遊びの数論56

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• 2026-02-23　コーシーの不等式とコーシー゠シュワルツ不等式
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2026-02-23　コーシーの不等式とコーシー゠シュワルツ不等式

#遊びの数論

コーシーは、よりにもよって、1789年8月にパリで生まれた（バスティーユ襲撃の翌月）。革命・暴動のさなかでも、赤ちゃんは生まれ、成長する――生命のたくましさ。でも、現実問題、パンがなくて大変だったという。

三角不等式と関連して、コーシーの不等式
　　(a₁b₁ + a₂b₂ + ··· + a_nb_n)² ≤ [(a₁)² + (a₂)² + ··· + (a_n)²] [(b₁)² + (b₂)² + ··· + (b_n)²]
を導入した（a₁, ···, a_n, b₁, ···, b_n は任意の実数）。しかしこの不等式、それだけ提示されると、どうも平板というか、中途半端な感じがする。大きな「森」の一部なのに「一本の木」を眺めるような感じ。

もう少し奥行きのある「コーシー゠シュワルツ不等式」の一部として、コーシーの不等式を再検討してみたい。

n 項から成る実数の数列が 2 種類あるとする:
　　第一の数列　a₁, a₂, ···, a_n
　　第二の数列　b₁, b₂, ···, b_n
このとき、同じ番号の項同士の積を足したもの
　　a₁b₁ + a₂b₂ + ··· + a_nb_n
は、あまり大きくなれないよ、というのがコーシーの不等式。具体的には、次の積を超えられない:
　　 ≤ √[(a₁)² + (a₂)² + ··· + (a_n)²]⋅√[(b₁)² + (b₂)² + ··· + (b_n)²]

両辺を平方して、
　　(a₁b₁ + ··· + a_nb_n)² ≤ ((a₁)² + ··· + (a_n)²)⋅((b₁)² + ··· + (b_n)²)　　㋐
のように書いてもいい（簡潔化のため 2 番の項を省いた）。標語的に言えば「積の和の平方は、平方和の積を超えない」。

感覚的には、三角不等式の「チームプレーでは、個人のポテンシャルが100%発揮されにくい」というのと似ている。つまり、平方するなら、個々に平方（個人プレー）してから足した方がポテンシャルが大きく、先に足してから（チームプレー）平方すると、多かれ少なかれ、チーム内で「足の引っ張り合い」が生じる。実数の平方は絶対値の平方なので、似てるのは当たり前かも…

平方してないバージョンも有用で、特に n = 2 の場合の
　　a₁b₁ + a₂b₂ ≤ √[(a₁)² + (a₂)²]⋅√[(b₁)² + (b₂)²]
は、三角不等式の手っ取り早い証明を与えてくる――あるいは、同じことだが、変数名を簡略化して:

ac + bd ≤ √(a² + b²)⋅√(c² + d²)

コーシーの不等式の証明は難しくないけれど、以下ではそれ単体を証明するのではなく、違う角度から考えてみたい。

仮にコーシーの不等式が証明済みとして、そこから何が言えるか、あるいはどんな拡張が可能か？　コーシーの不等式の明らかな制約は、話が実数限定ということだ。とはいえ、不等式は大小の比較なので a₁, ··· , a_n, b₁, ··· , b_n そのものを複素数にするわけにはいかない。やるとしたら、各複素数の絶対値（それは 0 以上の実数で、大小の比較が可能）を考える必要がある。

今、任意の複素数 w₁, ··· , w_n が与えられ、それぞれ絶対値が a₁, ··· , a_n だとしよう。 |w₁| = a₁, |w₂| = a₂ のように。同様に、複素数 z₁, ··· , z_n の絶対値を b₁, ··· , b_n としよう。このような絶対値たちも実数には違いないので、当然㋐を満たす。「複素数の絶対値」というスタイルで㋐を書くと:
　　(|w₁|⋅|z₁| + ··· + |w_n|⋅|z_n|)² ≤ (|w₁|² + ··· + |w_n|²)⋅(|z₁|² + ··· + |z_n|²)
「絶対値の積は積の絶対値」なので、左辺を次のように短く書くことができる:
　　(|w₁z₁| + ··· + |w_nz_n|)² ≤ (|w₁|² + ··· + |w_n|²)⋅(|z₁|² + ··· + |z_n|²)　　㋑

さて、三角不等式から
　　|w₁z₁ + ··· + w_nz_n| ≤ |w₁z₁| + ··· + |w_nz_n|
が成り立つ。両辺を平方して:
　　| w₁z₁ + ··· + w_nz_n |² ≤ (|w₁z₁| + ··· + |w_nz_n|)²
これを㋑と組み合わせて、
　　| w₁z₁ + ··· + w_nz_n |² ≤ (|w₁|² + ··· + |w_n|²)⋅(|z₁|² + ··· + |z_n|²)　　㋒
を得る。

㋒は、コーシー゠シュワルツ（Cauchy–Schwarz: コシ゠シュヴァーツ）不等式と呼ばれるものの一種で、実数限定のコーシーの不等式を、一応、複素数の世界に拡張している。といっても、㋐に含まれる ( )² を全部 | |² に置き換えただけ。逆に、もし複素数についての不等式㋒が証明されているなら、コーシーの不等式㋐は、その特別な場合として簡単に導出される――そのためには、単に
　　r が実数なら |r|² = r²　　㋓
ということを示せばいい。実際、 w たち z たちが全部実数なら、㋓によって㋒の右辺は㋐の右辺に一致するし、そのとき w₁z₁ + ···  + w_nz_n も実数なので、㋓によって㋒の左辺は㋐の左辺に一致する。㋓が成り立つことは、直観的には当たり前。 r が 0 以上なら |r| = r だし、 r が負（−r が正）なら |r| = −r なので、いずれにしても
　　|r| = ±r
であり、その両辺を平方すれば、
　　|r|² = (±r)² = r²
だ。

この「当たり前」のことを一応、第一原理から導出しておく。任意の複素数 t = r + si について（r, s: 実数）、複素数の絶対値の定義から:
　　|t| = √(r² + s²)　両辺を平方して
　　|t|² = r² + s²　　㋔
実数は「虚部が 0 の複素数」と解釈可能。もし虚部 s が = 0 なら t = r + 0i = r であり、㋔はこうなる:
　　|r|² = r² + 0² = r²　∎

コーシーの不等式と㋒がほとんど同値であることが分かった。この観点からすると、コーシーの不等式を使わずに、別経路から㋒を証明したい。それができれば、コーシーの不等式は㋒の特別な場合として、自動的に証明されるであろう。

ここで「ビネの恒等式」を導入する。複素数の数列（いずれも n 項）が、4種類あるとしよう:
　　甲　a₁, a₂, ···, a_n
　　乙　b₁, b₂, ···, b_n
　　丙　x₁, x₂, ···, x_n
　　丁　y₁, y₂, ···, y_n

次の2種類の式は、それぞれ二つの（n 項の）因子から成る。各因子は、甲（または乙）と丙（または丁）の「積の和」。
　　P:　(a₁x₁ + a₂x₂ + ··· + a_nx_n)(b₁y₁ + b₂y₂ + ··· + b_ny_n)
　　Q:　(a₁y₁ + a₂y₂ + ··· + a_ny_n)(b₁x₁ + b₂x₂ + ··· + b_nx_n)

P, Q は巨視的には同じ構造を持つが、両者を細かく比較すると、何が同じで何が異なるか。試しに n = 3 のケースを考えてみる:

P = (a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃)(b₁y₁ + b₂y₂ + b₃y₃) を展開すると、
　　a_jx_j⋅b_ky_k
の形の 9 項が生じる（j, k はそれぞれ 1, 2, 3 のどれかで、 3 × 3 通りの組み合わせが、総当たり的に 1 回ずつ）。

同様に、 Q = (a₁y₁ + a₂y₂ + a₃y₃)(b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃) を展開すると、
　　a_jy_j⋅b_kx_k
の形の 9 項が生じる。

P と Q の各 9 項を（積の順序を無視して）比較すると、どちらも
　　a₁b₁x₁y₁, a₂b₂x₂y₂, a₃b₃x₃y₃
の 3 項を含むが（j = k のケース）、それ以外の各 6 項は一致しない。 P には
　　a_jb_kx_jy_k　の形の 6 項（j ≠ k）　　【jkjk】
が含まれるが Q にはそれらがないし、 Q には
　　a_jb_kx_ky_j　の形の 6 項（j ≠ k）　　【jkkj】
が含まれるが P にはそれらがない。

〔注〕　変数名 a, b, x, y は重要ではない。それら四つの変数に付いている添え字に注目すると、一方は (j, k, j, k) で他方は (j, k, k, j) だ。

Q を加工して P を作るとしたら、 Q に【jkjk】の 6 項（P にはあるが Q には不足している）を足して、さらに【jkkj】の 6 項（Q にはあるが P には不要）を引けばいい。次のように、【jkjk】の 6 項を二つの種類に分けることができる:
　　j が k より小　a₁b₂⋅x₁y₂, a₁b₃⋅x₁y₃, a₂b₃⋅x₂y₃　　【ア】
　　j が k より大　a₂b₁⋅x₂y₁, a₃b₁⋅x₃y₁, a₃b₂⋅x₃y₂　　【イ】
同様に【jkkj】の 6 項は:
　　j が k より小　a₁b₂⋅x₂y₁, a₁b₃⋅x₃y₁, a₂b₃⋅x₃y₂　　【ウ】
　　j が k より大　a₂b₁⋅x₁y₂, a₃b₁⋅x₁y₃, a₃b₂⋅x₂y₃　　【エ】

そして P = Q + 【jkjk】 − 【jkkj】 の 【jkjk】 − 【jkkj】の部分を
　　R = [(a₁b₂ − a₂b₁)(x₁y₂ − x₂y₁)] + [(a₁b₃ − a₃b₁)(x₁y₃ − x₃y₁)] + [(a₂b₃ − a₃b₂)(x₂y₃ − x₃y₂)]
と書くことができる。なぜなら R 右辺の3種類の
　　[(a_小b_大 − a_大b_小)(x_小y_大 − x_大y_小)]
を展開した
　　 = a_小b_大⋅x_小y_大 − a_小b_大⋅x_大y_小 − a_大b_小⋅x_小y_大 + a_大b_小⋅x_大y_小
のうち、第1項・第4項によって、それぞれ【ア】と【イ】（の足し算）は網羅され、第2項・第3項によって、それぞれ【ウ】と【エ】（の引き算）は網羅される。つまり、トータルでは【jkjk】 − 【jkkj】と同じこと。要するに P = Q + R だ！

簡潔化のため（そして一般化を容易にするため）、 P = (a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃)(b₁y₁ + b₂y₂ + b₃y₃) を総和記号で書くと:
　　P = (∑{j=1 to 3} a_jx_j) (∑{j=1 to 3} b_jy_j)
同様に Q = (a₁y₁ + a₂y₂ + a₃y₃)(b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃) は、
　　Q = (∑{j=1 to 3} a_jy_j) (∑{j=1 to 3} b_jx_j)
となる。
　　R = [(a₁b₂ − a₂b₁)(x₁y₂ − x₂y₁)] + [(a₁b₃ − a₃b₁)(x₁y₃ − x₃y₁)] + [(a₂b₃ − a₃b₂)(x₂y₃ − x₃y₂)]
を総和記号で書く方法は少しトリッキーだが、三つの [ ] 内は
　　(a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)
の形で、 j = 1 or 2 であること、そして k は j より大きいこと（ただし 3 以下）から、こう表現できる:
　　∑{j=1 to 2} ∑{k=j+1 to 3} (a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)　　★
しかし、こう書いた方がシンプルで分かりやすい:
　　∑{for 1≤j<k≤3} (a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)
この場合、 ∑ の下の条件によると j は1 以上、 3 以下の数 k 未満なので、 j = 1 or 2 であり、 k は j より大きく 3 以下なので、全体として ★ と全く同じ意味。 2 種類のインデックス j, k の範囲を一つの不等式にまとめることで、二重の総和記号と同じ内容を一つの ∑ で表記した。

要するに、 P = Q + R を総和記号で書くと、こうなる:
　　(∑{j=1 to 3} a_jx_j) (∑{j=1 to 3} b_jy_j) = (∑{j=1 to 3} a_jy_j) (∑{j=1 to 3} b_jx_j) + ∑{for 1≤j<k≤3} (a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)

上記では P, Q のインデックス j, k を 1, 2, 3 に固定したが、項数がいくつあっても全く同様。インデックスが 1 から n までとすると、 P と Q から生じる a_jb_kx_jy_k ないし a_jb_kx_ky_j の形の各項は、 j = k の場合だけ P, Q に共有され、 j ≠ k の場合には共有されない。共有されない項のうち、 P にあって Q にないものに + を付け Q にあって P にないものに − を付けて、それら全体を R とすると P = Q + R が成り立つ。 R の各項、つまり
　　+a_jb_kx_jy_k　ないし　−a_jb_kx_ky_j
は（j ≠ k）、
　　(a_小b_大 − a_大b_小)(x_小y_大 − x_大y_小)　　‥‥①
の形の積の和として、簡潔に表現される（ここで「小」は 1 以上「大」未満。「大」は「小」より大きく n 以下）。なぜなら j ≠ k のとき、
　　+a_jb_kx_jy_k　は　+a_小b_大x_小y_大　または　+a_大b_小x_大y_小
であり、
　　−a_jb_kx_ky_j　は　−a_小b_大x_大y_小　または　−a_大b_小x_小y_大
だ。実際 j ≠ k ってことは j が「小」で k が「大」か、あるいは j が「大」で k が「小」かのどっちか。上記の「または」は、この「あるいは」に当たる。そして①を展開すれば、これらの各項が過不足なく生じる。

結局、 n = 3 の場合の上記の式は、単に 3 を n に置き換えるだけで一般化され、こうなる:

ビネの恒等式（Jacques Binet, 1812） — cf. TAOCP I, §1.2.3, Ex. 30
　　(∑{j=1 to n} a_jx_j) (∑{j=1 to n} b_jy_j) = (∑{j=1 to n} a_jy_j) (∑{j=1 to n} b_jx_j) + ∑{for 1≤j<k≤n} (a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)

これが成り立つことは上記の観察により一応確認済みだが、証明の形で再整理しておく。

証明　j, k はどちらも区間 [1, n] を動くものとし、表記の簡潔化のため範囲指定を省く。与式の左辺は
　　(∑{for j a_jx_j) (∑{for k b_ky_k) = ∑{for j,k} a_jb_kx_jy_k　　‥‥②
に等しい。与式の右辺第1項は
　　∑{for j,k} a_jb_kx_ky_j
に等しく、第2項は
　　∑{for j<k} [(a_jb_kx_jy_k + a_kb_jx_ky_j) − (a_jb_kx_ky_j + a_kb_jx_jy_k)] = ∑{for j≠k} a_jb_kx_jy_k − ∑{for j≠k} a_jb_kx_ky_j
に等しいので、与式の右辺は次の値を持つ:
　　∑{for j,k} a_jb_kx_ky_j − ∑{for j≠k} a_jb_kx_ky_j + ∑{for j≠k} a_jb_kx_jy_k
　　 = ∑{for j=k} a_jb_kx_ky_j + ∑{for j≠k} a_jb_kx_jy_k　　‥‥③
j = k のとき a_jb_kx_ky_j = a_jb_kx_jy_k なので、③は②に等しい。∎

③の等号の根拠。③の左辺第1項・第2項の総和は、どちらも a_jb_kx_ky_j の形の項の和。前者では j, k は任意で、範囲内の可能な組み合わせが総当たり的に生じる。後者では、そのうち j ≠ k の項だけを扱う。前者から後者が引き算（除去）されるのだから、結果として、範囲内の可能な組み合わせのうち j ≠ k 以外の（要するに j = k の）ものだけが残る。従って、③の右辺の最初の総和では j と k は等しい値を取りつつ変化する。よってこの部分に関する限り、 a_jb_kx_ky_j を例えば a_jb_jx_jy_j と書いてもよく、 a_jb_kx_jy_k と書いてもよい。

ビネの恒等式
　　(∑ a_jx_j)(∑ b_jy_j) = (∑ a_jy_j)(∑ b_jx_j) + ∑ (a_jb_k − a_kb_j)(x_jy_k − x_ky_j)
において各 a_j を任意の複素数、対応する x_j を a_j の共役複素数 (a_j)^* とすると、
　　∑ a_jx_j = ∑ a_j(a_j)^* = ∑ | a_j |²
であり、同様に各 b_j を任意の複素数、対応する y_j をその共役とすると、
　　∑ b_jy_j = ∑ b_j(b_j)^* = ∑ | b_j |²
だ。ゆえに、このとき恒等式の左辺は次の値を持つ:
　　(∑ | a_j |²) (∑ | b_j |²)　　【左】

上記と同じ仮定において、 a_jy_j = a_j(b_j)^* と b_jx_j = x_jb_j = (a_j)^*b_j も共役。すなわち、
　　∑ a_jy_j = ∑ a_j(b_j)^*　と　∑ b_jx_j = ∑ (a_j(b_j)^*)^*
は互いに共役。ゆえに、恒等式の右辺第1項は、次の値を持つ:
　　{∑ a_j(b_j)^*} {∑ a_j(b_j)^*}^* = | ∑ a_j(b_j)^* |²　　【右1】

a_jb_k − a_kb_j と x_jy_k − x_ky_j = (a_j)^*(b_k)^* − (a_k)^*(b_j)^*  も互いに共役なので、恒等式の右辺第2項は、次の値を持つ:
　　∑ (a_jb_k − a_kb_j)(a_jb_k − a_kb_j)^* = ∑ | a_jb_k − a_kb_j |²　　【右2】

【左】は【右1】と【右2】の和だが、これら三つの要素はいずれも 0 以上の実数。
　　【左】 = 【右1】 + (0 以上の実数)
ということから、【左】は【右1】に等しいか、または【右1】より大きい:
　　(∑ | a_j |²) (∑ | b_j |²) ≥ | ∑ a_j(b_j)^* |²
b_j の絶対値と (b_j)^* の絶対値は等しいので、左辺をこう書き換えても、値は変わらない:
　　(∑ | a_j |²) (∑ | (b_j)^* |²) ≥ | ∑ a_j(b_j)^* |²
論理的には必要ないが、式をすっきりさせるため (b_j)^* をあらためて b_j と呼ぶことにすると:
　　(∑ | a_j |²) (∑ | b_j |²) ≥ | ∑ a_jb_j |²　　‥‥④

具体例。総和が 2 項の場合（n = 2）、④は次の形になる。
　　(|A|² + |B|²)(|X|² + |Y|²) ≥ |AX + BY|²
この不等式が正しいことは、次のように、直接確かめられる。すなわち、
　　(|AY| − |BX|)² ≥ 0　つまり
　　|AY|² + |BX|² ≥ 2 |AY⋅BX| = 2 |AX⋅BY|
は明白。その両辺に |AX|² + |BY|² を足して、
　　(|A|² + |B|²)(|X|² + |Y|²) ≥ (|AX| + |BY|)² ≥ |AX + BY|²
を得る。最後の不等号は、三角不等式 |AX| + |BY| ≥ |AX + BY| による（その両辺を平方）。

∑ の範囲を明示すると、④はこうなる。

ビネの恒等式から派生する命題
任意の複素数 a₁, ···, a_n, b₁, ···, b_n は、次の関係を満たす（いわゆる Cauchy–Schwarz 不等式）。
　　( ∑{j=1 to n} | a_j |² ) ( ∑{j=1 to n} | b_j |² ) ≥ | ∑{j=1 to n} a_j b_j |²
特に、各 a_j, b_j が実数の場合には、こうなる（Cauchy の不等式）:
　　( ∑{j=1 to n} ( a_j )² ) ( ∑{j=1 to n} ( b_j )² ) ≥ ( ∑{j=1 to n} a_j b_j )²

コーシーの不等式に関する限り、なかなか眺めの良い展望台だ！　つまり、コーシーの不等式とは、複素数版「コーシー゠シュワルツ」において、変数を実数に限定し、絶対値記号を外したものに当たる。のみならず、ビネの恒等式から「コーシー゠シュワルツ」を導出すると、「積和の平方は、平方和の積を超えられない」という一般論だけで終わらず、個々のケースにおいて「積和の平方は、平方和の積に比べ、どのくらい小さいか」が、自然に明示される（【右2】。ただし (b_j)^* を b_j と改名したので、【右2】の b_j を (b_j)^* に読み替える必要がある）。

複素数バージョンは、より広い意味での「コーシー゠シュワルツ」の一例に過ぎないし、ビネの恒等式は、行列に関するある種の公式の特別な場合に過ぎない。依然として、中途半端といえば中途半端…。論理的には、
　　ビネの恒等式　⇒　「コーシー゠シュワルツ」　⇒　コーシーの不等式
なので「コーシー゠シュワルツ」は「コーシーの不等式」の上位バージョンといえる。最初に記したように、
　　コーシーの不等式と三角不等式　⇒　「コーシー゠シュワルツ」
でもあるから、三角不等式を前提とするなら、コーシーの不等式と「コーシー゠シュワルツ」（複素数バージョン）は同値、ということになる。

Schwarz と片仮名表記しようとすると「シュワルツ、シュヴァルツ、シュヴァーツ」のような表記の揺れが生じ得る。ドイツ語系の名前 Schwarz 自体にも表記の揺れがある――「t のない Schwarz」（ドイツ語の普通名詞では「黒」という意味）と「t のある Schwartz」の、どちらも一般的な名字だろう。 Cauchy–Schwarz 不等式として名を残す Hermann Schwarz (1843–1921) は、「黒」の Schwarz で t がない。ドイツの数学者とされるが、正確に言うと、現在のポーランドに当たる場所（ポーランド・チェコ・ドイツ三国の境界近く^†）で生まれたのだという。

† https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Map/#Sobieszow