（遊びの数論55）

他のメモへのリンク集。リンク集を飛ばして、このページの前書きへ。本文の目次へ。21、22などの数字は、メモの番号です。

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遊びの数論54の続き。誤字脱字・間違いがあるかも。

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• 目次。約2の項目があります。2025などの数字は、メモの日付です。
• 2026-01-21　二重根号の外し方　正五角形は侮れない
• 2026-01-22　二重根号なんて怖くない！　√(5 − 2√6) = √3 − √2
• 2026-02-02　複素数の平方根　i はお金では買えない
• 目次の終わり。このページの最初の項目が続きます。

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2026-01-21　二重根号の外し方　正五角形は侮れない

#遊びの数論　#正五角形

問題1　一辺の長さ 2 の正五角形の、対角線の長さが 1 + √5 であることを示したい。

問題2　一辺の長さが 2 の正五角形の、高さ（頂点と反対側の辺の中点を結ぶ垂線の長さ）を求めたい。

問題1の記述が正しいとすれば、問題2は、三平方の定理を使って機械的に解ける。

問題2の解　直角三角形の底辺が 1、高さが ？、斜辺が 1 + √5 なので:
　　1² + ？² = (1 + √5)²
　　∴　？² = (1 + √5)² − 1² = (6 + 2√5) − 1 = 5 + 2√5
　　∴　？ = √(5 + 2√5)　∎

二重根号が発生。正五角形関連は、トリッキーな根号処理が絡むことも多く、油断できない。

逆に、正五角形の高さが √(5 + 2√5) であることと一辺の長さが 2 であることが、先に与えられたとすると…。三平方の定理から、対角線の長さを求めるのは同じ手間のようだが、単純計算では:
　　(対角線)² = (√(5 + 2√5))² + 1² = (5 + 2√5) + 1 = 6 + 2√5
　　∴　対角線 = √(6 + 2√5)
答えは間違ってないけど、対角線の長さは 1 + √5 のはずなので、
　　√(6 + 2√5) = 1 + √5
という変形が可能なはず。 √(A + √B) のような形の「二重根号」を簡約するテクニックは、こういうシチュエーションで役立つ。任意の複素数 a + bi は = a + b√−1 なので、複素数 a + bi の平方根 √(a + bi) を求めることも、
　　√(A + √−B)
の形の二重根号処理だと捉えることができる。平方根はありふれた計算だし、複素数の平方根を考えなければならないこともある。「二重根号処理なんて、まれなこと」という感じもするけど、案外そうでもなく、応用範囲が広い。「i の平方根」なんかも、二重根号の問題として考えると簡単便利だし。

一辺 2 の正五角形の対角線の長さは、いろんな方法で求めることができる。「一辺 2」ってのは、便宜上の設定。「一辺 1」の方が良ければ、単に「一辺 2」の場合の答えを半分にしてもいい。

問題1の解　正五角形 ABCDE があるとして、（どの対角線でも長さは同じだけど）仮に対角線 BE の長さを求めるとしよう。対角線 AD と対角線 BE の交点を P とすると PB と DC は平行、 PD と BC も平行なので――そして BC = CD は正五角形の辺なので――、 PBCD はひし形。

従って DP は、正五角形の一辺 DE と長さが同じ。よって △EDP は二等辺。 △DBE も、もちろん二等辺。これら二つの二等辺三角形は、底角 E を共有するので、「等しい底角」の大きさが一致。必然的に残りのもう一つの（対応する）角も一致し、二つの三角形は相似。

さて PE の長さを x とすると BE の長さは 2 + x だ（なぜならBP は前記ひし形の一辺で、五角形の一辺と長さが等しい）。相似な二つの三角形について、
　　△EDP の底辺と斜辺の比　と　△DBE の底辺と斜辺の比
は一致する。
　　x ∶ 2 = 2 ∶ 2 + x
　　∴　x(2 + x) = 4　つまり　x² + 2x − 4 = 0

これを解くと x = −1 ± √5。 x は線分の長さなので、正の値
　　x = −1 + √5
が題意に適する。結局、求める対角線 BE の長さは:
　　2 + x = 2 + (−1 + √5) = 1 + √5　∎

√5 = 2.23606 79774… なので（富士山麓オウム鳴く）:
　　1 + √5 = 3.23606 79774…
もし一辺の長さが半分の 1 だったら、対角線の長さも半分になって:
　　(1 + √5)/2 = 1.61803 39887…
この数値は「黄金比」と呼ばれる。 1.6 は「富士 + 1」の半分、 18 と 03 はそれぞれ「山麓」と「オウム」の半分、等々。

一辺 2 の正五角形の対角線の長さが約 3.2 であることは、作図からも確かめられる。対角線で結ばれた一方の頂点を中心に、半径 2 の円を描き（半径 = 辺の長さ）、他方の頂点を中心に半径 1 の円を描くと（半径 = 辺の長さの半分）、二つの円は交わらず、目分量で約 1/4 の隙間が生じる。対角線の長さは、ざっと 3.25 くらい、と。

いまやこの正五角形の高さは明らか。最初に書いたように:
　　√(5 + 2√5)
5 + 2√5 = 5 + 4.472… = 9.472… なので、その平方根は明らかに 3 よりは大きいが 3.1 よりは小さい（31² = 961 であり、 3.1² = 9.61 は 9.472… と比べ過大）。

実際、再び半径 2 の円と半径 1 の円を描くと、正五角形の高さは 3 よりほんのわずかだけ（目分量で 0.1 程度）大きいことが見て取れる。実際の値は:
　　√(5 + 2√5) = 3.07768 35371…

この数の二重根号を簡約することは、できない。

他方、正五角形の高さ（上記）を元に対角線の長さを求めると、最初に書いたように二重根号が生じる:
　　対角線 = √(6 + 2√5)

この二重根号は、計算済みの対角線の長さ 1 + √5 と同じ数値のはずだ。

一般に √(A ± B) の形の A, B の一方または両方がそれ自身、平方根号を含んでいるとしよう。そのような多重根号に対処するとき、根号下の数たのたちの平方差が――つまり、二つの数それぞれを平方して引き算した A² − B² の値が――重要な役割を果たす。

√(6 + 2√5) の例では、根号下の数たちの平方差は:
　　6² − (2√5)² = 36 − 20 = 16
これは平方数 4² に等しい！

√(5 + 2√5) は、数の形は似てるけど、対応する平方差は:
　　5² − (2√5)² = 25 − 20 = 5
この 5 という数は、平方数ではない！

これが平方数になれば、根号を簡約できる。平方数にならない場合、普通の意味では簡約できない。

具体的なアルゴリズムは次の通り。 √(A ± B) が与えられたとき、上記の平方差 d がもし平方数なら、 A と √d の平均（足して 2 で割ったもの）を u として、 A の平均からのずれ A − u を v とすると、
　　√(A ± B) = √u ± √v
が成り立つ。右辺の ± では、 A ± B の ± と同じ符号を選択。

例1　√(6 + 2√5) の場合、平方差 d = 16（上記）。
　　A = 6 と √d = 4 の平均　u = (6 + 4)/2 = 5
　　A = 6 の平均 u からのずれ　v = 6 − 5 = 1
従って √(6 + 2√5) は、
　　√u + √v = √5 + √1 = √5 + 1
に簡約可能！

例2　√(11 + 6√2) の場合、平方差は:
　　d = 11² − 6²⋅2 = 121 − 72 = 49
これも平方数！
　　A = 11 と √d = 7 の平均　u = (11 + 7)/2 = 9
　　A = 11 の平均 u からのずれ　v = 11 − 9 = 2
従って √(11 + 6√2) は、
　　√u + √v = √9 + √2 = 3 + √2
に簡約可能。

例3　√(2 + √3) の場合、平方差は:
　　d = 2² − 3 = 1
これも平方数だ！
　　A = 2 と √d = 1 の平均　u = (2 + 1)/2 = 3/2
　　A = 2 の平均 u からのずれ　v = 2 − 3/2 = 1/2
従って √(2 + √3) は、
　　√u + √v = √(3/2) + √(1/2) = (√3)/√2 + (√1)/√2
　　= (√3 + 1)/√2 = (√6 + √2)/2
に簡約可能。

上記のような計算法（二重根号外し）は、特に難しい計算ではない。なぜこれでうまくいくのか検討してから（次回）、同じアルゴリズムを「複素数の平方根」などに応用してみたい。（続く）

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2026-01-22　二重根号なんて怖くない！　√(5 − 2√6) = √3 − √2

#遊びの数論

√(5 − 2√6) = √3 − √2 のような「二重根号外し」は、素朴に眺めると謎めいている。なにそれ、 √(5 − 2) = √3 ってこと？　入れ子になってる √6 は、どこ行ったの…？

仕組みが分かってみると、実は簡単。上記の例なんかは、一瞬で暗算できる。多重根号簡約の一般論は難しいけど、簡単な「二重根号外し」程度なら、さくっと。

多重根号が簡約できるケースは、比較的まれ。でも同じアルゴリズムが、結構いろんなことに役立つ（複素数の平方根、複素係数の2次方程式、ある種の4次方程式など）。

前回、正五角形の対角線の長さに関連して、二重根号簡約の具体例を挙げた。「二重根号外し」の仕組みの説明。

√(A + ℓ√m) の形の数（A, ℓ は正）を考える。例えば √(6 + 2√5)。

ℓ√m = √(ℓ²m) のように、平方根の倍数については、一つの平方根にまとめることも可能（例えば 2√5 = √20）。 B = ℓ²m と置くなら、シンプルに
　　√(A + √B)　　（✽）
の形だけを考えれば十分、ってことになる。

（✽）の形の二重根号を変形して = √u + √v の形にできたとしよう。つまり、
　　√(A + √B) = √u + √v　　ア
が成り立った、と。そんな等式が、実際に成り立ち得るのか？　A, B は与えられた定数、 u, v は未知数なので、前者を使って u, v を表現できれば理想だけど、直観的には「未知数が二つあるのに式が一つしかないんだから、情報不足。解けるわけねぇ」「そもそも左辺は複雑な二重根号。シンプルな右辺と等しくなるなんて、そんなうまい話、あるもんか」という気が、するかもしれない…。けどまぁ、とりあえず、外側の根号を外すため、アの両辺を平方して:
　　A + √B = u + v + 2√(uv)　　イ

〔注〕　イ右辺は (√u + √v)² = (√u)² + 2(√u)(√v) + (√v)² = u + 2√u√v + v による。

仮に A が整数（あるいは一般に有理数）、 √B が無理数だとすると――それが典型的なシチュエーションだ――、イ左辺は「有理数と無理数の和」で無理数。それに等しいイ右辺も、当然、無理数。今 u, v がどちらも有理数と仮定すると、イ右辺の u + v は、有理数同士の和なので有理数。イ右辺に無理数成分があるとすれば、平方根 √(uv) だけ（ただし無理数の 2 倍も無理数なので、 2√(uv) も無理数）。

イ左辺の「有理数の部分」と「それ以外」、イ左辺の「有理数の部分」と「それ以外」は、それぞれ等しくなるはず:
　　A = u + v　　ウ
　　√B = 2√(uv)　　エ
エの両辺を平方すると:
　　B = 4uv　　オ
つまり uv = B/4 となり、ウと組み合わせると未知数 u, v の和と積が（A, B の式として）分かるので、 u, v を解とする2次方程式を作ることができる（そうしたければ）。それを解けば、未知数 u, v を「与えられた A, B の式」として表現でき、アの変形が可能になる！

〔付記〕　「未知数が二つあるのに、それを決定するための式（情報）が一つしかない」とも思えたけど、その一つの式に「有理数成分」「無理数成分」の二つの情報が含まれていることから、結局、ウ・エの連立方程式となった。

具体的な u, v の決定法。まず「2次方程式を解く必要がないシンプルなやり方」から。ウの両辺を平方すると:
　　A² = u² + 2uv + v²　　カ
カからオを（辺ごとに）引き算すると:
　　A² − B = u² − 2uv + v² = (u − v)²　　キ

等式キが鍵。与えられた二重根号 √(A + √B) の根号下にある二つの数 A, √B について、平方差 d ――つまり、それぞれ平方して引き算した
　　d = A² − B
――を考えよう。 r = √d と置くと、その両辺の平方から d = r² なので、キから、
　　d = r² = (u − v)²　つまり^†　r = u − v　　ク
となる。

†　r² = (u − v)² は ±r = u − v を含意するが、便宜上、ここでは ± のうち + を選択する（平方差 d が 0 以上の実数の場合、この選択は、 u ≥ v だと決め付けることに当たる）。ア右辺の √u + √v は、二つの数 {u, v} が一定なら一定の値（二つの数のどっちを u とするか好きに選んでも、結論に影響しない）。

ウとクを辺ごとに足し算して:
　　A + r = 2u　つまり　u = (A + r)/2
ウからクを辺ごとに引き算して:
　　A − r = 2v　つまり　v = (A − r)/2

r = √d であることに留意すると、次の結論に至る。

命題1（一応のまとめ）　√(A + √B) を √u + √v の形に変形できる（A は正）。ここで d は、
　　平方差　A² − B
であり、 u = (A + √d)/2, v = (A − √d)/2。ここで A 自身は、根号を含まない数だとしよう。すると、もし d が有理数の平方に等しいなら r = √d は有理数で、 u も v も根号を含まない。そのケースでは B の二重根号が外れて、一重根号だけの式に簡約される。

実践的には、次のように整理できる。

二重根号外しの基本アルゴリズム
　入力　√(A + ℓ√m)
　　①　根号下の数たちの平方差 A² − ℓ²m を d とする
　　　◇　d が平方数か判定
　　　　Yes ⇒ 二重根号を外せる（②へ）　　No ⇒ 外せない（あきらめて終了）
　　②　A と √d の平均を u とする
　　③　A の平均からのずれ A − u を v とする（典型的には A は「平均」より大きい）
　出力　√u + √v

②の u は、 A と √d を足して 2 で割ったものだから、命題1の u と同じ意味。従って③は、
　　A − u = A − (A + √d)/2 = 2A/2 − (A + √d)/2 = (A − √d)/2
の計算に当たり、命題1の v と同じ意味。「A と √d の平均」「A の平均からのずれ」というのが、かえって分かりにくければ、命題1にあるように、
　　u = (A + √d)/2, v = (A − √d)/2
と考えてもいい（用途によって、どちらの考え方も役立つ）。

別解　上記では、ウの u + v とオの 4uv から、カ・キ経由でクの u − v を作り、ウとクの辺々の和・差から u, v を抽出した。もし2次方程式を解く気があれば、オの段階で既に u, v 自体の和・差が分かるので、直ちに u, v を求めることも可能。すなわち、
　　u + v = A, uv = B/4
なので、解と係数の関係から、 u, v は
　　x² − Ax + B/4 = 0
の解。これを解いて:
　　u, v = [A ± √(A² − B)]/2
d = A² − B と置けば、最初に得た結論と同じ。∎

例題1　可能なら √(11 + 4√6) を簡約したい。

解　11² = 121 そして (4√6)² = 16⋅6 = 96 なので、平方差は:
　　d = 121 − 96 = 25
25 = 5² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 11, √d = 5）。

命題1の方法をそのまま使うと:
　　u = (11 + √25)/2 = 8, v = (11 − √25)/2 = 3

あるいは、実践的アルゴリズムから:
　　A と √d の平均　u = (11 + 5)/2 = 8
　　A の平均からのずれ　v = 11 − 8 = 3

いずれにしても、
　　√(11 + 4√6) = √8 + √3
となる（お好みで 2√2 + √3 と書いてもいい）。∎

〔別解〕　二重根号外しに使えるアルゴリズムは、複数の種類ある。扱う数が小さいときは、 √(a + 2√b) の形に変形して、和が a で積が b の2数 u, v を探してもいい。例題1の場合、
　　√(11 + 4√6) = √(11 + 2√24)
であり、「足すと 11 で掛けると 24 になる二つの数」を考えると 8, 3 が見つかる。実際、
　　√(a + 2√b) = √u + √v
が成り立つとすれば、その両辺を平方すると a + 2√b = (u + v) + 2√(uv) なので、この形の二重根号に限っていえば、《和が a で積が b になるような二つの数 u, v》を探せばいい。

例題2　可能なら √(7 + 3√5) を簡約したい。

解　7² = 49 そして (3√5) = 9⋅5 = 45 なので、平方差は:
　　d = 49 − 45 = 4
4 = 2² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 7, √d = 2）。
　　u = (7 + 2)/2 = 9/2, v = 7 − 9/2 = 5/2
よって:
　　√(7 + 3√5) = √(9/2) + √(5/2) = 3/√2 + (√5)/(√2) = (3 + √5)/(√2)
分母を有理化するため、分子分母を √2 倍すると:
　　 = (3√2 + √10)/2　∎

〔付記〕　例題1の「別解」の方法（和と積を考える）は、場合によっては便利だが、汎用性が低い。例題2に適用するのは、（可能だが）あまり便利ではない。

処理したい二重根号は √(A + ℓ√m) の形とは限らず（A, ℓ は正）、 √(A − ℓ√m) の形かもしれない。ア・イでは、
　　√(A + √B) = √u + √v
と置き、両辺を平方して、
　　A + √B = u + v + 2√(uv)
を得たが、もし内側の根号の前の符号が負なら、
　　√(A − √B) = √u − √v
と置いて、
　　A − √B = u + v − 2√(uv)
とすればいい。すると
　　A = u + v　そして　√B = 2√(uv)
となり、この条件は + の場合と共通（ウ・エ）なので、以降の処理は全く同じ。最後に u, v が求まったとき、
　　√u + √v　の代わりに　√u − √v
とするだけ。

〔補足〕　+ のケースでは、「二つの数 {u, v} のどちらを u としても √u + √v の値は変わらない」ということから、便宜上、 u, v の選択法を固定した（u, v が 0 以上の実数なら u ≥ v）。 − のケースでは、変数名 u, v を入れ替えると √u − √v の値が変わってしまうので、どちらを u とするのか、必ずしも自由に選択できない。とはいえ、二重根号下の数が 0 以上の実数なら（それが実用上、最も重要なケース）、その根号は 0 以上の実数を表す。それに等しい √u − √v も、当然 0 以上の実数。よって u ≥ v という仮定は引き続き妥当。

例題3　可能なら √(5 − 2√6) を簡約したい。

冒頭で挙げた例…。「和が 5 で積が 6」と考えると u = 3, v = 2 であることは明白だが、一応、一般のアルゴリズム通りにやってみる。

解　5² = 25 そして (2√6)² = 4⋅6 = 24 なので、平方差は:
　　d = 25 − 24 = 1
1 = 1² は平方数なので、二重根号を外せる（A = 5, √d = 1）。
　　u = (5 + 1)/2 = 3, v = 5 − 3 = 2
　　∴　√(5 − 2√6) = √3 − √2　∎

〔注〕　真ん中の符号が + の場合、 √(5 + 2√6) の簡約結果を √3 + √2 と書こうが √2 + √3 と書こうが同じことだが、 √(5 − 2√6) の場合には、簡約結果は √3 − √2 であり √2 − √3 とすることはできない。実際、後者の引き算結果は、明らかに負の数。ところが
　　√6 = 2.44948 97427… （煮よ良く弱く）
の 2 倍 = 4.898… を 5 から引いたものは正の数。その平方根 √(5 − 2√6) も、もちろん正の数。

√6 = 2.44948 97427 83178… （煮よ良く弱く・梨フナ野菜）　弱火でじっくり煮込むのはいいが、梨とフナは合うのだろうか？

実用上のヒント。 √(A ± ℓ√m) の A, ℓ が公約数を持つときは、原則として、それをくくり出してから処理する方が効率的。例えば、
　　√(20 − 5√7)
を直接処理すると d = 20² − 5²⋅7 = 400 − 175 = 225 となり、それは 15² なので:
　　u = (20 + 15)/2 = 35/2, v = 20 − 35/2 = 5/2
となる（以下略）。そのやり方でも全く問題ないけど、代わりに
　　√(20 − 5√7) = √5 × √(4 − √7)
と変形してから、二重根号の部分を処理すると d = 4² − 7 = 16 − 7 = 9 = 3² なので、1～2桁の簡単な計算で済む:
　　u = (4 + 3)/2 = 7/2, v = 4 − 7/2 = 1/2
　　∴　√u − √v = (√7 − 1)/√2 = (√14 − √2)/2
求めるものは、その √5 倍なので:
　　(√70 − √10)/2

特に A, ℓ の公約数が大きい場合（例えば3桁）、それをくくり出せば、かなり計算量を節減できるだろう。

二重根号外しの例題なので、簡約できる例ばかり取り上げた。現実には、簡約可能な多重根号はまれな存在。だって d が平方数にならないと簡約できないわけで、例えば 1 から 1000 までの整数だけを考えると、平方数は 1, 4, 9, 16, ···, 961 の 31 個しかない。その範囲の d について根号外しができる確率は、単純計算で 31/1000 つまり 30 回に 1 回未満。

上記アルゴリズムでは、 d が平方数かどうかの判定が必要。 100 以下の平方数については、ほぼ誰でも瞬時に認識できるだろうけど、数論では、もう少し広い範囲の（特に 400 以下の）平方数が常用される。例えば √(19 ± 6√2) を処理したいとして、平方差 d を作る途中計算で 19² = 361 が必要だし、 d = 361 − 36⋅2 = 289 が求まった瞬間、その 289 が平方数 17² であること（図解）を認識できないと、話が前へ進まない。

その点、もし √(19 ± 6√2) = √(19 ± 2√18) と変形して「和が 19 で積が 18」の数を考えるなら、一瞬で u = 18, v = 1 が見つかる。このように、個々のケースでは、別のやり方の方が速いかも…

でも、このメモで記したアルゴリズムは汎用的で、どんな場合にも、二重根号簡約の可否を確実に判定（可能なら簡約）できる。しかも、このアルゴリズムは、他の場面でも活躍する。（続く）

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2026-02-02　複素数の平方根　i はお金では買えない

#遊びの数論

√(3 + 4i) = 2 + i のような「複素数の平方根」の計算は、「二重根号外し」と同じアルゴリズムによって実行可能。 √(3 + 4i) ってのは
　　√(3 + 4√−1)
を略したもんなんで、二重根号の処理になるのは不思議じゃないし。

上の例の場合、根号下の二つの数の平方差 d を求めると:
　　d = 3² − (4i)² = 9 − 16(i²) = 9 − 16(−1) = 9 + 16 = 25
根号下の一つ目の数 A = 3 と √d = 5 の平均 u を求めると:
　　u = (3 + 5)/2 = 4
A の平均 u からのずれ v を求めると（A は平均より小さい）:
　　v = 3 − 4 = −1
よって求める平方根は:
　　√u + √v = √4 + √−1 = 2 + i
（これでうまくいく理由については後述。）

アルゴリズムの中身は「二重根号外し」と全く同じだが、一応「複素数の平方根」というスタイルで再導出しておく。

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任意の複素数 a + bi が与えられたとして（a, b は実数）、その平方根を求めたい。仮に未知の実数 x, y があって、
　　√(a + bi) = x + yi
が成り立ったとする。両辺を平方すると:
　　a + bi = x² + 2xyi + (yi)² = (x² − y²) + 2xyi　　ア
実部と虚部の比較から:
　　a = x² − y²　　‥‥①
　　b = 2xy　　‥‥②

①の平方
　　a² = x⁴ − 2x²y² + y⁴　　イ
と、②の平方
　　b² = 4x²y²
を足すと:
　　a² + b² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)²　　ウ
a, b, x, y は（仮定により）実数なので、この両辺は 0 以上の実数。両辺の平方根を考えると:
　　√(a² + b²) = x² + y²　　‥‥③

③と①を足すと:
　　√(a² + b²) + a = 2x²
　　∴　x² = [√(a² + b²) + a]/2　　‥‥④

③から①を引くと:
　　√(a² + b²) − a = 2y²
　　∴　y² = [√(a² + b²) − a]/2　　‥‥⑤

与えられた実数 a, b が何であれ、④⑤それぞれの平方根から未知数 x, y を確定できる。 a, b が正でも正でなくても、
　　√(a² + b²) ≥ √(a²) = |a|
なので、④⑤の分子は負ではなく、従って x, y は仮定通り実数！　簡潔化のため r = √(a² + b²) と置くと:
　　x² = (r + a)/2, y² = (r − a)/2
　　つまり　x = ±√[(r + a)/2], y = ±√[(r − a)/2]

結局、与えられた複素数 a + bi の平方根は、
　　x + yi = ±√[(r + a)/2] ± i√[(r − a)/2]　　（✽）
のような形になる。符号の選択は次の通り。 a + bi の平方根には、
　　+√(a + bi)　つまり　√(a + bi)
で表される数と、その −1 倍に当たる
　　−√(a + bi)
の二つがある（a = b = 0 の場合を除き、上記二つの数は異なるが、どちらも平方すれば a + bi に等しい）。約束として、《+ の平方根》は「実部が負でない」とする（なんとなく当たり前だが…）。つまり √(a + bi) を考えるなら、（✽）の一つ目の ± は + だよっ、と。そしてその場合、（✽）の二つ目の ± は b が負なら − で、 b が負でなければ + になる。
　　√(5 + 2√6) = √3 + √2
　　√(5 − 2√6) = √3 − √2
のような二重根号外しと同じパターンで、まぁ、別に不自然な規約でもないかと。符号の意味を明確にするため、「b は 0 以上」として整理すると…

複素数の平方根　a, b が実数で b が 0 以上のとき:
　　√(a + bi) = √[(r + a)/2] + i√[(r − a)/2]　　(b ≥ 0)
　　√(a − bi) = √[(r + a)/2] − i√[(r − a)/2]　　(−b < 0)
　　ここで　r = √(a² + b²)

〔注〕　−√(a + bi) と −√(a − bi) は、当然、上記と符号が正反対になる:
　　−√(a + bi) = −√[(r + a)/2] − i√[(r − a)/2]
　　−√(a − bi) = −√[(r + a)/2] + i√[(r − a)/2]

例1　√(3 + 4i) を求めたい。

解　a = 3, b = 4 なので r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。従って:
　　√(3 + 4i) = √[(5 + 3)/2] + i√[(5 − 3)/2] = √4 + i√1 = 2 + i　∎

検算　√(3 + 4i) は、平方すると 3 + 4i になるような数のうち、実部が負でないもの。 2 + i は、確かに実部が負でない。そして平方すると、
　　(2 + i)² = 2² + 2⋅2⋅i + i² = 4 + 4i + (−1) = 3 + 4i
なので、確かに条件を満たす！

r は、 √(A + ℓ√m) の二重根号外しでいえば、平方差 d = A² − ℓ²m の平方根 √d に他ならない。実際、
　　√(3 + 4i) = √(3 + 4√−1)
なので d = 3² − 4²(−1) = 9 − (−16) = 25。ただし平方「差」といっても、（平方の中に i² = −1 があるせいで）負の数を引き算する。事実上、平方「和」だ。

二重根号外しの場合、この d が平方数になることが重大で、さもなければ「二重根号外し」という目的を達成できない（簡約できない二重根号）。一方、複素数の平方根の場合、アルゴリズムは同じでも、 d が平方数になることは必ずしも重要ではない。次の例では d = 20 に当たり、 d は平方数にならない。

例2　√(2 + 4i) を求めたい。

解　a = 2, b = 4 なので r = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5。従って:
　　√(2 + 4i) = √[(2√5 + 2)/2] + i√[(2√5 − 2)/2] = √(√5 + 1) + i√(√5 − 1)　∎

この解は、「簡約」という意味では、逆効果とも思える。 √(√5 + 1) + i√(√5 − 1) という長い表現より、もともとの √(2 + 4i) の方が簡潔ですっきりしている。けれど、「実部と虚部が分離されている方が良い」という状況も多い。 √(2 + 4i) のままだと、一体どんな数なのか分かりにくいし、数値的に扱おうとしても、複素数に対応できない計算機では全く処理できない。
　　√(√5 + 1) + i√(√5 − 1)
の形なら、
　　実部が √5 + 1 = 3.2360679… の平方根
　　虚部が √5 − 1 = 1.2360679… の平方根
ということが一目瞭然で、数値的に扱いやすい。式がかえって複雑になるとしても、実部と虚部の分離には、場合によって大きなメリットがある！

検算　恒等式 (A + B)(A − B) = A² − B² から、
　　(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4
なので:
　　√(√5 + 1) √(√5 − 1) = √[(√5 + 1)(√5 − 1)] = √4 = 2
よって:
　　(√(√5 + 1) + i√(√5 − 1))²
　　 = (√5 + 1) + 2i⋅√(√5 + 1) √(√5 − 1) + (−1)(√5 − 1)
　　 = √5 + 1 + 2i⋅2 − √5 + 1 = 2 + 4i

複素数の平方根とくれば √i ――つまり i = √−1 のそのまた平方根――を求めてみるのがお約束。三角関数を使えば cos 45° + i sin 45° で一瞬だが、複素数の平方根の問題と見ると、上記の書き方で a = 0, b = 1 のケースに当たる。よって r = √(0² + 1²) = 1 で:
　　√i = √((1 + 0)/2) + i√((1 − 0)/2) = √(2/4) + i√(2/4)
　　 = √2/√4 + i√2/√4 = √2/2 + i√2/2

この数だって、コンセプト的には √i と書いた方が簡潔だけど、上記の表記の方が「具体的な感じ」がする。

√i のそのまた平方根、つまり √√i を求めてみる。その場合 a = b = √2/2 なので a² = b² = 2/4 = 1/2、従って r は再び = √(1/2 + 1/2) = 1。よって √√i は、
　　実部が (1 + √2/2)/2 の平方根
　　虚部が (1 − √2/2)/2 の平方根
であり、それぞれ 2 + √2/4 と 2 − √2/4 の平方根なので、要するに:
　　√√i = [√(2 + √2)]/2 + [i√(2 − √2)]/2

意外とシンプルでかわいい。この値は x¹⁶ = 1 の解（1 の原始16乗根）の一つで、16乗すると = 1 になる。関連する他の解については「i の平方根・そのまた平方根」参照。

−1 の平方根 i、すなわち 1 の原始4乗根。その i の平方根、すなわち 1 の原始8乗根。そして、そのまた平方根、すなわち 1 の原始16乗根…。望むなら、この連鎖はいくらでも続けることができる（1 の原始32乗根、64乗根、等々）。それらの実部・虚部の代数的表現は、似たような形で根号のネストが機械的に深まるだけで（r = 1 に固定されているので）、一般的な文脈では、さほど面白いものでもない。

余興として x¹⁶ = 1 つまり x¹⁶ − 1 = (x⁸ + 1)(x⁸ − 1) = 0 を代数的に解いてみる。結果は既に出てるけど、あえて普通と違うやり方で。16個の解のうち、 x⁸ − 1 = 0 の解（計8個）は 1 の8乗根。この8次方程式は、
　　(x⁴ + 1)(x² + 1)(x² − 1) = 0
と分解され、別の場所では x⁴ + 1 の根を代数的に（4次方程式を解いて）求めた（それ以外の根は自明）。ここでは、もう一つの8次方程式 x⁸ + 1 = 0 の解（計8個）に興味がある。その両辺を x⁴ で割ると:
　　x⁴ + 1/x⁴ = 0　　‥‥⑥

t = x + 1/x と置くと:
　　t² = x² + 2 + 1/x²　つまり　x² + 1/x² = t² − 2
両辺を平方して:
　　x⁴ + 2 + 1/x⁴ = t⁴ − 4t² + 4
　　∴　x⁴ + 1/x⁴ = t⁴ − 4t² + 2
従って、⑥を解く代わりに t⁴ − 4t² + 2 = 0 を解けばいい。 u = t² と置くと:
　　u² − 4u + 2 = 0
　　∴　u = 2 ± √2
　　∴　t = ±√(2 ± √2)　符号の組み合わせは四通り

純粋に代数的にやるなら、ここで変数の置換を元に戻して t = x + 1/x = ±√(2 ± √2) とし、分母を払って四つの2次方程式を得る:
　　x² − √(2 + √2) x + 1 = 0　　㋐
　　x² − √(2 − √2) x + 1 = 0　　㋑
　　x² + √(2 + √2) x + 1 = 0　　㋒
　　x² + √(2 − √2) x + 1 = 0　　㋓
㋐㋒の判別式は負:
　　(2 + √2) − 4 = −(2 − √2)
従って㋐㋒の解は:
　　x = [±√(2 + √2) ± i√(2 − √2)]/2　符号は四通り
同様に、㋑㋓の解は:
　　x = [±√(2 − √2) ± i√(2 + √2)]/2　符号は四通り

あるいは、多少の「幾何学的」観点を利用するなら…。 x が 1 の原始16乗根なら x⁻¹ もそうだから（そして前者と後者は偏角の符号だけが異なるので）、 t = x + x⁻¹ は共役複素数同士の和で、「1 の原始16乗根のどれか」の実部の 2 倍に等しい。仮に「1 の原始16乗根」のうち偏角が 22.5° のものを ζ とするなら:
　　ζ と ζ⁻¹ の実部は　[√(2 + √2)]/2　　㋕
　　ζ³ と ζ⁻³ の実部は　[√(2 − √2)]/2　　㋖
　　ζ⁵ と ζ⁻⁵ の実部は　[−√(2 − √2)]/2　　㋗
　　ζ⁷ と ζ⁻⁷ の実部は　[−√(2 + √2)]/2　　㋘

㋕㋘の（計四つの解の）虚部の平方は:
　　1 − (2 + √2]/4 = (2 − √2]/4
従って ζ, ζ⁷ の虚部は [√(2 − √2)]/2 で ζ⁻¹, ζ⁻⁷ の虚部はその −1 倍。同様に、残りの四つの解の虚部は [±√(2 + √2)]/2 だ。この考え方だと、x についての2次方程式㋐㋑㋒㋓を解く必要がなく、 t = x + 1/x の値が求まった時点で、答えがほぼ確定する。

既にやったように「i の平方根の平方根」を直接的に求める方が、軽やかで手っ取り早い。この問題でわざわざ4次方程式を使うのは、興味本位のお遊び。

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