遊びの数論62　第一種スターリング数

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前のページ（『遊びの数論61』）から引き続き、グレイシャー（Glaisher）の Congruences relating to the sums of products of the first n numbers を読んでます。読み始めたら、好奇心を刺激され、かなり夢中モード（笑）。今で言う「スターリング数」ですが、その用語が生まれる少し前、19世紀末の論文。途中で必要に迫られ、二項係数に関する Lucas の定理を導入――この定理はシンプルで美しく、基礎的で応用の利く内容です。それ以外の部分は、かなりマイナーでマニアックな話題かも。内容自体は初等的で、特に高度な知識が必要なわけでもないのですが。

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• 目次。約6の項目があります。2026などの数字は、メモの日付です。
• 2026-06-18　博士の愛した公式（その2）
• 2026-06-20　「二項係数」を斬る！　余りの下克上
• 2026-06-23　ウィルソンの定理の証明（ラグランジュ）の応用　逆三角の倍数列島
• 2026-07-01　ウィルソンの定理の拡張　猫は気まぐれ
• 2026-07-04　上側インデックス 2p の第一種スターリング数
• 2026-07-05　上側 2p のスターリング（承前）　いい気持ちで眠れる証明
• 目次の終わり。このページの最初の項目が続きます。

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2026-06-18　博士の愛した公式（その2）

Glaisher の「4乗数を法とする合同式」のうち、 S_k(N) の N が偶数（N + 1 が奇数）の場合に関するものは、スターリング数を使うと、こう要約できる。いわく p が奇素数なら、 0 以上の任意の（ただし (p − 3)/2 を除く）整数 q に対して、次が成り立つ。
　　[p S 2q] ≡ pq⋅[p S 2q + 1] (mod p⁴)

前回は N が偶数の場合について記した。今回は N が奇数（N + 1 が偶数）の場合について、入り口の部分を記す。

N = 2h − 1 が奇数の場合の S_k(N) の σ 表現を引用する。 k = 2t が偶数のケース（§11）と k = 2t + 1 が奇数のケース（§12）。いずれも、
　　σ_j = σ_j(h − 1; 2h), L = 2h (= N + 1), μ = h − t
とする。

S_2t(2h − 1) = σ_t + [μ²/2!]⋅L²⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ²(μ − 1)/4!]⋅L⁴⋅σ_t−2 + [(μ + 2)(μ + 1)μ²(μ − 1)(μ − 2)/6!]⋅L⁶⋅σ_t−3 + ···

S_2t+1(2h − 1) = (μ − 1/2){Lσ_t + [μ(μ − 1)/3!]⋅L³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)(μ − 2)/5!]⋅L⁵⋅σ_t−2 + ···}

第1式の (μ − 1/2)⋅L 倍
　　(μ − 1/2){Lσ_t + [μ⋅3μ/3!]⋅L³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)⋅5μ/5!]⋅L⁵⋅σ_t−2 + [(μ + 2)(μ + 1)μ(μ − 1)(μ − 2)⋅7μ/7!]⋅L⁷⋅σ_t−3 + ···}
から第2式を引くと:
　　(μ − 1/2)⋅L⋅S_2t(2h − 1) − S_2t+1(2h − 1)
　　 = (μ − 1/2){[μ⋅[3μ − (μ − 1)]/3!]⋅L³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)⋅[5μ − (μ − 2)]/5!]⋅L⁵⋅σ_t−2 + [(μ + 2)(μ + 1)μ(μ − 1)(μ − 2)⋅[7μ − (μ − 3)]/7!]⋅L⁷⋅σ_t−3 + ···}
　　 = 1/2(2μ − 1){[μ⋅[2μ + 1]/3!]⋅L³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)⋅[(2μ + 1)⋅2]/5!]⋅L⁵⋅σ_t−2 + [(μ + 2)(μ + 1)μ(μ − 1)(μ − 2)⋅[(2μ + 1)⋅3]/7!]⋅L⁷⋅σ_t−3 + ···}
　　 = 1/2(4μ² − 1){[μ⋅1/3!]⋅L³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)⋅2/5!]⋅L⁵⋅σ_t−2 + [(μ + 2)(μ + 1)μ(μ − 1)(μ − 2)⋅3/7!]⋅L⁷⋅σ_t−3 + ···}

従って (h − t − 1/2)⋅L⋅S_2t(2h − 1) と S_2t+1(2h − 1) は、もし仮に { } 内の値が因子 2 を十分多く持つなら法 L³ で合同であり、その場合、もし σ_t−1(h − 1; 2h) も L の倍数なら、法 L⁴ でも合同になるかもしれない。

しかし L = 2h は偶数であり { } 内の分母によって素因子 2 が一つ以上約されるので、 { } 内の和に、 L³ 等で割り切れるのに十分なだけの素因子 2 が残るかどうか分からないし、この { } 内全体に係数 1/2 が掛かっているので、素因子 2 の数はさらに一つ減る。従って、一般的に言うならば、上述の合同式の法は―― L³ ないし L⁴ ではなく―― h³ ないし h⁴ となる（以前、別の文脈でも同様の状況が起きた。付録Bも参照）。

L が素因子 3 を持つとしても、それが分母の 3 と約されて消えることはない。なぜなら因子 μ, 2μ + 1, 2μ − 1 のどれかは 3 の倍数で、約分に必要な 3 はそこから供給される。 { } 内の第2項以降は、十分多くの因子 L を持ち、 L の各素因子 δ (≠ 2) に関しては、 L³ が持つ素因子 δ と同じ個数以上が残る。

要するに N (= 2h − 1) が奇数で k (= 2t) が偶数の場合、 h³ を法として（一定の条件が満たされるときは h⁴ を法として）:
　　[(N + 1)/2 − k/2 − 1/2](N + 1)⋅S_k(N) ≡ S_k+1(N)　つまり
　　(N − k)(N + 1)/2⋅S_k(N) ≡ S_k+1(N)

この最後の合同式で N = L − 1, k = r − 1 と置くと、下記〘ⅲ〙を得る。ただし、任意の正整数 N について S₀(N) = 1 とし、 j > N のときは S_j(N) = 0 とする。

S_k(L − 1) に関する法が3乗数・4乗数の合同式（Glaisher [7], §59, X）
r を（L 以下の）正の奇数とする。 L が正の奇数なら:
　〘ⅰ〙　[L(L − r)/2]⋅S_r−1(L − 1) ≡ S_r(L − 1) (mod L³)
　〘ⅱ〙　特に L が素数かつ r ≠ 3 なら、上記の合同式は mod L⁴ でも成り立つ。
L = 2h が正の偶数なら:
　〘ⅲ〙　[L(L − r)/2]⋅S_r−1(L − 1) ≡ S_r(L − 1) (mod h³)
　〘ⅳ〙　上記の合同式は、しばしば mod h⁴ でも成り立つ。

r = 1 の場合、または L が奇数で r ≥ L の場合、または L が偶数で r ≥ L + 1 の場合、命題は自明。それ以外の場合について、〘ⅰ〙〘ⅱ〙は既知の命題において L = N + 1 かつ r = α + 1 と置いただけ。

Glaisher は〘ⅱ〙と似た形式で〘ⅳ〙の十分条件を記した。その問題については後述するが、多少の準備が必要。

公式 S_k(n − 1) = [n S n − k] を使って、上記の合同式を「スターリング数を使った表記」に変換すると、
　　(L(L − r)/2)⋅[L S L − r + 1] ≡ [L S L − r]
となる。 L と L − r をあらためてそれぞれ n と k と置くなら:

法が3乗数・4乗数の合同式（スターリング数について）
　　[n S k] ≡ (nk/2)⋅[n S k + 1]
この合同式は、 n が正の奇数の場合、任意の偶数 k = 0, 2, 4, ··· に対して mod n³ で有効（n が奇素数かつ k ≠ n − 3 なら mod n⁴ でも有効）。一方、 n = 2h が正の偶数の場合、任意の奇数 k = 1, 3, 5, ··· に対して mod h³ で有効（しばしば mod h⁴ でも有効）。

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2026-06-20　「二項係数」を斬る！　余りの下克上

げこくじょう【下克上・下剋上】　下の立場の者が上の立場の者をしのぎ、勢力を振るうこと。

15人の選手がいるバスケチームから、5人のスターターを選ぶ方法は 3003 通りもある:
　　(15 C 5) = (15⋅14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅3⋅4⋅5)
　　 = (14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅4) = 7⋅13⋅3⋅11 = 3003
これには優秀なコーチも悩むかも？　どの選手を起用するかもそうだが、この計算は、あまり簡単ではない。

やぶから棒だけど、この (15 C 5) の上の数 15 と下の数 5 をそれぞれ p = 7 で割ると、 15 ÷ 7 の余りは 1。 5 ÷ 7 の余りは 5。「下の余り」の方が大きい。ところで 3003 は p = 7 で割り切れる。

同じ 15 と 5 をそれぞれ p = 13 で割ると、「上の余り」は 2 で「下の余り」は 5。やはり下が大きい。ところで 3003 は p = 13 でも割り切れる！

一般に y = (n C k) の上の数 n と下の数 k をそれぞれ p で割ったとき、もし「下の余り」が「上の余り」を超えるなら（余りの下克上）、 y は p で割り切れる。ここで p は、任意の素数（1 と自分自身でしか割り切れない 2 以上の数）。 p = 2, 3, 5, 7, 11, 13 など。

この豆知識について略述。「下克上」の概念を使って、とある美しい定理を証明したい。

§1　7 × 13 = 91 は、「素数と間違えられる数」として知られる（70 を引いてみれば、残りは 21 = 3⋅7 で、 7 の倍数であることは明白だが）。特徴的な積 7 × 11 × 13 = 1001 は、 7⋅13 × 11 = 91 × 11 = 910 + 91 と考えれば納得がいく。上の数（上側インデックス）が 14 ～ 16 の二項係数は、しばしば 1001 の倍数。

(15 C 5) = (15⋅14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅3⋅4⋅5)　　ア
　　 = (14⋅13⋅12⋅11)/(1⋅2⋅4)　　← 15 ∕ 3⋅5 を約分
　　 = 7⋅13⋅3⋅11　　← 14 ∕ 2 と 12 ∕ 4 を約分
　　 = 3 × (7⋅13⋅11) = 3 × 1001 = 3003

(n C k) は「n 個の物から k 個の物を選ぶ組み合わせの数」なので整数だが、上記アのような分数の形で表現されることが多い。その分子は、 n から始まってだんだん小さくなる整数 k 個の積。
　　n(n − 1)(n − 2)···(n − k + 1)　　イ
そして分母は k! つまり「1 から k までの各整数の積」。

同じことだが、次のように通分して表記されることもある。分子イに
　　(n − k)(n − k − 1)(n − k − 2)··· 3⋅2⋅1　つまり　(n − k)!
を掛ければ、分子は全体として n! に。分母にも同じ (n − k)! を掛ければ、分数の値は変わらない。
　　(n C k) = n!/[k! (n − k)!]　　ウ

別表現ウを「15人のバスケチームから5人を選ぶ」例に適用すると:
　　(15 C 5) = 15!/[5! (15 − 5)!] = 15!/(5! × 10!)
　　 = 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9···3⋅2⋅1/[(5⋅4⋅3⋅2⋅1)(10⋅9···3⋅2⋅1)]
分子の 10⋅9···3⋅2⋅1 を分母の (10⋅9···3⋅2⋅1) と約分すれば、アと同じこと。

§2　「余りの下克上」によって、二項係数 (n C k) が p で割り切れる仕組み。一般論の前に、具体的な数値例を。

「下克上」が起きない場合から観察した方が、見通しがいい。例えば (19 C 12) = 50388 の上と下をそれぞれ p = 5 で割ると、上の余りは 4、下の余りは 2。下克上は起きず、もちろん 50388 は p = 5 で割り切れない。ウのように、
　　(19 C 12) = 19!/[12! (19 − 12)!]　　エ
と見るなら、この 18564 という数は、「分子が 19! で、分母が 12! × 6! の分数」に等しい。

エの分子 19! は、因子 5 をいくつ持つか？
　　19! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5　　カ
　　 × 6⋅7⋅8⋅9⋅10　　キ
　　 × 11⋅12⋅13⋅14⋅15　　ク
　　 × 16⋅17⋅18⋅19　　ケ
の構成要素のうち、 5 の倍数はカ・キ・クの右端の 5 と 10 と 15 だけ（ケも、あと一つ長ければ、 5 の倍数 20 を含んでいたところだが、そこまでいかず 19 で打ち切り）。よって「5 で何回割れるか？」だけを問題にするなら、
　　5 × 10 × 15 = (1⋅5)(2⋅5)(3⋅5) = 1⋅2⋅3 × 5³ = 3!⋅5³
を考えればいい。

このうち 3! の部分には因子 5 はないけど、もっと大きな数、例えば 33! を扱うなら、対応する同様の数は、
　　5 × 10 × 15 × 20 × 25 × 30 = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 × 5⁶ = 6!⋅5⁶
となり 6! の部分にも因子 5 が入り込む。一般に n を p で割った商が a のとき（余りを無視）、 n が持つ因子 p の総数は、 a!⋅p^a が持つ因子 p の総数に等しい。

同様に考えると、「因子 5 を何個持つか？」という観点では、エの分母のうち:
　　12!　は　2!⋅5²　は同等（12 ÷ 5 の商は 2）
　　(19 − 12)!　つまり　7!　は　1!⋅5¹ と同等（7 ÷ 5 の商は 1）
後者は要するに 5 だが、統一的に a!⋅p^a スタイルで表記した。これらの情報を総合すると、分数エは
　　(3!⋅5³)/(2!⋅5² × 1!⋅5¹)
と同等（「因子 5 を何個持つか？」に関して）であり、分子・分母にそれぞれ三つだけ因子 5 がある。よって、因子 5 は約分により全部消滅し、結果の整数は 5 の倍数ではない。

ここで重要なのは (19 − 12)! の部分の挙動。 p = 5 と置き、 p で割った商と余りを考えると、
　　19 = 3p + 4　そして　12 = 2p + 2
　　∴　19 − 12 = (3p + 4) − (2p + 2) = (3p − 2p) + (4 − 2)
という関係だ。 3p + 4 の後ろの 4 と、 12 = 2p + 2 の後ろの 2 は、それぞれ (19 C 12) の上と下を p で割ったときの余りに他ならない。この「下の余り」の 2 が「上の余り」の 4 を超えないからこそ、
　　(3p − 2p) + (4 − 2) = (3p − 2p) + w
の w の部分が 0 以上になる。

しかし 5 で割った余りは {0, 1, 2, 3, 4} のどれかなので、 p = 5 の場合、
　　「上の余り」と「下の余り」の差（それを w とする）
は最大で 4 − 0 = 4、最小で 0 − 4 = −4。場合によっては、負になる。 w が負になるケースとは、すなわち「下の余り」が「上の余り」を超えるケース、つまり「余りの下克上」だ！

〔注意〕　「下の余り」が「上の余り」に等しい場合（w = 0）は、下克上に含まれない。下克上が成立するためには、「下の余り」が「上の余り」を超える必要がある（w < 0）。

もし w が負の数、例えば −1 だとすると、 (3p − 2p) + w = (1⋅p) + (−1) = 0⋅p + 4 のように（p = 5 の例）、「分母が持つ因子 p の個数」が一つ少なくなる（w が 0 以上の場合と比べて）。その結果、約分の後でも分子には因子 p が残り、結果は p で割り切れる、と。

まぁ、一応そんな感じ。

§3　下克上が起きる場合・起きない場合と、その違いがもたらす影響について、もうちょいきちんと。

補助命題1　D を任意の正の整数、 p を素数とする。 D を p で割ったとき商が E で余りが F だとしよう:
　　D = Ep + F　　ここで F は 0 以上 p 未満
このとき D! が含む因子 p の個数は、
　　E!⋅p^E
が含む因子 p の個数と一致する。

証明　積 D! = 1⋅2⋅3···D を構成するちょうど D 個の整数たちを、次のように「原則として 1 行につき p 個の数」があるように、 p 個ずつ区切って考える。

【表1】　D! = (Ep + F)! の D 個の因子たちを p 個ずつ並べる

p 個 の 数 × E 行	1	2	3	···			p
	p + 1	p + 2	p + 3	···			2p
	2p + 1	2p + 2	2p + 3	···			3p
	︙	︙	︙	︙			︙
	(E − 1)p + 1	(E − 1)p + 2	(a − 1)p + 3	···			Ep
	Ep + 1	Ep + 2	Ep + 3	···	Ep + F (= D)		↑p の 倍数
	F 個だけの数 × 1 行

もし D が p で割り切れないなら（つまり余り F ≠ 0 なら）、最後に「F 個だけの因子から成る短い行」が一つできる。もし D が p 未満なら（つまり商 E = 0 なら）、そのような「短い行」しかできないが、それでもいい。 1 から D までの数のうち、因子 p を含むものは、
　　p, 2p, 3p, ···, Ep
の E 個だけ（もし E = 0 なら 0 個）。よって D! が含む因子 p の総数は、次の積が含む因子 p の総数と一致する。
　　p × 2p × 3p × ··· × Ep = (1⋅2⋅3···E)⋅p^E = E!⋅p^E

E > 0 なら、上記の関係は明白。一方、もし E = 0 なら D! が含む因子 p は 0 個だが、その場合も同じ等式は有効。実際、そのとき E!⋅p^Eは 0! = 1 と p⁰ = 1 の積に（つまり 1 に）等しいが、この 1 という数は、因子 p をちょうど 0 個含む。∎

§4　今 n, k を正の整数とする。二項係数の性質（定義）から、もし n = k なら (n C k) = 1、もし n < k なら (n C k) = 0 だが、 1 ないし 0 については「p の倍数か否か？」は考えるまでもない。そこで、以降 n > k と仮定しよう――その場合、 n − k も正の整数。

(n C k) の n を p で割ったときの商を a、 余りを u とする。 k を p で割ったときの商を b、 余りを v とする。
　　n = ap + u　　ここで u は 0 以上 p 未満
　　k = bp + v　　ここで v は 0 以上 p 未満
このとき:
　　n − k = (a − b)p + (u − v)
表記簡潔化のため c = a − b, w = u − v と置くと:
　　n − k = cp + w　　ここで w は −p < w < p の範囲の整数

仮定により商 a, b, c (= a − b) はいずれも 0 以上。

「因子 p の個数」だけを問題にするなら、補助命題1により n! は a!⋅p^a と同等で、 k! は b!⋅p^b と同等。同様に、もし仮に w = u − v が 0 以上なら、同じ補助命題により (n − k)! は c!⋅p^c と同等。その場合、
　　(n C k) = n!/[k! (n − k)!]
は、
　　(a!⋅p^a)/(b!⋅p^b × c!⋅p^c)
と同等であり、 a! と b! と c! をひとまず無視するなら、分子にも分母にも因子 p が a 個ずつある（分母のうち p^b は b 個の p を含み、 p^c = p^a−b は a − b 個の p を含む。それらの合計は a 個）。ゆえにこのケースでは、一般には、約分によって分子・分母の因子 p は全部消滅し、結果は p の倍数にならない（例外として、もし「a! が含む因子 p の個数」が「b! と c! が含む因子 p の個数の合計」を上回るなら、約分後にも因子 p が残り、結果は p の倍数）。

w = u − v が 0 以上ということは、「下の余り」 v が「上の余り」 u を超えない、ということ。下克上が起きない、ということ。

他方において、もし仮に下克上が起きて w = u − v が負なら、もはや (n − k)! は c!⋅p^c と同等にならず、 (c − 1)!⋅p^c−1 と同等になる。

なぜなら w が負なら n − k = cp + w は cp より少し小さいから、それを p で割ると、商は c より少し小さい（正確には c − 1 に等しい）。よって、その場合 (n − k)! の積を構成する整数たち 1, 2, 3, ···, n − k を 1 行につき p 個ずつ並べると、「p 個の数から成る行」が c − 1 個だけでき、 c 行目には p 個未満の数しかない。 1 から n − k までの整数のうち p の倍数は p 個ごとに最後の 1 個だから、「p 個の数から成る各行」の末端のものだけが p の倍数。つまり、その範囲の p の倍数を列挙すると:
　　p, 2p, 3p, ···, (c − 1)p
これら c − 1 個の「p の倍数」の積は (c − 1)!⋅p^c−1 に等しい。

要するに w が負の場合（＝下克上が起きた場合）、もし a! と b! と c! の影響を無視するなら、「分母が含む因子 p の個数」は「分子が含む因子 p の個数」より 1 小さいので、約分後にも因子 p が残り、結果は p の倍数。 a! と b! と c! の影響も考慮するなら、約分後に残る p の個数はさらに増える可能性があるが、減る可能性はない（※補足1）。従って「下克上 ⇒ 約分後の数は因子 p を含み p の倍数」は常に成り立つ（逆は必ずしも真ではない）。

※補足1　下記の分数の分子が（または分子と分母の両方が）因子 p を含むなら、約分後も因子 p が残る。
　　a!/(b! × c!)　すなわち　a!/[b! (a − b)!]

実際、分母 b! (a − b)! が因子 p を含むなら、分子 a! も因子 p を同じ個数以上含む。もしもそうでなかったら（つまり、もしも分母が含む因子 p の個数の方が多かったなら）、約分後の分数は 1/p などの非整数になってしまうが、それは不合理。なぜならこの分数は、二項係数
　　(a C b) = a!/[b! × (a − b)!]
であり、 a 個の物から b 個の物を選ぶ組み合わせの数。当然、整数でなければならない。

より直接的に、例えば a = 7 と b = 3 と c = a − b = 7 − 3 = 4 の場合を考えてみる。
　　a! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7
　　b! = 1⋅2⋅3　そして　c! = 1⋅2⋅3⋅4
であるから、 a!/(b! × c!) が整数であることを言うには、 b! の内容を約分した後の (4⋅5⋅6⋅7)/(1⋅2⋅3⋅4) が整数であることを言えばいい。そのためには、 4, 5, 6, 7 を適当に並び替えると、順に「1 の倍数」「2 の倍数」「3 の倍数」「4 の倍数」になることを、示せばいい。それは易しい。連続する 4 整数の中に、必ず「4 の倍数」が一つ含まれること、「3 の倍数」が一つ以上含まれること、等々は（それら各数を 4 で割った余り、 3 で割った余り、等々を考えれば）明白。 a = 7 の例に限らず、一般の場合も同様。

§5　実用上 a! と b! と c! が何の影響も持たないケースを扱うことも多いと思われる。すなわち:

n < p² の場合、「下克上」が起きるか否かだけによって、二項係数が p で割り切れるか否かを完全に判定できる。

証明　n < p² なら n を p で割った商 a は p 未満なので、 a! = 1⋅2⋅3···a は因子 p を含まない。このとき b! も c! も因子 p を含まない（仮定により b も c = a − b も a 以下だから）。よって a! と b! と c! は因子 p の個数に何の影響も与えず、「下克上」が起きるか起きないかによって、結果が決まる。∎

n < p² の条件があってもなくても、「下克上が起きれば p で割り切れる」という部分は変わらない。

二項係数 y が p で割り切れるためには、 y を表す分数の分子が含む因子 p の個数が、分母が含む因子 p の個数より、一つでも多ければいい。下克上は、この一つの差を可能にしてくれる（分母側の因子数を一つ少なくすることによって）。他方において、もし n が p² 以上で、かつ k も n − k も p² 未満なら、もともと分子が含む因子 p の個数の方が多いので、下克上が起きても起きなくても y は p で割り切れる。

〔例〕　y = (11 C 4) = (11⋅10⋅9⋅8)/(1⋅2⋅3⋅4) = 11⋅5⋅3⋅2 = (11⋅3)(5⋅2) = 330 について。
㋐　p = 11 の場合。 4 ÷ 11 による「下の余り」 4 は、 11 ÷ 11 による「上の余り」 0 を超える。下克上が起き、 y は p で割り切れる。
㋑　p = 7 の場合。 4 ÷ 7 による「下の余り」 4 は、 11 ÷ 7 による「上の余り」 4 を超えない（注: 等しい場合は「下克上」にならない）。下克上は起きず、 y は p で割り切れない。
㋒　p = 5 の場合。 4 ÷ 5 による「下の余り」 4 は、 11 ÷ 5 による「上の余り」 1 を超える。下克上が起き、 y は p で割り切れる。
㋓　p = 3 の場合。 4 ÷ 3 による「下の余り」 1 は、 11 ÷ 3 による「上の余り」 2 を超えない。下克上は起きていないが、 y は p で割り切れる。 n = 11 は p² = 9 以上なので。
㋔　p = 2 の場合。 4 ÷ 2 による「下の余り」 0 は、 2 ÷ 3 による「上の余り」 1 を超えない。下克上は起きていないが、 y は p で割り切れる。 n = 11 は p² = 4 以上なので。

§6　関連する話題として、 Glaisher による美しい定理を紹介したい。いわく n と k を p で割ったとき、それぞれ商が a, b で余りが u, v ならば、二つの整数
　　(n C k)　と　(a C b) × (u C v)
は、法 p の下で合同（つまり p で割った余りが等しい）。

次の補題を使う。

補助命題2（Glaisher [8], §3）　D を任意の正整数、 p を素数とする。
　　D = Ep + F, 0 ≦ F < p
のとき、下記の合同式が成り立つ:
　　D!/p^E ≡ (−1)^E⋅E!⋅F! (mod p)

証明　D! は、次の三つの因子の積に等しい。
　　Q₁ = 「法 p の下で 1, 2, ···, p − 1 に合同な数たち」の積 × E 組
　　Q₂ = p⋅2p⋅3p···Ep
　　Q₃ = 「法 p の下で 1, 2, ··· , F に合同な数たち」の積 × 1 組

【表2】　D! の D = Ep + F 個の因子たち（表1も参照）

	Q1						Q2
p 個 の 数 × E 行	1	2	···			p − 1	p
	p + 1	p + 2	···			2p − 1	2p
	2p + 1	2p + 2	···			3p − 1	3p
	︙	︙	︙			︙	︙
	(E − 1)p + 1	(E − 1)p + 2	···			Ep − 1	Ep
Q3	Ep + 1	Ep + 2	···	Ep + F (= D)

Q₁ の各組の数は p を法として ≡ −1 なので（Wilson の定理）、
　　Q₁ ≡ (−1)^E (mod p)
であり、また Q₃ ≡ F! (mod p) である。よって D! = Q₁⋅Q₂⋅Q₃ を Q₂ = E!⋅p^E で割った整数について、
　　D!/(E!⋅p^E) = Q₁⋅Q₃ ≡ (−1)^E × F! (mod p)
が成り立つ。両辺を E! 倍して、
　　D!/p^E ≡ (−1)^E⋅E!⋅F! (mod p)
を得る。∎

y = (n C k) に関連して、
　　n = ap + u (0 ≦ u < p)
　　k = bp + v (0 ≦ v < p)
　　n − k = cp + w (−p < v < p)
と置くとき（ただし c = a − b, w = u − v）、「因子 p の個数」だけを問題にする限りにおいて、 y は
　　(a!⋅p^a)/(b!⋅p^b × c!⋅p^c)　　（✽）
と同等（§4）。この同等性は、補助命題2にいう Q₂ の部分だけを考慮したもの（Q₁ と Q₃ は因子 p を含まないので、それらを無視した。補助命題1参照）。

今、因子 p の個数を考える代わりに、三つの整数 n! と k! と (n − k)! の値について mod p で考えたい。そのためには Q₁ と Q₃ も計算に含める必要がある。補助命題2において D に n ないし k ないし n − k を代入することに当たる。

例えば D = n = ap + u に関して、もし（✽）の分子を n! で割った上で、 Q₁ に当たる (−1)^a と Q₃ に当たる u! をそこに因子として追加すれば、新しい分子は、整数 n!/p^a と一致し、補助命題2が示すように、その整数について、次の合同式が成り立つ:
　　n!/p^a ≡ (−1)^a⋅a!⋅u! (mod p)

議論の便宜上、 w は負でない（下克上が起きていない）と仮定する。その場合、 a! と b! と c! を無視するなら、（✽）の分子にも分母にも因子 p が a 個ずつある（§4）。言い換えると、 p^a = p^b × p^c であり、（✽）において、これらの因子は約分によりきれいに消滅する。

ゆえに、「分子を n! で割った上で」…という上記の処理は、単に（✽）から p^a, p^b, p^c を削除（約分）することによって、正当に実行可能。結局 n! に関して補助命題2の合同式・右辺の形式を得るためには、（✽）の分子から因子 p^a を除去し、代わりに因子 (−1)^a⋅u! を追加すればいい。

D = n に関してだけでなく、 D = k に関して、および D = n − k に関しても、それぞれ同様に扱うことによって、（✽）から次の合同式の右辺を得る:
　　n!/[k! (n − k)!] ≡ [a!⋅(−1)^a⋅u!]/[b!⋅(−1)^b⋅v! × c!⋅(−1)^c⋅w!] (mod p)
仮定により w は負でないので、分母の因子 w! は普通の階乗。

この左辺は、 Q₁ と Q₃ も計算に含めたものであり、 Q₂ だけを考慮した（✽）とは（一般には）異なる整数値を持つ。右辺はそれを mod p で簡約したもの。部分的に（✽）を利用して導出したけど、内容は（✽）と直接関係ない。

この合同式の右辺において、 (−1)^a と (−1)^b と (−1)^c は、全体としては無いのと同じ（c = a − b なので）。従って:
　　n!/[k! (n − k)!] ≡ (a! × u!)/[b!⋅c! × v!⋅w!] ≡ a!/[b! (a − b)!] × u!/[v! (u − v)!]

この合同式と、二項係数の定義（§1・ウ）から、下記の優美な定理を得る。

定理1（Lucas [9], §3; cf. Glaisher [8], §6）　正の整数 n, k を素数 p で割ったとき、商が a, b で余りが u, v なら:
　　(n C k) ≡ (a C b)⋅(u C v) (mod p)

何ともきれいで心に残る。形式的に、二項係数は「商ベクトル」と「余りベクトル」の内積（？）に等しい！

証明　「下克上」が起きない場合については、上述の通り。「下克上」が起きる場合、 (n C k) が p で割り切れるので、合同式の左辺は ≡ 0。かつ、下克上の定義によって「下の余り」は「上の余り」を超えるので、 (u C v) は自明に = 0、ゆえに合同式の右辺も ≡ 0。∎

〔例1〕　(23 C 11) = 1352078 ≡ 3 (mod 5) について。 23 と 11 を 5 で割ると、商は 4 と 2、余りは 3 と 1。そして:
　　(4 C 2)⋅(3 C 1) = 6⋅3 = 18 ≡ 3 (mod 5)

〔例2〕　同じ (23 C 11) = 1352078 = 193154⋅7 ≡ 0 (mod 7) について。 23 と 11 を 7 で割ると、商は 3 と 1、余りは 2 と 4。そして:
　　(3 C 1)⋅(2 C 4) = 3⋅0 = 0 ≡ 0 (mod 7)

「下克上」が起きて p で割り切れることは、定理1では、 (2 C 4) = 0 のような自明な二項係数に対応する。定理1はさらに、下克上が起きずに p で割り切れない場合についても、追加情報を与えてくれる――「割り切れないのなら、余りは何？」という情報を。

定理1を最初に発見したのは Lucas [9] だという^†。定理1は Concrete Mathematics, 5.61 にも収録され、 Knuth も Lucas [9] を出典としている。 Glaisher [8] は、同じことを独立に再発見したらしい。 Glaisher の証明は素朴で平明。本文の議論はそれに基づく。「下克上」という表現は説明の便宜上のもので、もちろん Lucas や Glaisher がそのような用語を使ったわけではない。

† https://oeis.org/A348884
(Number of pairs of base-p digits for which binomial coefficients support a Lucas congruence modulo p^2, where p is the n-th prime)

References:
[8] J. W. L. Glaisher, “On the residue of a binomial-theorem coefficient with respect to prime modulus.”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 30 (1899), 150–156
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/pdf/PPN600494829_0030/LOG_0010.pdf
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN600494829_0030?tify=%7B%22pages%22%3A%5B154%5D%2C%22view%22%3A%22%22%7D
［変数名 q と g の誤植に注意］
Cf. Glaisher, “On the reside with respect to pⁿ⁺¹ of a binomial-theorem coefficient divisible by p”, Quarterly Journal, 30 (1899), 349–360
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/pdf/PPN600494829_0030/LOG_0019.pdf
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN600494829_0030?tify=%7B%22pages%22%3A%5B353%5D%2C%22view%22%3A%22%22%7D
[9] Édouard Lucas, “Sur les congruences des nombres eulériens et des coeficients diiérentiels des fonctions trigonométriques, suivant un module premier," Bulletin de la Société mathématique de France 6 (1878) , 49−54.
https://www.numdam.org/item/?id=BSMF_1878__6__49_1

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2026-06-23　ウィルソンの定理の証明（ラグランジュ）の応用　逆三角の倍数列島

(x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x⁵ + 10x⁴ + 35x³ + 50x² + 24x + 0 の係数（W₀ = 1, W₁ = 10, W₂ = 35, ··· とする）や、同種の数について。n が素数のとき (x + 0)(x + 1)···(x + n − 1) の W₁ ～ W_n−2 として n の倍数が並ぶ（Lagrange の定理）。

n = 0, 1, 2, ··· のそれぞれに対する W たちを逆順で三角形状 ◣ に並べた場合、「ある数 A の n 倍 + A の左の数」が「A の真下の数」に（例: 10 × 5 + 35 = 85）。よって p の倍数が並んでいる下には「p の倍数Ⅱ世」が出現。「Ⅱ世」が並べば、下に「Ⅲ世」。こうして「同じ p の倍数たち」が逆三角形状 ◥ に配列される。

Glaisher は「二項係数の下克上」（Lucas の定理）を利用して、このような現象を検討した。

§7　『ゴルゴ13』にも登場したウィルソンの定理。その内容は、
　　　1⋅2⋅3⋅4 = 24　は　5 の倍数より 1 小さい
　　　1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720　は　7 の倍数より 1 小さい
　　　︙
等々。一般に「p が素数なら、 1 から p − 1 までの積は p の倍数より 1 小さい」という命題だ。

現代の観点からは、その証明は易しい。しかし、フランスのラグランジュが最初にそれを証明したとき――1770年代、マリー・アントワネットが10代の少女だった時代――の古風な論法は、ちょっとややこしい。その内容をあらためて整理し直してみると、次の通り。

n を 3 以上の整数とする。 ƒ₁(x) = (x + 1)(x + 2)··· (x + n − 1) を展開した n − 1 次式 を
　　ƒ₂(x) = W₀⋅xⁿ⁻¹ + W₁⋅xⁿ⁻² + W₂⋅xⁿ⁻³ + ···  + W_n−3⋅x² + W_n−2⋅x¹ + W_n−1⋅x⁰
とする。もちろん W₀ = 1, x⁰ = 1, x¹ = x であるが、表記の統一のため、あえて「1 乗」なども明記した。 ƒ₂ は ƒ₁ を展開しただけで、両者は同一の多項式である！

ƒ₁(x) の積を展開し、同類項をまとめて ƒ₂(x) の形にしたときの W₁ や W₂ などの係数――それらが具体的にどんな数になるかは n の値次第。ラグランジュの論法では、その値を知る必要はない。任意の素数 n について定理を証明したいのだから、 n などの値が具体的に固定されていたら、むしろうまくない。

とはいえ n を特定した方が分かりやすい部分もある。参考として n = 5 の場合を付録Aに記載した。

ƒ₁ の定義から:
　　ƒ₁(x + 1) = ((x + 1) + 1)((x + 1) + 2)···((x + 1) + n − 1) = (x + 2)(x + 3)··· (x + n)　　サ

サの両辺を x + 1 倍すると、 n 個の因子がきれいに並ぶ:
　　(x + 1)⋅ƒ₁(x + 1) = (x + 1)⋅(x + 2)(x + 3)··· (x + n)
　　 = (x + 1)(x + 2)··· (x + n − 1)⋅(x + n) = ƒ₁(x)⋅(x + n)
ƒ₁ と ƒ₂ は同じ多項式なので、
　　(x + 1)⋅ƒ₂(x + 1) = ƒ₁(x)⋅(x + n) = ƒ₂(x)⋅(x + n)　　（✽）
でもある。

ƒ₂ の定義から:
　　ƒ₂(x + 1) = W₀⋅(x + 1)ⁿ⁻¹ + W₁⋅(x + 1)ⁿ⁻² + ···  + W_n−2⋅(x + 1)¹ + W_n−1⋅(x + 1)⁰　　シ

シの両辺を (x + 1) 倍すると、右辺の (x + 1)^● たちの ● がそれぞれ 1 ずつ増えて、
　　(x + 1)⋅ƒ₂(x + 1)
　　 = W₀⋅(x + 1)ⁿ + W₁⋅(x + 1)ⁿ⁻¹ + ···  + W_n−2⋅(x + 1)² + W_n−1⋅(x + 1)¹　　㊧
となる。これが等式（✽）の左端に当たる！

再び ƒ₂ の定義から:
　　ƒ₂(x)⋅(x + n)
　　 = {W₀⋅xⁿ⁻¹ + W₁⋅xⁿ⁻² + W₂⋅xⁿ⁻³ + W₃⋅xⁿ⁻⁴ + ···  + W_n−1⋅x⁰}⋅(x + n)　　㊨
これが等式（✽）の右端に当たる！

㊧と㊨は等式（✽）の左右だから、同一の内容（多項式）を表しているはず。よって、それぞれを展開したら、各係数が一致するはず。――これがラグランジュの議論のアイデアであった。

さて、㊨の展開は易しい。{ } 内の x 倍
　　　　　W₀⋅xⁿ + W₁⋅xⁿ⁻¹ + W₂⋅xⁿ⁻² + W₃⋅xⁿ⁻³ + ···  + W_n−1⋅x¹
と、 { } 内の n 倍
　　　　　　nW₀⋅xⁿ⁻¹ + nW₁⋅xⁿ⁻² + ···  + nW_n−2⋅x¹ + nW_n−1⋅x⁰
の和だから、結果は、係数だけ書くと、
　　xⁿ　の係数は　W₀　だけ
　　xⁿ⁻¹　の係数は　W₁ + nW₀　　《ス》
　　xⁿ⁻²　の係数は　W₂ + nW₁　　《セ》
　　xⁿ⁻³　の係数は　W₃ + nW₂　　《ソ》
等々となるだろう。

㊧、すなわち
　　W₀⋅(x + 1)ⁿ + W₁⋅(x + 1)ⁿ⁻¹ + ···  + W_n−2⋅(x + 1)² + W_n−1⋅(x + 1)¹
の展開には、二項定理が必要。 (x + 1)ⁿ や (x + 1)ⁿ⁻¹ などの「二項の和の累乗」をそれぞれ展開すると:
　　　　㊧ = W₀⋅[(n C 0)xⁿ + (n C 1)xⁿ⁻¹ + (n C 2)xⁿ⁻² + (n C 3)xⁿ⁻³ + (n C 4)xⁿ⁻⁴ + ···  + (n C n)x⁰]
　　 + W₁⋅[(n − 1 C 0)xⁿ⁻¹ + (n − 1 C 1)xⁿ⁻² + (n − 1 C 2)xⁿ⁻³ + (n − 1 C 3)xⁿ⁻⁴ + ···  + (n − 1 C n − 1)x⁰]
　　 + W₂⋅[(n − 2 C 0)xⁿ⁻² + (n − 2 C 1)xⁿ⁻³ + (n − 2 C 2)xⁿ⁻⁴ + ···  + (n − 2 C n − 2)x⁰]
　　 + W₃⋅[(n − 3 C 0)xⁿ⁻³ + (n − 3 C 1)xⁿ⁻⁴ + ··· + (n − 3 C n − 3)x⁰]
　　　︙
　　 + W_n−1⋅[(1 C 0)x⁰ + (1 C 1)x⁰]

このうち xⁿ⁻² の係数
　　W₀⋅(n C 2) + W₁⋅(n − 1 C 1) + W₂⋅(n − 2 C 0) = (n C 2) + W₁⋅(n − 1) + W₂
は、㊨の xⁿ⁻² の係数――すなわち《セ》の W₂ + nW₁ ――に等しいはずだから、
　　(n C 2) + W₁⋅(n − 1) = nW₁　整理すると　(n C 2) = W₁　　タ
が成り立つだろう^†。 xⁿ⁻³ の係数は、㊨の xⁿ⁻³ の係数《ソ》と等しいはずだから、
　　(n C 3) + W₁⋅(n − 1 C 2) + W₂⋅(n − 2) + W₃ = W₃ + nW₂
　　整理すると　(n C 3) + W₁⋅(n − 1 C 2) = 2W₂　　チ
が成り立つだろう。同様に進めれば、
　　(n C 4) + W₁⋅(n − 1 C 3) + W₂⋅(n − 2 C 2) = 3W₃　　ツ
　　(n C 5) + W₁⋅(n − 1 C 4) + W₂⋅(n − 2 C 3) + W₃⋅(n − 3 C 2) = 4W₄　　テ
　　　︙
となる。

n が素数の場合、これらの関係を基に Lagrange の定理が示され、容易に Wilson の定理と Fermat の小定理が派生する（ここでは、それらについては略）。

† 任意の整数 x について (x C 1) は x に等しく、 (x C 0) は 1 に等しい。「二項係数・超入門」参照。

§8　W₁, 2W₂, 3W₃, 4W₄, ···  を表す上記の等式タ・チ・ツ・テ…などを、一つの一般公式に要約すると:

Lagrange の再帰公式　1 以上 n 未満の整数 λ について、 λ⋅W_λ を W_j (0 ≤ j ≤ λ − 1) についての式として、次のように表現可能:
　　λ⋅W_λ = W₀⋅(n C λ + 1) + W₁⋅(n − 1 C λ) + W₂⋅(n − 2 C λ − 1) + ··· + W_λ−1⋅(n − λ + 1 C 2)

〔注〕　右辺の各項は、順に W₀, W₁, W₂, ··· を含み、対応する二項係数の上と下のインデックスは n と λ + 1 から始まって 1 ずつ減る（下側が 2 になると最終項）。結果的に、 W_r を含む項において、 W の番号 r と「二項係数の下側インデックス」の和は、定数 λ + 1。それに n を足して λ と 1 を引いたものが上側インデックス。

ここで W_j は、
　　ƒ₁(x) = (x + 1)(x + 2)···(x + n − 1)
を展開した n − 1 次式の x^n−j−1 の係数に等しい。あるいは、実質的に同じことだが、
　　ɡ(x) = (x + 0)(x + 1)(x + 2)···(x + n − 1)
を展開した n 次式の x^n−j の係数に等しい（どちらの定義でも、最高次の係数 1 を W₀ とし、降べき順に W₂, W₃ 等とする。 1 倍 を表す係数 W₀ は、通常、書いても書かなくても同じことであり、任意に省略可能）。

〔例〕　n = 5 の場合:
　　(x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 1x⁵ + 10x⁴ + 35x³ + 50x² + 24x¹ + 0x⁰
　　W₀ = 1, W₁ = 10, W₂ = 35, W₃ = 50, W₄ = 24, W₅ = 0
再帰的公式の数値例:
　　1⋅W₁ = W₀⋅(5 C 2) = 1⋅10　⇒　W₁ = 10
　　2⋅W₂ = W₀⋅(5 C 3) + W₁⋅(4 C 2) = 1⋅10 + 10⋅6 = 70　⇒　W₂ = 35
　　3⋅W₃ = W₀⋅(5 C 4) + W₁⋅(4 C 3) + W₂⋅(3 C 2) = 1⋅5 + 10⋅4 + 35⋅3 = 150　⇒　W₃ = 50

この式を使って λ⋅W_λ を表現するには、 W_r⋅(a C b) の形の項を λ 個を足し合わせる―― r = 0, a = n, b = λ + 1 から始めて、 r を 1 ずつ増やしながら、そして a, b をそれぞれ 1 ずつ減らしながら、 b = 2 になるまで。 a と b の差は一定、最後の項の W の番号は λ − 1。

W_r は簡潔だがやや曖昧な記法で、その具体的な値は、その文脈での n の値によって異なる。ただし因子 W₀ は、 n ≥ 1 である限り、常に 1 に等しいので、表記を省略しても構わない。

§9　p を任意の奇素数、 n を p より大きい整数とする。 n を p で割った商と余りをそれぞれ a と u としよう:
　　n = ap + u　ただし　0 ≤ u < p

議論の便宜上、これ以降しばらくの間 n が p で割り切れるケースを別にして、 u ≠ 0 と仮定する。

このとき、上記の再帰公式で λ = u と置くと、次のような u 項の和となる。
　　u⋅W_u = W₀⋅(n C u + 1) + W₁⋅(n − 1 C u) + W₂⋅(n − 2 C u − 1) + ··· + W_u−1⋅(n − u + 1 C 2)
　　 = (ap + u C u + 1) + W₁⋅(ap + u − 1 C u) + W₂⋅(ap + u − 2 C u − 1) + ··· + W_u−1⋅(ap + 1 C 2)

この右辺の二項係数が表す各整数は、ある種の例外ケースを別にすると、「余りの下克上」によりどれも p で割り切れる。実際、上下のインデックスをそれぞれ p で割ったとき:
　　(ap + u C u + 1)　の「下の余り」 u + 1 は「上の余り」 u を超える（例外あり）
　　(ap + u − 1 C u)　の「下の余り」 u は「上の余り」 u − 1 を超える
　　(ap + u − 2 C u − 1)　の「下の余り」 u − 1 は「上の余り」 u − 2 を超える
　　　︙
　　(ap + 2 C 3)　の「下の余り」 3 は「上の余り」 2 を超える
　　(ap + 1 C 2)　の「下の余り」 2 は「上の余り」 1 を超える

例外は u = p − 1 のケース。その場合、最初の下側インデックスにおいて u + 1 = p を p で割った余りは 0 なので、下克上が不成立。

この他にも、もしも例えば下側インデックス u − 1 （ないし u − 2 等々）のケースで、それぞれ u = 1 （ないし u = 2 等々）であれば、下克上は成立しないはず。しかしこの再帰公式には項が u 個しかない。 u = 1 （あるいは u = 2 等々）の場合、下側インデックス u + 1 （ないし u 等々）の項までで足し算は終了し、下側インデックス u − 1 （ないし u − 2 等々）を含む項は生じない。例外として u = p − 1 の場合にだけ、「下克上が不成立」という現象が起きる（右辺の最初の項において）。

u = p − 1 のケースを除外して 1 ≤ u ≤ p − 2 と仮定するなら、再帰公式の右辺各項は、二項係数の「下克上」による p の倍数を因子とし、従って、それら各項の和に等しい左辺 u⋅W_u も p の倍数。従って W_u が p の倍数でなければならない（今考えている条件下では u は p の倍数ではないから）。すなわち:

補題3　p を奇素数、 n を p より大きい整数（p の倍数以外）、 n を p で割った余りを u (≠ 0) とする。 u = p − 1 の場合を除けば、 W_u つまり S_u(n − 1) は必ず p で割り切れる。

〔例1〕　p = 3 の場合。 n = 4 や n = 7 を p で割ると 1 余る。 W₁ = S₁(4 − 1) = 6 は p で割り切れる。 S₁(7 − 1) = 21 も。
n = 5 や n = 8 を p で割ると 2 余る。 2 = p − 1 なので、これは例外ケースに当たる。実際 W₂ = S₂(5 − 1) = 35 は p で割り切れない。 S₂(8 − 1) = 322 も。

〔例2〕　p = 5 の場合。 n = 6 を p で割ると 1 余る。 W₁ = S₁(6 − 1) = 15 は p で割り切れる。
n = 7 を p で割ると 2 余る。 W₂ = S₂(7 − 1) = 175 は p で割り切れる。
n = 8 を p で割ると 3 余る。 W₃ = S₃(8 − 1) = 1960 は p で割り切れる。
n = 9 を p で割ると 4 余る。 4 = p − 1 なので、これは例外ケース。実際 W₄ = S₄(9 − 1) = 22449 は p で割り切れない。

補題3の内容は p が W_u を割る十分条件だが、必要条件ではない。実際、下克上が起きなくても二項係数が p で割り切れる場合がある（§5）。例えば p = 3, n = 10 のとき u = 2 = p − 1 なので、補題3の条件は満たされない。にもかかわらず n = 10 に対する W₂ つまり S₂(10 − 1) = 870 は 3 で割り切れる。この例では (10 C 2 + 1) において、 p = 3 は下克上を起こさない。けれど 10⋅9⋅8/3! = 120 の素因子 3 の個数は分子側が二つ、分母側が一つだから、約分後も素因子 3 が残り、この二項係数は 3 で割り切れる。

§10　引き続き n (= ap + u) を p で割った余りを u とし、 u ≠ 0 つまり u ≥ 1 と仮定する。再帰公式で λ = u と置く代わりに λ = u + 1 としてみる。すなわち p が W_u を割るかを問題にするのではなく、今度は p が W_u+1 を割るかを問題にする。
　　(u + 1)⋅W_u+1 = W₀⋅(n C u + 2) + W₁⋅(n − 1 C u + 1) + W₂⋅(n − 2 C u) + ··· + W_u+1⋅(n − u C 2)
　　 = (ap + u C u + 2) + W₁⋅(ap + u − 1 C u + 1) + W₂⋅(ap + u − 2 C u) + ··· + W_u+1⋅(ap C 2)

u + 2 が p または p + 1 に等しい場合と u + 1 が p に等しい場合を例外として（これら例外ケースの条件を一つにまとめて u + 2 ≥ p と述べることができる）、どの二項係数でも下克上が置きる。ゆえに u + 2 < p ならば p は W_u+1 を割る。

（p = 3 なら u = 1 または 2 なので、条件 u + 2 < p は決して満たされない。よってこれ以降 p ≥ 5 と仮定して差し支えない。）

λ = u + 2 の場合を考える（p が W_u+2 を割るか否か）:
　　(u + 2)⋅W_u+2 = (ap + u C u + 3) + W₁⋅(ap + u − 1 C u + 2) + W₂⋅(ap + u − 2 C u + 1) + W₃⋅(ap + u − 3 C u)
　　 + W₄⋅(ap + u − 4 C u − 1) + ··· + W_u⋅(ap C 3) + W_u+1⋅(ap − 1 C 2)

u + 3 ≥ p なら、右辺の最初の3項の中に、下克上が起きないものがある。 u + 3 < p と仮定するなら、それらの項も含めて、右辺の二項係数は、最後の一つを除き p で割り切れる。最後の二項係数では、下克上が起きない（下の余り 2 は上の余り p − 1 を超えない）。しかし仮定は u + 2 < p を含意するので、既に証明したように W_u+1 は p で割り切れ、よって最後の項も p で割り切れ、結局、右辺の全部の項は p で割り切れる。従って左辺は p の倍数だが、仮定により u + 2 は p 未満の正整数だから p の倍数ではない。ゆえに W_u+2 は p の倍数（仮定 u + 3 < p の下で）。

このように λ が u + 2 以上のとき、 u + 3 < p のような制限によって、最初のうちどの二項係数でも下克上が起きることを保証しても、最後の幾つかの二項係数は（下克上が起きずに）一般には p で割り切れない。にもかかわらず、そのような係数を含む項については、もう一つの因子 W が p で割り切れるので、結局、その項も p で割り切れることが示される。

一般的に λ = u + δ のケースを検討しよう（δ は整数）。

δ = 1 の場合について、もし u + 2 < p なら p が W_u, W_u+1 を割ることを既に証明した。 δ = 2 の場合について、もし u + 3 < p なら p が W_u, W_u+1, W_u+2 を割ることも、既に証明した。今、任意の δ ≥ 2 について、
　　u + δ < p なら p は W_u, W_u+1, ···, W_u+δ−1 を割る
という帰納法の仮定の下で、
　　u + δ + 1 < p なら p は W_u+δ を割る
ことを示そう。

λ = u + δ の場合、 Lagrange の公式から:
　　(u + δ)⋅W_u+δ = (ap + u C u + δ + 1) + W₁⋅(ap + u − 1 C u + δ) + ··· + W_u⋅(ap C δ + 1)
　　 + W_u+1⋅(ap − 1 C δ) + ··· + W_u+δ−2⋅(ap − δ + 2 C 3) + W_u+δ−1⋅(ap − δ + 1 C 2)

u + δ + 1 < p ならば、右辺の W_u を含む項までは p の倍数（下克上成立。下側の余りは上側に比べて δ + 1 だけ大きい）。 W_u+1 を含む項以降では下克上が起きないが、帰納法の仮定から、
　　W_u, W_u+1, ···, W_u+δ−1
は p の倍数（なぜなら u + δ + 1 < p は u + δ < p を含意する）。よって、右辺各項は p の倍数であり、それらの和に等しい左辺も p の倍数。しかし u + δ + 1 < p なので u + δ は p 未満の正整数であり（u ≥ 1, δ ≥ 2, p ≥ 5）、 p の倍数ではない。ゆえに W_u+δ は p の倍数。すなわち u + δ + 1 < p ならば p は W_u+δ を割る。∎

〔コメント〕　証明と直接関係ないが、右辺の項のうち W_u⋅(ap C δ + 1) について、帰納法の仮定から W_u は p の倍数、かつ下克上により二項係数も p の倍数（明らかに上側の余りは 0、下側の余りは 0 より大）。よって、この項は結果的に p² の倍数。具体的な数値例として、 p = 7, n = 10 に関する W₆ のケースを参照。

さて、条件 u + δ + 1 < p は、 u + δ < p − 1 つまり u + δ ≤ p − 2 と同値。同様に u + 2 < p は u + 1 < p − 1 つまり u + 1 ≤ p − 2 と同値であり、 u + 3 < p は u + 2 ≤ p − 2 と同値。

補題3によると、もし u ≤ p − 2 なら p は W_u を割る。この不等式は、一般の不等式 u + δ ≤ p − 2 で δ = 0 の場合に当たる。さらに（上記の同値性に留意すると）、もし u + 1 ≤ p − 2 なら p は W_u+1 を割ること、および、もし u + 2 ≤ p − 2 なら p は W_u+2 を割ることを、われわれは直接的に証明した（それぞれ δ = 1, 2 に当たる）。一般的に、もし
　　u + δ ≤ p − 2　　（✽）
なら p は W_u+δ を割ることも、帰納的に証明した（δ ≥ 2 に対して）。――これらの事実を一つにまとめると、任意の整数 δ ≥ 0 について、不等式（✽）は、 p が W_u+δ を割るための十分条件になっている。すなわち W_u+δ の添え字 u + δ が 0 以上 p − 2 以下なら、素数 p はその W を割り切る。

次のように整理できるだろう。

補題4（cf. Glaisher [7], §43）　n を任意の正整数、 p を n より小さい任意の奇素数とする（ただし n は p の倍数ではないとする）。 n と p を定めれば、 n を p で割ったときの余り u が定まる。このとき 、
　　W_u, W_u+1, W_u+2, ··· , W_p−2
のどの数も、 p で割り切れる。換言すると、もし番号 r が u ≤ r ≤ p − 2 の範囲にあれば、 W_r は p の倍数（注: u = p − 1 の場合、その不等式を満たす番号 r は存在しない）。

〔例3〕　n = 6, p = 5 の場合、 u = 1。そして W_u から W_p−2 までの数、すなわち W₁ = 15, W₂ = 85, W₃ = 225 は、どれも p の倍数。

〔例4〕　n = 7, p = 5, u = 2 に関連して W_u から W_p−2 までの数、すなわち W₂ = 175 と W₃ = 735 は、 p の倍数。

〔例5〕　n = 8, p = 5, u = 3 に関連して W_u から W_p−2 までの数、すなわち一つの数 W₃ = W_p−2 = 1960 が、 p の倍数。

〔例6〕　n = 9, p = 5, u = 4 の場合、 u = p − 1 であり、補題4の条件に当てはまる W_r は存在しない。

スターリング数の言葉では―― n を p で割った余りが u のとき、 p が [n S y] を割る十分条件は u ≤ n − y ≤ p − 2 つまり n − p + 2 ≤ y ≤ n − u。例4の場合、 4 ≤ y ≤ 5 なら、条件が満たされる。実際 [7 S 4] = 735 と [7 S 5] = 175 は 5 の倍数。それとは別に [n S 1] = (n − 1)! は、 p ≤ n − 1 なら当然 p で割り切れる。

Glaisher の証明では、 Lagrange の定理と、二項係数に関する Lucas の定理が使われている。結論の少なくとも一部は、第一種スターリングの三角形の性質からも、直ちに得られる。例えば 5 の段には、両端以外は 5 の倍数が並んでいる（Lagrange の定理）。 6 の段の各数は、真上の数の 5 倍と左上の数の和だから、 5 の段に 5 の倍数が並んでいる以上、 6 の段にも 5 の倍数が「遺伝」するのは、当然（一つの例外を除き、どのケースも「両親とも 5 の倍数なら、子は再び 5 の倍数」という原理による）。「そのスターリング数は 5 の倍数」という性質は、部分的には 6 の段から 7 の段にも継承され、そのまた一部は 8 の段に再継承される。一般に、同様の仕組みによって、 Lagrange の定理による p の倍数列の下には、逆三角形状に p の倍数が並ぶ。

今 n = 15, p = 11 としよう。補題4によれば p は W₄, W₅, ···, W₉ を割り切る。補題4の範囲外の W_r のうち W₃ や W₁₀ や W₁₁ は p で割り切れない。他方において、実は W₂ と W₁₂ と W₁₄ も p で割り切れる。すなわち、補題4の範囲指定は（p が W_r を割り切るための）十分条件だが、必要条件ではない。

付録A　Lagrange の (x + 1)(x + 2)···(x + n − 1) の処理の具体例。 n = 5, n − 1 = 4 のケースの概要。

ƒ₁(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x + 1)(x + 4)⋅(x + 2)(x + 3) = (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6)
　　 = [(x² + 5x) + 4][(x² + 5x) + 6] = (x² + 5x)² + 10(x² + 5x) + 24
　　 = (x⁴ + 2⋅x²⋅5x + 25x²) + 10x² + 50x + 24 = (x⁴ + 10x³ + 25x²) + 10x² + 50x + 24
　　 = x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24

従って、4次式 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) を展開して、
　　ƒ₂(x) = W₀⋅x⁴ + W₁⋅x³ + W₂⋅x² + W₃⋅x¹ + W₄⋅x⁰
の形式にする場合、具体的な数値は:
　　W₀ = 1, W₁ = 10, W₂ = 35, W₃ = 50, W₄ = 24

個々の数値と無関係に、一般論的に W たちの再帰的関係を導く手順は、次の通り。

　ƒ₁ と ƒ₂ は同一の多項式の別表現に過ぎないから、
　　ƒ₁(x + 1) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)　と
　　ƒ₂(x + 1) = W₀⋅(x + 1)⁴ + W₁⋅(x + 1)³ + W₂⋅(x + 1)² + W₃⋅(x + 1)¹ + W₄⋅(x + 1)⁰
は等しい。よって、
　　《ア》　(x + 1) ƒ₁(x + 1) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)　と
　　《イ》　(x + 1) ƒ₂(x + 1) = W₀⋅(x + 1)⁵ + W₁⋅(x + 1)⁴ + W₂⋅(x + 1)³ + W₃⋅(x + 1)² + W₄⋅(x + 1)¹
も等しい。そして、この《ア》は次に等しい。
　　(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)⋅(x + 5) = ƒ₁⋅(x + 5) = ƒ₂⋅(x + 5)
　　 = [W₀⋅x⁴ + W₁⋅x³ + W₂⋅x² + W₃⋅x¹ + W₄⋅x⁰]⋅(x + 5)　　Ⓐ

　《イ》を二項展開すると:
　　W₀ [(5 C 0)⋅x⁵ + (5 C 1)⋅x⁴ + (5 C 2)⋅x³ + (5 C 3)⋅x² + (5 C 4)⋅x¹ + (5 C 5)⋅x⁰]
　　 + W₁ [(4 C 0)⋅x⁴ + (4 C 1)⋅x³ + (4 C 2)⋅x² + (4 C 3)⋅x¹ + (4 C 4)⋅x⁰]
　　 + W₂ [(3 C 0)⋅x³ + (3 C 1)⋅x² + (3 C 2)⋅x¹ + (3 C 3)⋅x⁰]
　　 + W₃ [(2 C 0)⋅x² + (2 C 1)⋅x¹ + (2 C 2)⋅x⁰]
　　 + W₄ [(1 C 0)⋅x¹ + (1 C 1)⋅x⁰]　　Ⓑ

　Ⓐ と Ⓑ は等しいので、対応する各係数は一致。係数比較の便宜上、 Ⓑ の3次の項だけ集めると:
　　W₀⋅(5 C 2)⋅x³ + W₁⋅(4 C 1)⋅x³ + W₂⋅(3 C 0)⋅x³
同様に2次の項　W₀⋅(5 C 3)⋅x² + W₁⋅(4 C 2)⋅x² + W₂⋅(3 C 1)⋅x² + W₃⋅(2 C 0)⋅x²
1次の項　W₀⋅(5 C 4)⋅x¹ + W₁⋅(4 C 3)⋅x¹ + W₂⋅(3 C 2)⋅x¹ + W₃⋅(2 C 1)⋅x¹ + W₄⋅(2 C 0)⋅x¹
0次の項　W₀⋅(5 C 5)⋅x⁰ + W₁⋅(4 C 4)⋅x⁰ + W₂⋅(3 C 3)⋅x⁰ + W₃⋅(2 C 2)⋅x⁰ + W₄⋅(1 C 1)⋅x⁰

一方、 Ⓐ を再掲すると [W₀⋅x⁴ + W₁⋅x³ + W₂⋅x² + W₃⋅x¹ + W₄⋅x⁰]⋅(x + 5):
　　3次の項　W₂⋅x³ + 5W₁⋅x³　そして　2次の項　W₃⋅x² + 5W₂⋅x²
　　1次の項　W₄⋅x¹ + 5W₃⋅x¹　そして　0次の項　5W₄⋅x⁰

　Ⓐ と Ⓑ の3次の項の係数の比較から:
　　W₂ + 5W₁ = (5 C 2) + W₁⋅4 + W₂⋅1　　← 両辺の W₂ はキャンセルされる
　　∴　W₁ = (5 C 2)　　❶

2次の項の係数の比較から:
　　W₃ + 5W₂ = (5 C 3) + W₁⋅6 + W₂⋅3 + W₃⋅1　　← 両辺の W₃ はキャンセル
　　∴　2W₂ = (5 C 3) + W₁⋅(4 C 2)　　❷

1次の項の係数の比較から:
　　W₄ + 5W₃ = (5 C 4) + W₁⋅(4 C 3) + W₂⋅(3 C 2) + W₃⋅2 + W₄⋅1
　　∴　3W₃ = (5 C 4) + W₁⋅(4 C 3) + W₂⋅(3 C 2)　　❸

0次の項の係数の比較から:
　　W₀⋅1 + W₁⋅1 + W₂⋅1 + W₃⋅1 + W₄⋅1 = 5W₄
　　∴　4W₄ = (5 C 5) + W₁⋅(4 C 4) + W₂⋅(3 C 3) + W₃⋅(2 C 2)　　❹

具体的な数値計算とは別に、❶❷❸❹共通の次の構造を観察できる（λ = 1, 2, 3, 4）:
　　λ⋅W_λ = (5 C λ + 1) + W₁⋅(4 C λ) + W₂⋅(3 C λ − 1) + W₃⋅(2 C λ − 2)

これが Lagrange の再帰公式の例（n = 5 の場合）。 λ は 1 以上 n 未満の整数。例えば λ = 3 の場合、公式は ❸ の意味になる。

右辺で足し算される項は必ずしも四つではなく、ケースバイケース。項ごとに二項係数のインデックスがだんだん小さくなり、下側インデックスが 2 になる項まで足したら、そこで終了。右辺の最初の二項係数の上側インデックスは n = 5。複数の項がある場合、二項係数の上下のインデックスは項ごとに 1 ずつ減少し、 W_j の j は 0, 1, 2, ··· と増加する（ここでは、右辺の先頭にあるはずの因子 W₀ = 1 の表記を省略した）。

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2026-07-01　ウィルソンの定理の拡張　猫は気まぐれ

4 は 5 の倍数より 1 小さい。

1 × 2 × 3 × 4 = 24 も 5 の倍数より 1 小さいよ――これがウィルソンの定理の例。

6 は 7 の倍数より 1 小さい。

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 24 × 5 × 6 = 120 × 6 = 720 も 7 の倍数より 1 小さいよ――これ。 Lagrange が un très-beau Théorème d’Arithmétique と呼んだ、きれいな性質。一般に p が素数なら、
　　1 × 2 × 3 × ··· × (p − 1)
は p の倍数より 1 小さい。

この定理の一般化（拡張）。スターリング数の記号を使うと、例えば [5 S 1] = 24 だけでなく [6 S 2] = 274 や [7 S 3] = 1624 なども 5 の倍数より 1 小さい。 [5 S 1] とは何か。一つの解釈は「1 以上 5 未満の数を 5 − 1 個ずつ掛けた合計」。要するに 1⋅2⋅3⋅4 = 24。それが 5 の倍数より 1 小さいってのは、元祖 Wilson の定理に当たる。では [6 S 2] とは？

「1 以上 6 未満の数を 6 − 2 個ずつ（全パターンで）掛けた合計」。つまり、
　　1⋅2⋅3⋅4 = 24　と
　　1⋅2⋅3⋅5 = 30　と
　　1⋅2⋅4⋅5 = 40　と
　　1⋅3⋅4⋅5 = 60　と
　　2⋅3⋅4⋅5 = 120
の、計五つの積の合計が 274 だよ、と。

これは一見、意図の分からない足し算かもしれない。それが何の役に立つの？　うーん、「役に立つ・立たない」ってのとは、ちょっと次元が違うかも――「どうせ死ぬのに、何のために生きてるの？」と悩むのは、「どうせ帰国・帰宅するんだから、旅行・散歩には何の意義もない」と言い張るようなもんだろう。その内容が面白ければ、そのロジックが美しければ、それは探索・散策の十分な理由。「きれい」といった単純なコンセプトが「何の役に立つの・メリットはあるの・お金がもうかるの」等々の価値観とは別の尺度だということについては、画然と区別しなければなるまい。繊細で奥深く、優美だけれど難しく、垣間見えるけど到達できない永遠的なもの。ただ見とれ、不思議がり、分からず、迷い、ときに小さな発見に喜び、結局何もなかったかのように去っていく。ぶっちゃけ、好奇心旺盛な猫――「面白そうだと感じたら調べてみるにゃ。面白さに、他人の同意は要らないにゃ」。

1⋅2⋅3⋅4 = 24 や 1⋅2⋅3⋅5 = 30 は表面上「簡単な算数」だけど、この話はそれなりに難しい！

§11　n が奇素数 p のとき W₁, W₂, ···, W_p−2 は p の倍数、 W_p−1 は p の倍数より 1 小さい（Lagrange の定理）。 Lagrange の再帰公式の観点（§10）からは、このことは次のように説明される。一般に、
　　1⋅W₁ = W₀⋅(p C 2)
　　2⋅W₂ = W₀⋅(p C 3) + W₁⋅(p − 1 C 2)
　　3⋅W₃ = W₀⋅(p C 4) + W₁⋅(p − 1 C 3) + W₂⋅(p − 2 C 2)
等々が成り立つ。第1式から、 W₁ は p の倍数。実際、右辺の二項係数 p(p − 1)/2 の分子の素因子 p は、約されない（p が素数、という仮定がここで利いている）。同様に（もし p ≠ 3 なら）第2式右辺・第1項は p の倍数。従って―― W₁ が p の倍数であることに留意すると――、 2⋅W₂ も（よって W₂ も） p の倍数。

W₃ についても同様。 W₁ が p の倍数であることから W₂ も p の倍数になり、 W₁, W₂ が p の倍数であることから W₃ も p の倍数になり、 W₁, W₂, W₃ が p の倍数であることから W₄ も···とドミノ倒しのように、次々と「p の倍数」という性質が伝わっていく。 1 以上 k 未満の各 j について W_j が p の倍数ならば、 W_k も p の倍数（ただし k ≤ p − 2）。

この一連の再帰的関係は、やがて次の等式に至る。終端にある「最後のドミノ」（k = p − 1）は倒れない:
　　(p − 1)⋅W_p−1 = W₀⋅(p C p) + W₁⋅(p − 1 C p − 1) + W₂⋅(p − 2 C p − 2) + ··· + W_p−2⋅(2 C 2)
　　 = 1 + W₁ + W₂ + ··· + W_p−2　　ナ

ここで W₁, W₂, ···, W_p−2 はそれぞれ p の倍数、つまり法 p の下で ≡ 0 なので、等式ナは
　　(−1)⋅W_p−1 ≡ 1　つまり　W_p−1 ≡ −1 (mod p)
を含意する（Wilson の定理）。 W_p−1 は p の倍数ではなく、それより 1 小さい。

さて n = p という素数を、その正の倍数 n = ap に置き換えても（a ≥ 1 は任意の整数）、ほとんど同様のことが成り立つ。 W₁ = (ap C 2) は p の倍数、よって 2⋅W₂ は (ap − 1 C 2) と W₁ の倍数の和に等しく、従って W₂ も p の倍数。等々。一方、上記ナに相当する式から、やはり W_p−1 は、一般には p の倍数ではない。実際、
　　(p − 1)⋅W_p−1 = W₀⋅(ap C p) + W₁⋅(ap − 1 C p − 1) + W₂⋅(ap − 2 C p − 2) + ··· + W_p−2⋅(ap − (p − 2) C 2)　　ニ
の右辺において、第2項以降はどれも p の倍数の因子 W_j を含むが、第1項の値 1⋅(ap C p) は、一般には p の倍数ではない。例えば a = 2, p = 3 なら (6 C 3) = 20 は 3 の倍数ではない。

ところで W₀ = 1 も、もちろん p の倍数ではない。

n が p の倍数でない場合（補題4）と、以上の観察（n が p の倍数の場合）を一つにまとめると:

定理2（Glaisher [7], §43）　n を 3 以上の整数、 p を 3 以上 n 以下の素数として、 n を p で割ったときの余りを u とする（0 ≤ u ≤ p − 1）。もし u ≠ p − 1 なら、
　　W_u, W_u+1, W_u+2, ··· , W_p−2
の各数は p で割り切れる（ただし u = 0 の場合の W_u = W₀ = 1 を除く）。言い換えると、もし番号 r が u ≤ r ≤ p − 2 の範囲の正の整数なら、 W_r は p の倍数。

この定理の逆は成り立たない。 r が u 未満または p − 1 のとき、一般には p は W_r を割らないが、割る場合もある。次節では p が W_p−1 を割るための必要十分条件を付記する。

定理2は素数 p = 2 に対しても真だが（実際、定理の証明は p が素数であることにのみ依存し、 p が奇数であることに依存していない）、その場合、条件を満たす r は存在しない（ので p = 2 の場合、この定理は実質的に役立たない）。同様に素数 p が 3 以上の場合、定理2は u = p − 1 に対しても真だが、その場合、条件となる不等式を満たす r は存在しない。

§12　前節の等式ニは、
　　(p − 1)⋅W_p−1 ≡ (ap C p) (mod p)　　ヌ
　　∴　−W_p−1 ≡ ap(ap − 1)(ap − 2)···(ap − p + 1)/p! ≡ a(ap − 1)(ap − 2)···(ap − p + 1)/(p − 1)! (mod p)
を含意する。両辺（どちらも整数である）を −1 ≡ (p − 1)! 倍すると:
　　W_p−1 ≡ a[(ap − 1)(ap − 2)···(ap − (p − 1))] (mod p)

右辺の [ ] 内は (−1)(−2)···(−(p − 1)) に、従って (p − 1)! ≡ −1 に、合同。
　　∴　W_p−1 ≡ −a (mod p)

つまり p が素数なら、その正の倍数 n = ap に対応する W_p−1 は――言い換えると S_p−1(ap − 1) は――、法 p の下で −a に合同。

別証明　ap と p をそれぞれ p で割ると、商は p と 1、余りは 0 と 0。よって Lucas の定理から:
　　(ap C p) ≡ (a C 1) × (0 C 0) ≡ a (mod p)
従ってヌは −W_p−1 ≡ a つまり W_p−1 ≡ −a を含意。∎

より一般的に:

補題5　n を任意の正整数、 p を任意の素数、 n = ap + u, 0 ≤ u < p とすると:
　　(n C p) ≡ a (mod p)

この命題は a = 0 の場合にも有効。 0 ≤ n < p のとき (n C p) = 0 は自明だから（例えば 2 個の物から 7 個の物を選ぶ方法は 0 通り）、 a = 0 の場合、補題5は 0 ≡ 0 (mod p) という自明な主張に過ぎない。

証明　Lucas の定理から (ap + u C p) ≡ (a C 1) × (u C 0) ≡ a × 1 (mod p) を得る。∎

n = ap + u が p の倍数でない場合（1 ≤ u < p）、その n に対応する W_p−1 は次の関係を満たす（Lagrange）。
　　(p − 1)⋅W_p−1 = W₀⋅(ap + u C p) + W₁⋅(ap + u − 1 C p − 1) + W₂⋅(ap + u − 2 C p − 2) + ··· + W_u⋅(ap + u − u C p − u)
　　 + W_u+1⋅(ap − 1 C p − u − 1) + W_u+2⋅(ap − 2 C p − u − 2) + ··· + W_p−2⋅(ap + u − (p − 2) C 2)

このうち W₁ を含む項から W_u を含む項までの、それぞれの二項係数の上下を p で割ると、下側の余り p − 1, p − 2, ···, p − u は、対応する上側の余り u − 1, u − 2, ···, 0 を超えるから（下克上）、これら u 個の項はどれも p の倍数。さらに W_u, W_u+1, ···, W_p−2 は p の倍数なので（定理2）、 W_u を含む項以降の各項も、それぞれ p の倍数（結果的に W_u を含む項は p² の倍数）。結局、法 p の下では右辺第2項以降はどの項も ≡ 0 であり、
　　(p − 1)⋅W_p−1 ≡ (ap + u C p) ≡ a (mod p)
　　∴　W_p−1 ≡ −a (mod p)
が成り立つ（補題5を使った）。

例えば n = 10, p = 7, u = 3 の場合:
　　6⋅W₆ = W₀⋅(10 C 7) + W₁⋅(9 C 6) + W₂⋅(8 C 5) + W₃⋅(7 C 4)
　　 + W₄⋅(6 C 3) + W₅⋅(5 C 2)
ここで (9 C 6) = 84, (8 C 5) = 56, (7 C 4) = 35 は下克上により 7 の倍数、 W₃ = 9450, W₄ = 63273, W₅ = 269325 は定理2により 7 の倍数（結果的に右辺第4項 9450 × 35 は 7² の倍数）。従って mod 7 においては、左辺 6⋅W₆ ≡ −W₆ は、右辺第1項の値 (10 C 7) ≡ 1 と合同。結局 W₆ ≡ −1。

要約すると:

定理3（Wilson の定理の一般化: Glaisher [7], §44, cf. §51）　p を任意の（正の）素数、 n を p 以上の整数とする。 n を p で割ったときの商を a、余りを u とすると（n = ap + u, a ≥ 1, 0 ≤ u < p）、 n に対応する W_p−1 の値、つまり
　　S_p−1(n − 1) = [n S n − p + 1]
の値は、 u の値と無関係に ≡ −a (mod p) を満たす［a = 1, u = 0, n = 1⋅p + 0 の場合が Wilson の定理］。特に、素数の 2 倍 n = 2p に対応する W_p−1 の値は、法 p の下で −2 と合同。すなわち:
　　S_p−1(2p − 1) = [2p S p + 1] ≡ −2 (mod p)

〔例〕　n = p = 5 のとき W_p−1 = S₄(4) = 24 ≡ −1 (mod 5) であるだけでなく（Wilson の定理）、 S₄(5) = 274 や S₄(6) = 1624 も ≡ −1 (mod 5) を満たす。 S₄(7) = 6769 や S₄(8) = 22449 もそう。一方 n = 10 のとき W₄ = S(4, 10 − 1) = 63273 は ≡ −2 (mod 5) を満たす。 S(4, 10) = 157773 や S(4, 11) = 357423 もそう。

第一種スターリングの三角形において、「5 の倍数」列島の各段の初め（左端）の数の直前や真下には「5 の倍数より 1 小さい数」が現れ（a = 1 なら）、右斜め下に向かってこの種の数が並ぶ。正確には n = 5a + u に対応する「5 の倍数」列島について、「右斜め下に並ぶ数たち」は 5 の倍数よりa 小さい（段によっては a = 1 とは限らない）。「7 の倍数」列島、「11 の倍数」列島、等々に関しても同様。

定理3をわずかに拡張して a = 0 の自明なケースを含めてもいいが（その場合 n ≥ p でなくとも、任意の n ≥ 1 に対して定理は有効）、差し当たりそのようなケースを使わないこと、技術的にも引数が負のスターリング記号の扱いは自明でないことから、 a ≥ 1 としておく。

付記　定理2によれば、 n = ap + u, 0 ≤ u < p に関連して、素数 p は一般には W_p−1 を割らない。すなわち、一般には W_p−1 ≡ 0 (mod p) が成り立たない。これは W_p−1 ≢ 0 という意味ではなく、 W_p−1 ≡ a という意味（定理3）。つまり、もし a が p の倍数なら、 W_p−1 ≡ 0 が成り立つ。この条件を「n を p² で割った余りが p 未満」と言い換えることができる（下記）。逆に W_p−1 ≡ 0 が成り立つのは、 n を p² で割った余りが p 未満のときに限られる。

証明　n = ap + u, a ≥ 1, 0 ≤ u < p について:
　　W_p−1 ≡ 0 (mod p)　⇔　a ≡ 0 (mod p)　⇔　整数 ℓ ≥ 1 が存在して a = ℓp
右端の条件式 a = ℓp を n についての式に代入して:
　　n = (ℓp)p + u = ℓp² + u
ゆえに W_p−1 が p の倍数なら n ≡ u (mod p²) であり、逆に n ≡ u (mod p²) なら W_p−1 は p の倍数。仮定により u は 0 以上 p 未満。∎

a = ℓp については、 a ≥ 1 と仮定する代わりに a ≥ 0 と仮定することも考えられる。定理3（および上記証明）の設定は前者で、自明なケース（a = ℓ = 0）が排除される。後者の設定では、自明なケースも包含される。

〔例〕　p = 5 について。 W₄ が 5 の倍数となる非自明な最小の例は、 n = 25 のときの W₄ = 238810495。 25 以上 30 未満の n に対して W₄ は 5 の倍数。または 50 以上 55 未満の n に対して。または 75 以上 80 未満の n に対して。等々。ちなみに定理3の対象外だが、 n = 1, 2, 3, 4 に対して W₄ = 0 は自明に 5 の倍数。その場合も、定理3の内容はそのまま成り立つ（a = 0 であり、それは ≡ −0 なので）。技術的には n = 0 の場合についても「自明ケース」に追加可能。

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2026-07-04　上側インデックス 2p の第一種スターリング数

4人の子どもたち A, B, C, D が、二つのグループに分かれる方法は何通り？　そのパターンの数が、第二種スターリング数 {4 S 2} だ。ただし「メンバーが一人だけのグループ」もありだが、「メンバー 0 人のグループ」は駄目とする。これは {A, B, C, D} を二つの部分集合（どちらも空集合ではない）に分ける方法の総数に当たり、三人と一人に分かれる方法が 4 パターン（「一人だけのグループ」を作る人に、四つの可能性がある）、二人と二人に分かれる方法が 3 パターン（A が B, C, D の誰と組むかを決めれば全て確定）。合計 7 通り。

………歴史的には、スターリング数は、そういった「順列・組み合わせ」的文脈で考えられたものではなく、ある種の式変形から生まれた。例えば、
　　(x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 1⋅x⁶ + 15⋅x⁵ + 85⋅x⁴ + 225⋅x³ + 274⋅x² + 120⋅x¹ + 0⋅x⁰
の展開は、手間さえ惜しまなければ単純計算だが、この6次式の係数 1, 15, 85, 225, 274, 120, 0 が n = 6 に対する第一種スターリング数に当たる。上述の「第二種」スターリング数とは多少意味が違うけど、第一種と第二種には密接な関係がある。

ラグランジュは、ウィルソンの定理の証明のため、これらの係数に W₀ = 1, W₁ = 15, W₂ = 85, ···, W₆ = 0 のような名前を付け、それらの相互関係を巧みに利用した（n が素数の場合について）。

ラグランジュは、実は W でなく文字 A を使って W₁, W₂, ··· の代わりに A′, A″, ··· のように表記した。ここで文字 W を選択したのは、 r 個ずつの積の「和」（Wa)という日本語のイニシャルにちなむ。 Wolstenholme へのリスペクトも含む。

W_r には、別の解釈もある。「根と係数の関係」によれば、例えば上記の W₂ は、 1 以上 6 未満の数（1, 2, 3, 4, 5）を二つずつ掛けた場合の合計でもある:
　　1⋅2 + 1⋅3 + 1⋅4 + 1⋅5 = 2 + 3 + 4 + 5 = 14
　　2⋅3 + 2⋅4 + 2⋅5 = 6 + 8 + 10 = 24
　　3⋅4 + 3⋅5 + 4⋅5 = 12 + 15 + 20 = 47
　　総計 85

一般に「1 以上 n 未満の数」を「r 個ずつ」掛けたときの合計を W_r(n) で表し、 n が決まっているときは、簡潔化のため W_r と書く――こう考えても、上記の（多項式の係数に基づく）定義と、同じ結果に。「1 以上 n 未満」より「1 から N = n − 1 まで」の方が分かりやすいので、同じことを S_r(N) = S_r(n − 1) で表すこともある。現代では、ラグランジュの
　　W₁(6) = 15, W₂(6) = 85, W₃(6) = 225, W₄(6) = 274, W₅(6) = 120
とは逆順に番号を付けて、
　　[6 S 1] = 120, [6 S 2] = 274, [6 S 3] = 225, [6 S 4] = 85, ···
のような記号によって、第一種スターリング数を表すことも多い。二項係数のいとこ、みたいな感覚で。

§13　n ≥ 0 を整数とする。 n 次式の係数を使った W_r の定義（r = 0, 1, ···, n）
　　(x + 0)(x + 1)··· (x + n − 1) = W₀⋅xⁿ + W₁⋅xⁿ⁻¹ + ··· + W_n−1⋅x¹ + W_n⋅x⁰　　（✽）
から、《ア》首位の係数 W₀(n) = [n S n] が 1 であることは明白。《イ》原則として、定数項 W_n(n) = [n S n] が 0 であることも明らかだが、ただし 0 次式（n = 0 の場合）に関しては、首位係数と定数項は同じものを指す。この場合、《ア》を優先させ、 W₀(0) = [0 S 0] = 1 と約束する。

[0 S 0] = 1 は x⁰ = 1 や 0! = 1 や (0 C 0) = 1 と同様で（0⁰ も = 1 である）、空積と呼ばれる。解析学では 0⁰ が不定形とされるが、それは0次関数 ƒ(x) = x⁰ と、指数関数 ƒ(x) = 0^x のどちらを考えているのか曖昧だから。われわれの文脈では0次関数なので x → 0 のとき x⁰ → 1。

n ≥ 1 のとき《ウ》 W₁(n) = [n S n − 1] = 0 + 1 + 2 + ···  + (n − 1) = (n − 1)n/2 であること、《エ》 W_n−1(n) = [n S 1] = (n − 1)! であることも明白。《エ》については（✽）の両辺（それらは多項式として等しい）を x で割った
　　(x + 1)(x + 2)···(x + n − 1)
の定数項を考えれば見やすいが、（✽）のままで考えるなら、その n 個の根 x = 0, 1, ··· , n − 1 を n − 1 個ずつ掛けた積の和に当たる。これら n − 1 因子の積のうち、因子 0 を含むものは値が 0 だがから、因子 0 を含まない唯一の組み合わせ
　　1⋅2··· (n − 1) = (n − 1)!
だけが生き残る。

n が任意の正整数のとき W₀ = 1 と W_n = 0 は自明、 W₁ = (n − 1)! と W_n−1 = (n − 1)n/2 も明らか。従って n ≤ 3 のときの第一種スターリング数は簡単で、 n = 4 のときも、
　　[4 S 0] = 1, [4 S 1] = 3! = 6, [4 S 4] = 0, [4 S 3] = 4⋅3/2 = 6
の四つ明白（n ≥ 5 でも両端の四つの数については同様）。最初の非自明な数（よく考えないと分からない値）
　　[4 S 2] = 11
は、 1 以上 4 未満の数の二つずつの積の和
　　1⋅2 + 1⋅3 + 2⋅3 = 2 + 3 + 6
に等しく、
　　x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 0
の 2 次の係数にも等しい。

ちなみに、組み合わせ論的解釈（ここでは詳細略）としては、 [4 S 2] = 11 は「四つのものを並び替えるときの 4! = 24 種の選択肢のうち、二つのサイクルから成るものは 11 種」という意味を持つ。

§14　n を p で割って u 余るとき、
　　W_u(n), W_u+1(n), ···, W_p−2(n)
は p の倍数であり（定理2）、かつ W_p−1(n) は p の倍数より 1 小さい（定理3）。 u = 0 つまり n = p なら、
　　W₁(p), W₂(p), ···, W_p−2(p)
は、どれも p の倍数。

今 n = 2p として、 p 番以降の番号の
　　W_p(n), W_p+1(n), ···
がどのような性質を持つか考えてみたい。数値的に試してみると、
　　n = 2⋅3　のとき（p = 3）　W₃ = 225 = 3² × 45
　　n = 2⋅5　のとき（p = 5）　W₅ = 269325 = 5² × 10773
　　n = 2⋅7　のとき（p = 7）　W₇ = 790943153 = 7² × 16141697
等々となり、 W_p(2p) には面白そうなパターン（少なくとも p² で割り切れるという性質）がありそう。だがこの「詰め将棋」は、これまでの同様のものと比べると、かなり難しい！

Lagrange の再帰公式によると、 n = 2p に対して:
　　p⋅W_p = W₀⋅(2p C p + 1) + W₁⋅(2p − 1 C p) + W₂⋅(2p − 2 C p − 1)
　　 + ··· + W_p−2⋅(p + 2 C 3) + W_p−1⋅(p + 1 C 2)　　（✽）

〔注〕　右辺各項の W の番号と、二項係数の下側インデックスの和は定数（この例では p + 1）。この定数から一方を引けば、他方が求まる。上下のインデックスの差も定数（この場合 p − 1。つまり、下側インデックスに p を足して 1 を引けば、上側インデックスが求まる）。

W_p が p² の倍数であることを示したいのだが、第一印象よりはるかに難しく、今回はそこまで行けない。等式（✽）の左辺は p⋅W_p なので、左辺の和が p の倍数であることを示しても、 W_p が p の倍数である証明にならず、右辺が p² の倍数であることを示して、ようやく W_p 自体が素因子 p を一つ以上含むことが示される。つまり W_p が p² の倍数であることを直接的に示すには、右辺が p³ の倍数であることを示す必要がある！

直接 p³ は困難そうなので、とりあえず右辺が p² の倍数であることを証明しよう。 W₁, W₂, ···, W_p−1 はそれぞれ p の倍数、かつ右辺第3項以降の二項係数は p の倍数なので（下克上）、右辺第1項・第2項・最終項の三つを除けば、どの項も p² の倍数。除外された三つの項
　　A = W₀⋅(2p C p + 1) = [2p(2p − 1)(2p − 2)···(p + 2)(p + 1)p]/[(p + 1)p(p − 1)!]
　　B = W₁⋅(2p − 1 C p) = (2p − 1)(2p)/2 × [(2p − 1)(2p − 2)···(p + 1)p]/[p(p − 1)!]
　　C = W_p−1⋅(p + 1 C 2) = W_p−1 × (p + 1)p/2
は、どれも p の倍数だが p² の倍数ではない。けれど A + B + C が p² の倍数になってくれれば十分。

さて、法 p の下で「1, 2, ···, p − 1 のそれぞれと（何らかの順序で）合同な p − 1 個の整数」の積 Q は、もしそれが (p − 1)! の倍数なら Q/(p − 1)! ≡ 1 を満たす^†。ゆえに、整数
　　A/p = 2 × [(2p − 1)(2p − 2)···(p + 2)]/[(p − 1)!] = 2 × [(2p − 1)(2p − 2)···(p + 2) × 1]/[(p − 1)!]
は、
　　A/p ≡ 2 (mod p)
を含意する。同様に:
　　B/p = (2p − 1) × (2p − 1)(2p − 2)···(p + 1)/(p − 1)! ≡ 2p − 1 ≡ −1 (mod p)

一方、定理3から W_p−1 = S_p−1(2p − 1) は ≡ −2 (mod p)。 W_p−1 = ℓp − 2 と書くと（ℓ は何らかの整数）:
　　C/p = (ℓp − 2) × (p + 1)/2 = ℓp(p + 1)/2 + (−2)(p + 1)/2 ≡ −(p + 1) ≡ −1 (mod p)
（p + 1 は偶数なので、上の式に含まれるどの分数も、値は整数。）

ゆえに A/p + B/p + C/p ≡ 2 + (−1) + (−1) ≡ 0 (mod p)、つまり (A + B + C)/p は p の倍数。よって、その p 倍の A + B + C は p² の倍数。

結局（✽）の値つまり p⋅W_p は p² の倍数であり、従って W_p は p の倍数。∎

† mod p で考えよう。仮定により Q ≡ (p − 1)! で、この Q は明らかに ≡ 0 ではない［実は Wilson の定理から Q ≡ (p − 1)! ≡ −1 である、ここでは必要ないけれど］。仮定により Q/(p − 1)! は整数――この整数の値を y と略そう。 y の (p − 1)! 倍は、もちろん Q:
　　y × (p − 1)! = Q
上の等式の両辺は（当たり前だが）同一の整数値を持つのだから、当然、合同でもある:
　　y × (p − 1)! ≡ Q
ところが Q ≡ (p − 1)! だから、この合同式は
　　y × Q ≡ Q
を含意する。従って y ≡ 1、略記を元に戻すと Q/(p − 1)! ≡ 1。∎

W_p が p の倍数という暫定的結論を鍵として、 W_p+1 以降について、再び「ドミノ倒し」が起こり得る。 p ≥ 5 のとき、
　　(p + 1)⋅W_p+1 = W₀⋅(2p C p + 2) + W₁⋅(2p − 1 C p + 1) + W₂⋅(2p − 2 C p)
　　 + ··· + W_p−2⋅(p + 2 C 4) + W_p−1⋅(p + 1 C 3) + W_p⋅(p C 2)
が p の倍数であることは、容易に示される。実際、右辺各項について（p + 2 から下側インデックスを引いたものが W の番号、上側インデックスは下側インデックスより p − 2 大きい）、 W₀ を含む項と W_p−1 を含む項以外は、どれも W が p の倍数、除外された二つの項^‡では、どちらも二項係数が p の倍数（下克上）、よって右辺の和は p の倍数、それに等しい左辺も p の倍数なので W_p+1 は p の倍数。――この事実が、帰納的証明の土台となる。

‡ 3 以上の素数 p のうち、 p = 3 だけは、 W_p−1 を含む項の二項係数で下剋上を起こさず、従って W_p+1(2p) は p の倍数ではない。

p を 5 以上の素数とする。今 0 ≤ δ < d の範囲の各 W_p+δ が p の倍数であることが示されたとして、それを根拠に W_p+d も p の倍数であると断言できるであろうか。
　　(p + d)⋅W_p+d = W₀⋅(2p C p + d + 1) + W₁⋅(2p − 1 C p + d) + W₂⋅(2p − 2 C p + d − 1)
　　 + ··· + W_p+d−3⋅(p − d + 3 C 4) + W_p+d−2⋅(p − d + 2 C 3) + W_p+d−1⋅(p − d + 1 C 2)
の右辺各項について（p + d + 1 から下側インデックスを引いたものが W の番号、上側インデックスは下側インデックスより p − d − 1 大きい）、 W₀ を含む項
　　《ハ》　W₀⋅(2p C p + d + 1)
と W_p−1 を含む項
　　《ヒ》　W_p−1⋅(p + 1 C d + 2)
以外は、定理2（u = 0）と帰納法の仮定により、 W が素因子 p を持つ。一方、《ハ》の W₀ = 1 は明らかに p の倍数ではなく、《ヒ》の W_p−1 も p の倍数より 2 小さい（定理3）。従って、帰納法による証明を続けるためには、《ハ・ヒ》の二項係数がどちらも p の倍数であることが必要。《ハ》の二項係数は、もし 1 ≤ d + 1 < p なら p の倍数だが d + 1 = p ならそうではなく、《ヒ》の二項係数は、もし 1 ≤ d + 2 < p なら p の倍数だが d + 2 = p ならそうではない。すなわち、証明の継続には 0 ≤ d < p − 2 であることが必要であり、またそれで十分。結局、 d = p − 3 のときの (2p − 3)⋅W_2p−3 が p の倍数であることまでは（従って W_p, W_p+1, ··· , W_2p−3 が p の倍数であることが）、《ハ・ヒ》の下克上により帰納的に示される。しかるに、その次の W_2p−2 すなわち d = p − 2 のケースは、 p の倍数ではない。実際、そのとき《ハ》の因子 (2p C 2p − 1) は依然として明らかに p の倍数だが、《ヒ》の二項係数は Lucas の定理により、
　　(p + 1 C p) ≡ (1 C 1)⋅(1 C 0) ≡ 1 (mod p)
であり、ゆえに《ヒ》は――従って (2p − 2)⋅W_2p−2 を表す右辺の和は――法 p の下で −2⋅1 に合同:
　　(2p − 2)⋅W_2p−2 ≡ −2W_2p−2 ≡ −2 (mod p)
　　∴　W_2p−2 ≡ 1 (mod p)
であるから、 W_2p−2 は p の倍数より 1 大きい（この結論は p = 3 に対しても真）。

ここまでの成果を一旦まとめると:

補題6（cf. Glaisher [7], §51）　p が 3 以上の素数のとき、 2p に対する W₀, W₁, ···, W_2p は――言い換えれば、上側インデックスが奇素数の 2 倍である第一種スターリング数 [2p S k] は――、原則としてどれも p の倍数。ただし、三つの例外があって、
　　W_p−1 = [2p S p + 1]
は p の倍数より 2 小さく、
　　W₀ = [2p S 2p] = 1　と　W_2p−2 = [2p S 2]
は p の倍数より 1 大きい。

証明　W_2p−1 = (2p − 1)! と W_2p = 0 が p の倍数であること、および W₀ = 1 が p の倍数より 1 大きいことは、自明。 1 ≤ r ≤ p − 2 のとき法 p の下で W_r ≡ 0 であることは定理2から、 W_p−1 ≡ −2 であることは定理3から。その他の主張については、上述の通り。∎

補題6は予備的命題に過ぎない（p で割れるか否かより p² で割れるか否か、さらに言えば mod p³ や p⁴ の方が深い問題だし、スターリング数の上側インデックスを奇素数の 2 倍としているのも、ひどく限定的で一般性に乏しい）。けれど、帰納的証明の土台となる W_p についての議論が、意外と繊細で面白い（恐らく現代的には、もっとエレガントで大胆な証明法もあるのだろう）。

一見特殊的な命題なようだが、補題6がないと、いろいろな一般的定理が中途半端になりやすい――少なくとも Glaisher のアプローチによる場合には。 Glaisher は、この補題の発見前に [7] の本文を執筆し、直後にこの補題を発見して後から定理を拡張したため、 [7] にはやたらと「この命題は後で拡張される」という追記的な脚注が多い。見通しが良いとは言い難いのだが、夢中になって新発見を書き留めていくライブ感があり、発見のわくわく感を追体験できる。

§15　数値例　p = 5, n = 2p = 10 の場合。

5W₅ = W₀⋅(10 C 6) + W₁⋅(9 C 5) + W₂⋅(8 C 4) + W₃⋅(7 C 3) + W₄⋅(6 C 2)

右辺の最初の2項（A, B とする）と最後の項（C とする）以外は、どの項も 5² の倍数（因子 W と二項係数がそれぞれ 5 の倍数なので）。今、 A + B + C も 5² の倍数であることを示したい。
　　A/5 = (10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5)/(6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1) ÷ 5 = (10⋅9⋅8⋅7)/(4⋅3⋅2⋅1) ÷ 5 = 2⋅9⋅8⋅7/4!
　　 = 2 × 9⋅8⋅7⋅1/4! ≡ 2 × 1 ≡ 2 (mod 5)
　　B/5 = 9⋅10/2 × (9⋅8⋅7⋅6⋅5)/(5⋅4⋅3⋅2⋅1) ÷ 5 = 9 × 9⋅8⋅7⋅6/4! ≡ −1 × 1 ≡ −1 (mod 5)
　　C/5 = (5ℓ − 2) × 6⋅5/2 ÷ 5 = (5ℓ)⋅3 + (−2)⋅3 ≡ −6 ≡ −1 (mod 5)
　　∴　(A + B + C)/5 ≡ 2 + (−1) + (−1) ≡ 0 (mod 5)
ゆえに A + B + C は 5² の倍数。

従って W₅ は 5 の倍数だが、その具体的な値 269325 は、 5 の倍数であるばかりか 5² の倍数でもあり、しかも
　　269325 ≡ 75 ≡ 3⋅5² (mod 5³)
であるから、「W₅ は 5 の倍数」というのは間違いではないけど、より精妙な事実のほんの一部に過ぎない。

W₅ が 5 の倍数であることから、再帰的証明によって W₆, W₇ も 5 の倍数であることが容易に示される。 W₈ は、しかしながら、もはや 5 の倍数ではない。その原因は、
　　8W₈ = W₀⋅(10 C 9) + W₁⋅(9 C 8) + W₂⋅(8 C 7) + W₃⋅(7 C 6)
　　 + W₄⋅(6 C 5) + W₅⋅(5 C 4) + W₆⋅(4 C 3) + W₇⋅(3 C 2)　　《フ》
の右辺各項のうち、一つだけが 5 の倍数でないこと。 W₀, W₄ 以外の W は 5 の倍数なので、問題になり得るのは右辺第1項と第5項の二つ。前者は、二項係数が 5 の倍数なので項全体としては 5 の倍数だが、後者は二項係数も 5 の倍数ではない。法 5 の下で W₄ ≡ −2 かつ (6 C 5) = 6 ≡ 1 なので、この項は ≡ −2、よって《フ》は
　　8W₈ ≡ −2　つまり　−2W₈ ≡ −2
を含意し、 W₈ ≡ 1 と結論される。果たして W₈ = 1026576 は 5 の倍数より 1 大きい。

数値例（その2）　p = 3, n = 2p = 6 の場合。

3W₃ = W₀⋅(6 C 4) + W₁⋅(5 C 3) + W₂⋅(4 C 2) の右辺は、どの項も 3² の倍数ではない。しかし、右辺の三つの項を順に A, B, C とすると:
　　A/3 = (6⋅5⋅4⋅3)/(4⋅3⋅2⋅1) ÷ 3 = 2⋅5/2! = 2 × 5⋅1/2! ≡ 2 (mod 3)
　　B/3 = 5⋅6/2 × (5⋅4⋅3)/(3⋅2⋅1) ÷ 3 = 5 × 5⋅4/2! ≡ 5 ≡ −1 (mod 3)
　　C/3 = (3ℓ − 2) × (4⋅3)/(2⋅1) ÷ 3 = (3ℓ − 2) × 4/2 = (3ℓ)⋅2 + (−2)⋅2 ≡ −4 ≡ −1 (mod 3)
　　∴　(A + B + C)/3 ≡ 0 (mod 3)

この場合、実際の値は W₃ = 225 = 3²⋅5² であり、 W₃ ≡ 1⋅3² (mod 3³) を満たす。「3 の倍数であること」の証明は大きな一歩だが、最初の一歩に過ぎない！

数値例（その3）　p = 7, n = 2p = 14 の場合。

7W₇ = W₀⋅(14 C 8) + W₁⋅(13 C 7) + W₂⋅(12 C 6) + ··· + W₅⋅(9 C 3) + W₆⋅(8 C 2) の右辺の最初の2項 A, B と最後の項 C が問題となる。

A/7 = (14⋅13···9⋅8⋅7)/(8⋅7⋅6···1) ÷ 7 = 14⋅13···9/6! ÷ 7 = 2 × (13⋅12···9 × 1)/6! ≡ 2 (mod 7)
B/7 = 13⋅14/2 × (13···9⋅8⋅7)/(7⋅6···1) ÷ 7 = 13 × 13⋅12···9⋅8/6! ≡ 13 ≡ −1 (mod 7)
C/7 = (7ℓ − 2) × 8⋅7/2 ÷ 7 = (7ℓ − 2) × 4 ≡ −8 ≡ −1 (mod 7)

W₇ = 790943153 は 7² の倍数。しかも、実は
　　W₇ ≡ 245 ≡ 5⋅7² (mod 7³)
を満たす。

n = 2p に対して W_p が p の倍数であること（p で割り切れること）を証明したが、もっと深いことが言えそうだ。数値例の観察からは、 W_p は p で割り切れるだけでなく p² でも割り切れそうだし、さらに p³ で割った余りは、独特のシンプルなパターンを持つようだ。（続く）

〔誤植〕　[7], p. 29, “The next equation, giving A_p, is” の次の行の左辺末尾 A_p+1 は A_p−1 の誤り。

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2026-07-05　上側 2p のスターリング（承前）　いい気持ちで眠れる証明

p = 5 のとき n = 2p に対する W₃, W₅, W₇ は、それぞれ
　　9450, 269325, 1172700
で、いずれも p² = 25 の倍数。小さな素数 p = 3, 5, 7, 11, ··· で試すと、奇数 r = 3, 5, ···, 2p − 3 に対して W_r = [2p S 2p − r] は p² で割り切れると予想される。特に、
　　[2⋅3 S 3] ≡ (3 − 2)⋅3² (mod 3³)
　　[2⋅5 S 5] ≡ (5 − 2)⋅5² (mod 5³)
　　[2⋅7 S 7] ≡ (7 − 2)⋅7² (mod 7³)
　　[2⋅11 S 11] ≡ (11 − 2)⋅11² (mod 11³)
　　　︙
　　[2p S p] ≡ (p − 2)⋅p² (mod p³)
の関係は美しい。

§16　p を 3 以上の素数とする。 r = 2t が 2p 未満の正の偶数のとき、 2p に対する W_r つまり W_2t = S_2t(2p − 1) は、法 p² の下で（従って法 p の下でも）
　　W_2t ≡ σ_t(p − 1; 2p)　　マ
を満たす。

リンク先の変数名では N = 2p − 1, L = 2p, h = p, μ = h − t = p − t に当たる。合同式マの法は、一般には (2p)² ではない（付録B参照）。

簡潔化のため、以下 σ_j(p − 1; 2p) を単に σ_j と記す。例えば、
　　σ_t ≡ W_2t (mod p)　　ミ
のように（マ参照）。補題6により、 2t = 2, 4, 6, ···, 2p − 4 のとき、 2t = p − 1 の場合を除けば、ミの右辺 W_2t は p の倍数であり、 σ_t は次の性質を持つ。

補題7（Glaisher [7], §52, cf. §17）　p を 3 以上の素数とする。 1 ≤ t ≤ p − 2 の範囲の任意の整数 t について、 t = (p − 1)/2 の場合を除き、 σ_t = σ_t(p − 1; 2p) は p の倍数。 t = (p − 1)/2 なら σ_t ≡ −2 (mod p) で、 t = p − 1 なら σ_t ≡ 1 (mod p)。 t = 0 なら、定義により σ_t = 1。

〔注〕　p = 3 の場合にも補題7は正しいが、その場合 1 ≤ t ≤ 3 − 2 の範囲には t = 1 しかなく、それは t = (p − 1)/2 に当たり、従って σ₁ ≡ −2 (mod 3) となる。実際 σ₁(3 − 1; 2⋅3) = 1⋅(6 − 1) + 2⋅(6 − 2) = 13 ≡ −2。

ところが、公式 (iv) を mod p³ で考えると（付録B参照）、任意の W_2t+1 = S_2t+1(2p − 1) について、
　　W_2t+1 ≡ (μ − 1/2)⋅2p⋅σ_t (mod p³)　　ム
が成り立つ（ただし μ = p − t）。言い換えると:
　　W_2t+1 ≡ [(2p − 2t − 1)/2]⋅2p⋅σ_t = (2p − 2t − 1)⋅p⋅σ_t (mod p³)　　メ

補題7により、 1 ≤ t ≤ p − 2 かつ t ≠ (p − 1)/2 なら σ_t は p の倍数だから、そのときメの右辺は、素因子 p を（少なくとも）二つ持つ。

〔付記〕　奇素数 p を固定し t の範囲を 1 ≤ t ≤ p − 2 とするなら、メの右辺のもう一つの因子 2p − 2t − 1 が p の倍数になるのは t = (p − 1)/2 の場合に限られる。今は仮定 t ≠ (p − 1)/2 によりそのケースを除外している（このケースについては後述）。

結局 n = 2p に対する W₃, W₅, ··· , W_2p−3 のうち、 W_p 以外はいずれも p² の倍数（W_p については、この議論からは、 p² の倍数であるともないとも言えない）。実際、メの W_2t+1 の t に 1, 2, ··· , p − 2 を代入すれば（ただし 2t + 1 = p のケース W_p を除く）、それらの t に対して W_2t+1 は、
　　xp³ + yp²
の形を持つ（法 p³ の下で p² の倍数と合同だから。ここで x, y は何らかの整数）。

一方、除外された W_p も――メにおいて、対応する因子 σ_tが p の倍数でないにもかかわらず――実は p² の倍数。実際 W_2t+1 = W_p は、 t = (p − 1)/2 のケースであり（言い換えれば 2t = p − 1）、そのときメは
　　W_p ≡ [(2p − (p − 1) − 1)/2]⋅2p⋅σ_(p−1)/2 = p²⋅σ_(p−1)/2 (mod p³)
を含意し、従って W_p は、
　　xp³ + p²⋅σ_(p−1)/2　　モ
の形を持つ。このケースでは、ムにおいて σ_t が素因子 p を含まない代わりに、 μ − 1/2 がそれを含む。

のみならず t = (p − 1)/2 のケースでは、ミと補題6から
　　σ_(p−1)/2 ≡ W_p−1 ≡ −2 (mod p)
が成り立つので、 σ_(p−1)/2 = ℓp − 2 と書くことができる（ℓ は何らかの整数）。それをモに代入すると:
　　W_p = xp³ + p²⋅(ℓp − 2) ≡ −2p² (mod p³)

すなわち、次の定理が証明されたのである。

定理4（上側インデックス 2p の第一種スターリング数: Glaisher [7], §52）　p が 3 以上の素数のとき、 2p に対応する
　　W₃, W₅, ···, W_2p−3
は、いずれも p² で割り切れる。特に W_p = [2p S p] は、
　　[2p S p] ≡ −2p² (mod p³)
を満たす。

美しい！　何の役に立つわけでもないけど…

〔注〕　番号が奇数の W のうち、上記以外のもの、すなわち W₁ = (p − 1)p/2 と W_2p−1 = (2p − 1)! は p の倍数だが、明らかに p² の倍数ではない。一方、番号が偶数の W₂, W₄, ···, W_2p−2 は、 W_p−1 と W_2p−2 を除けば p の倍数（補題6）。

[6 S 3] = 225 が 9 の倍数であることや [10 S 5] = 269325 が 25 の倍数であることなどは容易に観察可能で、一見たわいもないことのようにも思える。しかしその証明は、 Wolstenholme の定理のそれとも似て、シンプルな表面的現象とは裏腹に、意外と奥が深い。特に、それらの数を p³ で割ったときの剰余の振る舞いは精妙。現代的にはもっとエレガントな証明法があるのかもしれないが、これはまぁ、なんていうか「結構長い道を歩いてきたなあ、いろいろあったなあ」という心地よい疲労感、長くもつれた議論が完結した安堵感、小粒でもきれいな結果の達成感があって、「ああ、今夜はいい気持ちで眠れるな」、みたいな証明かと（笑）。

もちろん「証明終わり」の詰めの部分だけ見ても、無味乾燥だろう。楽しく遊ぶには、喜びを味わうには、インスタントじゃ無理というもの。これ自体、華々しいゴールでも何でもなく、「気まぐれな散歩の、ちょっとした裏道の風景」に過ぎないけど。（続く）

付録B　p² などを法とする W_r(2p) の σ 表現について。

本文同様、この付録でも σ_j は σ_j(p − 1; 2p) を意味する。

公式 (iii) によれば、
　　W_2t(2p) = σ_t + (μ²/2!)⋅(2p)²⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ²(μ − 1)/4!]⋅(2p)⁴⋅σ_t−2 + ···
であるから、一見、法 (2p)² つまり法 4p² の下で
　　W_2t(2p) ≡ σ_t　　（✽）
が成り立ちそうだが、それは公式の右辺第2項 (μ²/2!)⋅(2p)²⋅σ_t−1 以下が (2p)² で割り切れるなら、という仮定上の話。

実際には、もし μ と σ_t−1 が両方奇数なら (μ²/2!)⋅σ_t−1 は 1/2 の端数を持ち、それを解消するために、この第2項の因子 (2p)² に含まれる素因子 2 の一つは約される。つまり、一般には、この項は (2p)² で割り切れず、従って上記の仮定は成り立たない。第3項以下の影響を無視できるとしても、（✽）の法は 4p² ではなく 2p² の約数でなければならない。第3項以下は明らかに p² の倍数なので、法 p² の下で（✽）が成り立つことは明白であり、ここではそれで十分。

同様に、公式 (iv) によれば、
　　W_2t+1(2p) = [(μ − ½)/1!]⋅(2p)¹⋅σ_t + [μ(μ − ½)(μ − 1)/3!]⋅(2p)³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − ½)(μ − 1)(μ − 2)/5!]⋅(2p)⁵⋅σ_t−2 + ···
であるが、必ずしも法 8p³ の下で
　　W_2t+1(2p) ≡ (μ − 1/2)⋅(2p)⋅σ_t
が成り立つわけではなく、右辺第3項以下の影響を無視できるとしても、一般には 4p³ またはその約数を法とする必要がある（ここでは法 p³ で十分）。

具体的に、整数 μ の値が何であろうとも、分数 μ(μ − ½)(μ − 1)/3! = μ(2μ − 1)(μ − 1)/12 の（右側の）分子の三つの因子の中には 3 の倍数が（ちょうど）一つあり、かつ、偶数が（ちょうど）一つあるので、この分数から 1/3 や 1/4 の端数が生じることはないが、他方において、この分子は μ ≡ 0, 1 (mod 4) の場合に限って 4 の倍数であり、もし μ ≡ 2, 3 (mod 4) ならこの分数の値は整数にならずに 1/2 の端数を持つ。その場合、もし σ_t−1 も奇数であれば、
　　[μ(μ − ½)(μ − 1)/3!]⋅(2p)³⋅σ_t−1
の因子 (2p)³ に含まれる 2 は一つ約され、この項は (2p)³ で割り切れない。

30 以下の奇素数 p について上記の関係を数値的に調べたところ、 p = 17 の場合を除いて、必ずそのようなケースが存在する。例えば p = 5, t = 3 の場合には μ = 5 − 3 ≡ 2 (mod 4) であるから、
　　μ(μ − ½)(μ − 1)/3! = 1/2
は 1/2 の端数を持つ。しかもこの場合、 σ_t−1 = σ₂(4; 10) = 1773 は奇数。その結果、法 (2p)³ = 1000 の下で
　　[μ(μ − ½)(μ − 1)/3!]⋅(2p)³⋅σ_t−1 = 886500
は ≢ 0 であり（法 4p³ = 500 の下でなら ≡ 0 である）、従って
　　W₇(10) ≡ (2 − 1/2)⋅10⋅σ₃ (mod 10³)
は成り立たない。すなわち、左辺 1172700 と右辺 286200 の差は 1000 で割り切れない（500 でなら割り切れる）。

「左辺と右辺の差が 500 で割り切れる」というのは「W₇(10) 自身が 500 で割り切れる」という意味ではない。

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『遊びの数論63』へ続く。

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