細かく覚える必要ないと思われる（個々の導出結果を覚えるより、導出法を覚えた方が効率的）。

とはいうものの、導出過程を踏まえると、
　　①　sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
の右辺後半、ないし
　　②　cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
の右辺後半から「差→積」が生じるのだから、
　　sin の差 = 2 cos α sin β
　　cos の差 = −2 sin α sin β
であることは明白。この形を考えるなら、あとは単に α を A, B の平均（足して 2 で割る）で置き換え、 β を A, B の「逆平均」（引いて 2 で割る）で置き換えるだけでいい。同様に、「和→積」は①ないし②の前半から生じる。一つ一つの式を個別に丸暗記するのは大変でも、全体をまとめて考えると単純明快。

tan バージョンの「和→積」「差→積」は、ほぼワンステップで導出される:
　　tan α ± tan β = sin α/cos α ± sin β/cos β = (sin α cos β ± cos α sin β)/(cos α cos β)
（単に算数的に、分数を通分。）この分子は sin (α ± β) に等しいので（上記①参照）:

tan α ± tan β = [sin (α ± β)]/[cos α cos β] = sin (α ± β) sec α sec β
ただし分母 ≠ 0 とする。すなわち α も β も π/2 の奇数倍ではない。

内容はシンプルだが、比較でいえばかなりマイナーな存在。「そんな公式、何の役に立つの？」という疑問も生じるかもしれない。

この公式を使うと、 tan x の導関数が sec² x つまり 1/(cos² x) であることを（定義から直接）証明できる。話の便宜上、ここでは「h→0 のとき (sin h)/h = 1 であること」を既知としよう。導関数の定義によると、 tan x の導関数は、与えられた入力 x に対して、 h→0 のときの
　　[tan (x + h) − tan x]/h
の値を出力とする。上記の公式から（α = x + h, β = x と置く）、この分子は、次の値に等しい:
　　sin ((x + h) − x) sec (x + h) sec x = sin h sec (x + h) sec x
従って:
　　[tan (x + h) − tan x]/h = ((sin h)/h) sec (x + h) sec x
h→0 のとき、この右辺の第1因子は 1 になり、 sec (x + h) は sec x になるので、結局
　　 = 1⋅sec x sec x = sec² x
だ。

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2026-02-14　三角不等式とコーシーの不等式

#遊びの数論

三角不等式とは、「三角形の二辺の長さの和は、もう一つの辺の長さ以上」という（当たり前の）主張。△ABCを考えると、「頂点 A から頂点 C へ、辺 AC 上を真っすぐ行く」のと比べ、「別の頂点 B に寄り道して A → B → C と折れ線状に進む」のは、遠回りになる（少なくとも近道にはならない）。

そんなの、当たり前！　と感じられる。確かに直観的には超当たり前。けれど証明しようとすると、意外と手間がかかる。「フン、折れ線は直線より長い、なんていう当たり前の不等式、証明したところでどーせ何の役にも立つまい！」とも思えるが、この種の不等式は文字通りの「三角形の辺についての自明な命題」という以上の意味を持ち、いろんな分野で（基本ツールとして）常用される。そのうち最も身近なのは、たぶん実数や複素数の「和の絶対値」の扱いだろう。

文字通り「三角形の辺の長さの話」と解釈するなら、三角不等式は幾何学の問題だ（ユークリッド I.18^† ～ I.20 で証明されている）。今、 O を原点、 P, Q を平面上の任意の点とする。「平面」を「複素平面」と解釈して、 P, Q がそれぞれ複素数 p, q に対応すると仮定するなら、
　　OP の長さ = p の絶対値 |p|
　　OQ の長さ = q の絶対値 |q|
であり、もし OPRQ が平行四辺形になるように点 R を選択するなら、点 R は p + q に対応。この文脈において △OPR を考えると、三角不等式とは、「上記二つの絶対値の和は
　　平行四辺形の対角線 OR の長さ = p + q の絶対値 |p + q|
以上」という主張だ。つまり、幾何学的な作図・証明の代わりに、単に
　　|p + q| ≤ |p| + |q|　　‥‥①
を証明すればいい。

〔補足〕　▱OPRQ の辺 PR は辺 OQ と平行で（つまり方向が同じで）、長さ（つまり絶対値）も同じなので、ベクトルとしては PR と OQ は等しい。よって OP = p と OQ = q の和 p + q は OP と PR の和に等しく、足し算の結果は OP に PR を継ぎ足したもの、すなわちベクトル OR が指し示す点 R に対応する。 O, P, Q が同一直線上にある場合、 ▱OPRQ は普通の意味での平行四辺形にはならないけれど、その場合でも、 OQ と方向・長さが同じ線分（ベクトル）を OP に継ぎ足して、それが指し示す点を R とする。つまり ∠POQ = 0° ないし = 180° の「つぶれた平行四辺形」も、平行四辺形の一種と認めることにする。

† https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI18.html

ここで絶対値というのは、もちろん（複素平面上での）原点からの距離。 w = u + vi を任意の複素数とすると（u, v: 実数）、その絶対値は、
　　|w| = √(u² + v²)
だ。従って、仮に p = a + bi, q = c + di とすると p + q = (a + c) + (b + d)i であり（a, b, c, d: 実数）、証明されるべき不等式①は
　　√[(a + c)² + (b + d)²] ≤ √(a² + b²) + √(c² + d²)　　‥‥②
となる。両辺を平方して:
　　(a + c)² + (b + d)² ≤ (a² + b²) + (c² + d²) + 2√(a² + b²)⋅√(c² + d²)　　‥‥③

③の左辺（の二つの平方）を展開後、両辺から a² と b² と c² と d² を引くと:
　　2ac + 2bd ≤ 2√(a² + b²)⋅√(c² + d²)
　　∴　ac + bd ≤ √(a² + b²)⋅√(c² + d²)　　‥‥④
再び両辺を平方して:
　　(ac)² + (bd)² + 2(ac)(bd) ≤ (a² + b²)⋅(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²　　‥‥⑤
両辺から (ac)² と (bd)² を引くと:
　　2(ac)(bd) ≤ a²d² + b²c²
　　∴　0 ≤ (ad)² + (bc)² − 2acbd = (ad − bc)²　　‥‥⑥

不等式⑥は、常に成り立つ（なぜなら a, b, c, d は実数なので ad − bc も実数、その平方は必ず 0 以上）。すなわち、三角不等式①は、「常に成り立つ不等式」⑥を含意する。このことから「不等式①自身も成り立つ」と断言できるであろうか？

もし逆に、常に成り立つ⑥を仮定してそこから①が導かれるなら、確かに①は正しいと結論される。でも一般には、ある事柄が真だからといって、その逆も真とは限らない。上記の導出で注意すべき点として、 X ≤ Y なら X² ≤ Y² だ、というのは常に正しいが（X, Y: 実数）、逆に X² ≤ Y² だからといって、それだけでは X ≤ Y とは言い切れない（例えば X = 3, Y = −4 のとき 3² ≤ (−4)² は正しいが、そのことをもって 3 ≤ −4 とは結論できない）――どんなに Y² が巨大でも Y は負かもしれない（もしかしたら Y はマイナスの数で、ものすごく小さいかも）、という落とし穴。

もし Y が負でないこと（0 以上であること）が保証されていれば、この落とし穴はなくなって、 X² ≤ Y² なら X ≤ Y だ、と単純に言える。

Y が負でない保証さえあれば、 X は正でも 0 でも負でもいい。もし X, Y が両方負でないなら、単純な大小の比較が可能。一方、もし Y が負でなく X が負なら、具体的な値を考えるまでもなく、もちろん Y は X より大きい。

④の右辺を Y とすると、それは（0 以上の数の平方根の積であり）負ではないから、⑤は④を含意する。同様に②の右辺を Y′ とすると、それも（0 以上の数の平方根の和であり）負ではないから、③は②を含意する。よって②⇒③と④⇒⑤は、逆も真。その他の変形は、定義に基づく表現や単なる移項（両辺に同じ数を加減すること）などであり、問題なく逆も真。結局、①と⑥は同値であり、しかも⑥は常に正しいので、①も常に正しい。三角不等式が証明されたっ！

④の両辺を平方した
　　(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)　　‥‥⑦
の形式――あるいはその両辺の平方根（右辺については、負でない平方根）、つまり④そのもの――は、コーシーの不等式と呼ばれるものの一種。それを利用すると、三角不等式は、次のように簡潔に証明される。いわく、コーシーの不等式から④が成り立つ。その両辺を 2 倍してから両辺に a² + b² + c² + d² を足し、左辺・右辺それぞれの（負でない）平方根を考えると、②を得る。証明終わり。∎

ちなみに、コーシーの不等式の一般形は…

コーシーの不等式（Augustin-Louis Cauchy, 1821^†）
　　AB + A′B′ + A″B″ + ··· ≤ √(A² + A′² + A″² + ···)⋅√(B² + B′² + B″² + ···)
言い換えれば:
　　(AB + A′B′ + A″B″ + ···)² ≤ (A² + A′² + A″² + ···)(B² + B′² + B″² + ···)
すなわち、「積の和の平方」は、対応する「平方和の積」を超えない。ここで A たちと B たちは任意の実数で、等しい項数を持つ（何項あってもいい）。項数を n として、総和記号を使うと:
　　(∑{k=1 to n} A_k B_k)² ≤ ∑{k=1 to n} (A_k)² ∑{k=1 to n} (B_k)²

⑦は n = 2 の例で、 A₁ = a, A₂ = b; B₁ = c, B₂ = d に当たる。

† https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626657t/f481.item

コーシーの不等式は、後に複数の形式で拡張された。拡張されたバージョン（離散的な総和に限らず、積分についても同様の不等式が成り立つ）は、コーシー゠ブニャコフスキー゠シュワルツ不等式（略して CBS 不等式、または CS 不等式）と呼ばれる。それは元祖コーシーの不等式の約半世紀後、ブニャコフスキー（Буняковский: Viktor Bunyakovsky）によって記述され、そのまた四半世紀後、シュワルツ（Hermann Schwarz: シュヴァーツ、シュヴァルツ）により応用された。上掲の元祖コーシーの不等式も（一般化されたバージョンに包摂されるので）、コーシー゠シュワルツ不等式と呼ばれることがある。

コーシーの不等式の Cauchy 自身による証明は次の通り。素直で明快。

証明　不等式の左辺を P としよう。
　　P = (A₁ B₁ + A₂ B₂ + ··· + A_n B_n)²
を展開すると、 (A_j B_j)² の形の各項（1 ≤ j ≤ n）の他に、 2(A_j B_j)(A_k B_k) の形の多数の項（1 ≤ j < k ≤ n）が生じる。さて、 P に
　　Q = (A₁ B₂ − A₂ B₁)² + (A₁ B₃ − A₃ B₁)² + ··· + (A₂ B₃ + A₃ B₂)² + ···
を足した和は、不等式の右辺より小さくない（Q は実数の平方の和であり、負ではないから）。ただし、足し算される Q の各項は、
　　★　(A_j B_k − A_k B_j)²　　1 ≤ j < k ≤ n
の形とする。足し算 P + Q の結果として（★ の展開を考えると）、もともと P の展開に含まれていた 2(A_j B_j)(A_k B_k) たちは全部消滅する。同時に、もともとは含まれていなかった (A_j B_k)² + (A_k B_j)² たちが追加される。要するに P + Q は、
　　[(A₁)² + (A₂)² + ··· + (A_n)²] × [(B₁)² + (B₂)² + ··· + (B_n)²]
を展開したものに等しい。ところが、この積は不等式の右辺に他ならない。上述のように、それは不等式の左辺より小さくない。∎

次のような面白い別証明もある^‡（少々天下り的だが）。

別証明　A たち（A_k）が全て = 0 なら不等式は自明（0 ≤ 0）。それ以外の場合を検討する。 t を実変数として、
　　ƒ(t) = ∑{k=1 to n} (tA_k + B_k)²
と置くと、それは n 個の「実数の平方」の和なので、 ƒ(t) の値は、決して負にならない。さて、
　　ƒ(t) = t² [∑{k=1 to n} (A_k)²] + t [2 ∑{k=1 to n} (A_k B_k)] + [∑{k=1 to n} (B_k)²]
は t についての2次式だが（角かっこ [ ] 内のゴチャゴチャは A たち、 B たちによって決まる実数の定数であり、係数である！）、 ƒ(t) は負にならないので、そのグラフは決して第3・第4象限に入り込まず、従って横軸と交わらない（横軸に接する可能性はある）。言い換えると、実係数の2次方程式 ƒ(t) = 0 は、実数解を一つも持たないか、または実数の重解を一つだけ持つ。よって ƒ(t) の判別式の符号は正ではない。この判別式の 4 分の 1 を δ とすると
　　δ = [∑{k=1 to n} (A_k B_k)]² − [∑{k=1 to n} (A_k)²][∑{k=1 to n} (B_k)²]　　☆
であり、上記のことから δ ≤ 0 なので、☆ の右辺第1項は、第2項を超えない。それが証明されるべきことだった。∎

‡ https://proofwiki.org/wiki/Cauchy%27s_Inequality

「複素数の絶対値についての三角不等式」はとても重要なので、コーシーの不等式と無関係の別経路からも、それを証明しておく――「共役複素数の基本性質」を使う。

任意の複素数 w = u + vi が与えられたとき（u, v: 実数）、その w と比べて実部が同じで、虚部が −1 倍されている数、つまり u − vi は、記号 w^* で表され、 w の共役複素数（または複素共役、略して共役）と呼ばれる（同じ意味で記号 w ［w の上に横線を引いたもの］ が使われることも多いが、ここでは w^* を使う）。共役複素数の性質のうち、当面の議論に必要なものを列挙すると:

㋐　任意の複素数 w の絶対値の平方は、「その数自身」と「その数の共役」の積 ww^* に等しい。実際:
　　ww^* = (u + vi)(u − vi) = u² − v²(i²) = u² + v²

㋑　共役の共役は、もともとの数に等しい:
　　(w^*)^* = (u − vi)^* = u − (−vi) = u + vi = w

㋒　任意の複素数とその共役複素数は、絶対値が等しい。そのことは、直接計算によっても容易に確認可能だが、 w^* の絶対値の平方が
　　(w^*)(w^*)^* = (w^*)(w) = ww^*
であること（つまり w の絶対値の平方と一致すること）からも、明らか（絶対値は負でないので、絶対値の平方が一致すれば絶対値そのものも一致）。

㋓　和の共役と、共役の和は一致する:
　　(x + y)^* = x^* + y^*
実際 x = a + bi, y = c + di とすると、上記の左辺は ((a + c) + (b + d)i)^* = ((a + c) − (b + d)i)^* であり、それは上記の右辺に等しい。

㋔　同様に、積の共役は、共役の積:
　　(xy)^* = x^* y^*
実際 (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i の共役は (ac − bd) − (ad + bc)i であり、それは
　　(a − bi)(c − di) = (ac − bd) − (ad + bc)i
に一致。

〔付記〕　「積の絶対値」が「絶対値の積」であることは、直接計算によって容易に確認可能だが、性質㋔からも証明可能。便宜上、「絶対値」の代わりに「絶対値の平方」を使って記す。「xy の絶対値の平方」は、㋐と㋔から
　　(xy)(xy)^* = (xy)(x^*y^*) = (xx^*)(yy^*)
であり、この右端の積は、再び㋐から、「x の絶対値の平方」と「y の絶対値の平方」の積に、等しい。

㋕　任意の複素数 w = u + vi とその共役複素数の和は、両者に共通する実部の 2 倍に等しい:
　　w + w^* = 2 Re w
ここで Re w は w の実部、つまり u を表す。実際:
　　(u + vi) + (u − vi) = 2u

㋖　任意の複素数 w = u + vi の実部 u は、最大でも w の絶対値 |w| = √(u² + v²) を超えない。実際、もしも u が |w| より大きかったら u² は
　　|w|² = u² + v²
より大きいはずだが、だとしたら u² は u² + v² よりも――従って自分自身（u²）よりも――大きい。それは不合理（「ある数がそれ自身より大きい」というのは、ばかげている）。 u² が |w|² と等しいこと、すなわち u が |w| と等しいことなら、起こり得る（v = 0 のとき）。

――たかが（？）三角不等式の証明に、以上七つも補助命題を準備するとは、ちょっと予想外。三角不等式は、第一印象「超当たり前」だけど、「意外と微妙」っていうか、第一印象ほど浅くはないようだ。

証明　x, y を任意の複素数とする。三角不等式
　　|x + y| ≤ |x| + |y|
を示す代わりに、その両辺（どちらも負でない）を平方した不等式
　　|x + y|² ≤ (|x| + |y|)²
を示そう（第一の不等式が成り立てば、第二の不等式が成り立つことは明白。逆に、第二式が成り立てば第一式も成り立つ。なぜなら絶対値は負ではないので、第一式の右辺は負ではない）。

㋐㋓から:
　　|x + y|² = (x + y)(x + y)^* = (x + y)(x^* + y^*)
　　 = xx^* + xy^* + yx^* + yy^* = |x|² + xy^* + x^*y + |y|²

この最後の式に含まれる xy^* + x^*y は 2 Re (xy^*) に等しい。なぜなら (xy^*)^* = (x^*)⋅(y^*)^* であり（㋔）、それは = x^*y なので（㋑）、要するに x^*y は xy^* の共役。従って、
　　xy^* + x^*y　つまり　xy^* + (xy^*)^*
は xy^* とその共役の和。それは 2 Re (xy^*) に等しい（㋕）。ところが
　　Re (xy^*) ≤ |xy^*|
なので（㋖）、結局:
　　|x + y|² = |x|² + xy^* + x^*y + |y|²
　　 = |x|² + 2 Re (xy^*) + |y|² ≤ |x|² + 2 |xy^*| + |y|²
積の絶対値は絶対値の積であり（㋔の〔付記〕参照）、ある複素数とその共役複素数は絶対値が等しいから（㋒）、上記の右辺について、
　　 = |x|² + 2 |x| |y^*| + |y|² = |x|² + 2 |x| |y| + |y|²
　　 = (|x| + |y|)²
が成り立つ。これが示されるべきことだった。∎

任意の二つの複素数 x, y について
　　|x + y| ≤ |x| + |y|
が成り立つことから、任意の三つ以上の複素数についても、同様の不等式が成り立つ。実際、上記の不等式で x = a, y = b + c と置くと:
　　|a + (b + c)| ≤ |a| + |b + c|　　（✽）
ところが、再び三角不等式によって
　　|b + c| ≤ |b| + |c|
であり、（✽）と組み合わせると:
　　|a + b + c| ≤ |a| + |b + c| ≤ |a| + |b| + |c|

同様にして、
　　|a + b + c + d| ≤ |a| + |b| + |c| + |d|
等々が示され、より一般的に、任意の n 個の複素数は
　　|z₁ + z₂ + ··· + z_n| ≤ |z₁| + |z₂| + ··· + |z_n|
を満たす。あるいは、同じことだが:
　　| ∑{k=1 to n} z_k | ≤ ∑{k=1 to n} | z_k |

これらはいずれも、三角不等式の事例だ（任意の複素数の絶対値に関して、普遍的に成り立つ）。「実数は、複素数の特別な場合（虚部が 0）」と考えることができ、従って、任意の実数（正または 0 または負）も、その絶対値に関して、全く同じ形の不等式に従う。

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2026-02-19　三角不等式・逆三角不等式（実践バージョン）

#遊びの数論

逆三角不等式は、第一印象、意味が分かりにくい。
　　||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|
二つ目の不等号は、通常の三角不等式。一つ目の不等号が、逆三角不等式。二重の絶対値記号が、なにやら「おれさまは複雑で難しいんだぜ」というムードを漂わせている…

真ん中の ± は + でも − でも構わない。どちらでもいいのに（そのことが応用上、重要なのに）、文献では三角不等式のときには + だけが記され、逆三角不等式のときには − だけが記されていることが多い。少々不親切だ！

一般に、
　　x = ±a ± b ± c ± d
のような式があるとき（項は何個でもよく、各項の符号は + でも − でもいい）、その式全体の絶対値
　　|x|　つまり　|±a ± b ± c ± d|
は、項ごとの絶対値の和
　　|a| + |b| + |c| + |d|
を超えない（証明については後述）。

例えば、 x = 5 − 3 + 10 = 12 の絶対値（12）も、 x = 5 − 3 − 10 = −8 の絶対値（8）も、項ごとの絶対値の和
　　|5| + |−3| + |±10| = 5 + 3 + 10 = 18
を超えない。 x = 5 + 3 + 10 = 18 または x = −5 − 3 − 10 = −18 のように、各項の符号が同じ場合に限って（複素数でいえば、各項の偏角が同じ場合に限って）、 x の絶対値は「項ごとの絶対値の和」に等しくなるが、最大でも「等しくなる」だけで、項ごとの絶対値の和を「超える」ことはない。

感覚的には、次のようにイメージすることもできる。

理想の共同作業では、各メンバーのポテンシャルの和が、そのままチーム全体のポテンシャルとなる。しかし、チームの全員が潜在能力をフルに発揮できるようにすることは、なかなか難しい。

チームで作業すれば一人一人では不可能な事業が可能になるけど、当然ながら、一人一人の物理的限界の和を超える労働力は得られない。複数の人がアイデアを出し合えば名案が浮かぶことがあるけど、その場合でも、結局メンバーの誰かがその名案を思い付くわけで、いくら話し合ったところで「どのメンバーにとっても、潜在能力の範囲外のアイデア」は生じ得ない。「チームの潜在能力」の最大値は「メンバーの潜在能力の和」だ。往々にして、チーム内では意見の対立、足の引っ張り合いなどのマイナス要素もあり、実際に最大値が得られることは、まれだろう。

その例えでいくと、三角不等式
　　|x + y| ≤ |x| + |y|
の解釈は:　x と y が力を合わせれば（x + y）、 x 一人ではできないこと、 y 一人ではできないことが可能になる。けれど最良の場合でも、二人が力を合わせたときのポテンシャルは、 x 個人のポテンシャルと y 個人のポテンシャルの和を超えない。一般には x と y は符号が同じとは限らず（複素数の場合には、偏角が同じとは限らず）、「ベクトルの向き」が違うので、多少の「足の引っ張り合い」が生じ、 |x + y| は |x| + |y| 以下だよ、と。

「複素数の和の絶対値」（チームのポテンシャル）と「各複素数の絶対値の和」（各メンバーのポテンシャルの和）の大小関係について、前回、2種類の証明を紹介した。その一つを要約しておく。

証明　x = a + bi, y = c + di を任意の複素数として（a, b, c, d: 実数）、
　　|x + y| ≤ |x| + |y|　すなわち
　　√[(a + c)² + (b + d)²] ≤ √(a² + b²) + √(c² + d²)
を示したい。実数の和は実数。実数の平方は 0 以上の実数、その平方根も 0 以上の実数。つまり上記の両辺は 0 以上。よって、左辺・右辺をそれぞれ平方した不等式
　　(a + c)² + (b + d)² ≤ (√(a² + b²) + √(c² + d²))²　　‥‥⓵
を示せば、同じことになる。

コーシーの不等式
　　ac + bd ≤ √(a² + b²)⋅√(c² + d²)　　‥‥⓶
の両辺を 2 倍し、その両辺に a² + b² + c² + d² を足すと:
　　a² + c² + 2ac + b² + d² + 2bd ≤ (a² + b²) + (c² + d²) + 2√(a² + b²)⋅√(c² + d²)
すなわち、⓵（の左辺・右辺をそれぞれ展開したもの）は確かに成り立つ。∎

上記の証明は、それだけ見ると「突然、天下り的にコーシーの不等式を持ち出している」ようだが、証明の舞台裏では、単に⓵（示したい不等式から自然に生じる）を展開して、それがコーシーの不等式（常に成り立つ）と同値になることを観察し、その同値関係の連鎖を逆順に記している。

⓶（コーシーの不等式の一種）自体の証明は次の通り。⓶が成り立つなら、両辺を平方した次の不等式も成り立つ。
　　(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)　　‥‥⓷
　　つまり　a²c² + 2abcd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
　　整理すると　2abcd ≤ (ad)² + (bc)²　　‥‥⓸

逆に、⓷（あるいは、それを整理した⓸）が成り立つなら、⓶も成り立つ。そのことは ac + bd が――従って⓶の両辺が―― 0 以上なら明白だが、 ac + bd が（つまり⓶の左辺が）負であっても、同じことがいえる。というのも、 a, b, c, d は実数なので、⓶の右辺は 0 以上。よって、もし⓶の左辺が負なら、⓶は「0 以上である右辺は、左辺の負の数以上」という自明な主張。

結局、⓶を証明するには、不等式⓸を証明すればいい。それは簡単。左辺を移項すると⓸は、
　　0 ≤ (ad)² + (bc)² − 2(ad)(bc) = (ad − bc)²
になるが、この不等式が成り立つことは明白（右端の式は実数の平方なので 0 以上）。∎

「絶対値が最大でどのくらいか」を評価したい対象は、「足し算ばかり」とは限らない。一般には、式にはプラスの項とマイナスの項が交ざっているので、「プラスの項・マイナスの項どちらにも対応できる」ことが、応用上、重要。

三角不等式の標準形は |a + b| ≤ |a| + |b| だが、実は左辺の + を − に変えても、全く同様の不等式
　　|a − b| ≤ |a| + |b|
が成り立つ。

三角不等式（実践バージョン）
　　|a ± b| ≤ |a| + |b|
項数が三つ以上でも同様:
　　|a ± b ± c ± ···| ≤ |a| + |b| + |c| + ···

「足し算でも引き算でも、絶対値の上界（最大値）は同じ」というのは、直観に反するように感じられるかもしれない。しかし「引き算」といっても、もしマイナスの数を引くのなら実質「足し算」だし、「足し算」といっても、もしマイナスの数を足すのなら実質「引き算」。従って、符号が不明の実数を扱うときには、「足し算」と「引き算」の区別は曖昧。一般の複素数はそもそも正でも負でもなく、 −w とは、 w から見て絶対値が同じで偏角が 180° 反対の数に過ぎない。

他方において、実践バージョンの右辺各項は、負でないことが確定している（絶対値なので）。よって右辺では、足し算と引き算の区別は厳然としており、
　　|a − b| ≤ |a| + |b|
の代わりに、
　　|a − b| ≤ |a| − |b|　？？
などとしてはいけない。

？？ が一般には成り立ち得ないことは明白。というのも、左辺は絶対値なので 0 以上。しかし b の絶対値がでかければ、右辺は負になってしまう！

通常バージョン（標準形）の三角不等式を既知とすれば、実践バージョンの証明は易しい。まず w が任意の複素数（あるいは実数）のとき、
　　|−w| = |w|
であることに留意する。実際、任意の w = u + vi について（u, v: 実数）、 −w = −u − vi の絶対値
　　√[(−u)² + (−v)²] = √[u² + v²]
は w の絶対値と一致。今、三角不等式の標準形
　　|x + y| ≤ |x| + |y|
において x = a, y = −b とすると:
　　|a + (−b)| ≤ |a| + |−b|
　　つまり　|a − b| ≤ |a| + |b|

よって（a + b だけでなく） a − b も、その絶対値は |a| + |b| 以下。同様に x = a ± b, y = c と置くと、 x + y も x − y も（すなわち a ± b + c も a ± b − c も）、その絶対値は、次の不等式を満たす:
　　|x| + |y| = |a ± b| + |c| ≤ |a| + |b| + |c|
すなわち a ± b ± c についても（符号の組み合わせは自由）、実践バージョンは正しい。 x = a ± b ± c, y = d 等々と置けば、全く同様にして 4 項以上の場合も証明される。

例題1　2iZ = a − bx + cy であることが分かっているが、複素数 a, b, c, x, y の値は不明。このとき Z の絶対値は最大でいくつか。

解　与式の両辺の絶対値を考えると:
　　|2iZ| = |a − bx + cy| ≤ |a| + |bx| + |cy|
上記の左辺は 2⋅|Z| に等しいので^†、両辺を 2 で割ると:
　　|Z| ≤ (|a| + |bx| + |cy|)/2　∎

†　|2iZ| = |2i|⋅|Z| だが（積の絶対値は絶対値の積）、 2i = 0 + 2i の絶対値は、 √(0² + 2²) = 2。

ある式全体の絶対値を考えるとき、その式の + の項も − の項も、三角不等式による上界（最大値の表現）においては、絶対値の和（+）になる（例題1の −bx の部分参照）。通常バージョンの三角不等式を使って、
　　|a − bx + cy| = |a + (−bx) + cy| ≤ |a| + |−bx| + |cy|
として、関係 |−bx| = |bx| を利用しても、同じ結論に。

x, y を任意の複素数（あるいは実数）とする。三角不等式は |x ± y| が取り得る最大値を |x| と |y| についての式として、表現してくれる。

では |x ± y| が取り得る最小値は何か。それを |x| と |y| についての式として、表現できるか。この自然な問いに答えてくれるのが、悪名高い（？）逆三角不等式。

逆三角不等式と三角不等式
　　||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|

〔注〕　左辺の表記は少々紛らわしいが、 |x| − |y| という「絶対値同士の引き算」全体が、別の（外側の）絶対値記号に囲まれている。つまり |x| − |y| の値を d とするなら |d| に当たる。

二つ目の不等号は、証明済みの三角不等式。問題は一つ目の不等号。まず「外側の絶対値記号」がないバージョン
　　|x| − |y| ≤ |x ± y|　　‥‥⓹
を証明するのが、分かりやすい早道だろう。

二つの数 x − y と y に通常の三角不等式を適用すると:
　　|(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|
　　つまり　|x| ≤ |x − y| + |y|
右辺の |y| を移項して:
　　|x| − |y| ≤ |x − y|
⓹の − バージョンが証明された。代わりに二つの数 x + y と −y からスタートすれば（あるいは単に上記の式の y を −y に置き換えれば）、容易に + バージョンを得る。

さて、逆三角不等式では、⓹の左辺に「外側の絶対値記号」が付いている。

⓹の左辺を d = |x| − |y| としよう。もし d が 0 以上なら |d| = d なので、⓹の左辺全体を囲むように「外側の絶対値記号」を付けても（付けなくても）、⓹の実質的意味に変わりはない。この場合、 d 以上である⓹の右辺は、もちろん |d| 以上だ（あえてややこしく言うなら）。

一方、もし d が負なら、⓹は自明。どんな絶対値であれ絶対値は 0 以上なので、それが「負の数以上」であることは当然で、情報として価値がない。しかし d が負の数の場合にも、⓹の右辺が正の数 |d| = −d 以上であること、すなわち
　　|d| = |y| − |x| ≤ |x ± y|　　‥‥⓺
が成り立つこと^†が証明可能で、この不等式には一定の価値がある（少なくとも自明ではない）。

†　この場合 d = |x| − |y| は負なので、符号を変えた正の数 −d = |d| は、
　　−(|x| − |y|) = |y| − |x|
に等しい。

⓺の証明。任意の数に対して⓹が成り立つことは証明済みなので、
　　|d| = |y| − |x| ≤ |y ± x|　　‥‥⓻
も成り立つ（⓹において、単に変数名 x, y を入れ替えた^‡）。ところが⓻の右辺は |x ± y| に等しい（複号同順）。なぜなら、
　　|y + x| = |x + y|
であり、
　　|y − x| = |−(x − y)| = |x − y|
だ（最後の等号は |−w| = |w| による）。従って、⓻と⓺は同じ意味を持ち、⓻が成り立つのだから⓺も成り立つ。∎

‡　そうしたければ、二つの数 y − x と y などからスタートして、最初と同じように直接素朴に証明してもいい。

d つまり |x| − |y| を囲む「外側の絶対値記号」は、 d が 0 以上のときは、あってもなくても同じこと。 d が負の場合には、外側の絶対値記号によって、「自明な不等式」が「非自明な不等式」に昇格する。

「外側の絶対値記号」がないバージョン⓹は、
　　|x ± y|　は　d 以上だ
という含意を持つ。もし d が正なら、その含意には一定の価値があるので、⓹の形が役立つケースもあるだろう。しかしながら、絶対値は必ず 0 以上なので、もし d が負の場合、上記の含意は言うまでもないこと、実質的に無意味な主張になってしまう。そこで、単に「d 以上」と言うだけでなく、「d が負の場合には |d| 以上」という限定を付けるなら、 d が負の場合にも（「絶対値は必ず 0 以上」という自明な主張よりは）強い主張となる。

d が負かどうかで場合分けするのを避けるには、 d の符号と無関係に、常に d に絶対値記号を付けておけばいい。それが、逆三角不等式の「外側の絶対値記号」。分かりやすいかはともかく、コンパクトな表記ではある。

例題2　3 以上のどんな整数 n を選択しても、 t = i は、 t についての n−1 次方程式
　　(t + 1)ⁿ − tⁿ − 1 = 0
の解にならないことを示したい。

これはコーシー・ミリマノフ多項式と呼ばれるものの一種。例えば n = 11 のとき、
　　(t + 1)¹¹ − t¹¹ − 1 = t(t + 1)(t² + t + 1)(t⁶ + 3t⁵ + 7t⁴ + 9t³ + 7t² + 3t + 1) = 0
がどんな複素数解を持ち得るのか（持ち得ないのか）、必ずしも明らかではない。 n が大きくなれば、ますます話は複雑になるかも…。この例題では、 i が解になり得ないことを示す。他の解法もあるけど、ここでは逆三角不等式を使ってみたい。

解　もしも t = i が解になったとしたら、
　　(i + 1)ⁿ − iⁿ − 1 = 0　　‥‥⓼
が成り立ち、そのとき⓼左辺の絶対値は = 0 になる。裏を返せば、⓼左辺の絶対値が決して 0 にならないことを示せば（つまり、絶対値が最小でも 0 より大きいことを示せば）、目的が達成される。この観点からは、
　　|(i + 1)ⁿ − iⁿ − 1| = |(i + 1)ⁿ − (iⁿ + 1)|
の最小値が問題の核心だ。

x = (i + 1)ⁿ, y = iⁿ + 1 と見て、逆三角不等式を使うと:
　　|(i + 1)ⁿ − (iⁿ + 1)| ≥ ||(i + 1)ⁿ| − |iⁿ + 1||　　‥‥⓽

この右辺の、（「外側の絶対値記号」内で引き算されている）二つの絶対値について:

第一に、 |(i + 1)ⁿ| = |i + 1|ⁿ = (√2)ⁿ であり^†、仮定により n ≥ 3 なので、この絶対値は最小でも (√2)³ = 2√2 だ。

第二に、三角不等式から、
　　|iⁿ + 1| ≤ |iⁿ| + |1| = |i|ⁿ + 1 = 1ⁿ + 1 = 2
であり^‡、この絶対値は、最大でも 2 を超えない。

つまり、⓽右辺の「外側の絶対値記号」内では、「最小でも 2√2 以上の値」から、「最大でも 2 以下の値」が、引き算されている。結果は明らかに正なので、これは「外側の絶対値記号」がなくてもいいケース（⓹）に当たり、⓽から、
　　|(i + 1)ⁿ − (iⁿ + 1)| ≥ |(i + 1)ⁿ| − |iⁿ + 1| ≥ 2√2 − 2 > 0
が成り立つ。すなわち、⓼左辺の絶対値は決して 0 にならず、⓼が成り立つ可能性はない。∎

†　一つ目の等号について。「積の絶対値は絶対値の積」という性質を繰り返し使うと、
　　|w²| = |w⋅w| = |w|⋅|w| = |w|²
　　|w³| = |w²⋅w| = |w²|⋅|w| = |w|²⋅|w| = |w|³
等々となって、一般に |w^k| = |w|^k が成り立つ（k: 正の整数）。二つ目の等号について。 i + 1 = 1 + 1i の絶対値は √(1² + 1²)。

‡　 i = 0 + 1i の絶対値は √(0² + 1²) = 1。

〔参考文献〕　Abramowitz & Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 3.7.29

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『遊びの数論56』へ続く。