遊びの数論60

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• 2026-05-21　指標としてのルジャンドル記号
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2026-05-21　指標としてのルジャンドル記号

mod 11 の 11 種の数のうち、 11 の倍数を除く 10 種
　　1, 2, 3, ···, 10
のそれぞれは、順序の違いを無視すれば
　　2⁰, 2¹, 2², ··· , 2⁹　あるいは同じことだが　2¹, 2², 2³, ··· , 2¹⁰
の形の 10 個の数によって、過不足なく表現される。例えば、
　　2⁴ = 16 ≡ 5 (mod 11)
なので、この場合 5 という数は、指数（インデックス） 4 に対応:
　　Ind 5 ≡ 4 (mod 10)

さて 2⁰ = 1, 2² = 2, 2³ = 4, ··· であるが、 mod の 11 は素数なので、フェルマーの小定理から
　　2¹⁰ ≡ 1, 2¹¹ ≡ 2, 2¹² ≡ 4, ·· ·
でもある。 x が 1 ずつ増えるときの 2^x の値は、周期 10 で同じパターン（1, 2, 4, 8, 5, ·· ·）の繰り返し。特に「x 乗される数」の 2 は（2 に限らず 10 の倍数以外の任意の整数は）、 10 乗されると ≡ 1 に戻るという性質を持つ―― mod 11 の世界では。

普通の数の世界にも「10乗されると = 1 になる数」（1 の10乗根）がある。例えば y = 1 や y = −1 は、明らかに y¹⁰ = 1 を満たす。その他にも（一見しただけでは分からないかもしれないけど）、
　　(1/4)(−1 + √5) + (i/4)√(10 + 2√5)
などの「1 の原始5乗根」や、
　　(1/4)(1 + √5) + (i/4)√(10 − 2√5)
などの「1 の原始10乗根」も、 10 乗されると = 1 になる^†。

10乗されると ≡ 1 になる「11 の原始根」（例えば 2）の代わりに、10乗されると 1 になる「1 の10乗根」（例えば −1）を使ってみたらどうかしら――という素朴な発想が、奥の深い世界への入り口となる。

†　これらの根号表現はやや複雑だが、指数関数を使えば、簡単に e^2πi/5 ないし e^2πi/10 と書ける。一般に d 乗されると 1 になる数（1 の d 乗根）の代表例は ζ = e^2πi/d と表現可能（d ≥ 1）。任意の整数 c に対して ζ^c = e^2πic/d は、どれも同じ性質（ζ^c = 1）を持つ（c = 1 の場合が ζ）。

11 の倍数を除く mod 11 の各種の数 N について、それぞれの指数 x ≡ Ind N (mod 10)^† を考える（表3参照）。 −1 ――それは 1 の10乗根の一つである――の x 乗を、 N に対応する「指標」とすると、次の通り。

†　mod 11 の世界のインデックス（指数）は mod 10。一般に mod p の世界のインデックスは mod p − 1。

この場合、指標（の値）は 1 または −1 で、 1 ならば N は平方剰余、 −1 ならば非剰余（mod 11 において）。例えば N = 3 に対して r² ≡ 3 (mod 11) は解を持つが（5² = 25 ≡ 3）、 N = 6 に対して r² ≡ 6 (mod 11) は解を持たない。

当然だ――この指標が 1 ⇔ 指数 x が偶数 2k なので、そのとき N ≡ 2^2k ≡ (2^k)² は r ≡ 2^k の平方。指標が −1 ⇔ 指数が奇数のときは、同様のことが成り立たない。オイラーの基準で判定するなら、もし指数が偶数 2k なら p = 11 を法として:
　　N ≡ 2^2k　⇒　N^(11−1)/2 ≡ (2^2k)⁵ ≡ (2¹⁰)^k ≡ 1
右端の ≡ は、フェルマーの小定理による。一方、もし指数が奇数 2k + 1 なら:
　　N ≡ 2^2k+1　⇒　N^(11−1)/2 ≡ (2^2k+1)⁵ ≡ (2^2k⋅2)⁵ ≡ (2¹⁰)^k⋅2⁵ ≡ 1⋅2⁵ ≡ −1
2 は 11 の原始根なので 10 乗して始めて ≡ 1 になり、 2⁵ ≢ 1。

すなわち、この指標 (−1)^x = (−1)^Ind N は、
　　Legendre 記号　(N/11)
と同じ値を持つ！　Legendre 記号は、指標の一種（少なくともこの場合においては）。

1 の10乗根 ζ は 10 種類ある。そのうち ζ = −1 を選択すると Legendre 記号と同等になるとしても、それは「指標」の世界の氷山の一角に過ぎない。とはいえ、それはそれで重要な事実だし、最初から全体像を把握しようとするのは困難だろう。とりあえず、簡単な具体例で様子を見てみたい。

上記の例では mod 11 の世界の全種類の数（11 の倍数を除く）に、原始根 ɡ = 2 を底（てい） とするインデックスを付けた。つまり mod 11 の数 N を N ≡ 2^x の形で表した。 11 の倍数は mod 11 では ≡ 0 であり、 x としてどんな整数を選んでも
　　2^x ≡ 0 (mod 11)
にはできないので、 11 の倍数が除外されること（インデックスが付けられないこと）は当然だろう。

それは、次の（当たり前の）ことと、似ている――つまり x にどんな実数（あるいは複素数）を入れても
　　2^x = 0
は、成り立たない。言い換えれば
　　log₂ 0
は、定義されない。

ところで ɡ = 2 は 11 の原始根（複数ある）の一つに過ぎない。そのような「勝手に選んだ」一つの原始根 ɡ = 2 を基準とするインデックス x ≡ Ind N を使って、等式
　　(N/11) = (−1)^Ind N
が成り立つと主張する場合、当然ながら「それは ɡ という数の選択にもよるのでは？」という疑念が生じる。

この点を検討してみたい。

11 の原始根 ɡ は（2 がその例だが）、正の指数としては、 10 乗されて初めて ≡ 1 (mod 11) になる。言い換えると、
　　2¹, 2², 2³, ···, 2¹⁰
の 10 個の数は mod 11 でどれも不合同（11 で割った余りが異なる）。 2¹⁰ が ≡ 1 になることは、フェルマーの小定理によって保証されている。 11 の原始根として 2 以外にどんな選択肢があるだろうか。例えば 2² = 4 を候補と考えたとしても 5 乗するだけで ≡ 1 になってしまう。つまり 4 は原始根ではない:
　　4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ ≡ 1

実際 4⁵ = 1024 = 990 + 34 だが、 990 は 11 で割り切れる。残りの 34 を 11 で割ると 1 余る。

同様に 2⁵ = 32 ≡ −1 は 2 乗するだけで ≡ 1 になってしまうので、原始根ではない。一般に ɡ が「10 乗して初めて ≡ 1 になる数」のとき、もし a が 10 の約数 2 や 5 だとしたら、 ɡ^a は 10/a 乗するだけで ≡ 1 になってしまい、原始根の条件を満たさない。のみならず ɡ⁴ も駄目。だって 5 乗するだけで、
　　(ɡ⁴)⁵ = ɡ²⁰ = (ɡ¹⁰)² ≡ 1² = 1
になってしまう。同様の理由から ɡ⁶ や ɡ⁸ も駄目。一般に:

定理5　ɡ が（正の）素数 p の原始根のとき――つまり ɡ が「p − 1 乗されて初めて ≡ 1 (mod p) になる数」のとき――、もし a が p − 1 の（2 以上の）約数だとしたら ɡ^a は原始根ではない。 a が p − 1 の約数ではないとしても、 a と p − 1 が（2 以上の）公約数を持つとしたら ɡ^a は原始根ではない。

証明　a と p − 1 の最大公約数を d とする。 a = dm, p − 1 = dn と書くことができる。ここで m, n は整数。最後の等式から n = (p − 1)/d なので、もし d が 2 以上なら、 n は p − 1 より小。さて、
　　an = (dm)n = (dn)m = (p − 1)m
なので、 a という数を n 倍すると p − 1 の倍数になる。そのことから、
　　(ɡ^a)ⁿ = ɡ^an = ɡ^(p−1)m = (ɡ^p−1)^m ≡ (1)^m (mod p)
であり、 ɡ^a は n 乗されると ≡ 1 になる。従って、もし n が p − 1 より小さいのなら、 ɡ^a は原始根の条件を満たさない。∎

一方、もし a と p − 1 が 2 以上の公約数を持たないなら（つまり両者が互いに素なら）、 ɡ^a は n = p − 1 乗されて初めて ≡ 1 になる。よって、 ɡ が p の一つの原始根なら、
　　ɡ¹, ɡ², ···, ɡ^p−1
のうち、指数が p − 1 と互いに素なものは、どれも p の原始根（そして p には、それ以外の種類の原始根はない）。 mod 11 の場合、原始根 ɡ = 2 を例とすると、
　　2¹, 2², ···, 2¹⁰
のうち、次の四つだけが原始根:
　　2¹ = 2　と　2³ = 8　と　2⁷ = 128 ≡ 7　と　2⁹ = 512 ≡ 6 (mod 11)

mod 11 において 8 を底とする指数を Ind₈ で表すと:
　　8¹ = 8　よって　Ind₈ 8 = 1
　　8² = 64 ≡ 9　よって　Ind₈ 9 = 2
　　8³ = 512 ≡ 6　よって　Ind₈ 6 = 3
　　　︙

従来の 2 を底とする指数を Ind₂ で表し、両者を比較すると表7の通り。

一見ランダムにシャッフルされているようだが、明確なパターンがある。 8 = 2³ なので、 N = 8^x なら N = (2³)^x = 2^3x だ。つまり 8 を底とする指数と比べると、 2 を底とする指数は、ちょうど 3 倍。 N ≡ 8, 9, 6 の欄を見ると、確かに Ind₈ N ≡ 1, 2, 3 に対して Ind₂ N ≡ 3, 6, 9 で、それぞれインデックスが 3 倍されている。 Ind₂ N の欄の数値の 3 倍が 10 以上になる場合も理論的には全く同様だが、 mod 11 のインデックスは 10 を法とするので、 12 ≡ 2 (mod 10), 15 ≡ 5 (mod 10) のように 10 で割った余りで簡約可能。

要するに Ind₈ の欄の各数を 3 倍した数の 1 の位が、 Ind₂ の欄に記されている！　式で書けば:
　　Ind₂ N ≡ 3 Ind₈ N (mod 10)

ここで変換の係数 3 は、
　　8 ≡ 2³　つまり　Ind₂ 8 ≡ 3 (mod 10)
に由来する。より一般的に、 ɡ と h をどちらも素数 p の原始根だとして、 Ind_ɡ のインデックスを Ind_h のインデックスに変換したいとしよう。 ɡ は原始根なので、あらゆる種類の数（≡ 0 のものを除く）が ɡ^x の形で表現可能。よって
　　ɡ^a ≡ h (mod p)　　‥‥①
を満たす a が存在する（h も原始根なので h ≢ 0）。このとき:
　　N ≡ h^b　ならば　N ≡ (ɡ^a)^b = ɡ^ab (mod p)
　　∴　Ind_h N ≡ b　ならば　Ind_ɡ N ≡ ab (mod p − 1)　　‥‥②

②では b ≡ Ind_h N (mod p − 1) と仮定している。①は a ≡ Ind_ɡ h (mod p − 1) を含意するので、結局②は次を意味する:
　　Ind_ɡ N ≡ ab ≡ a Ind_h N ≡ (Ind_ɡ h)(Ind_h N) (mod p − 1)　　‥‥③

つまり、与えられた数 N について、もともとの底 ɡ を基準とした N のインデックス Ind_ɡ N は、新しい底 h を基準としたインデックス Ind_h N から見ると、 Ind_ɡ h 倍である。 mod 11 において Ind₂ N は Ind₈ の 3 倍だったように（3 = Ind₂ 8）。

③の両辺を Ind_h N で割って、左辺と右辺を入れ替えると:

Ind_h N ≡ (Ind_ɡ N)/(Ind_ɡ h) (mod p − 1)

ここで 1/(Ind_ɡ h) は mod p − 1 における Ind_ɡ h の逆数を表す。仮定により h は原始根なので、定理5により h = ɡ^a の a は――すなわち Ind_ɡ h は―― p − 1 と互いに素（2 以上の公約数を持たない）。よって p − 1 を法として a の逆数が存在する。［ちなみに、上記の変換公式は、 log の底の変換公式
　　log_B A = (log_e A)/(log_e B)
と全く同じ形式。 Ind も対数（離散対数）の一種なので、普通の対数と同様の性質を持つのは、不思議ではない。］

今 p を 5 以上の（従って奇数の）素数とする。もし最初に記したように、 1 の p − 1 乗根として −1 を選んだときの指標が、原始根の選び方と無関係に一貫して Legendre 記号の値と一致するとしたら、 p の倍数以外の任意の数 N について、次の性質が成り立つ必要がある。すなわち、「p の一つの原始根 h を基準としたインデックス y と、（別の種類の）原始根 ɡ を基準としたインデックス x のどちらを使っても、 (−1)^x と (−1)^y の値は等しい」、言い換えれば「2種類のインデックス Ind_ɡ N, Ind_h N は、偶奇が一致する」。そのことは、次のように証明される。

仮定により p − 1 は偶数なので、③は、
　　Ind_ɡ N ≡ a Ind_h N (mod 2)
を含意する。この a は、偶数 p − 1 と互いに素なので、奇数。よって上の式の左辺は、 Ind_h が偶数か奇数かに応じて、偶数ないし奇数になる。原始根 ɡ, h の選択は任意なので、 ɡ と h の値を入れ替えても（旧 ɡ を h として、旧 h を ɡ とする）、今述べたことがそのまま成り立つ。結局、これら2種類の原始根に関連して、一方のインデックスが偶数か奇数かに応じて、他方のインデックスも偶数ないし奇数になる。

最後に p = 3 の場合には、原始根は 1 (mod 3) の1種類しか存在しない。よって「底の変換」が生じる余地はない。

結論。 p が 3 以上の素数のとき、 Legendre 記号の値 (N/p) は、指標 (−1)^Ind N と一致し、そのことは Ind N の基準となる原始根の選択に依存しない。ここで N は、 p の倍数以外の任意の整数。